专题8.1 全等三角形模型及两大构造方法 2026-2027学年人教版八年级数学上册
|
2份
|
159页
|
543人阅读
|
15人下载
内容正文：
专题8.1 全等三角形模型及两大构造方法
【人教版】
目录
专题8.1 全等三角形模型及两大构造方法 1
知识点一 全等三角形模型 2
模型一：手拉手模型 2
模型二：半角模型 2
模型三：一线三等角模型 2
模型四：角平分线模型 3
模型五：婆罗摩笈多模型 3
知识点二 全等三角形构造方法 4
方法一：倍长中线法 4
方法二：截长补短法 4
【例题讲解与练习】 6
题型一 手拉手模型（等腰三角形） 6
题型二 手拉手模型（等边三角形） 14
题型三 手拉手模型（等腰直角三角形） 27
题型四 手拉手模型（正方形） 39
题型五 一线三等角模型（直角） 50
题型六 一线三等角模型（非直角） 63
题型七 半角模型 72
题型八 角平分线模型 85
题型九 婆罗摩笈多模型 94
题型十 倍长中线法 106
题型十一 截长补短法 117
第 1 页 共 128 页
学科网（北京）股份有限公司
知识点总结
知识点一 全等三角形模型
模型一：手拉手模型
两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形；加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等
模型二：半角模型
有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形;解题时延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系
模型三：一线三等角模型
如下图，两个三角形有一条边共线 ；同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3
利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等
模型四：角平分线模型
利用角平分线图形的对称性， 在角的两边构造对称等腰三角形或全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移， 这是经常使用的一种解题技巧：通过角平分线构造等腰三角形或构造全等三角形，利用等腰三角形的三线合一或全等三角形的判定和性质进行解题
角平分线＋对称型 角平分线＋垂直两边型 角平分线＋垂直平分型 角平分线＋平行线型
模型五：婆罗摩笈多模型
1、向外作双等腰直角三角形（知中点，证垂直）。条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点。方法：倍长中线AF。结论：AF⊥DE，DE＝2AF。如图：
2、 向外作双等腰直角三角形（知垂直，证中点）。条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC。方法：作DM⊥AF，EN⊥AF。结论：G是DE的中点，BC＝2AG。如图：
3、 向内作双等腰直角三角形（知中点，证垂）。条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点。方法：倍长中线AF。结论：AF⊥DE，DE＝2AF。如图：
4、 向内作双等腰直角三角形（知垂直，证中点）。条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC。方法：作DM⊥AF，EN⊥AF。结论：G是DE的中点，BC＝2AG。如图：
知识点二 全等三角形构造方法
方法一：倍长中线法
给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形，达到解题目的，如图：
延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长AD至点E，使AD=DE，连接CE
，AC=BE且AC∥BE ， AB=CE且AB∥CE
方法二：截长补短法
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质进行解题。
例如：在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD
△DEB是等腰三角形
△CDE是等腰三角形
△CDE是等腰三角形
题型归纳
【例题讲解与练习】
题型一 手拉手模型（等腰三角形）
【例题 1】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）综合与实践
【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型．
(1)如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：______；线段和的数量关系是______；
【探究】
(2)如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证：
①；
②；
【拓展】
(3)如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长．
【答案】(1)，
(2)证明：①与均为等边三角形，
，
，，
，
在与中，
，
；
；
②在等边三角形中，，
，
，
；
(3)
【分析】（1）由两个三角形全等的判定与性质求解即可；
（2）由等边三角形的性质，结合两个三角形全等的判定与性质求解即可；
（3）延长，并在延长线上截取，如图所示，构造“手拉手”模型，通过推导，得出，最后结合等边三角形性质求解即可．
【详解】（1）解：，，，
，
在与中，
，
；
；
（2）略
（3）解：延长，并在延长线上截取，如图所示：
，
是等边三角形，
与均为等边三角形，
，
，，
，
在与中，
，
；
，
，
则在等边三角形中，．
【练习 1.1】（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________．
（2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：．
（3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）；
（2）证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3），
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键；
（1）由题意得，结合即可求解；
（2）证即可求解；
（3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解；
【详解】解：（1）∵都是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）略
（3）由题意得： ，
∴，即，
∴，
∴，；
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵点，，在同一条直线上，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
【练习 1.2】（25-26八年级上·云南·期中）南南同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，南南把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
(2)拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为__________；线段与之间的数量关系是__________；
(3)解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．若等式成立，请求出a的值和b的值．
【答案】(1)
证明：和均是顶角为的等腰三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
；
(2)，；
(3)，．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线等知识，掌握“手拉手”图形的解题思路是解题关键．
（1）结合等腰三角形的性质，证明，即可得到结论；
（2）结合等边三角形的性质，同（1）理证明，得到，，进而得到，即可求出的度数；
（3）同（1）理证明，得到，根据等腰三角形三线合一的性质，以及直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，从而得出，即可得出a的值和b的值．
【详解】（1）略
（2）解：和均为等边三角形，
，，，
，即，
，
，，
，
；
（3）解：同（1）理可证，，
，
为等腰直角三角形，为中边上的高，
，
，
等式成立，
，．
【练习 1.3】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形，通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
(1)观察猜想
如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；
(2)类比探究
如图2，在中，分别以为边作等腰直角和等腰直角，，点在同一直线上，为中边上的高，猜想，之间的数量关系并说明理由；
(3)解决问题
如图3，点是等边外一点，若，求线段的长．
【答案】(1)．
(2)解：．
理由如下：
和都是等腰直角三角形，
，
在和中，
由，
(3)65．
【分析】（1）通过等腰直角三角形的性质证明出，即可得出，再根据角的关系即可证明；（2）仍是通过已知条件证明，则，根据直角三角形斜边的中线是斜边的一半得，则可求出；（3）延续前两问的思路，先构造等边三角形，再构造等腰直角三角形，从而证明，则．
【详解】（1）解：记与的交点为，
由题可知，
，
在和中，
由，
，
，
，
．
（2）略
（3）解：如图4，以为边，构造等边三角形，连接，过点作，交的延长线于点，则，，，
，
，
，
，在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
均为等边三角形，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题的通用思路都是由“手拉手”模型构造全等三角形，在此基础上得到边和角的关系，最后一问是通过做辅助线，构造两个等边三角形“手拉手”，再利用勾股定理求解．
题型二 手拉手模型（等边三角形）
【例题 2】（1）如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点，线段与的数量关系是 ；
【深入探究】（2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同．
①线段与的数量关系是 ；
②的度数为 ．
【拓展应用】（3）如图3，是等边三角形，，，，求边的长度．
【答案】（1），理由如下：
和都是等边三角形，
，，，，
，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
；
（2）①；②；
（3）8
【分析】（1）利用等边三角形的性质，可得绕点逆时针旋转得到，即可得到；
（2）由（1）可知，则，，再根据等边三角形的性质和角之间的等量代换，易得，从而可求；
（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，易得是等边三角形，由旋转的性质知，从而可得，再根据勾股定理，计算即可．
【详解】解：（1）略
（2）①；②
理由：由（1）可知绕点逆时针旋转得到，
则，
，；
等边三角形，
，
，
，
；
故答案为：①；②；
（3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，
，，，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质知，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等的性质，勾股定理等知识点，掌握“手拉手模型”是解题的关键．
【练习 2.1】【问题提出】如图，、都是等边三角形，求证：．
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】
(1)在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．
①如图，若点在边上，求证：．
②如图，若点在边的延长线上，线段之间的数量关系为______，并加以说明．
(2)如图，在等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为______．（直接写出结论不用说明理由）
【答案】(1)
①证明：如图，过点作，交于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∵在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
②
证明：如图，过点作，交于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，即．
∵在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
(2)．
【分析】（1）①如图，过点作，交于点，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论；
②如图，过点作，交于点，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论；
（2）先根据等边的性质结合三角形的内角和定理和外角的性质推出，再如图，在上截取，连接，易证是等边三角形，证明，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：①略
②略
（2）
证明：∵是等边三角形，
∴，．
又∵，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
如图，在上截取，连接，
∴是等边三角形，
∴，．
∴，即．
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形全等的性质和判定，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
【练习 2.2】模型建立
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______．
模型应用
（2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明；
模型迁移
（3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长．
【答案】（1），
（2）证明：、都是等边三角形，
，，，
，
即，
，，
∴
，
在和中，
，
，
，
；
（3）
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论；
（2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证；
（3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解．
【详解】解：（1），理由如下：
、都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）略
（3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，即，
，，
．
【练习 2.3】如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．与相等吗？证明你的结论．
（2）【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论有（ ）
A．①④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
（3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
（4）【拓展应用】如图4，和是以和为直角的等腰直角三角形，，，连接AE、BD，判断的值是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理由．
【答案】
（1），
证明：和均为等边三角形，
，，．
∴
．
在和中，
，
．
．
（2）C
（3）是，
（4）是，
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）证明，得，可判定①成立，，又，可得是等边三角形，可判定③成立；，则，可得，可判定②成立；由于点O不一定是的中点，可判定④不是恒成立；
（3）设交于M，由（1）知：，又，，则∴，即可求得．
（4）连接交于N，连接交于M，交，由等腰直角 三我性质与勾股定理求得，，再证明，得，从而求得 ，由勾股定理得，，，，即可由求解．
【详解】解：（1）略
（2）和均为等边三角形，
∴．
∴，
∴，
由（1）知：
∴
又∵
∴
∴，故①成立；
∵
∴
∵
∴是等边三角形，故③成立；
∴
∴
∴，故②成立；
由于点O不一定是的中点，故④不是恒成立；
故选：C．
（3）设交于M，如图3，
由（1）知：
∵，，
∴
∴．
（4）是，。
理由：连接交于N，连接交于M，交，如图4，
∵和是以和为直角的等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
∴，是定值．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握“手拉手”模型是解题的关键．
题型三 手拉手模型（等腰直角三角形）
【例题 3】（25-26八年级上·四川德阳·期末）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中错误的个数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握考查的知识点是解题的关键．
先证明和为等腰直角三角形，推出，再证明，运用全等的性质即可解题．
【详解】解：∵，，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确，不符合题意；
∴，
∵，
∴，故②正确，不符合题意；
∵，
，
，
，
，
∴，
∴，故③正确，不符合题意；
∵如图，延长射线交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确，不符合题意；
综上，符合题意共个．
故选：A．
【练习 3.1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与探究
问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接．
问题初探：
（1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时，
①与的位置关系为_________．
②与的数量关系为_________．
拓展探究：
（2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立．
【答案】（1）① ；② ；
（2）由题意得，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
设与交于点；如图；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与的位置关系和数量关系没有发生变化；
（3）与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系；
【分析】（1）根据题意证明，再根据全等可得，，即可求解；
（2）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，，即可求解；
（3）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，即可求解；
【详解】解：（1）理由：延长交于点，如图
在和中，
∴
∵
∴
∴，
∴
故答案为： ① ；②；
（2） 略
（3）设，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
设与交于点；如图；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴不垂直，
∴与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系；
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键.
【练习 3.2】（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，在中，，若是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，连接．
(1)求证：
(2)试说明
(3)把点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，直接写出的值．
【答案】(1)
证明：∵是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，则，
∴，
在和中，
∴，
∴；
(2)
证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
由勾股定理可得：，
又∵是等腰直角三角形，则，，
∴，
∴；
(3)的值为或3或或1
【分析】（1）根据等腰直角得出，，结合可证，然后根据“”证明即可得出；
（2）由（1）知，则，由可得，可知，由勾股定理可得，，即可得证；
（3）分四种情况：①当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，②当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，③当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，④当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，结合全等三角形的性质及勾股定理即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：∵，，
∴，，
①当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，连接，
由（1）（2）可知，，，
设，则，
∴，
解得：（负值舍去），即：，
∴；
②当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，连接，
∵，则，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
则，
即
解得：，负值舍去；
③当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，连接，
同理，可得，，，
则，
即，
解得：，负值舍去；
④当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，连接，
同理，可得，，，
则，
∴
解得：，
∴；
综上所述，的值为或3或或1．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等，通过“”证明三角形全等是解题的关键．
【练习 3.3】综合与实践：
【问题情境】
(1)
如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______；
【变式思考】
(2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______；
【拓展运用】
(3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)
(3)
解：，证明如下：
如图，延长至使得，连接，
等腰直角三角形，
，
，，，
，
，，，
，
等腰直角三角形且，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
．
【分析】本题实质属于手拉手模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）利用等边三角形的性质得到，，，再利用全等三角形判定定理证出，即可得出结论；
（2）连接和交于点，和交于点，利用等腰直角三角形的性质证出，得到，，进而得到，得出四边形面积，再利用线段的性质求出的最大值，即可求出四边形面积的最大值；
（3）延长至使得，连接，先证出，得到，，再通过证明得到，最后利用线段的和差即可得出结论．
【详解】（1）解：和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：如图，连接和交于点，和交于点，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
四边形面积，
，
，
四边形面积的最大值是．
故答案为：．
（3）略
题型四 手拉手模型（正方形）
【例题4】四边形和四边形均为正方形，连接、．
(1)如图1，在上，在延长线上，求证：；
(2)把正方形绕点旋转，请仅就图2的情形，请你证明，并且；
(3)已知，，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，当、、三点共线时，求的长．
【答案】(1)
证明：四边形和四边形均为正方形，
，，．
在和中，
．
．
(2)
证明：四边形和四边形均为正方形，
，，．
，即．
在和中，
．
，．
设，交于点，，交于点，如图2，
，，，
．
，即．
(3)或
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理；熟练掌握几何图形的性质是解题的关键
（1）根据正方形的性质可得，，即可证明，即可得出结论；
（2）同理证明得出，，设，交于点，，交于点，根据全等的性质等量代换得出，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，分别画出图形，证明，得出，设，根据勾股定理建立方程，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）如图3，当在正方形内部时，连接，
，
．
，，
是等腰直角三角形．
，．
．
，
，即．
又，，
．
，．
设，
，
在中，，
，
解得：或（舍去）．
．
在中， ．
当在正方形外部时，连接，如图4，
同理可得，，
设，
在中，，
，
解得：或（舍去）．
．
在中，．
综上所述，当、、三点共线时， 的长为或．
【练习 4.1】如图①，四边形是正方形，是边上的一个动点（点G与C、D不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．
(1)如图①，线段，线段 的数量关系是 ；位置关系是 ；
(2)将图①中的正方形 绕点C 顺时针方向旋转任意角度，如图②，BG 分别交于点H、O，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)已知 ，当正方形 旋转到如图③所示的位置，即点 D、E、G 在同一条直线上时，直接写出此时的长度．
【答案】(1)，
(2)
解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵四边形、四边形都是正方形，
∴，， ，
∴
∴，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
(3)
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）由四边形和四边形是正方形，可得，， ，进而得，即可由证明，得到，延长交于点，由全等三角形的性质得到，进而得到，得到，即得；
（2）（1）中得到的结论仍然成立，同理（1）证明即可求证；
（3）利用正方形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形和四边形是正方形，
∴，， ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
延长交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：，；
（2）略
（3）解：当正方形绕点旋转到如图位置时，
连接与相交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【练习 4.2】如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、．
(1)【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______；
(2)【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：；
(3)【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______．
【答案】(1)2
(2)
证明：在上截取，连接，如图所示：
∵是中点，
，
∴，
，
∵四边形、是正方形，
，
，
，
，
，
即；
(3)
【分析】（1）根据四边形、是正方形，得出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）在上截取，连接，根据是中点，得出，再结合四边形、是正方形，得出，证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明；
（3）延长至，使，连接，连接延长交于点，证明，再证出，即可得出、是等腰直角三角形，证出，过C作于点L，证明，证出，根据，即可解答；
【详解】（1）解：连接，，如图所示：
∵四边形、是正方形，
，
，
∵是中点，
，
即；
（2）略
（3）解：延长至，使，连接，连接，并延长交于点，
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵四边形、是正方形，
．
，
，
，
，
，
，
，
∴、是等腰直角三角形，
，
过C作于点L，
是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线．
【练习 4.3】如图，正方形和正方形，，，三点共线，，．将正方形绕点顺时针旋转，连接，．
(1)如图，求证：；
(2)如图，在旋转的过程中，当，，三点共线时，试求的长；
(3)在旋转的过程中，是否存在某时刻，使得，若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
证明：∵四边形和是正方形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ；
(2)；
(3)存在某时刻，使得，．
【分析】（）由四边形和是正方形，得，，，，证明即可；
（）连接，交于点，由正方形的性质可得，，，，然后根据勾股定理和线段和差即可求解；
（）过点作，交的延长线于点，求得，，则，由勾股定理得，从而有，再通过线段和差即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，交于点，
∵四边形是正方形，，
∴，，，，
∴，
∴，
∵、，三点共线，，
∴在中，，
∴；
（3）解：存在某时刻，使得，，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
题型五 一线三等角模型（直角）
【例题 5】（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路．
【问题解决】
(1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________；
【问题探究】
(2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长；
【拓展延伸】
(3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；点的坐标为：，，．
【分析】（1）利用证明，即可得到；
（2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可；
（3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示：
∵，，
∴，，
由（1）同理可证，
∴，，
∴点的横坐标，点的纵坐标，
∴；
②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示：
∵，，
∴，，
由（1）同理可证，
∴，，
∴点的横坐标，点的纵坐标，
∴；
③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示：
设，
∵，，
∴，，，，
由（1）同理可证，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
综上，点的坐标为：，，．
【练习 5.1】根据图形解决以下问题
(1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：；
(2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点；
①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由；
②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长．
【答案】(1)证明：∵，，
∴，
又，
∴，
在和中，，
∴．
(2)①；
理由：∵，，
∴，
又，
∴，
在和中，，
∴．
②4
【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可；
（2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可．
【详解】（1）解：略
（2）解：①略
②∵，，
∴，
又，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【练习 5.2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）（1）【探究发现】
在中，，，直线l经过点C，，，D、E为垂足，则有结论．请在图1、图2中任选一图给予证明．
（2）【知识迁移】
如图3，已知：，，，，，连接、、，则点C的坐标为________，点E的坐标为________，的面积为________．
（3）【拓展应用】
如图4，已知：点A的坐标为，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰与等腰，且，连接交y轴于点P，求的长．
【答案】
（1）如图1，（图2证明略）
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2），，2；（3）
【分析】（1）先证，再证，利用“”即可求证；
（2）过点C作轴于点，过点作轴于点，延长交x轴于点H，利用“”可得，，从而求出、、、，即可求出坐标，再根据三角形面积公式，计算即可求出面积；
（3）过点E作轴于G，利用“”可得，则．
【详解】证明：（1） 略
解：（2）如图3，过点C作轴于点，过点作轴于点，延长交x轴于点H，
，，
，，
，x轴y轴，
，
轴，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
同理可证，
，，
，
，
，，
轴，
，，
；
故答案为：，，2；
解：（3）如图4，过点E作轴于G，
由（1）知，
，，
，轴，，
在和中，，
，
．
【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握“一线三直角模型”是解题的关键．
【练习 5.3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）根据以下素材，尝试解决问题．
综合与探究：“一线三直角”模型
素材1
“一线三直角”是解决数学几何问题常用的一种模型，通过证明三角形全等从而解决相关问题．模型探究：已知中，，，，三点都在直线l上，且有．
素材2
问题解决
任务1
（1）如图①，当时，若，，则 ；
任务2
（2）如图②，当时，探究线段、、 的数量关系并证明．
任务3
（3）如图③，的顶点落在平面直角坐标系的． 轴上，若，点的坐标为，点的坐标为，则 ．
任务4
背景数据：“勾三股四弦五”是我国古代数学著作《周髀算经》中记载的经典结论，是直角三角形的特殊数据，是指在直角三角形中，两条直角边分别为、时，斜边一定是；反之，若直角三角形的斜边为，一条直角边为，那么另一条直角边一定为（为正整数）．记住这个固定边长关系，做题时遇到这类直角三角形可直接套用．
（4）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接，过点 作 的垂线 ，垂足为，分别交，于点，，把沿折叠，使点落在上的点 ，连接，若，，则点到的距离为 ．
【答案】（1）；
（2），
证明：是的外角，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
；
（3）；（4）
【分析】(1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，，根据线段之间的关系即可求出的长度；
(2)利用三角形外角的性质可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证；
(3)由“一线三直角”可知，利用全等三角形的性质可知，，，根据线段之间的关系可知，根据平面直角坐标系中两点之间的距离可知，根据相反数的定义可知；
(4)利用可证，根据全等三角形的性质可得，，由同角的余角相等可证，根据等角对等边可得，利用勾股定理求出，，利用三角形的面积公式即可求出点到的距离．
【详解】(1)解：当时，
可得：，
，，
，
在和中，，
，
，，
；
故答案为：；
(2)略
(3)解：如下图所示，过点作轴，过点作轴，
由(1)可知，，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
；
(4)解：四边形和是正方形，
，，，
在中，，
，
在和中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，，
在中，
，
整理得：，
解得：，，
，
，，
，
由折叠可知，
，
，
如下图所示，连接，过点作，
，
，
，
点到的距离为.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质、解一元二次方程．解决本题的关键是根据“一线三直角”证明三角形全等，根据全等三角形的性质找边、角之间的关系．
题型六 一线三等角模型（非直角）
【题型 6】（25-26八年级上·湖北·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：；
（2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由；
（3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积．
【答案】
（1）证明：直线，直线，
，
，
，
，
在和中，
；
（2），理由如下：
是的外角，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
；
（3）
【分析】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键．
（1）考虑一线三垂直模型，先推导得到，然后证明；
（2）先大胆猜想，然后证明，利用推导得到，证得，进而得到，，通过等量替换进而完成证明；
（3）作辅助线，过点作交的延长线于点，过点作于点，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解．
【详解】解：（1）略
（2）略
（3）过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示：
，，，
，
，
，
在和中，
，
，同理可证明：，
，
，
，
的面积等于40．
【练习 6.1】综合题
(1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由．
(2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由．
(3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与 的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ．
【答案】(1)解：且，理由：
当时，，，
，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
，
．
(2)解：，理由如下：
，，
，
又，， 三点在直线上，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
(3)6
【分析】(1) 当时，，，结合，利用判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得．
(2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用判定，从而得，，相加即得．
(3) 由(2)的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由(2)同理可证，
，
，
直线与 的延长线交于点，且，
与有公共顶点，且底边与 在同一直线上，
，
，
，
即与的面积之和为．
【练习 6.2】（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：．
（2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状．
【答案】
（1）证明：直线l，直线l，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）解：成立，证明如下：
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）为等边三角形
【分析】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答；
（2）运用类比的方法，同样可以证明；
（3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（2）可知，，
，，
和均为等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
为等边三角形．
【点睛】根据“一线三等角”模型，准确证明三角形全等是正确解答此题的关键．
【练习 6.3】如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由；
(2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值．
【答案】(1)，
(2)，；，
【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程解决动点问题，全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．
（1）先求得，再求得，然后利用证明，从而可说明，再求得，从而可得；
（2）先用表示出，再分“，”、“，”两种情况，分别求得相应的与的值．
【详解】（1）解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下：
∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴（），
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）依题意得：，，
∵，
∴，
又∵，，
当，时，，
由，得：，
解得：，
由，得：，
解得：，
②当，时，，
由，得：，
解得：，
由，得：，
，
解得：，
综上所述：当时，；当时，．
题型七 半角模型
【例题 7】（25-26八年级下·云南红河·期末）根据题意解答下列各题：
(1)问题背景：如图①，在正方形中，点，分别在，上，且，请直接写出线段，，之间的数量关系：_____________________．
(2)猜想类比：如图②，在四边形中，，，点，分别在，上，且，试确定线段，，之间的数量关系，并给出证明；
(3)解决问题：如图③，是以为直角的等腰直角三角形，、均在线段上，且，若，，试求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
证明：延长至点，使得，
∵,，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即．
(3)
【分析】（1）延长至点，使得，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）延长至点，使得，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；
（3）过点作,且使得，连接，，证明，则，根据勾股定理即可作出判断．
【详解】（1）解：延长至点，使得，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）略
（3）解：过点作，且使得，连接，；
∵是等腰直角三角形,，
，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
由第（2）问同理可证：，
∴．
在中，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
【练习 7.1】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）问题背景 如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由．
由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________；
验证猜想 写出上述推理的详细过程；
探索延伸 如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由．
【答案】
解：（1）如图所示：
∵，，，
∴；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）成立，理由如下：
延长到，使得，连接，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键．
（1）先证，推出，进一步得；再证，即可得；
（2）参考（1）中的证明过程即可；
【详解】解：（1）略
（2）略
【练习 7.2】旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的．
【探究发现】如图1，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
爱动脑筋的小明发现：这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图2，小明将绕点顺时针旋转得到，然后证明，就可以解决这道问题．请直接写出线段，，之间的数量关系__________________
【类比迁移】如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
【拓展延伸】如图4，在中，，，点，在边上，且，当，时，则的长为____________．
【答案】（1）；
（2）猜想：，
证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，
，，，，
，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中
，
，
．
（3）
【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是：利用旋转转化线段关系，将分散的条件集中到同一个三角形求解．
（1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明；
（2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知，，，，在中，，可求得，所以，证，利用得到．
（3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，可证明：，在中，，，，过点D作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出进而根据，即可得出答案．
【详解】（1）解：
证明：由旋转可得，，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2） 略
（3）证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4，
，，，，
，，
，
，即，
又，
，
在和中
，
，
过点作，垂足为，
∵，
∴，
∴，
．
∴，
∴
∴
【练习 7.3】（25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】
（1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则：
①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）．
②______．
【深入探究】
（2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明．
【拓展应用】
（3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系．
②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由．
【答案】（1）①垂直平分（或）；②，（2），（3）①当点在上时，，当点M在延长线上时，，当点在延长线上时，，②．
【分析】（1）根据、，由线段垂直平分线的判定定理即可得出垂直平分，根据等边三角形的性质求出，再根据，，求出，进而可得，由含直角三角形性质可得；
（2）延长到使，连接，可得，进而可得，由此得出，
（3）①分三种情况同理（2）可以证明结论．
②由（2）可得，由此即可得出．
本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补短法构造全等三角形．
【详解】（1）结论：，
∵等边
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∵，等边中，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
（2）证明：延长到使，连接，如图2，
∴，
∵等边中，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
（3）①结论：当点在上时，，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，，
证明：当点在上时，由（2）得，
当点M在延长线上时，在取使，则：，连接，如图3，
同理可证 ，
∴
当点在延长线上时，在取使，则：，连接，如图4，
同理可得：，
∴
综上所述：当点在上时，，当点在延长线上时，，当点M在延长线上时，．
②，
解：记的周长为P，
由（2）得：，
∴，
记的周长为Q，，
∴
题型八 角平分线模型
【例题 8】阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，
平分，
．
，
．
在和中，，
（依据1）
（依据2），，
，．
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．
【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；
任务二：
……
，
，
；
应用：12
【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案；
任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案；
应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论．
【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等；
任务二：略
应用：延长、交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【练习 8.1】如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
答案：B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，在上截取点使得，连接，
∵，
∴，
∵和的平分线、相交于点O，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∵周长为20，，
∴，
即，
解得，
∴，
故选：B．
【练习 8.2】如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有______．
答案：①②③④
【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，①正确；过点P作，由角平分线的性质可知是的平分线，②正确；，故，由四边形内角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出，③正确；由三角形全等的判定定理可得出，故可得出，再由可得出，④正确；即可得出结论．
【详解】解：∵、分别是与的角平分线，，
∴，
∴，①正确；
过点P作，
∵、分别是与的角平分线，
∴，
∴，
∴是的平分线，②正确；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
【练习 8.3】阅读与理解：折纸是我国传统的民间艺术，不仅可以得到许多美丽的图形，还能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在中，（如图1），怎样证明呢? 分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处；即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以．
(1)【感悟与应用】如图（2），在正方形中，是对角线，平分，则=______；
(2)如图（3），平分，，，，，求的长．
(3)【拓展提高】如图（4），在四边形中，，，，若，，，求四边形的边的长．
答案：(1)
(2)
(3)
【分析】（）由正方形的性质可得，根据平分，可得，再根据三角形外角的性质求解即可；
（2）在上截取，连接，证明，可得，再利用勾股定理求出 ，进而可得；
（）延长到，使，延长到，使，连接，，可得，，进而可证四边形为平行四边形，得到，，进而得，再利用勾股定理得，由平行四边形的面积得，即可得，即得，最后根据计算即可求解．
【详解】（1）解：∵在正方形中，是对角线，
∴，，
又∵平分，即，
∴；
（2）如图（3），在上截取，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：延长到，使，延长到，使，连接，，
∵，，
∴，
同理：，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理得，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型九 婆罗摩笈多模型
【例题 9】通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型．
(3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值．
答案：(1)，，
(2)
证明：如图2，过作于，过作于，
由“字”模型得：，
，
同理：，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
点是的中点；
(3)1012.5
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键．
（1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答；
（2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论；
（3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
故答案为：，；
（2）略
（3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于，
，，，
由“字”模型得：，，
，，，
∴，
，，
，
在与中，
，
，
，且，
，
即，
，
的值为1012.5．
【练习 9.1】如图，，的延长线交于H．
(1)求证：；
(2)求证：点H是的中点；
(3)若，求．
【答案】：(1)
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)
证明：过点C作交的延长线于点G，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
由（1）可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴和互相平分，
∴点H是的中点；
(3)6
【分析】（1）由垂线的定义可得，从而可得，，根据等角的余角相等即可得出结论；
（2）过点C作交的延长线于点G，连接，由平行线的性质可得，可证，从而证明，可得，从而可得，再根据平行四边形的判定与性质即可得出结论；
（3）由（2）可得，四边形是平行四边形，可得，，再由点H是的中点，可得即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（2）可得，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∵点H是的中点，
∴．
【点睛】本题考查垂线的定义、余角的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【练习 9.2】（1）如图1，，过点作于点，过点作于点，求证：；
（2）如图2，，，连结，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；
（3）如图3，，，连结，的面积为，的面积为，，求的值．
【答案】（1）证明：
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，，
∴．
（2）证明：过作于，过作于，
∵，
∴，
同（1）可证，
∴，
同理得，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴点是的中点．
（3）12
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用全等的性质推导线段或面积的关系．
（1）由垂直得直角，结合，转化对应角相等，用证；
（2）作垂线构造全等，先证全等得线段相等，再证另一组全等得；
（3）作辅助线，通过多组全等的面积相等，推出，结合和求．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：过作于，交于，过作于，过作于，
同（2）可证，，
∴，，
由（2）知是中点，得，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴
【练习 9.3】【模型建立】
如图①，等腰直角三角形中，．直线经过点，过作于点，过作于点．易证得（无需证明），我们将这个基本图形称为“三垂直”或者叫“形图”，它是“一线三等角”的特殊情形．接下来，我们就利用这个模型来解决一些问题：
【模型应用】
如图②，在和中，，连接，分别交直线于点，若．
（1）求证：点是的中点．
（2）若，则______．
笑笑同学给出如下证明过程：
证明：过点作交于点，过点E作交于点
由【模型建立】可知，
∴
同理可得：
……
……
请将上述证明过程补充完整，并完成第（）问．
【模型拓展】如图③，已知正方形和正方形，连接，过点作，交于点，交于点，直接写出的线段长度．
【答案】（1）证明：过点作交于点，交于点，如图，
由模型建立可知：
，，，，
∴，，
∴，
，
同理可得：，
，
，
，，
，
．
在和中，
，
，
点是的中点；
（2）；
模型拓展：．
【分析】模型应用：（1）利用“三垂直”图形的性质得到，则，同理可得：，则，利用等量代换的性质得到，再利用全等三角形的判定定理得到，利用全等三角形的性质解答即可得出结论；
（2）利用全等三角形的性质得到，，可求得的面积，利用，得到；利用等底同高的三角形面积相等的性质可得，则，则；
模型拓展：过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用（1）的方法得到，，，，则；通过证明得到，利用等式的性质得到；过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，则结论可求．
【详解】模型应用：（1）略
（2）解：由（1）知：，，
，．
，
，
由（1）知：，
．
点是的中点，
和是等底同高的三角形，
，
．
．
故答案为：；
模型拓展：的线段长度为．理由：
过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图，
由模型建立可知，
，，，，
易证，
，．
同理可得：，
，．
，
在和中，
，
，
，，
，
．
过点作于点，如图，
正方形和正方形，，，
，，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，本题是阅读型，准确掌握题干中的方法，熟练的添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关
题型十 倍长中线法
【例题 10】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论：
【性质探究】
①“中线平分面积”．如图1，在中，是的中点，若的面积为6，则的面积为__________．
②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，则的取值范围是__________．
【拓展应用】
①如图2，在中，是的中点，是边上的一点，连接，交于点．若，请判断之间的数量关系，并说明理由．
【创新人才培养选做题】
②如图3，在中，是的中点，是的角平分线，交于点，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值．
【答案】[性质探究]①3；②；
[拓展应用]①．理由如下：
如图2，延长到点H，使，连接，
∵是的中点，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②
【分析】[性质探究]①根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可；
②根据题干求解思路和三角形的三边关系求解即可；
[拓展应用]①如图2，延长到点H，使，连接，证明得到，，则，利用平行线的性质和等边对等角推导出，则，进而可得结论；
②作交于P，过E作于T，证明得到，，，则；根据三角形的中线性质，结合图形中推导出，根据垂线段最短和三角形的面积公式得到，进而可求解．
【详解】解：[拓展应用]
①∵在中，是的中点，的面积为6，
∴的面积为，
故答案为：3；
②如图1，延长到点，使，连接，
∵是的中点，
∴，又，
∴，
∴，
在中，，，
∴，即，
∴；
[拓展应用]
①略
②如图3，作交于P，过E作于T，
∵是的角平分线，
∴，又，
∴，
∴，，，
∴；
∵是的中点，
∴,
设，
∴
，
∵，
∴，
∴，
故的最大值为．
【点睛】本题考查三角形的中线性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形的中线性质是解答的关键．
【练习 10.1】（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，当，，三点共线时，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明．
【答案】(1)
证明：∵与均为等边三角形，
∴，，且，
∵，，
∴，结合，，
∴，
∴．
(2)
(3)
，
证明：，延长至点，使得，连接，如下图所示：
∵点为中点，
∴，又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∵为等边三角形，
∴，
由（1）中，
∴，结合，，
∴，
∴，∵，
∴．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，找出等量条件证明三角形全等以及准确添加辅助线是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质，求证即可；
（2）由（1）中全等，得出，结合角度计算即可；
（3）首先根据中点的性质，准确添加辅助线，属于倍长中线模型，即可得，结合前两问中的等量关系，证明出，故可得，即可证出．
【详解】（1）略
（2）解：若，，三点共线，
则
由（1）中，
∴，
∵，，
∴．
（3）略
【练习 10.2】如图1，在五边形中，，，连接，且，．
(1)求证：；
(2)如图2，若，为边上的中线，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，，，则五边形的面积为______；点到直线的距离为______．
【答案】(1)
证明：∵，
∴．
在 和 中，
∴，
∴
(2)
延长 ， 交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在 和 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
在 和 中，
，
∴，
∴，
∵即：，
∴∠，
∴；
(3)20；
【分析】（1）由已知可得，可得结论；
（2）延长 ，交于点，连接，可得，可证明得：，可得，，可证明得，，可得结论；
（3）在（2）的条件下，根据五边形 的面积=直角梯形的面积+的面积，求解即可
【详解】（1）略
（2）略
（3）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴五边形 的面积=直角梯形的面积+的面积，
∴五边形 的面积，
∵，，，
∴五边形 的面积
由（2）得，
∴，即，
∴，
设点到直线的距离为，
又∵，即，
∴，
故答案为20；.
【点睛】本题主要考查三角形全等及性质，综合性大，灵活构造辅助线是解题的关键.
【练习 10.3】学习理解：
（1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________；
活学活用：
（2）如图2，，，，点F为的中点．
求证：；
思维拓展：
（3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________．
【答案】（1）；
（2）证明：如图2，延长至点G，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）13
【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，得出的取值范围为，从而得到；
（2）如图2，延长至点G，使，连接，证明，，通过三角形面积转化得到结论；
（3）先证明，如图3，在上截取，，连接，通过三角形全等和三角形面积转化，得出的面积．
【详解】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接，
∵点D为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2） 略
（3）解：∵分别平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图3，在上截取，，连接，
在和中，
，
∴，
同理可得：，
∴，，，，
过点N作于点P，过点E作于点Q，
则，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵
，
∴，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
题型十一 截长补短法
【例题 11】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起从而解决问题．数学课上李老师让同学使用这一方法来解决以下问题：“如图①，在中，平分，”．求证：．
(1)对于该问题，老师给出了如下的思路：如图②，在上截取，连接，只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题．请你按照上述解题思路写出证明过程．
(2)请使用上述方法解决下列问题：
①如图③，是等边三角形，D是边下方一点，，连接．判断出线段，，之间的数量关系并说明理由；
②如图④，在中，，．D是边下方一点，．求证：．
【答案】(1)证明：平分，
，
在和中，
，
，
，．
又，
，
，
，
为等腰三角形，
，，
．
(2)①，理由如下：
如下图所示，在的延长线上截取，连接．
是等边三角形，
，，
在四边形中，，
，，
，
又，
．
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
．
②证明：如下图所示，延长到点，使，连接，
，，
，
，
．
，，在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【分析】（1）根据提示，在上截取，利用“边角边”证明，将转化为，再利用角度关系证明为等腰三角形，即可证明．
（2）①在的延长线上截取，构造全等三角形，利用等边三角形的性质证明为等边三角形，从而得到．
②同样在的延长线上截取，构造全等三角形，利用等腰直角三角形的性质证明为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得出．
【详解】（1）略．
（2）①略．
②略．
【练习 11.1】（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______；
（2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，．分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？并说明理由；
（3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）；
（2）仍然成立，
理由：如图，延长至点，使，连接
，
，
，
即
，
（3）210海里
【分析】主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实际问题的转化，本题中求证是解题的关键．
（1）延长到点G，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（2）延长到点G，使，连结，即可证明可得 再证明可得即可解题；
（3）连接，延长相交于点C，然后与（2）同理可证．
【详解】解：（1）
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∵
（2）略
（3）如图，连接，延长、相交与点，
在四边形中，
，
，符合（2）中的条件．
结论成立
即（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为210海里
【练习 11.2】（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）在等腰中，，点D是上一动点（不含端点），点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，若，，求证：．
(3)若，，点G为上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．将在同一平面内沿直线翻折，使得点A落在点处，连接．若，，当的值最小时，过点C作，垂线交于点K．请直接写出的面积．
【答案】(1)
证明：平分，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
；
(2)
证明：如图2，取的一点使，连接，
∵，，
∴．，
又∵，
∴，，
由（1）可知：，，，
∴，，
在和中，
，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
(3)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质：
（1）由等腰三角形的性质得，再证，得，即可得出结论；
（2）取的一点使，连接，由已知求出，进而可求，由此证明，进而可得，即可利用等角对等边可以证明，从而得出结论；
（3）当的值最小时，点在上，过点作的垂线，交于点.
根据题意可知，， ，，可求得，得到，进而求得．
【详解】（1）略
（2）略
（3）
解：
如图所示，当的值最小时，点在上，过点作的垂线，交于点.
根据题意可知，， ，．
根据图形翻折的性质可知．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【练习 11.3】（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究：
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究：
例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？
把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得．
【类比探究】
（1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明．
【方法运用】
（2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由．
【答案】
（1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、
由翻折的性质可知，，
，
，即
（2），理由如下：
如图（3），在上取，使，连接，
，，，
，
，，
，
，
，
，即
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键．
（1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：，
（2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论．
【详解】（1）略
（2）略
$专题8.1 全等三角形模型及两大构造方法
【人教版】
目录
专题8.1 全等三角形模型及两大构造方法 1
知识点一 全等三角形模型 3
模型一：手拉手模型 3
模型二：半角模型 3
模型三：一线三等角模型 3
模型四：角平分线模型 3
模型五：婆罗摩笈多模型 4
知识点二 全等三角形构造方法 5
方法一：倍长中线法 5
方法二：截长补短法 5
【例题讲解与练习】 6
题型一 手拉手模型（等腰三角形） 6
题型二 手拉手模型（等边三角形） 8
题型三 手拉手模型（等腰直角三角形） 11
题型四 手拉手模型（正方形） 13
题型五 一线三等角模型（直角） 14
题型六 一线三等角模型（非直角） 17
题型七 半角模型 19
题型八 角平分线模型 22
题型九 婆罗摩笈多模型 24
题型十 倍长中线法 26
题型十一 截长补短法 28
第 1 页 共 128 页
学科网（北京）股份有限公司
知识点总结
知识点一 全等三角形模型
模型一：手拉手模型
两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形；加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等
模型二：半角模型
有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形;解题时延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系
模型三：一线三等角模型
如下图，两个三角形有一条边共线 ；同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3
利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等
模型四：角平分线模型
利用角平分线图形的对称性， 在角的两边构造对称等腰三角形或全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移， 这是经常使用的一种解题技巧：通过角平分线构造等腰三角形或构造全等三角形，利用等腰三角形的三线合一或全等三角形的判定和性质进行解题
角平分线＋对称型 角平分线＋垂直两边型 角平分线＋垂直平分型 角平分线＋平行线型
模型五：婆罗摩笈多模型
1、向外作双等腰直角三角形（知中点，证垂直）。条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点。方法：倍长中线AF。结论：AF⊥DE，DE＝2AF。如图：
2、 向外作双等腰直角三角形（知垂直，证中点）。条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC。方法：作DM⊥AF，EN⊥AF。结论：G是DE的中点，BC＝2AG。如图：
3、 向内作双等腰直角三角形（知中点，证垂）。条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点。方法：倍长中线AF。结论：AF⊥DE，DE＝2AF。如图：
4、 向内作双等腰直角三角形（知垂直，证中点）。条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC。方法：作DM⊥AF，EN⊥AF。结论：G是DE的中点，BC＝2AG。如图：
知识点二 全等三角形构造方法
方法一：倍长中线法
给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形，达到解题目的，如图：
延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长AD至点E，使AD=DE，连接CE
，AC=BE且AC∥BE ， AB=CE且AB∥CE
方法二：截长补短法
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质进行解题。
例如：在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD
△DEB是等腰三角形
△CDE是等腰三角形
△CDE是等腰三角形
题型归纳
【例题讲解与练习】
题型一 手拉手模型（等腰三角形）
【例题 1】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）综合与实践
【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型．
(1)如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：______；线段和的数量关系是______；
【探究】
(2)如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证：
①；
②；
【拓展】
(3)如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长．
【练习 1.1】（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________．
（2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：．
（3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系．
【练习 1.2】（25-26八年级上·云南·期中）南南同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，南南把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
(2)拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为__________；线段与之间的数量关系是__________；
(3)解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．若等式成立，请求出a的值和b的值．
【练习 1.3】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形，通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
(1)观察猜想
如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；
(2)类比探究
如图2，在中，分别以为边作等腰直角和等腰直角，，点在同一直线上，为中边上的高，猜想，之间的数量关系并说明理由；
(3)解决问题
如图3，点是等边外一点，若，求线段的长．
题型二 手拉手模型（等边三角形）
【例题 2】（1）如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点，线段与的数量关系是 ；
【深入探究】（2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同．
①线段与的数量关系是 ；
②的度数为 ．
【拓展应用】（3）如图3，是等边三角形，，，，求边的长度．
【练习 2.1】【问题提出】如图，、都是等边三角形，求证：．
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】
(1)在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．
①如图，若点在边上，求证：．
②如图，若点在边的延长线上，线段之间的数量关系为______，并加以说明．
(2)如图，在等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为______．（直接写出结论不用说明理由）
【练习 2.2】模型建立
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______．
模型应用
（2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明；
模型迁移
（3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长．
【练习 2.3】如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．与相等吗？证明你的结论．
（2）【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论有（ ）
A．①④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
（3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
（4）【拓展应用】如图4，和是以和为直角的等腰直角三角形，，，连接AE、BD，判断的值是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理由．
题型三 手拉手模型（等腰直角三角形）
【例题 3】（25-26八年级上·四川德阳·期末）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中错误的个数是（ ）．
A． B． C． D．
【练习 3.1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与探究
问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接．
问题初探：
（1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时，
①与的位置关系为_________．
②与的数量关系为_________．
拓展探究：
（2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立．
【练习 3.2】（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，在中，，若是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，连接．
(1)求证：
(2)试说明
(3)把点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，直接写出的值．
【练习 3.3】综合与实践：
【问题情境】
(1)
如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______；
【变式思考】
(2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______；
【拓展运用】
(3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
题型四 手拉手模型（正方形）
【例题4】四边形和四边形均为正方形，连接、．
(1)如图1，在上，在延长线上，求证：；
(2)把正方形绕点旋转，请仅就图2的情形，请你证明，并且；
(3)已知，，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，当、、三点共线时，求的长．
【练习 4.1】如图①，四边形是正方形，是边上的一个动点（点G与C、D不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．
(1)如图①，线段，线段 的数量关系是 ；位置关系是 ；
(2)将图①中的正方形 绕点C 顺时针方向旋转任意角度，如图②，BG 分别交于点H、O，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)已知 ，当正方形 旋转到如图③所示的位置，即点 D、E、G 在同一条直线上时，直接写出此时的长度．
【练习 4.2】如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、．
(1)【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______；
(2)【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：；
(3)【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______．
【练习 4.3】如图，正方形和正方形，，，三点共线，，．将正方形绕点顺时针旋转，连接，．
(1)如图，求证：；
(2)如图，在旋转的过程中，当，，三点共线时，试求的长；
(3)在旋转的过程中，是否存在某时刻，使得，若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
题型五 一线三等角模型（直角）
【例题 5】（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路．
【问题解决】
(1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________；
【问题探究】
(2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长；
【拓展延伸】
(3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标．
【练习 5.1】根据图形解决以下问题
(1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：；
(2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点；
①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由；
②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长．
【练习 5.2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）（1）【探究发现】
在中，，，直线l经过点C，，，D、E为垂足，则有结论．请在图1、图2中任选一图给予证明．
（2）【知识迁移】
如图3，已知：，，，，，连接、、，则点C的坐标为________，点E的坐标为________，的面积为________．
（3）【拓展应用】
如图4，已知：点A的坐标为，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰与等腰，且，连接交y轴于点P，求的长．
【练习 5.3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）根据以下素材，尝试解决问题．
综合与探究：“一线三直角”模型
素材1
“一线三直角”是解决数学几何问题常用的一种模型，通过证明三角形全等从而解决相关问题．模型探究：已知中，，，，三点都在直线l上，且有．
素材2
问题解决
任务1
（1）如图①，当时，若，，则 ；
任务2
（2）如图②，当时，探究线段、、 的数量关系并证明．
任务3
（3）如图③，的顶点落在平面直角坐标系的． 轴上，若，点的坐标为，点的坐标为，则 ．
任务4
背景数据：“勾三股四弦五”是我国古代数学著作《周髀算经》中记载的经典结论，是直角三角形的特殊数据，是指在直角三角形中，两条直角边分别为、时，斜边一定是；反之，若直角三角形的斜边为，一条直角边为，那么另一条直角边一定为（为正整数）．记住这个固定边长关系，做题时遇到这类直角三角形可直接套用．
（4）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接，过点 作 的垂线 ，垂足为，分别交，于点，，把沿折叠，使点落在上的点 ，连接，若，，则点到的距离为 ．
题型六 一线三等角模型（非直角）
【题型 6】（25-26八年级上·湖北·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：；
（2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由；
（3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积．
【练习 6.1】综合题
(1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由．
(2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由．
(3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与 的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ．
【练习 6.2】（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：．
（2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状．
【练习 6.3】如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由；
(2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值．
题型七 半角模型
【例题 7】（25-26八年级下·云南红河·期末）根据题意解答下列各题：
(1)问题背景：如图①，在正方形中，点，分别在，上，且，请直接写出线段，，之间的数量关系：_____________________．
(2)猜想类比：如图②，在四边形中，，，点，分别在，上，且，试确定线段，，之间的数量关系，并给出证明；
(3)解决问题：如图③，是以为直角的等腰直角三角形，、均在线段上，且，若，，试求线段的长度．
【练习 7.1】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）问题背景 如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由．
由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________；
验证猜想 写出上述推理的详细过程；
探索延伸 如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由．
【练习 7.2】旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的．
【探究发现】如图1，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
爱动脑筋的小明发现：这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图2，小明将绕点顺时针旋转得到，然后证明，就可以解决这道问题．请直接写出线段，，之间的数量关系__________________
【类比迁移】如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
【拓展延伸】如图4，在中，，，点，在边上，且，当，时，则的长为____________．
【练习 7.3】（25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】
（1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则：
①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）．
②______．
【深入探究】
（2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明．
【拓展应用】
（3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系．
②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由．
题型八 角平分线模型
【例题 8】阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，
平分，
．
，
．
在和中，，
（依据1）
（依据2），，
，．
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．
【练习 8.1】如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
【练习 8.2】如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有______．
【练习 8.3】阅读与理解：折纸是我国传统的民间艺术，不仅可以得到许多美丽的图形，还能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在中，（如图1），怎样证明呢? 分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处；即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以．
(1)【感悟与应用】如图（2），在正方形中，是对角线，平分，则=______；
(2)如图（3），平分，，，，，求的长．
(3)【拓展提高】如图（4），在四边形中，，，，若，，，求四边形的边的长．
题型九 婆罗摩笈多模型
【例题 9】通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型．
(3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值．
【练习 9.1】如图，，的延长线交于H．
(1)求证：；
(2)求证：点H是的中点；
(3)若，求．
【练习 9.2】（1）如图1，，过点作于点，过点作于点，求证：；
（2）如图2，，，连结，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；
（3）如图3，，，连结，的面积为，的面积为，，求的值．
【练习 9.3】【模型建立】
如图①，等腰直角三角形中，．直线经过点，过作于点，过作于点．易证得（无需证明），我们将这个基本图形称为“三垂直”或者叫“形图”，它是“一线三等角”的特殊情形．接下来，我们就利用这个模型来解决一些问题：
【模型应用】
如图②，在和中，，连接，分别交直线于点，若．
（1）求证：点是的中点．
（2）若，则______．
笑笑同学给出如下证明过程：
证明：过点作交于点，过点E作交于点
由【模型建立】可知，
∴
同理可得：
……
……
请将上述证明过程补充完整，并完成第（）问．
【模型拓展】如图③，已知正方形和正方形，连接，过点作，交于点，交于点，直接写出的线段长度．
题型十 倍长中线法
【例题 10】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论：
【性质探究】
①“中线平分面积”．如图1，在中，是的中点，若的面积为6，则的面积为__________．
②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，则的取值范围是__________．
【拓展应用】
①如图2，在中，是的中点，是边上的一点，连接，交于点．若，请判断之间的数量关系，并说明理由．
【创新人才培养选做题】
②如图3，在中，是的中点，是的角平分线，交于点，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值．
【练习 10.1】（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，当，，三点共线时，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明．
【练习 10.2】如图1，在五边形中，，，连接，且，．
(1)求证：；
(2)如图2，若，为边上的中线，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，，，则五边形的面积为______；点到直线的距离为______．
【练习 10.3】学习理解：
（1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________；
活学活用：
（2）如图2，，，，点F为的中点．
求证：；
思维拓展：
（3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________．
题型十一 截长补短法
【例题 11】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起从而解决问题．数学课上李老师让同学使用这一方法来解决以下问题：“如图①，在中，平分，”．求证：．
(1)对于该问题，老师给出了如下的思路：如图②，在上截取，连接，只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题．请你按照上述解题思路写出证明过程．
(2)请使用上述方法解决下列问题：
①如图③，是等边三角形，D是边下方一点，，连接．判断出线段，，之间的数量关系并说明理由；
②如图④，在中，，．D是边下方一点，．求证：．
【练习 11.1】（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______；
（2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，．分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？并说明理由；
（3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
【练习 11.2】（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）在等腰中，，点D是上一动点（不含端点），点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，若，，求证：．
(3)若，，点G为上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．将在同一平面内沿直线翻折，使得点A落在点处，连接．若，，当的值最小时，过点C作，垂线交于点K．请直接写出的面积．
【练习 11.3】（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究：
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究：
例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？
把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得．
【类比探究】
（1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明．
【方法运用】
（2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由．
$
资源预览图
