第14章 专题3 构造全等三角形的常用方法-【勤径学升】2026-2027学年八年级上册数学同步练测(人教版)

4.(1)证明：如答图，过点C作CE⊥AB, 交AB的延长线于点E. E AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,B .∴.CE=CF,∠CEB=∠CFD=90° ∠ABC+∠CBE=180°， ∠ABC+∠ADC=180°， 4题答图 .∴.∠CBE=∠ADC, 即∠CBE=∠CDF. ∠CBE=∠CDF, 在△CBE和△CDF中， ∠CEB=∠CFD=90°， CE=CF, .△CBE≌△CDF(AAS),.CB=CD. (2)解：△CBE≌△CDF,∴.BE=DF 在R△ACE和R△ACF中，{AC=AC, (CE=CF, .Rt△ACE≌Rt△ACF(HL),∴.AF=AE, .AD-DF=AB+BE=AB+DF, .2DF=AD-AB=16-6=10,∴.DF=5, .AF=AD-DF=16-5=11, .DF的长为5，AF的长为11. 5.解：(1)是.理由如下： 由题意，可知OD=OE,FD=FE. 点O与顶点A重合，点D,点E分别在边AB,AC上， .AD=AE. AD=AE, 在△ADF和△AEF中，{AF=AF, FD=FE, .△ADF≌△AEF(SSS),∴.∠DAF=∠FAE, .AP是∠BAC的平分线. (2)△APC的面积为12.解析由(1)可知AP是 ∠BAC的平分线，：点P到AB,AC的距离相等.PQ⊥ AB,点P到AB,AC的距离均为PQ的长.：PQ=4,AC= 6,△APC的面积为 1 2AC,PQ=2x6x4=12 课时2角的平分线的判定 基础达标练 1.A2.B3.5 4.证明：如答图，作FMLAB于M,FN⊥BC于N,FG1AC 于G. BF平分∠CBD,FM⊥AB,FN⊥ BC,..FM=FN. 同理，FG=FV,.FM=FG. M 又FM⊥AB,FG⊥AC, D/ .点F在∠DAE的平分线上 F 5.B6.A7.125° 4题答图 8.证明：BD⊥AC,CE⊥AB, .∴.∠BDC=∠CEB=90° 参考答案及解析 ∠BDC=∠CEB, 在△BEC和△CDB中， ∠ABC=∠ACB, BC=CB. .△BEC≌△CDB(AAS),∴.BE=CD. .AB=AC,.'.AE=AD. 又.：AE⊥CE,AD⊥BD .FA平分∠DFE. 能力进阶练) 1.A2.73.50 4.证明：如答图，过M作ME⊥AD于点E. :DM平分∠ADC,∠B=∠C=90°，ME⊥AD, ∴.MC=ME,2∠ADM=∠ADC. M是BC的中点，.BM=MC=ME. ME⊥AD,.AM是∠DAB的平分线， .2∠DAM=∠DAB. ∠B=∠C=90°，∴.∠B+∠C=180° ∴.AB/∥CD,∴.∠BAD+∠ADC=180°， 4题答图 .2∠DAM+2∠ADM=180°，.∠ADM+∠DAM=90°， .∴.∠DMA=90. 微专题3与角平分线有关的面积计算 例5：3 变式训练 1.152.2.4 专题3构造全等三角形的常用方法 1.证明：如答图，延长AD至E,使DE=AD,连接BE. AD是中线，CD=BD, (AD=ED 在△ACD和△EBD中，{∠ADC=∠EDB, CD=BD .∴.△ACD≌△EBD(SAS), ∴.AC=BE,∠BEA=∠DAC B D ,'AB>AC,∴.AB>BE .LBEA>LBAD,·∠DAC>LBAD. 2.(1)证明：，AD是△ABC的中线， 1题答图 .BD=CD. (AD=ED 在△ADC和△EDB中， ∠ADC=∠EDB, CD=BD. .△ADC≌△EDB(SAS). (2)解：由(1)可知△ADC≌△EDB,.BE=AC=12, .AB-BE<AE<AB+BE,E 4<AE<28. 1 AD=2 AE, ∴.2<AD<14 3.(1)证明：如答图①，延长AD至点F,使FD=AD,连接FC. .·D是边BC上的中点，∴.BD=CD (BD=CD, 在△ABD和△FCD中， ∠ADB=∠FDC, AD=FD. .△ABD≌△FCD(SAS), ·9· 同步练测·八年级数学（上册） ∴.CF=BA,∠ABD=∠FCD .·∠BAC=∠BCA, .∠ACE=∠ABC+∠BAC= ∠FCD+∠BCA=∠ACF. .AB=CE,..CF=CE. 在△ACF和△ACE中， 22---- CF=CE, 3题答图① ∠ACF=∠ACE, AC=AC. .△ACF≌△ACE(SAS), ∴.∠CAF=∠CAE,即AC平分∠DAE. (2)解：AE=2AD.理由如下： 如答图②，延长AD至点G,使GD=AD,连接GC ∴.AG=2AD. 易得△ABD≌△CCD, .∠G=∠BAD. ·LE=∠BAD,∴∠E=∠G. B AC平分LDAE, .∴.∠CAG=∠CAE. .AC=AC. 3题答图② .△ACG≌△ACE(AAS),.AE=AG, ..AE=2AD. 4.解：方法一：如答图①，在AB上截取AE,使AE=AC,连 接PE. 在△AEP和△ACP中， AE=AC, ∠1=∠2， (AP=AP, E B .∴.△AEP≌△ACP(SAS), D .PE=PC. 4题答图① 在△PBE中，BE>PB-PE,即AB-AC>PB-PE, .AB-AC>PB-PC. 方法二：如答图②，延长AC到M,使AM=AB,连接PM. 在△ABP和△AMP中， (AB=AM, ∠1=∠2 AP=AP, ∴.△ABP≌△AMP(SAS), .PB=PM. 在△PCM中，CM>PM-PC, 4题答图② 即AB-AC>PM-PC, .AB-AC>PB-PC. 5.解：(1)ASA (2)如答图①，延长AE交BC于 点F.易得△AEC≌△FEC, D .∴.∠EFC=∠EMC=65° E .∠EFC=∠B+∠DAE, .∴.∠DAE=∠EFC-∠B=65°- 5题答图① 35°=30°. 、1 (3)BE=2CD.证明如下： ·10· 如答图②，延长BE,CA交于点G, 则∠BAG=180°-∠BAC=90°. ·BE⊥CD, .∴.∠BED=90°=∠BAC .:∠BDC=∠ABG+∠BED= ∠ACD+∠BAC, .LABG=∠ACD. D .AB=AC, B .△ABG≌△ACD(ASA), 5题答图② ∴.BG=CD.易得△CBE≌△CGE, .BE=EG=- 数学活动（三）利用全等设计图案 1.B 2.解：如答图①，②，③所示（答案不唯一）. 2题答图①2题答图② 2题答图③ 3.解：设计方案（如答图）： ①先在平地上取一个可直接到达A,B两点的点C,连接 AC,BC; ②分别延长AC至E,BC至D,使EC=AC,DC=BC; ③连接DE,测出DE的长，即得A,B两点间的距离. 设计理由： EC=AC, 在△EDC和△ABC中 ∠ECD=∠ACB, DC=BC. .△EDC≌△ABC(SAS), .'ED=AB, .A,B两点间的距离等于ED的长 3题答图 数学活动（四） 用全等三角形证明拼图猜想 1.解：(1)△A'CB (2)BC∥AA'.证明如下： ,:△ABC≌△A'CB, .∠ACB=∠A'BC,AB=A'C,AC=A'B. (AB=A'C, 在△ABA'和△A'CA中， A'B=AC, A4'=A'A, .△ABA'≌△A'CA(SSS),∴.∠BA'A=∠CAA' (180p-∠B0C),∠c=7(1s0-∠A0a0. :LACB=2同步练测 八年级数学（上册） 专题3构造全等三角形的常用方法 [答案P9] 类型1倍长中线法 3.中线是三角形中的重要线段之一.在解决几何问 1.在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一 题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以 种方法叫作倍长中线法.如图，AD是△ABC的中 考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通 线，AB>AC,求证：∠DAC>∠BAD. 过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求 的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三 角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方 法称为“倍长中线法”. D 如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，连接 1题图 AD,点E在BC的延长线上 (1)若AB=CE,∠BAC=∠BCA.求证：AC平 分∠DAE. (2)若将(1)中的“AB=CE,∠BAC=∠BCA”更改 为“AC平分∠DAE,∠E=∠BAD”,试探究线 段AE与AD的数量关系，并说明理由. 3题图 2.如图，AD是△ABC的中线，且AB>AC,延长AD至 点E,使ED=AD,连接BE. (1)求证：△ADC≌△EDB; D (2)若AB=16,AC=12,求AD的取值范围， 3题备用图 2题图 36 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩 第十四章 全等三角形 类型2截长补短法 类型3/角平分线法 4.截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的 5.新考法【问题情境】 方法，也是把几何题化难为易的一种策略.截长 (1)利用角平分线构造全等三角形是常用的方 就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补 法，如图①，OP平分∠MON.点A为OM上一 短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼 点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交 合到一起，从而解决问题.请用这两种方法分别 ON于点B,可根据 证明△A0C≌ 解决下列问题： △BOC,则AO=B0,AC=BC(即点C为AB的 如图①，②，已知在△ABC中，AB>AC,∠1=∠2， 中点). P为AD上任一点.求证：AB-AC>PB-PC 【类比解答】 方法一：截长法 (2)如图②，在△ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥ CD于点E,若∠EAC=65°，∠B=35°，通过 (1)中构造全等的方法，求∠DAE的度数： 【拓展延伸】 4题图① (3)如图③，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延 长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证 明你的结论 5题图① 5题图② 5题图③ 方法二：补短法 4题图② @知识精讲 @AI匹配资源 EAI智能工具 @AI方法指导 眼抖音/微信扫码进阶 见此图标目园微信扫码准题轻松解练出好成绩 37