精品解析：福建南平市建瓯市第二中学2026-2027学年八年级上学期数学第一次质量检测

建瓯二中2026-2027八年级第一学期第一次质量检测数学试卷 （考试时间120分钟；满分150分；考试形式：闭卷） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ） A. 1，1，3 B. 2，2，5 C. 5，12，13 D. 6，8，20 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，不能构成三角形； B、，不能构成三角形； C、，能构成三角形； D、，不能构成三角形. 2. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. 等腰梯形 B. 长方形 C. 平行四边形 D. 半圆 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义解答，即将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能重合，这样的图形是轴对称图形． 【详解】解：A. 等腰梯形沿上下底中点连线对折后两边完全重合，是轴对称图形； B. 长方形沿长或宽的中点连线对折后两边完全重合，是轴对称图形； C. 平行四边形不存在能使对折后两边完全重合的直线，不是轴对称图形； D. 半圆沿过圆心且垂直于直径的直线对折后两边完全重合，是轴对称图形． 3. 如图，用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可知，，，， ∴， ∴． 4. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法判定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理．根据三角形内角和定理，结合得出即可判断． 【详解】解：在中，， ， ，即， 即是直角三角形， 故选：C． 5. 如图，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则不能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知一边一角，需根据全等三角形判定定理逐一验证各选项． 【详解】解：已知，， 对于A：， 根据可证； 对于B，，此时为，不能判定； 对于C，， ，根据ASA可证； 对于D，， ，根据AAS可证． 6. 在中，，，平分，那么是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形外角的定义求出，由角平分线的定义得出，由三角形内角和定理求出，最后由对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，掌握其性质是解决此题的关键．先根据中线的定义得，再表示周长，即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差是． 故选：C． 8. 已知两个三角形全等，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等，找出右图中边a与边c的夹角在左图中对应的角即可． 【详解】解：由左图可知，边a与边c的夹角为， ∵两个三角形全等， ∴右图中边a与边c的夹角等于左图中边a与边c的夹角， ∴． 9. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形，证，得，，则，即可得出结论． 【详解】解：如图，过A作轴于点E，过B作轴于点F， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， 故选：B． 10. 如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 【答案】D 【解析】 【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB， ∵∠BA'C=120°， ∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠BAC=180°-120°=60°， ∵沿DE折叠， ∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A， ∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'， ∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°， 故选：D． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 等腰三角形的三边长分别为4，9，，则x的取值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】题目未明确哪两条边为等腰三角形的腰，需分情况讨论，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况讨论： 若， 解方程得 此时三角形三边长为，， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴此情况不成立，舍去； 若， 解方程得 此时三角形三边长为，， ∵，，满足三角形三边关系， ∴此情况成立； 因此的取值为． 12. 在中，，，则中线的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长中线构造全等三角形，将转移到与同处一个三角形中，利用三角形三边关系求解． 【详解】解：延长到， 使，连接． ∵是的中线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴在中，， 代入，，得． ∵， ∴ ， 不等式两边同除以，得． 13. 在显示的五角星图形中，的度数为_______°． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质将分散的五个角转化到一个三角形的内角中，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ． 14. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是___． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得，再利用外角性质求出的度数即可得到结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴． 15. 如图，平分，，，，，则的面积是_____ 【答案】45 【解析】 【分析】如图，过作于，结合角平分线的性质可得，进一步利用面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵平分， ，， ∴， ∵，， ∴的面积是． 16. 如图，在中，是上一点，，点是的中点，设，，的面积分别是，，，且，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查求解三角形面积；结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键． 利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，点D是的中点则，则，然后利用即可得到答案． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ． 故答案为：4． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在等腰中，，根据下面要求进行尺规作图，保留作图痕迹． （1）在上找一点D，使得点D到和的距离相等； （2）过点D作； （3）若，求的度数 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线即可； （2）先以点为圆心、长为半径画弧，交于点，再作线段的垂线，交于点即可； （3）先求出的度数，再求出和的度数，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：∵在等腰中，，， ∴， 由（1）可知，，，即， ∴． 18. 如图，点在一条直线上，，，．写出与之间的关系，并证明你的结论． 【答案】 解：，，证明如下： ∵， ∴， ∴， 在中 ， ∴， ∴，， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定，先求出，再根据证明，得出，，再根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得出． 【详解】略 19. 如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E、F，．求证： 【答案】 证明：D是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】根据可证，根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的判定即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，解题关键是证明． 20. 如图所示，点E，F是四边形的对角线上的两点，，，，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】先证出，则，再根据定理即可得证． 【详解】略． 21. 求证：全等三角形对应边上的高相等（写出已知和求证，并证明） 已知：（1）_______________ （2）______________________________________ 求证：_______________ 【答案】（1）（2）于，于；求证： 证明：， ， 于，于， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的条件填空即可； （2）利用全等三角形的性质和判定解答即可． 【详解】略 22. 如图，和都是等边三角形，连接、交于点O．且分别交、于点F、G． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，明确题意，等边三角形和全等三角形的性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据等边三角形的性质结合全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴． 23. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【答案】（1） ，理由如下； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． （2）爸爸接住小丽的地方距地面的高度为 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴爸爸接住小丽的地方距地面的高度为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． 24. 在四边形中，，，平分． （1）【问题发现】如图1，若时，与的数量关系为_______________，依据是_______________． （2）【问题解决】如图2，求证：； （3）【问题拓展】如图3，在中，，，平分，利用（2）的结论求证：． 【答案】（1），角平分线的性质定理 （2）证明：如图，过点作，交延长线于点，作于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）证明：如图，在上截取，连接， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴由（2）的结论得：， 又∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）先得出，，再根据角平分线的性质定理即可得； （2）过点作，交延长线于点，作于点，先得出，，再证出即可得证； （3）在上截取，连接，得出，由此即可得证． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， 又∵平分， ∴，依据是角平分线的性质定理． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 25. 【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点，，且，连接AB，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接AQ，过O点作于点E，交直线AB于点D，连接DP，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系． （1）直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为_______； （2）【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段OB上，且P点在Q点的左侧时． ①求证：； ②试猜想与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示_______．（不需证明） 【答案】（1） （2） 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图：过点B作的垂线交延长线于点M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据非负数的性质求得m、n的值即可解答； （2）①根据、，再根据同角的余角相等即可解答；②如图：过点B作的垂线交延长线于点M，可证，得到、，再证，得到，再根据等量代换即可解答； （3）第一种情况，如图，过点B作的垂线交于点N，可证，得到，再证，得到，由即可求解；第二种情况，如图所示，过点B作的垂线交延长线于点N，方法同第一种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：或，理由如下， 第一种情况，如图，过点B作的垂线交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，过点B作的垂线交延长线于点N， 同理可证：，得到， 同理可证：，得到； 综上所述，或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建瓯二中2026-2027八年级第一学期第一次质量检测数学试卷 （考试时间120分钟；满分150分；考试形式：闭卷） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ） A. 1，1，3 B. 2，2，5 C. 5，12，13 D. 6，8，20 2. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. 等腰梯形 B. 长方形 C. 平行四边形 D. 半圆 3. 如图，用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法判定 5. 如图，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则不能说明的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，平分，那么是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知两个三角形全等，的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 等腰三角形的三边长分别为4，9，，则x的取值是_______． 12. 在中，，，则中线的取值范围是_______． 13. 在显示的五角星图形中，的度数为_______°． 14. 一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是___． 15. 如图，平分，，，，，则的面积是_____ 16. 如图，在中，是上一点，，点是的中点，设，，的面积分别是，，，且，则__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在等腰中，，根据下面要求进行尺规作图，保留作图痕迹． （1）在上找一点D，使得点D到和的距离相等； （2）过点D作； （3）若，求的度数 18. 如图，点在一条直线上，，，．写出与之间的关系，并证明你的结论． 19. 如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E、F，．求证： 20. 如图所示，点E，F是四边形的对角线上的两点，，，，求证：． 21. 求证：全等三角形对应边上的高相等（写出已知和求证，并证明） 已知：（1）_______________ （2）______________________________________ 求证：_______________ 22. 如图，和都是等边三角形，连接、交于点O．且分别交、于点F、G． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 24. 在四边形中，，，平分． （1）【问题发现】如图1，若时，与的数量关系为_______________，依据是_______________． （2）【问题解决】如图2，求证：； （3）【问题拓展】如图3，在中，，，平分，利用（2）的结论求证：． 25. 【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点，，且，连接AB，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接AQ，过O点作于点E，交直线AB于点D，连接DP，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系． （1）直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为_______； （2）【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段OB上，且P点在Q点的左侧时． ①求证：； ②试猜想与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示_______．（不需证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $