第27章 反比例函数 全章综合训练 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以“概念辨析-性质应用-综合拓展”为主线，系统整合反比例函数核心方法，强化数形结合与模型意识，适配中考单元复习需求。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与形式识别|4题|三要素辨析、等价形式互化|从定义出发构建知识网络| |k的符号与性质|4题|象限判断、增减性应用|性质与图象特征关联| |函数值比较|4题|“先分象限再比大小”原则|结合图象突破跨支比较易错点| |k的几何意义|4题|矩形/三角形面积公式|几何直观与代数表达转化| |函数综合与压轴|8题|待定系数法、参数讨论|从单一函数到多函数、几何综合递进|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十七章 反比例函数 全章综合训练 ▌课时目标 1. 系统梳理反比例函数的概念、图象与性质，形成完整的知识网络，能准确辨析函数形式、k的符号与图象特征之间的内在联系。 2. 熟练掌握待定系数法求解析式、k的几何意义及函数值大小比较，能综合运用数形结合思想解决与一次函数、几何面积相关的综合问题。 3. 能根据实际情境或数据表格建立反比例函数模型，解决简单的实际问题和读图问题，并能应对含参数讨论与坐标几何的压轴题型，提升数学建模与逻辑推理能力。 ▌课时目录 知识点01：反比例函数概念与形式识别的综合辨析 知识点02：k的符号与图象象限、性质的综合判断 知识点03：比较函数值大小的综合 知识点04：k的几何意义与面积计算综合 知识点05：待定系数法求解析式 知识点06：反比例函数与一次/二次函数图象综合 知识点07：反比例函数与实际问题综合 知识点08：数据表格与图象建模型综合 知识点09：双曲线对称性、几何面积与坐标的综合压轴 知识点10：含参数的反比例函数讨论 ▌知识点01：反比例函数概念与形式识别的综合辨析 综合辨析需关注： 1. 定义三要素：函数表达式是分式形式、分母只包含自变量x（次数为1）、比例系数k≠0； 2. 三种表示形式、、的等价互化； 3. 易错点：如不是反比例函数（分母不是单纯的x），y＝2x是正比例函数， 自变量次数不是−1。 若解析式含参数且明确为反比例函数，需满足x的次数为−1且系数不为0。 1．（25-26八年级下·上海·期末）下列函数图像是双曲线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需判断各选项的函数类型，根据反比例函数的图像是双曲线即可得到答案． 【详解】解：选项A、是正比例函数，图像为过原点的直线，不符合要求.； 选项B 、是常函数，图像为平行于轴的直线，不符合要求； 选项C、是正比例函数，图像为过原点的直线，不符合要求； 选项D、可变形为，属于反比例函数，反比例函数的图像是双曲线，符合要求． 2．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义判断各选项函数类型，即可得到答案． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合定义； 选项B：是二次函数，不符合定义； 选项C：符合 （）的形式，是反比例函数，符合要求； 选项D：是正比例函数，不符合定义． 3．（25-26九年级上·河北衡水·期末）下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，需根据反比例函数形如（为常数，，）的形式逐一判断选项，即可作答． 【详解】解：A、是正比例函数，不符合反比例函数定义 B、符合（）的形式，是反比例函数 C、中的次数为，不符合反比例函数中次数为的要求 D、分母为多项式，不是单独的，不符合反比例函数定义 故选：B． 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列四个关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数解析式的形式为是解题的关键．根据反比例函数的一般形式逐项判断即可． 【详解】解：A． ，x的指数为2，不是反比例函数，故该选项不符合题意； B． 是反比例函数，故该选项符合题意； C． 是一次函数，不是反比例函数，故该选项不符合题意； D． ，x的指数不为1，不是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：B． ▌知识点02：k的符号与图象象限、性质的综合判断 k的符号决定图象位置与增减性： 1. k＞0时，双曲线两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小； 2. k＜0时，两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大。 3. 图象两支关于原点对称，与坐标轴无交点。 4. ∣k∣越大，双曲线离原点越远。 5．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过点 C．图象关于轴对称 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴函数解析式为， ∵，∴反比例函数的图象位于第二、四象限，仅在每个象限内随的增大而增大，图象关于原点中心对称，不关于轴对称；故A，C，D错误； ∵， ∴图象经过点，故B正确． 6．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．随着的增大而减少 B．图像与坐标轴没有交点 C．图像经过第一、三象限 D．图像是双曲线 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A：反比例函数，，只有在每个象限内，随着的增大而减少，故该选项符合题意； B：∵，， ∴函数图像与坐标轴没有交点，故该选项不合题意； C：∵， ∴反比例函数图像经过第一、三象限，故该选项不合题意； D：反比例函数的图像都是双曲线，故该选项不合题意． 7．（2026·广西柳州·二模）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 8．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（   ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而增大． 根据反比例函数的性质：当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小即可解答． 【详解】解：由图可知，图象在第三象限， ∴， ∴函数值随着自变量的增大而减小． 故选：A． ▌知识点03：比较函数值大小的综合 比较函数值大小时必须遵循“先分象限，再比大小”的原则： 1. 若两点在同一象限（同一支），直接根据k的符号利用增减性判断； 2. 若两点分属不同象限，则正数恒大于负数（k＞0时第一象限点为正，第三象限点为负；k＜0时第二象限点为正，第四象限点为负）。 严禁跨支使用增减性。 9．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 10．（25-26八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数点，在图象上，则、大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的图像性质解题．先根据判断反比例函数图象所在象限，再根据两点横坐标判断点所在象限，通过和的正负比较大小． 【详解】解： 反比例函数 ， 该反比例函数的图象分布在第二、四象限． 点 的横坐标 ， 点 在第二象限，得 ． 点 的横坐标 ， 点 在第四象限，得 ． ． 11．（25-26八年级下·北京·期末）已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据反比例函数性质，结合已知条件判断的取值范围，在范围内取值计算即可得到符合条件的点坐标． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二，四象限，且在每个象限内随的增大而增大． ∵点，， ∴． 若，在同一象限，则可得，与已知矛盾， 因此，分别在两个不同象限． 因此可得， 解得． 在中任取一个值，如取， 将代入，得， 所以点的坐标可以是． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】（1）根据待定系数法求得反比例函数的表达式，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数的表达式即可； （2）分别求出当和当时的自变量的值，根据反比例函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， ∴， ∴，． ∴，， 则，解得：， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵反比例函数（）在第一象限内随着的增大而减小， ∴当时，x的取值范围为． ▌知识点04：k的几何意义与面积计算综合 过双曲线上任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线，以两垂足和原点为顶点的矩形面积恒为∣k∣；以该点和垂足、原点构成的直角三角形面积恒为∣k∣。 该结论与点的位置无关，常用于直接求面积或已知面积求k。 注意面积取绝对值，而k本身有正负。 13．（25-26九年级下·福建·阶段检测）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数的中心对称性可得点的坐标，再设点的坐标为，利用平行四边形的性质，表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到与的关系，最后根据三角形面积公式和平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵ 四边形是平行四边形，且边经过原点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且为的中点， ∴ ， ∴ ， 设， ∵ 四边形是平行四边形，且设点， ， 整理得：， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 整理得：，即， ∴，即． ∵在轴负半轴， ∴，符合题意． ∴． ∴． 故选：C． 14．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，由得即可解答． 【详解】解：设在上， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为6． 15．（2026·陕西西安·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点在轴上，且，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，反比例函数比例系数的几何意义，等腰三角形的性质，过点作轴于点，可得，，即得，利用等腰三角形的性质可得，即得到，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点， ∴，， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，反比例函数的图象经过的顶点B，边交y轴于点C，且C为的中点，则________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例，三角形中线的性质，过B作轴，根据反比例函数系数k的几何意义求出，根据平行线分线段成比例定理可求出，然后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：过B作轴，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ▌知识点05：待定系数法求解析式 若已知反比例函数图象上一个点的坐标(x0,y0)，直接代入求得k＝x0y0，进而得到解析式。 若已知双曲线经过某点，只需一个点即可确定解析式，比一次函数更为简便。 17．（2026·宁夏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点H，由点B的坐标结合矩形的性质可得点D的坐标，点E的横坐标，得到的长，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，将点E的横坐标代入，可得点E的坐标，从而求出的长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 18．（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据增减性求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得：， ∴该反比例函数表达式为， 当时，， 解得， ∵， ∴函数图象在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，或． 19．（2026·山东东营·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，其中点的坐标为．为双曲线上的一点，横坐标为，轴，交直线于点，连接，． (1)求直线和双曲线的表达式； (2)求与的面积比； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）直线的解析式是，利用待定系数法求出直线的解析式；利用待定系数法求出双曲线的解析式； （2）求出点、的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出、的长度，根据与的面积比等于线段、的长度比即可求出结果； （3）由图象可知，在点右侧轴左侧和点右侧时不等式成立，根据点、的坐标即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 把点的坐标为代入， 可得：， 双曲线的表达式为； （2）解：由函数图象可知点、关于原点对称， 点的坐标是， 点横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 轴， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， ，， ； （3）解：由图象可知，在点右侧轴左侧和点右侧时不等式成立， 不等式的解集是或． 20．（25-26八年级下·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点A，点B的坐标，取中点D，易得点D的坐标，分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为，求出，证明，可得，进而得到点C的坐标，即可解答； （2）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：令，解得，则， 将代入，则， ∴， ∴， 取中点D，则，，即， 分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数交于点C， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，， 当时，反比例函数的图象在直线的图象上方，且反比例函数的图象与直线的图象都在轴上方， ∴的x的取值范围为． ▌知识点06：反比例函数与一次/二次函数图象综合 在同一坐标系中判断与或的图象共存问题： 1. 先看双曲线所在象限确定k的符号； 2. 再根据k的符号验证直线或抛物线的位置是否自洽（如k＞0时双曲线在一、三象限，直线可能经过一、三象限或二、四象限等）； 3. 交点问题即对应方程组的解，可通过图象直观读取交点个数或大致位置。 21．（25-26九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定k的正负． 先根据反比例函数图象得到，再根据二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且顶点在x轴上． ∴只有A选项符合题意． 故选：A 22．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 23．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的函数表达式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集为_________，直接写出以反比例函数与一次函数图象交点横坐标为两根的一元二次方程_________； (3)若点为轴上一点，的面积为10，直接写出点的坐标． 【答案】(1)y，y＝x＋1； (2)或； (3)P的坐标是或 【分析】（1）根据反比例函数的图象经过，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，进而求得的坐标，根据、点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据、的坐标，结合图象即可求得； （3）对于一次函数，令，求出点C的坐标，设，表示出的长，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴，即 ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得，不等式的解集为或． 以，2为根的一元二次方程可以为，即． （3）解：对于一次函数，令，则，解得， ∴， ∵点为轴上一点， ∴设，则， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标是或． 24．（2026·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，过两点的直线与轴， 轴分别交于点，双曲线与该直线交于两点． (1)求直线和双曲线的函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将 代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得， ， 点P坐标为． ▌知识点07：反比例函数与实际问题综合 常见模型： 1. 面积固定：长与宽成反比； 2. 体积固定：底面积与高成反比； 3. 行程问题：路程固定时速度与时间成反比； 4. 物理背景：压力一定压强与面积成反比，电压一定电流与电阻成反比。 解题关键：从实际情境中抽象出xy＝k的等量关系，确定k值，并注明自变量x＞0的实际限制。 25．（25-26八年级下·福建漳州·期末）某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】解：由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴， ∴当时，，故C错误； 当时，， ∵当时，h随的增大而减小， ∴当时，，故B正确； 由图象得，当时，，故D错误． 26．（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知该物体原受力面积为，压力是定值， 由压强公式可得，原压强为， 受力面积增加， 变化后的受力面积为，变化后的压强为， 由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ， 可得方程． 27．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； (2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【答案】(1)反比例函数，； (2)解：将代入中，得， 解得． ∵， ∴y不可能等于2． 【分析】（1）根据表格数据可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：观察表格数据可得：，即为定值， 因此y与x之间是反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）略． 28．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟． (1)以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围； (2)若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作轴于点A，轴于点B，求四边形的面积． 【答案】(1)函数解析式为，自变量的取值范围是； (2)四边形的面积为． 【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系推导函数解析式，再结合给定的时间范围得到自变量的取值范围； （2）利用矩形面积公式结合反比例函数的性质即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：千米米， 根据路程公式：路程速度时间，可得， 整理得函数解析式为， 由题意可知， 当时，， 当时，， ∵反比例函数在时，随增大而减小， ∴的取值范围是； （2）解：设点的坐标为， 由轴，轴，可得四边形是矩形， 矩形面积， ∵点在函数的图象上， ∴， 即四边形的面积为． ▌知识点08：数据表格与图象建模型综合 1. 由表格数据判断反比例关系：计算各组x与y的乘积，若乘积为非零定值则成立； 2. 由图象特征（两支曲线、逐渐靠近坐标轴）判断反比例函数模型； 3. 选取可靠数据点求k，建立解析式； 4. 利用解析式进行预测或补全数据，注意预测值应在合理范围内。 29．（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 30．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： (1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； (2)当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 【答案】(1) 如图所示： (2)当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是，随着弹簧秤与O点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将不断增大． 【分析】（1）根据表格数值描点、连线即可画出图形 ，根据图象特点判断出y与x之间的函数关系，最后利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）所得函数解析式即可求出x，根据函数的性质即可判断弹簧秤示数的变化情况； 【详解】（1）图略 由函数图象可得，y是x的反比例函数，设，把代入得， ， 解得， ∴； （2）解∶把代入，得， 解得， 即当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是， ∵，在第一象限内，y的值随着x的值的增大而减小， ∴随着弹簧秤与O点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将不断增大． 31．（2026·吉林松原·模拟预测）项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 【答案】(1)减小，反比例函数； (2)这个空牛奶盒的质量为； (3)右边托盘应向左边移动 【分析】（1）根据表格数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小，根据，猜想：l与m满足怎样的函数关系：反比例函数； （2）先设l关于m的函数解析式为，运用待定系数法，求出反比例函数的解析式为，再设空牛奶盒的质量为，根据题意得：，解方程，从而求出这个空牛奶盒的质量； （3）含水的牛奶盒质量为，牛奶盒与砝码的位置互换后，要使天平左边与右边平衡，则有，求出l，并根据任务二，求出右边托盘应向左边移动． 【详解】（1）解：任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小， ∵， ∴依此猜想：l与m满足：反比例函数； （2）解：设l关于m的函数解析式为， 则，将代入， 得：， 即l关于m的函数解析式为， 设空牛奶盒的质量为， 根据题意得：， 解得：， 答：这个空牛奶盒的质量为． （3）解：由任务二得，含水的牛奶盒总质量为， ∵将含水的牛奶盒与砝码的位置互换， ∴要使天平左边与右边平衡，可列式为：， 解得：， ∵， ∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动． 32．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）小华用“描点法”绘制一个正比例函数图像和一个反比例函数图像，他列表取值的部分数据如表1和表2． 表1： 表2： x … a 1 2 … x … a 1 2 … … 2 1 … … b 2 4 … (1)请判断表1和表2分别对应哪种函数，并分别写出它们的函数表达式； (2)求表格中a、b的值； (3)在平面直角坐标系中，画出这两个函数的大致图像，并结合这两个函数的图像，直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)表1对应反比例函数，；表2对应正比例函数， (2)， (3)，自变量x的取值范围为或． 【分析】（1）根据表格中的自变量和函数值进行判断即可； （2）根据所求函数解析式进行解答即可； （3）根据表格画出函数图象，根据函数图象的位置和交点坐标写出自变量x的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据表1可知，， ∴表1对应反比例函数，即， 根据表2可知，，即， ∴表2对应正比例函数，即， （2）解：由题意可得， ， 解得， 由题意可得， （3）根据表格画出函数图象，根据图象可知，自变量x的取值范围为或． ▌知识点09：双曲线对称性、几何面积与坐标的综合压轴 双曲线关于直线y＝x、y＝−x轴对称，关于坐标原点中心对称。 若点(a,b)在图象上，则(−a,−b)、(b,a)、(−b,−a)均在图象上。 综合题中常结合k的几何意义，求多边形面积或点的坐标，解题时可将面积转化为∣k∣的表达式列方程求解。 33．（2026·山东临沂·二模）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 【答案】2 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，即可解答． 【详解】解：设点的坐标为，其中 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为 轴，轴 点的坐标为，点的坐标为 的长度为 点在线段上，且 点的横坐标为 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同 点的坐标为 整理得： 解得． 34．（2026·黑龙江大庆·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点与的“曼哈顿距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“曼哈顿距离”为：． 根据以上定义，下列说法正确的序号为______． ①点，点，则； ②点，其中，，且，则满足条件的所有点组成的图形长度为； ③点是函数图象上的一个动点，则满足的点有个； ④点，且，若二次函数图象与满足条件的所有点组成的图形有交点，则的取值范围是． 【答案】 ①②④ 【分析】根据曼哈顿距离定义，逐个判断四个说法的正误即可． 【详解】解：①代入定义计算：，故①正确； ②由定义得，其中，， ∴满足条件的点组成的图形为以和为端点的线段， ∴线段长度为，故②正确； ③点在上， ∴， 由得，代入得：， 整理得， 即， 解得， ∴有个不同解，，，，， 即满足条件的点有个，故③错误； ④由得， ∴满足条件的点组成的图形为以，，，为顶点的正方形四条边， 整理二次函数得， 分四条边计算范围： 当，时，，代入得， ∴当时，取得最大值；当时，取得最小值， ∴； 当，时，，代入得， ∴当时，取得最大值；当时，取得最小值， ∴； 当，时，，代入得， ∴当时，取得最大值；当时，取得最小值， ∴； 当，时，，代入得， ∴当时，取得最大值；当时，取得最小值， ∴； 综上，，故④正确； 综上，正确的序号是①②④． 35．（2026·福建福州·模拟预测）用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点和，为能看到在和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数________． 【答案】4 【分析】当和时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，分别计算的值，再根据题意分析，即可得到答案． 【详解】解：当时，得 ∴ ∵ ∴是的解 ∴与的交点坐标为： ∵（1）视窗可视范围就由及，且 ∴ 根据题意，得为正整数 ∴ ∴ 同理，当时，得 ∴ ∴ ∴ ∵要能看到在A和之间的一整段图象 ∴ 36．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，函数图像平移，得到函数中的值，再根据已知条件，得出点坐标，将点坐标代入反比例函数内，即可得到函数解析式． （2）根据为的中位线，得出，继而得出，两点坐标，通过，两点横坐标绝对值的差，即可得到的长度． 【详解】（1）解：由题意知，图像是由的图象向上平移1个单位得到， 得与为同一函数， ，， 一次函数为， 其交轴于点，则 ， 过点作轴于点，， 则的横坐标为， 在上，代入得， ， 点坐标为， 点B在反比例函数上， 将点B坐标代入得 ，， 则反比例函数表达式为 （2）解：过点作轴于点，为的中位线，， ，， 轴，， 点的横坐标为， 又点在一次函数上，代入得 ，， 点的坐标为 又为水平线， 为与的交点， 将代入得 ，， 点的坐标为 ． ▌知识点10：含参数的反比例函数讨论 若解析式含有参数（如），且说明是反比例函数，则需满足两个条件： 1. 自变量指数为−1（即m2−2＝−1）且比例系数不为0（即m−1≠0），联立解得m的值。 2. 若题目仅说“函数可能是反比例函数”，则需分类讨论参数满足的条件，并注意检验k＝0。 37．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 【答案】 9 【分析】连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 38．（25-26八年级下·山东济南·期末）若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 39．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）对于任意实数、，我们定义：，如，．如果关于的函数的图像记为，当时，直线与图像有两个公共点，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据新定义，先求出与在时的交点，再分区间得到的分段解析式，结合分段函数的图象，判断直线有两个交点时的取值范围. 【详解】解：当时，令， 方程两边同乘得， 因式分解得， 解得或， 因为，所以取，此时对应函数值， 函数，，当时的图象如下： ∴交点坐标为， 当时，由， 结合图象可得， 因此当时， ∴， ∵，随增大而增大，此时， 当时，同理可得， ∴， ∴当时，，随增大而减小，此时， 若直线与图像有两个公共点，则与两段分段函数各有一个交点，因此. 40．（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． ▌全章训练 一、选择题 1．（2026·云南昆明·一模）若点在反比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：将点代入函数得：． 2．（2026·江苏宿迁·一模）已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像上点的坐标特征得，，，结合已知等式逐步推导，即可求出的值． 【详解】解：∵点，在图像上， ∴，， ∵点在图像上， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵点、， ∴的中点坐标为：， 反比例函数的图象经过的中点，可得， ． 4．（25-26八年级下·河南周口·期末）点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先判断的符号，再确定两个点所在象限，结合函数增减性即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴，即， ∴点和都在第二象限， 又∵， ∴． 5．（25-26八年级下·河南周口·期末）已知点在第二象限，则反比例函数的图象所在象限是（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 【答案】A 【分析】先根据第二象限点的坐标特征列出不等式组，求出的取值范围，再结合反比例函数的定义和性质，判断的符号，进而确定反比例函数图象所在象限． 【详解】解：∵第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于，点在第二象限， ∴，且 解得，，且， ∴， ∵是反比例函数，， ∴，反比例函数的图象位于第一、三象限． 6．（2026·山西阳泉·三模）小王在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的水平距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 … 100 125 200 … 镜片与光斑的水平距离 … 1 0.8 0.5 … 若按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的水平距离为，则这副老花镜的度数为（     ） A．75度 B．150度 C．250度 D．275度 【答案】C 【分析】根据表格数据找出老花镜度数和镜片与光斑距离的关系，计算可得二者乘积为定值，成反比例关系，代入计算即可得到度数． 【详解】由表格已知数据计算得： ∵ ，，， ∴ 可得与满足关系， 当时，代入得， ∴ 这副老花镜的度数为250度． 7．（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知是反比例函数图象上一点，点的坐标为是轴正半轴上一点，且，那么四边形的面积为（     ） A．16 B．20 C．24 D．28 【答案】B 【分析】作轴于点M，轴于点N，则，证明四边形是矩形，可得出，在上取点C，使得，过点C作于点D，则，连接，，从而得到，得到，根据得到，从而，根据得到，因此，从而，根据点P在反比例函数图象上一点求得，从而得到，，从而根据求解即可． 【详解】解：如图，作轴于点M，轴于点N，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 在上取点C，使得，过点C作于点D，则，连接，， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∴（负根不合题意，舍去）， ∴，，， ∵点B的坐标为， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 8．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据待定系数法得到，过点作轴于点，通过证明，得到，过点作轴于点，同理可证，继而得到，从而根据待定系数法得到． 【详解】解：将点代入反比例函数表达式， ，故①正确； 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得，故②，③正确； ，，，， 如图，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， ， 将点代入反比例函数表达式， ，故④正确． 二、填空题 9．（25-26八年级下·上海金山·期末）已知反比例函数，当时，那么的值为________． 【答案】 【分析】将已知代入反比例函数解析式，计算即可得到的值 【详解】解：将代入，得 10．（2026·湖南·三模）若点在的图象上，则______． 【答案】 【分析】将点代入解析式变形即可得到的值． 【详解】点在的图象上， 将代入函数解析式得，得． 11．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】分别把点和点的坐标代入反比例函数的解析式，求出和的值，进而代入计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， ． 12．（2026·山东威海·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：将代入反比例函数的解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式得， ∴， ∴， ∵直线与双曲线交于点和点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或． 13．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 【答案】 【分析】设，根据为的中点，得到，则，再根据的面积为，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵为的中点， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 14．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于 的函数图象如图所示．则反比例函数的解析式为__________． 【答案】 【详解】解：设关于的函数解析式为， 由图象可把点代入得：， ∴关于的函数解析式为． 15．（2026·湖北武汉·二模）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质，得到反比例函数的比例系数大于0，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：对于反比例函数，当且时，随的增大而减小． 由题意得反比例函数的比例系数，因此可得不等式 移项得 系数化为得 任取一个满足条件的即可，例如． 16．（2026·山东枣庄·三模）如图，已知，，,…，是x轴正半轴上的点，且，分别过点，，,…，作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，作于点，作于点，…，依次连接，，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为．则＝ ______________________ ． 【答案】 【分析】根据已知条件求出各点坐标，进而得到相关线段长度，再利用三角形面积公式求出每个三角形的面积，最后通过裂项相消法求出面积之和． 【详解】解：， ∴点，，,…，的坐标分别为， ，，…，， 又∵点，，，…，，在反比例函数的图象上， ∴点，，，…，，的坐标分别为， ，，…，，， ， ，，，…，， ， 即， 整理得：． 【点睛】通过各点坐标求出相关线段长度是解题的关键． 三、解答题 17．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某垃圾清运公司承担了约的建筑垃圾的运送工作． (1)求每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式； (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过，至少需要多长时间完成运送工作？ 【答案】(1) (2)至少需要完成运送工作 【分析】（1）由每小时运送的垃圾质量和总量列出函数关系即可； （2）结合（1）的解析式结合函数性质解答. 【详解】（1）解：由题意可得：每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式为：； （2）解：令，则， 解得， 根据反比例函数的性质，当时， 随 的增大而减小， 因此平均每小时共运送垃圾不超过时，至少需要完成运送工作. 18．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，直线与双曲线相交于，两点． (1)分别求直线和双曲线对应的函数解析式； (2)直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）运用待定系数法，先求出的函数解析式，再求出点坐标，再利用A，B点坐标，代入，即可求出的函数解析式； （2）观察两个函数的图像，即可得到时，的取值范围． 【详解】（1）解：将点A坐标代入，得 解得， ， 过点B， 将点B坐标代入，得， 点B坐标为， 过点A，点B， 将点A，点B坐标，代入，联立得二元一次方程组 解得 ． （2）解：由（1）作出，的图象，如下 观察图像可知，当或时，． 19．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图象如图所示： y与x之间的函数关系为 (2)托盘与点的距离是 (3)在移动前托盘B中的砝码质量为 【分析】（1）根据表格描点、连线即可，然后根据图象求函数表达式即可； （2）利用（1）函数表达式直接求解即可； （3）根据函数表达式求解即可，需要注意托盘运动前后仪器始终平衡． 【详解】（1）解：画图略； 观察图象可知，函数可能是反比例函数，设， 把的坐标代入，得， ∴， 经检验，其余各个点的坐标均满足 ∴该函数表达式为； （2）解：由（1）可知函数表达式为 ∴当时，代入函数表达式得， 解得， ∴托盘与点的距离是； （3）解：设移动前托盘中的砝码质量为，托盘与点的距离为， 由题意，得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 20．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是_；②与的数量关系是_； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 【答案】(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为： 直线的解析式为：，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴. （2）略 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十七章反比例函数全章综合训练 课时目标 系统梳理反比例函数的概念、图象与性质，形成完整的知识网络，能准确辨析函数形 式、飞的符号与图象特征之间的内在联系。 2. 熟练掌握待定系数法求解析式、k的几何意义及函数值大小比较，能综合运用数形结 合思想解决与一次函数、几何面积相关的综合问题。 3. 能根据实际情境或数据表格建立反比例函数模型，解决简单的实际问题和读图问题， 并能应对含参数讨论与坐标几何的压轴题型，提升数学建模与逻辑推理能力。 课时目录 知识点01：反比例函数概念与形式识别的综合辨析 知识点02：k的符号与图象象限、性质的综合判断 知识点03：比较函数值大小的综合 知识点04：k的几何意义与面积计算综合 知识点O5:待定系数法求解析式 1/25 知识点06：反比例函数与一次/二次函数图象综合 知识点07：反比例函数与实际问题综合 知识点08：数据表格与图象建模型综合 知识点09：双曲线对称性、几何面积与坐标的综合压轴 知识点10：含参数的反比例函数讨论 知识点01：反比例函数概念与形式识别的综合辨析 综合辨析需关注： 定义三要素：函数表达式是分式形式、分母只包含自变量x(次数为1)、比例系数k≠0： k y= 三种表示形式》x、y=k、y=的等价互化； 1 3 y= P= 易错点：如x+1不是反比例函数（分母不是单纯的x),y=2x是正比例函数， 自变量次数不是-1。 若解析式含参数且明确为反比例函数，需满足x的次数为-1且系数不为0。 1.(25-26八年级下·上海·期末)下列函数图像是双曲线的是() 1 1 A.y=5x B.y=5 C.y=5x D.y= 5x 2.(25-26九年级下·云南曲靖期中)下列函数中，y是x的反比例函数的是() A.y=2x B.y=x2 C.y=1 D.y 3.(25-26九年级上·河北衡水期末)下列函数中，y是x的反比例函数的是() 2026 A.y=2026x B.y= C.y=2026 x2 D.y=2026 x+3 4.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨期中)下列四个关系式中，y是x的反比例函数的是() 6 8 A.y- B.少3 y= x C.y=5x+7 D.x 2/25 知识点02：k的符号与图像象限性质的综会判断 k的符号决定图象位置与增减性： k>0时，双曲线两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小； k<0时，两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大。 图象两支关于原点对称，与坐标轴无交点。 越大，双曲线离原点越远。 k>0 5.(25-26八年级下江苏泰州期末)已知反比例函数少=的图象经过点(-2,3)，则下列说法正确的是 () A.图象经过第一、三象限 B.图象经过点（行12） C.图象关于y轴对称 D.'随x的增大而增大 6.(25-26八年级下上海徐汇期未)关于反比别函数，下列说法错误的是() A.y随着x的增大而减少 B.图像与坐标轴没有交点 C.图像经过第一、三象限 D.图像是双曲线 12 7,(2026广西柳州：二模)对于反比例函数y=:,下列说法正确的是() 3,-4) A.图象经过点 B.图象位于第二、四象限 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.当x>0时，y随x的增大而增大 &.(25.26九年级上河北那郸期未)反比制函数y(x<0)的图象如图所示，随若值的培大，y值 (). 3/25 A.减小 B.增大 C.不变 D.先增大后减小 知识点03：比较函数值大小的综合 比较函数值大小时必须遵循“先分象限，再比大小”的原则： 若两点在同一象限（同一支），直接根据k的符号利用增减性判断： 若两点分属不同象限，则正数恒大于负数(k>0时第一象限点为正，第三象限点为负：k <0时第二象限点为正，第四象限点为负)。 严禁跨支使用增减性。 R>0 ，(2526九年级上r东茂名期未)若点41小B2,CB,)在反比例西数=的图象上， 则”，片，乃的大小关系是() A.片<乃<乃 B.乃<y<⅓ C片<乃<乃 D.片<h<乃 10.(2526八年级下河南月口期末)已知反比例函数&<0点4-，B2)在图象上，则 八、大小关系为(） A.当>马 B.y<为 C.片=乃 D.无法确定 -2 11.(25-26八年级下·北京期末)已知点A(x,y),B(x+2)在反比例函数y=x的图象上.若y>, 4/25 则点A的坐标可以是 (写出一种可能的情况即可). 12。(25:26八年级下江苏泰州期末)如图。一次函数片=+b的图像与反比例函数片- x（x>0)的 图像交于1)，B(2”川两点，与轴交于点C (1)求一次函数与反比例函数的表达式： 2≤y2≤6 (2)若 ,求x的取值范围. 知识点04：的几，何意义与面积计算综合 过双曲线上任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线，以两垂足和原点为顶点的矩形面积恒为 1 |；以该点和垂足、原点构成的直角三角形面积恒为2I。 该结论与点的位置无关，常用于直接求面积或己知面积求k。 注意面积取绝对值，而k本身有正负。 13.(25-26九年级下·福建阶段检测)如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴的负半轴上，顶点 B,C,D都在反比例函数y=x的图象上，且边BC经过原点O:则平行四边形ABCD的面积为（） 5/25 A.8 B.10 C.12 D.16 14.(25-26九年级上内蒙古鸟兰察布期未)如图，反比例函数y（x>0)的图象经过长方形04BC的 顶点B,OC,OA分别在x轴上与y轴上，则长方形OABC的面积为 B 6 15.(2026陕西西安一模)如图，正比例函数与反比例函数y=x的图象交于4，B两点，点C在x轴上， 且AC=OA,则△ABC的面积为一· 2526九年级上山西运城阶段检如图，反比函数y=的图象经过O0的点A,边 SAOBD= 交y轴于点C,且C为BD的中点，则 D 6/25 知识点05：待定系数法求解析式 y=(k≠0) 若已知反比例函数图象上一个点的坐标oo),直接代入’x 求得k=oyo,进而得 到解析式。 若己知双曲线经过某点，只需一个点即可确定解析式，比一次函数更为简便。 17.(2026宁夏中考真题)如图，在平面直角坐标系xO中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴的负 半轴与)轴的正半轴上，对角线4C与0相交于点D反比例函数)-（：+0)的图象经过0，并交 B于点E.已知B(-4,2),则BDE的面积是() B A. B.2 C.2 D.3 18.(26-27九年级上全国课后作业)反比例函数y=元的图象经过点A(4,1),当y<4时，x的取值范围 是 19.(2026山东东音中考真运)如图，。直线y=mxm≠0)与双商线y=0)交于A?B两点，其中点 A的坐标为2,6).C为双曲线上的一点，横坐标为3，CDV轴，交直线4B于点D,连接OC, BC 7/25 (1)求直线和双曲线的表达式： 2)求△BCD与△OBC的面积比： 3)根据图象，直接写出关于x的不等式x<mx的解集。 1:y=2x+4 20.(25-26八年级下·云南临沧期末)如图，在平面直角坐标系中，直线 ,与y轴交于点A, 与x轴交于点B,反比例函数为=元与直线I交于点C,且AB=2AC: B (1)求反比例函数的解析式： 0<y<y2 (2)根据函数图象，直接写出 的x的取值范围. 知识点06：反比例函数与一次/二次函数图象综合 y=二(k≠0) 在同一坐标系中判断x )与y=mx+n或y=ax2+br+c的图象共存问题： 先看双曲线所在象限确定k的符号： 再根据k的符号验证直线或抛物线的位置是否自洽（如k>0时双曲线在一、三象限，直线 8/25 可能经过一、三象限或二、四象限等)： 交点问题即对应方程组的解，可通过图象直观读取交点个数或大致位置。 k 21.(25-26九年级上安徽期末)已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数 y=a(x-k(a≠0)的图象可能是（) 业小 a 2.(25-26九年级上·安微合肥：期中)若a≠0，函数y=元与y=-ar2+2a在同一平面直角坐标系中的大 致图象可能是() 23 (2526九年级下山东烟台期未)如图。一次唇数y=:+b的图象与反比侧西数y=的图象交丁点 A(-3,n)B(2,3) 9/25 B (1)求反比例函数与一次函数的函数表达式： ②请结合图象直接写出不等式红+b≥的解尖为 直接写出以反比例函数与一次函数图象 交点横坐标为两根的一元二次方程 (3)若点P为x轴上一点，△ABP的面积为10，直接写出点P的坐标. 24.(2026河南周口模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，4B两点的坐标分别是 3,-40.(m,3),过 AB两点的直线y=ac+ba≠0)与x轴，y轴分别交于点C.D,双曲线y=(低*0)与t该直线交于 A.B 两点 (I)求直线和双曲线的函数的表达式： ②)根据图象直接写出不等式x+h<的解集： (③)在第三象限的反比例函数图象上有一点P,满足 Socm=4Sao0,求点P的坐标. 知识点07：反比例函数与实际问题综合 常见模型： 面积固定：长与宽成反比； 10125 体积固定：底面积与高成反比： 行程问题：路程固定时速度与时间成反比： 物理背景：压力一定压强与面积成反比，电压一定电流与电阻成反比。 解题关键：从实际情境中抽象出xy=k的等量关系，确定k值，并注明自变量x>O的实际 限制。 25. (25-26八年级下·福建漳州期末)某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行 测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度h(c)是液体的密度P( 的反比例函数，其图象如图所示(P>0) g/cm3 ),下列说法正确的是() 10 Ol 1 A.当p≥1时，h≥10 B.当0<p≤12.5时，h≥0.8 C.当P=2时，h=20 D.当0<p≤1时，h≤10 F 26.(2026四川广元中考真题)根据压强公式P=S,当压力F(单位：N)一定时，压强p(单位： P)与受力面积S(单位：m)成反比例关系.若某物体受力面积增加 .3m2 ,则受到的压强比原来 减少60Pa .设该物体原受力面积为 m,压力F为定值，下列方程正确的是《) FF =60B. FF FF A.x-0.3x x-0.3-60 C.x+0.3 x =60 D xx+0.3=60 27.(25-26八年级下·山东东营·期末)如图，利用秤杆研究杠杆原理.用细绳绑在秤杆上的点O处并将其 吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A(OA最长为80厘米)， 在点A处用一个弹簧秤向下拉.当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y(单位：N)与OA 的长度x(单位：厘米)的五组对应值如表所示. 10 20 30 40 50 11/25 24 P 6 4.8 秤杆 A 秤钩 王 ○物体 (I)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式： ②)嘉嘉在做实验时记录一个数据为y=2,淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由. 28.(25-26八年级下·重庆忠县期末)李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为 x(单位：米分钟)，时间为y(单位：分钟)，最快需要30分钟，最慢需要50分钟. (I)以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围： (②)若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作PA⊥x轴于点A,PB1y轴于点B,求四边形OAPB的 面积. 知识点08：数据表格与图象建模型综合 由表格数据判断反比例关系：计算各组x与y的乘积，若乘积为非零定值则成立； 由图象特征（两支曲线、逐渐靠近坐标轴）判断反比例函数模型： 选取可靠数据点求k,建立解析式： 利用解析式进行预测或补全数据，注意预测值应在合理范围内。 29 ,(2026江苏扬州中考真题)“道路千万条，安全第一条”.为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速 度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试. 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度v 40 45 55 70 80 100 (km/h) 视野角度∫ 100 89 73 57 50 40 (度) (I)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点， 12125 1006098060032 102030405060708090100110立 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f(度)与行车速度y(km/h)之间关系的函 数表达式 【问题解决】 (③)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范 围？ 30.(2026·贵州遵义·模拟预测)如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用 细绳绑在木杆的中点O处，并将其吊起.在中点O左侧固定位置B处悬挂重物A,在中点O右侧用一 个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点0的距离(m）, 重复上述步骤，观察弹簧秤的示 数W 的变化情况.实验数据记录如下： 2 4 6 8 10 12 y 12 6 3 2.4 2 13/25 AY/N 12 10 8 6 4 24681012x1cm 图1 图2 ()把表中x,y的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平 滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出(N)与x(m） 之间的函数关系式： (2)当弹簧秤的示数为5时，弹簧秤与O点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与O点 的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 31.(2026吉林松原模拟预测)项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太 重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量， 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且 托盘上放置了一个100g的砝码，右侧托盘可以在BC段滑动，己知AC=15cm,BC=50cm,通过往 牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据， 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量（牛奶+水g) 120 60 50 40 150 CD的距离lIcm 12.5 25 30 37.5 10 问题解决 (I)任务一：根据表中数据可知，CD的长度随着总质量的增大而 ,并依此猜想：1与m满 足怎样的函数关系： 一（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）： 14125 (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了65g的水，移动托盘使天平保持平衡，此时CD=20cm,求这 个空牛奶盒的质量： 3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含65g水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天 平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动. 32.(25-26八年级下·上海奉贤期末)小华用“描点法”绘制一个正比例函数图像和一个反比例函数图像， 他列表取值的部分数据如表1和表2. 表 表 1: 2: … a 2 a y -2 2 y2 b (1)请判断表1和表2分别对应哪种函数，并分别写出它们的函数表达式； (2)求表格中a、b的值； )在平面直角坐标系中，画出这两个函数的大致图像，并结合这两个函数的图像，直接写出当”<为 时，自变量x的取值范围. A 5 4 3 2 -5-4-3-2-10 1 23 4 2 3 知识点09：双曲线对称性几何面积与坐标的综合压轴 1 双曲线x关于直线y=x、y=-x轴对称，关于坐标原点中心对称。 15/25 若点(a,b)在图象上，则(a,-b)、b,、（-b,-d均在图象上。 综合题中常结合k的几何意义，求多边形面积或点的坐标，解题时可将面积转化为【的 表达式列方程求解。 33. （206山东省折二模)如图，反比例函数为-(c<0)，为<0)的图象在平f直角丝标系 中，点6为=生：<0的图象上一点。过点分别响x抽y轴作垂线，美足分划为4C线 段BC放片-x<0的图象上一点D分成两部分，且BD:CD=l:2,连接AC,则e的值为 34。(2026黑龙江大庆中考真题)定义：在平面直角坐标系中，0为坐标原点，任意两点P(:,少）与 ,%的“显哈顿距离”为：aP)-k-+为.例：若 点M-1,3),点4，则点 M与点N的“曼哈颜距离”为：(M,)-1-4+3-=5+2=7 根据以上定义，下列说法正确的序号为一· 0点123)，点8-17），则d(B)=5, 3右C》,共之0，”20，且a(C03.测满足条件约所有有9组支的圈形长度为3万 ③点D(x,y)是函数图象上的一个动点，则满足d(D,O)=4的点D有2个： ®点E且d〔E0)3.老一次两数y-2x+m+3图象与满足条什的所有点E组成的图 1 形有交点，则m的取值范围是-45≤m≤4」 60 35.(2026福建福州~模拟预测)用绘图软件绘制双曲线m:y=x与动直线1：y=a,且交于一点，图 16125 1为α=8时的视窗情形.视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中 1 心.例如，为在视窗中看到(1)中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的2，其可视范 围就由-15≤x≤15及-l10≤y≤10变成了-30≤x≤30及-20≤y≤20（如图2），当a=-1.2和a=-1.5时，1 与m的交点分别是点A和B,为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长 1 度至少变为原来的，则整数k= 1 10 20 5 10 30-20-10 15-10-50 51015 102030 m m -10 -10 4-20 图1 图2 36.(2026甘肃兰州中考真题)如图，一次函数y=-x+b的图象是由y=r的图象向上平移1个单位得 到，交反比例函数少= （x<0)的图象于点B'交y轴于点A·E为y轴上一点，DE分别交一次 函数y=-x+b、反比例函数y=的图象于点D'F,过点B作BC⊥y轴于点C,BC为。4DE的中 位线，BC=1 B 1)求反比例函数y=x的表达式： (2)求线段DF的长. 17125 知识点10：含参数的反比例函数讨论 若解析式含有参数（如y=(m-)一），且说明是反比例函数，则需满足两个条件： 自变量指数为-1（即m2-2=-1)且比例系数不为0（即1≠0），联立解得m的值。 若题目仅说“函数可能是反比例函数”，则需分类讨论参数满足的条件，并注意检验k口= 0。 4 37.(25:26九年级上江西景德镇期末)如图所示，点4是反比例函数y=（x>0)图象上的任意一点， A8x转交反比制压数y=r<0)的图家于点g·以B为边作。ACD点CD在，黄上，则 ABCD的面积为— 38。(25-26八年级下山东济南期末)若函数y=(k+3) 是反比例函数，则k的值为 [a,a≥b max {a,b= 39.(25-26八年级下·上海嘉定期末)对于任意实数a、b,我们定义： b,a<b,如 max{-3,-5=-5.max{3,5}=5.如果关于x的函数 x的图像记为Q,当x>0时， 直线y=m与图像Q有两个公共点，那么m的取值范围是 40.(25-26八年级下山东济南期末)直线y=-x+b与双曲线y=x（x<0)交于点A(-1,6),与x轴交 于点B,点C是线段AB上一点. 18125 D 0 备用图 1)求k,b的值： ②如图，过点C作y轴的垂线1,1与y= =x（x<0)的图象交于点D,当线段CD=10时，求点D的 坐标： 3)双曲线y= x（x<0）上是否存在点B,使得△COE是以OC为直角边的等腰直角三角形，若存在， 求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 几全章训练 一、选择题 6 1(2026云南昆明一模)若点43，m)在反比例函数y=的图象上，则m=（） A.-6 B.-3 C.-2 D.2 2026江苏宿迁一模)已知AK,小B,购、C6,)巨点，点小C在反比例函数P2图 上，点B在反比例函数=图像上，若x+为=1，x+为=1，则x+=() A.-1 B.0 C.1 D.2 3.(25-26八年级下吉林长春期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点4(-2，)、B(3,3),若反比例函 数 =x（k≠0）的图象经过AB的中点，则k的值为() 19125 A.1 B.-2 C.3 D.-4 6 4.(25-26八年级下河南周口期末)点M(a,y),N(a+2,2)在反比例函数y=-x图象上，且a<-2,则 y1,y2 大小关系为() A.乃>与 B.少<h C.片=为 D.无法确定 5.(25-26八年级下河南周口期末)已知点P(m-2,2m-1)在第二象限，则反比例函数y=x的图象所在 象限是() A.一、三 B.二、四 C.一、二 D.三、四 6.(2026山西阳泉·三模)小王在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，上下移动镜 片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的水平距离，得到如下数据： 20 老花镜的度数x度 。 100 125 0 镜片与光斑的水平距离 0.8 0.5 y/m 若按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的水平距离为0.4m，则这副老花镜的度数为() A.75度 B.150度 C.250度 D.275度 ,(2526人年级下吉林长春别术)已知p是反比例西数-：>0图家上一点，点6的坠标为 (低，0)，A是'轴正半轴上一点，且4P1BPP:BP-1:3,那么四边形40BP的面积为() 20125 B A.16 B.20 C.24 D.28 8.(25-26九年级下山东烟台期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别为 似0)(Q.顶点C在反比别面数y-年(x之0)上，膜点D在反比制面数y=年 =x(x>0)上.当 D点坐标为4时，下列说法：①品=4：②m=1,®”=3：@女=12 .其中正确结论有()· VA A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 9.(25-26八年级下上海金山期末)已知反比例函数=，当=2时，那么y的值为 10.(2026湖南三模)若点(x,y)在y=x的图象上，则y=一 3 11.(25-26九年级下陕西咸阳期中)己知点A(m,6)、B(4,n)均在反比例函数'=x的图象上，则m+n 的值为 12.(2026山东城海模拟预测》如图，直线y=m+n与双曲线套（：≠0)交于点4-24和点Ba,-2)。 则不等式mx+n<的解集是 21125 B 13.(25-26八年级下重庆期末)如图，RtAOAB中，∠OBA=90°，点B在x轴正半轴上，A0、AB分 别与反比例函数yk>0x>0)的图象相交于点C、D,且C为40的中点，过点C作r轴的垂线。 x 垂足为E,连接DE.若△BDE的面积为3，则k的值为 E B 14.(2026黑龙江哈尔滨·二模)在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压 后气体对汽缸壁所产生的压强P(kPa)与汽缸内气体的体积m)成反比例，P关于V的函数图象如 图所示.则反比例函数的解析式为， p(kPa) 100 15 100(mL) 15.2026湖北武汉·二模)武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升.经统计，光谷 某高新产业园的入驻企业年均产值y(单位：亿元)与园区投入的研发资金x(单位：千万元)近似 满足反比例函数关系少=2m-5 x·已知当x>0时，入驻企业年均产值y随研发资金的增大而减小，请 写出一个满足条件的m的值：一· 16.(2026山东枣庄三模)如图，已知，4,4，A是x轴正半轴上的点，且 5·9 22125 OA=AA2=AA=......=A4= 1,分别过点1,4.4，，A作x轴的垂线交反比例函数 y=（>0)的图象于点B,B,A,…,B,作A,R14B于点R,作BB上4，于点R,…,依 B B2 B2B △BRB2 S1△B2PB 次连接 ,…,记 的面积为 的面积为，，△品，B的面积为 S2025,则 +S2+S,++Sm25= B B2 B3✉ 三、解答题 17.(25-26八年级下江苏泰州期末)某垃圾清运公司承担了约3000t的建筑垃圾的运送工作. Q)求每小时运送的蚊圾质量关于完底任务所需的时间心)的函数表达贰 (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过2Ot,至少需要多长时间完成运送工作？ m 18.(25-26八年级下·吉林长春期中)如图，直线片=+b与双曲线为=x相交于A(1,2),B(3,”)两点. (I)分别求直线AB和双曲线对应的函数解析式： (2)直接写出当 <”时的取值范国。 19.(25-26八年级下·河南周口·期末)如图，在左边托盘A(固定)中放置一个重物，在右边托盘B(可 左右移动)中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘B与支撑点M的距离， 23125 记录相应的托盘B中的砝码质量，得到下表： 托盘B与点M的距离 x(cm) 10 15 20 25 30 托盘8中的砝码质量() 30 20 15 12 10 Ay(g) 35 30 20 15 0 5 05101520253035x(cm) )把上表中压) 的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用 一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写 出自变量的取值范围)； (2)当砝码质量为50g时，求托盘B与点M的距离； 3)当托盘B向左移动l0cm时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘B中的砝码 质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量. 20。(25-26八年级下江苏泰州期末)反比例函数y= x（m>0)和正比例函数为2=x（n>0)相交 于小B两点，点C在y-上，点AC均在第一象限，且点C在点A的左上方，直线4C、BC 与y轴分别交于点F、G. G 图1 图2 24125 (1)如图1，已知点A(3,),点C(1,3), 直接写出：①点B的坐标是；②CG与CF的数量关系是_： (2)若(1)中的条件点A坐标不变，随着点C的变化，判断(1)中的“CG与CF的数量关系”是否 仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； 3)如图2，直线AC、BC与x轴分别交于点E、D,经过探索发现：随着点A、C的变化，DE与 FG的乘积只与m的取值有关，请用只含m的代数式表示DE与FG的乘积. 25/25