29.2.1 垂直于弦的直径 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十九章 圆 29.2.1 垂直于弦的直径 ▌课时目标 1. 理解圆的轴对称性，能叙述垂径定理及其推论的条件与结论。 2. 掌握“连半径、作弦心距”的辅助线方法，会用勾股定理计算弦长、弦心距与半径。 3. 能运用垂径定理解决桥拱、管道等实际问题，并会对弦的位置进行分类讨论。 ▌课时目录 知识点01：圆的轴对称性 知识点02：垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） 知识点03：垂径定理的推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦） 知识点04：垂径定理中的常用辅助线（连半径、作弦心距） 知识点05：弦长、弦心距、半径与勾股定理的综合计算 知识点06：垂径定理在实际问题中的应用（桥拱、管道类） 知识点07：两弦在圆心同侧或异侧的分类讨论 ▌知识点01：圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 圆有无数条对称轴。 易错提醒：对称轴是直线，应说“直径所在的直线”，不能说“直径是圆的对称轴”。 1．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段检测）下列关于圆的说法中，正确的是（   ） A．半圆是圆中最长的弧 B．圆内接平行四边形一定是矩形 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．圆的直径是圆的对称轴 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的条件以及圆的有关性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．利用圆的有关定义以及性质分别判断即可． 【详解】解：半圆不是圆中最长的弧，故选项A错误； 圆内接平行四边形一定是矩形，故选项B正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项C错误； 圆的直径所在的直线是圆的对称轴，故选项D错误； 故选B． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．经过圆心的直线是圆的对称轴 D．三角形的外心到三角形三边距离相等 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质和三角形外心的性质，解题的关键是准确掌握确定圆的条件、垂径定理、圆的对称轴以及三角形外心的定义． 根据圆的相关性质和三角形外心的定义，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，若三点共线则无法确定一个圆，该选项错误； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，若弦是直径，平分直径的直径不一定垂直于该弦，该选项错误； C、圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，该选项正确； D、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等；而到三角形三边距离相等的是三角形的内心（角平分线的交点），该选项错误． 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）下列说法正确的有（   ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径一定垂直于这条弦 C．过圆心的线段是直径 D．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据直径的含义对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断． 【详解】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意； C、过圆心的弦是直径，所以此选项不符合题意； D、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以D选项正确． 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列语句中不正确的有（   ） ①长度相等的弧是等弧  ②垂直于弦的直径平分弦  ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆  ⑤半圆是圆中最长的弧 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的相关概念辨析，根据等弧的定义可判断①；根据垂径定理可判断②；根据对称轴的定义可判断③；根据确定圆的条件可判断④；根据优弧比半圆长可判断⑤． 【详解】解：①同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误； ②垂直于弦的直径平分弦，原说法正确； ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误； ④不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，原说法正确； ⑤半圆不是圆中最长的弧，原说法错误； ∴说法不正确的有3个， 故选：C． ▌知识点02：垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号表述：在⊙O中，若直径CD⊥弦AB于点E，则AE＝BE，＝，＝。 条件：直径（或过圆心的直线）且垂直于弦； 结论：平分弦、平分弦所对的优弧和劣弧。 5．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由垂径定理结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 是的直径，且， ， 由垂径定理可得，且， 在中，由勾股定理可得． 6．（26-27九年级上·江苏·期中）如图，是的直径，弦于点E，连接．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据垂径定理可以得到的长，在中，根据勾股定理求出，根据线段的和差即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 7．（26-27九年级上·吉林·阶段检测）如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】连接，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，最后根据即可求出． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵是的弦，半径， ∴， ∴， ∴． 8．（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵为的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴ ∴的半径， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． ▌知识点03：垂径定理的推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦） 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号表述：若直径CD平分弦AB于E（AB不是直径），则CD⊥AB，＝，＝。 易错提醒：“不是直径”不可省略，因为任意两条直径互相平分但不一定垂直。 9．（26-27九年级上·重庆·期中）如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 【答案】 5 【分析】连接并延长交于点，连接，设的半径为，在中，由勾股定理列式计算求得半径的长；在和中，利用垂径定理和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 设的半径为，则 ，， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得① ， 在中，由勾股定理得② ， 得 ， 解得， ∴， ∴． 10．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 【答案】2 【分析】连接，根据垂径定理推论可得，，勾股定理求出，即可得． 【详解】解：连接， ∵点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，弦的长为8， ∴，， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·陕西榆林·二模）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作．其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，、是的半径，点是的中点，连接，于点，“会圆术”给出劣弧的弧长的近似值计算公式：，当时，则的值为______． 【答案】 【分析】连接，根据垂径定理的推论，知，从而证明M，N，O共线，根据勾股定理求出，再求出，计算求出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴、N、M三点在同一直线上， ∵， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ． 12．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． ▌知识点04：垂径定理中的常用辅助线（连半径、作弦心距） 常用辅助线： 1. 连半径——得到半径与等腰三角形； 2. 过圆心作弦的垂线——得到弦心距。 弦心距：圆心到弦的距离。作弦心距后，弦被平分，构造出直角三角形。 在直角三角形中，半径为斜边，弦心距与弦的一半为两直角边。 13．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（     ） A．13 B．12 C．8 D．5 【答案】C 【分析】连接，根据圆的性质和勾股定理求出的长，则可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，是的弦，，垂足为， ∴， ∴， ∴． 14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 15．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，是的直径，是弦，沿对折劣弧，交于点D，E、F分别是和的中点，若，，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：连接、设点O关于的对称点为，则为对折后的的圆心，连接，，如图所示： ∵E、F分别是和的中点， ∴，，设垂足为点，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 16．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶（图1），它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图2所示． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中的圆的圆心： (2)已知图2中圆的半径为，液面宽的长为，求瓶内液体最大深度． 【答案】(1)如图，圆心即为求作的； (2) 【分析】（1）在圆上任取一点，连接，作的垂直平分线，的垂直平分线，两直线的交点即为圆心； （2）设直线交于，交优弧于，连接，根据勾股定理及垂径定理求得 的长进而可求最大深度． 【详解】（1）略 （2）解：设直线交于，交优弧于，连接， 由作图可知：直径所在直线，的长为， ，， 中，， ， ． 答：瓶内液体最大深度为． ▌知识点05：弦长、弦心距、半径与勾股定理的综合计算 基本关系：设半径为OB＝r，弦心距为OE＝d，弦长为AB＝a，则r²＝d²＋()²。 知二求一：已知其中两个量可求第三个量，如r＝5、d＝3，则半弦为4，弦长为8。 常与方程结合：设未知数，由勾股定理列方程求解。 17．（26-27九年级上·天津·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理求出，由勾股定理即可求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 【答案】13 【分析】利用垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 19．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理得出，根据等腰三角形的判定和性质得出，整理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点O作于点E，连接，如图所示： 则， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， 即的半径为． 20．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，圆的直径与弦相交于点，若，，，求的长． 【答案】 【分析】首先由，算出圆的直径，得到圆的半径，再算出．过圆心作于点，由，可知是等腰直角三角形，求出圆心到弦的距离，然后在中利用勾股定理求出半弦长，最后由垂径定理，平分弦，求出． 【详解】解：如图，过点作于点，连接． ， ， ， ． ，， 为等腰直角三角形， ， 由勾股定理，， ， 由勾股定理，在中，， ， ， 由垂径定理，， ． ▌知识点06：垂径定理在实际问题中的应用（桥拱、管道类） 桥拱问题：把桥拱看作圆弧，跨度为弦长，拱高为弓形高，设半径为r，由r²＝()²＋(r−拱高)² 列方程。 管道问题：水面宽为弦长，水深与半径、弦心距相关，同样构造直角三角形求解。 关键：画出截面图，标出圆心、弦、弦心距，转化为勾股定理问题。 21．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．8米 C．10米 D．20米 【答案】C 【分析】设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为10米． 22．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为______________． 【答案】20 【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 23．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为，求水面上涨了多少米． 【答案】(1)桥拱的半径为50米； (2)水面上涨的高度为10米． 【分析】（1）设圆的半径是r米，根据求解； （2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】（1）解：设圆的半径是r米， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； （2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 24．（26-27九年级上·甘肃·期中）甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 【答案】米 【分析】连接交于点，由题意得出，推出，由垂径定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：连接交于点， 点为水轮的最低点， ， ， 由题知，， ， ， 米． ▌知识点07：两弦在圆心同侧或异侧的分类讨论 求圆中两条平行弦之间的距离时，要分两种情形：两弦在圆心的同侧或异侧。 设弦心距分别为d₁、d₂：异侧时距离为d₁＋d₂；同侧时距离为|d₁−d₂|。 易错提醒：题目未给出图形时不要漏解，两种情形都要检验是否符合条件。 25．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 26．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 【答案】14或2 【分析】分弦与在圆心O的异侧和同侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当弦与在圆心O的异侧时，如图1所示， 过O作， ∵， ∴， 根据题意得：， 此时两平行弦间的距离； 当弦与在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得： ， 综上，两平行弦间的距离等于14或2． 27．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦心距转化为直角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的思想，当两条平行弦在圆内时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况． 28．（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．   ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 【详解】解：连接． 是的直径，， ． ， ． ，， ． 2．（2026·上海松江·二模）已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 【答案】A 【分析】根据垂径定理及其推论求解即可． 【详解】解：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，因此命题①是真命题； 对于命题②，当被平分的弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的弦不是直径”的条件，因此命题②是假命题， 综上，①是真命题，②是假命题． 3．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 4．（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 二、填空题 5．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 【答案】5 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 6．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在半径为的中，，弦于点，则等于_________． 【答案】5 【分析】根据垂径定理可知的长度，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，, 由垂径定理可知：， ∵, 由勾股定理可得：． 7．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为______． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，分两种情况：当两条平行弦在的同侧时和当两条平行弦在的异侧时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当两条平行弦在的同侧时，如图，过点作于点，交于，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 当两条平行弦在的异侧时，如图，过点作于点，于，连接， ∵，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴共线， ∴， 综上，这两条平行弦之间的距离为或， 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子半径为________米． 【答案】5 【分析】连接，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设该桨轮船的轮子半径为，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得． 故该桨轮船的轮子半径为． 三、解答题 9．（2026·山东临沂·二模）如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：过作于， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）根据，结合同圆半径相等，推导与的位置关系，确定为直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可； （2）过作于，利用垂径定理求出长，进而得到，证明，则，从而得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， ， ， ， 解得：， 即的半径为； （2）略． 10．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； (2)的半径为． 【分析】（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训川练 第二十九章圆 29.2.1垂直于弦的直径 课时目标 理解圆的轴对称性，能叙述垂径定理及其推论的条件与结论。 2. 掌握“连半径、作弦心距”的辅助线方法，会用勾股定理计算弦长、弦心距与半径。 3. 能运用垂径定理解决桥拱、管道等实际问题，并会对弦的位置进行分类讨论。 课时目录 知识点01：圆的轴对称性 知识点02：垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） 知识点03：垂径定理的推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦) 知识点04：垂径定理中的常用辅助线（连半径、作弦心距) 知识点05：弦长、弦心距、半径与勾股定理的综合计算 知识点06：垂径定理在实际问题中的应用（桥拱、管道类） 知识点07：两弦在圆心同侧或异侧的分类讨论 知识点01：圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 1/14 圆有无数条对称轴。 易错提醒：对称轴是直线，应说“直径所在的直线”，不能说“直径是圆的对称轴”。 1.(24-25九年级下·安徽安庆·阶段检测)下列关于圆的说法中，正确的是() A.半圆是圆中最长的弧 B.圆内接平行四边形一定是矩形 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.圆的直径是圆的对称轴 2.(25-26九年级上：江苏盐城阶段检测)下列说法正确的是() A.三点确定一个圆 B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C.经过圆心的直线是圆的对称轴 D.三角形的外心到三角形三边距离相等 3.(2425九年级上·安徽准南·期中)下列说法正确的有() A.长度相等的两条弧是等弧 B.平分弦的直径一定垂直于这条弦 C.过圆心的线段是直径 D.圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 4.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)下列语句中不正确的有() ①长度相等的弧是等弧②垂直于弦的直径平分弦③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆⑤半圆是圆中最长的弧 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 知识点02：垂径定理（垂直王弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条孤） 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号表述：在⊙O中，若直径CD⊥弦AB于点E,则AE=BE,AC=BC,AD=BD。 条件：直径（或过圆心的直线）且垂直于弦； 结论：平分弦、平分弦所对的优弧和劣弧。 2/14 C E 5.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为点M, CD=I0,AB=8,则OM的长为() M B D A.6 B.4 C.3 D.2 6.(26-27九年级上·江苏·期中)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,连接AD.若 OE=3,CD= 8,则1E的长为() A.5 B.6 C.8 D.9 7.(26-27九年级上吉林阶段检测)如图，4B是O0 的弦，半径Oc11B于点D.若 AB=25 OC=3,则CD的长是() 3/14 0 B A.1 C.2 D.3 8.(26-27九年级上·黑龙江期中)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,若AE=8,BE=2,则 CD的长为() A D A.5 B.8 c.2i0 D 45 知识点03：垂径定理的推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦) 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号表述：若直径CD平分弦AB于E(AB不是直径)，则CD⊥AB,AC=BC,AD= BD。 易错提醒：“不是直径”不可省略，因为任意两条直径互相平分但不一定垂直。 C B E D 4/14 ⊙0 ADBC 9.(26-27九年级上重庆·期中)如图，为四边形 的外接圆，1B=AC,若D是的中点， 且DE=2,AC=8,则O0的半径为一，BC= B 10.(2026辽宁鞍山一模)如图，⊙0的半径为5，弦AB的长为8，点C是⊙0上一点，且AC=BC, 连接CO并延长，交AB于点D,交OO于点E,则DE的长为 D B E 11.(2026陕西榆林·二模)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作.其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”· 如图，O1、OB是O0的半径，点M是的中点，连接4B,M1B于点N, 于点，“会圆术”给出劣 弧AB的弧长I的近似值计算公式： I=AB+MN2 OA,当OA=5,AB=6时，则I的值为一· B ⊙0 12.(2526九年级上江苏南京期末)如图，在00中，C,D分别是MB和弦1B的中点，若 AB=8 5/14 CD=2⊙0 ,则的半径是 D 知识点04：垂径定理中的常用铺助线（连半径作弦心距） 常用辅助线： 连半径一一得到半径与等腰三角形： 过圆心作弦的垂线一一得到弦心距。 弦心距：圆心到弦的距离。作弦心距后，弦被平分，构造出直角三角形。 在直角三角形中，半径为斜边，弦心距与弦的一半为两直角边。 13.(26-27九年级上浙江宁波阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，CD是O0的弦，AB⊥CD,垂足 为E,若AB=26,CD=24,则BE的长为() D A.13 B.12 C.8 D.5 14.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)如图，在⊙0中，弦AB川CD,AB=12,CD=16,且AB与 CD 0 AB CD ⊙0 位于圆心的同侧.若与之间的距离为2，则的半径为() 0 B A.8 B.9 C.10 D.12 6/14 15.(26-27九年级上浙江金华阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，AC是弦，沿AC对折劣弧AC,交 B于点D,日、F分别是和D的中点，若MD=10,B=12,则F的长为 E D 16.(26-27九年级上·江苏盐城阶段检测)化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶（图1），它的底部可以看 成是一个球体，这个球体最大纵截面如图2所示 图1 图2 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中的圆的圆心O: (2)已知图2中圆的半径为5cm,液面宽AB的长为8cm,求瓶内液体最大深度. 知识点05：弦长弦心距、半径与勾股定理的综合计算 基本关系：设半径为OB=r,弦心距为OE=d,弦长为AB=a,则P=十(2)。 知二求一：已知其中两个量可求第三个量，如r=5、d=3,则半弦为4，弦长为8。 常与方程结合：设未知数，由勾股定理列方程求解。 C B E D 7/14 17.(26-27九年级上天津期中)如图，AB是⊙0的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB=8,OC=5,则 CD的长是() O B A.3 B.2 C.6 D.4 18.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，BD是OO的直径，弦AC⊥BD于E,若AC=24, BE=8,则OC的长为—· D E B 19.(26-27九年级上·浙江宁波开学考试)如图，⊙0的直径AB与弦CD相交于点P,且∠APC=45°， 若PC2+PD=16,则⊙0的半径为 A B D 20.(26-27九年级上浙江杭州开学考试)如图，圆0的直径AB与弦CD相交于点E,若BE=1, AE=5,∠AED=45°，求CD的长. 8/14 B E 知识点06：垂径定理在实际问题中的应用（桥拱管道类） 弦 桥拱问题：把桥拱看作圆弧，跨度为弦长，拱高为弓形高，设半径为，由P=(2)十 (~拱高)列方程。 管道问题：水面宽为弦长，水深与半径、弦心距相关，同样构造直角三角形求解。 关键：画出截面图，标出圆心、弦、弦心距，转化为勾股定理问题。 21.(26-27九年级上湖南长沙阶段检测)如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16米，拱高CD=4米，则拱桥 的半径为() A.3米 B.8米 C.10米 D.20米 22.(26-27九年级上江苏宿迁·阶段检测)如图，拱桥可以近似地看作直径为200m的圆弧，桥拱和路面 之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为l20m,那么这些钢索中最长的一根的长度为 m B 路面 桥拱 23.(26-27九年级上河南安阳阶段检测)如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年， 历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙.如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E,拱桥的水面跨度 AB=80m,桥拱到水面的最大高度DF为20m. 9/14 图1 图2 (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为60m,求水面上涨了多少米。 24.(26-27九年级上·甘肃期中)甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面.水轮整体 为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中，其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水 面上方，水面截水轮所得弦AB的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点.求点C到弦AB所 在直线的距离. 水面 知识点07：两弦在圆心同侧或程侧的分类讨论 求圆中两条平行弦之间的距离时，要分两种情形：两弦在圆心的同侧或异侧。 设弦心距分别为d、d:异侧时距离为d十d;同侧时距离为d-d。 易错提醒：题目未给出图形时不要漏解，两种情形都要检验是否符合条件。 25.(25-26九年级上山东滨州期中)己知⊙0的直径为34cm,AB,CD是⊙0的两条弦，AB川CD AB=30cm,CD=16cm,则AB和CD之间的距离是() A.7cm或23cmB.14cm或46cm C.7cm D.23cm 26.(25-26九年级上河南安阳阶段检测)在⊙0中，圆心O到两平行弦ABCD的距离分别为6、8，则 两平行弦AB、CD间的距离等于 27.(25-26九年级上河南新乡阶段检测)已知O0的半径为6cm,弦1B/CD,且4B=6,2cm ⊙0 10/14 CD=6N3cm,则4B与CD之间的距离为一 28.(25-26九年级上·河南许昌期中)己知在⊙0中有两条平行弦ABICD,AB=12,CD=16,⊙0的 半径是10，则AB与CD间的距离是 课时训练 一、选择题 1.(25-26九年级上：陕西安康·期末)如图，线段CD是⊙0的直径，CD1AB于点E.若AB=8,OE=3, 则⊙0的半径长为() C E D A.2 B.3 C.4 D.5 2.(2026:上海松江·二模)已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦：②平分弦的直径垂直于这条弦，下 列对这两个命题的判断，正确的是() A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C,①和②都是真命题 D.①和②都是假命题 3.(25-26八年级下·山东滨州期末)如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古 代劳动人民的智慧，点P表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 O为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8m,筒车工作时盛水桶在水面以下 的最大深度为2m,则筒车的直径是() 11/14 水面4 R 图1 图2 A.8m B.10m C.12m D.13m 4,(2026广东汕头·三模)在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小 明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点AB,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交 于点C,测出 AB AB=16cm CD=4cm ,则圆形工件的半径为() C D B A.14cm B.12cm C.10cm D 8cm 二、填空题 5.(25-26九年级上·北京东城期中)已知⊙0中，弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半 径为 cm 6.(25-26九年级上福建泉州期末)如图，在半径为l3cm的O0中，AB=24cm,弦0C1AB于点C, 则OC等于 cm B 7.(25-26九年级上山东菏泽阶段检测)⊙0的两条平行弦的长分别为6和8，若⊙0的半径为6，则这 两条平行弦之间的距离为一· 12/14 8.(25-26九年级上山东临沂期末)如图1，唐代李皋发明了桨轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆， 被水面截得的弦AB长为8m,轮子的吃水深度CD为2m,半径OC⊥AB于点D,则该桨轮船的轮子半 径为 米 水面A D 图1 图2 三、解答题 9.(2026山东临沂·二模)如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两 侧，E是OB上一点(OE>BE),连接OC,CE,且∠BOC=2LBCE. 1f O 图1 图2 1)如图1，若BE=1,CE=2,求⊙0的半径； 2)如图2，若BD=2OE,求证：BD‖OC. 10.(2026安徽合肥·三模)如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB,垂足为H,BC⊥AB,交AD延长线 于点C 0 D H B I)求证：D是AC的中点； 13114 ②考4B=12,4C=4iB,求0的半径. 14/14