29.2 第1课时垂直于弦的直径-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十九章圆 29.2圆的有关性质 第1课时垂直于弦的直径 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD垂直平分半径OA,CD交AB于点E,连接AC,CB.有以下 结论：①BE=3AE;②CE=DE;③BC=2CE.其中，正确的个数是 （) A.0 B.1 C.2 D.3 0 0 B (第1题) (第2题) (第3题) 2.舒境数学文化《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”.凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理 篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥ CD于点E,ED=4,AB=16,则CD的长是 () A.18 B.19 C.20 D.21 3.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为 4.*如图，在△AOB中，OA=OB,AB交⊙O于点C,D,OE是⊙O的半径，且OE⊥AB于点F. (1)求证：AC=BD. (2)若OF=2EF,CD=8,求⊙O的直径， (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.如图所示为某圆形干果盘，四条隔板AB,CD,EF,GH的长均为24cm,横纵隔 E 板互相垂直，交于隔板的三等分点，则该干果盘的直径为 A.6 cm B.16√2cm C.125 cm D.8/10cm F (第5题) 87 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 6.如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E.若E 是BD的中点，则AC的长是 () A B.3√3 C.3√2 D.42 E B 0 (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,BE=1,AE=5,∠AEC=30°，则CD的长为 8.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB,垂足为D,E是⊙O上的动点（不与点C重 合)，F为CE的中点.若AD=3,CD=6,则DF长的最大值为 9.如图，在半径为6的扇形OAB中，∠AOB=120°，C是AB上的一个动点（不与点A,B重合）， OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别为D,E,连接DE.求： (1)DE的长. (2)四边形ODCE各内角的度数 (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直于点P,连接OP.若OP=1,求AB2十CD 的值 /0 7D B (第10题) 88 “答案与解析”见P53第二十八章旋转 第2课时 关于原点对称的点的坐标 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.在平面直角坐标系中，若点P(m,m-n)与点Q(2,1)关于原点对称，则点M(m,n)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2若点P口十1，一号十1关于原点的对称点在第三象限，将a的取值范围表示在数轴上，则下列选 项中，正确的是 () 202 3210123 3-210123 3210123 A B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，已知A(2,3),B(0,1),C(3,1),若线段AC与BD互相平分，则点D关于 坐标原点的对称点的坐标为 4.若点P(一1-一2a,2a一4)关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有 个 5.已知点A(-1,3a一1)与点B(2b+1,-2)关于x轴对称，点C(a+2,b)与点D关于原点对称. (1)求点A,B,C,D的坐标. (2)如图，在平面直角坐标系中，顺次连接AD,DB,BC,CA,求四边形ADBC的面积 0 (第5题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A,B,C,D按逆时针方向依次排列.若点A的坐标为 (2,3),则点B,D的坐标分别为 () A.(-2,3),(2,-3) B.(-√3,2)，(3，-2) C.(-3,2),(2,-√3) D.(,,》 7.已知点P(2x,y2+4)与点Q(x2+1,一4y)关于原点对称，则x十y的值为 75 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 8.如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始跳动，第一次跳到点P关于x轴的对称点P 处，接着跳到点P1关于y轴的对称点P2处，第三次再跳到点P2关于原点的对称点P3处，…，如 此循环下去.跳动2026次后，棋子落点处的坐标是 D (第8题) 9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，一2)，P是x轴上的一个动点. (1)A1,A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴的对称点，直接写出点A1,A2的坐标，并 在图中描出点A1,A2 (2)若△APO为等腰三角形，求点P的坐标. 4321034x 3 (第9题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.*如图，在平面直角坐标系中，有一点A(2,3)和直线y=x. (1)分别写出点A关于直线y=x对称的点B和关于原点对称的点C的坐标. (2)在(1)的条件下，若D是点B关于原点对称的点，试判断四边形ABCD的形状，并说明 理由、 A·/yFx 0 (第10题) 76 >“答案与解析”见P45 第二十八章旋转 专题特训十一 旋转中常见的几何模型 类型一手拉手模型 1.如图，等边三角形ABC内有一点P,连接AP,BP,CP.若∠BP℃=150°，BP=3,AP=5,则CP= (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠APC=165°，PA=3,PC=√2，则PB= 3.如图，P是正方形ABCD内一点，且PA=23,PB=√2，PC=4,则正方形ABCD的面积是 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,∠ABC=30°，O为Rt△ABC内一点，连接OA, OB,OC,则OA+OB+OC的最小值为 类型二对角互补模型 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC,MN是过点A的直线，CD⊥MN于点D,连接BD. (1)关于线段DC,AD,BD之间的数量关系，小明有一种思路：如图①，过点B作BE⊥BD,交 MN于点E,进而可得DC+AD= BD. (2)将直线MN绕点A按顺时针方向旋转到如图②所示的位置，请用等式表示出此时线段DC, AD,BD之间的数量关系，并证明. M M、E D ② (第5题) 77 拔尖特训：数学（人教版）九年级上 类型三半角模型 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D,E是边AB上的两点，若∠DCE=45°，EB= 2AD,则25的值为 A D (第6题) (第7题) 7.如图，正方形ABCD的边长为6，点M在CB的延长线上，BM=2,作∠MAN=45°，交DC的延 长线于点N,则MN的长为 8.如图，在△ABC中，AB=AC=2√3，∠BAC=120°，点D,E都在边BC上，∠DAE=60°，若BD= 2CE,求DE的长. D (第8题) 9.在四边形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B 点旋转，它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于点E,F,连接EF. (1)当AE=CF时（如图①），AE,CF,EF之间的数量关系用等式表示为 (2)当点E在AD上，点F在DC上，但AE≠CF时（如图②），(1)中结论是否成立？请说明 理由. (3)当点E在AD的延长线上，点F在DC的延长线上时（如图③），(1)中结论是否成立？若不 成立，线段AE,CF,EF之间又有怎样的数量关系？请说明理由， ② ③ (第9题) 78 >“答案与解析”见P46 第二十八章旋转 综合与实践4利用图形变换设计图案 1,如图，由图案①到图案②再到图案③的变化过程中，不可能用到的图形变换是 A.轴对称 B.旋转 C.中心对称 D.平移 (第1题) (第2题) 2.利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案.如图②中的图案是由图①所示的基本图案以点O 为旋转中心，按顺时针方向旋转角度α，依次旋转四次作出的图形，则旋转角α的最小值 是 3.规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α(0°<α≤180°)后能与自身重合，那 么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角.根据以上规 定，回答问题 (1)下列图形中，是旋转对称图形但不是中心对称图形的为 A.矩形 B.正五边形 C.菱形 D.正六边形 (2)有下列三个说法：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆 是旋转对称图形.其中，正确的个数为 () A.0 B.1 C.2 D.3 (3)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60的为 (填序号). OO M ZN ⊙ ⑤ ⑥ (第3题) (4)如图⑦所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合.若每个叶片的面积 为4cm2,∠AOB=120°，则图中涂色部分的面积为 cm2. ⑦ ⑧ (第3题) (5)如图⑧所示的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图 形补充完整 “答案与解析”见P48 79 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 第二十八章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.[2025青岛中考]围棋是中华民族发明的博弈活动.下列用棋子摆成的图形中，既是轴对称图形， 又是中心对称图形的为 () A B 2.已知点P1(a一1,1)和P2(2,b一1)关于原点对称，则(a+b)226的值为 A.1 B.0 C.-1 D.(-3)2026 3.[2025宿迁中考]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,2)，将线段OA绕点O按逆时针 方向旋转90°得线段OA',则点A'的坐标为 () A.(-3,2) B.(-2,3) C.(3,-2) D.(2,-3) 6r- B 4 2 0 B 0123456x (第3题) (第4题) (第5题) (第6题) 4.如图，在△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60得到△DEC,点A,B的 对应点分别为D,E,延长BA交DE于点F,下列结论中，一定正确的是 A.∠ACB=∠ACDB.AC∥DE C.AB-EF D.BF⊥CE 5.如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，∠A=90°，CD=3,CO=4,则BD的长为() A.12 B.10 C.8 D.6 6.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0,1),A(4,1),以点P为中心，把PA按逆时针方向旋转 60得到P.在M(-1.一).M(oM(15-1.M,2.2)调个点中.直线PB经 过的点是 ( A.M B.M2 C.Ma D.M 7.如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠B=30°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转a(0°<α<120) 得到△AB'C',B'C'与BC,AC分别交于点D,E,AB'与BC交于点F.设CD十DE=x,△AEC 的面积为y,则y与x之间的函数图象大致是 () C 0 23元 0 2W3 23 (第7题) B. D. 80 第二十八章旋转 8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=2.点D在BC上，且BD：CD=1:3.连接AD, 将线段AD绕点A按顺时针方向旋转90得到线段AE,连接BE,DE,则△BDE的面积是() A B.8 3 C. D.2 y B D (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，在平面直角坐标系中，C(0,4),K(2,0),A为x轴上一动点，连接AC,将AC绕点A按顺 时针方向旋转90°得到AB.当BK的长取最小值时，点B的坐标为 () A.(4,1) B.(3,1) C.(4,-1) D.(3,-1) 10.如图，D为等边三角形ABC内一点，且DA=4,DB=3,DC=5,则等边三角形ABC的面积为 () 253+9 A B.41,5+5 4 4 c+6 D373 4 二、填空题（每小题4分，共24分） 11.在平面直角坐标系中，□ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A,B的坐标分别是（一1,1），(2， 1),将□ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点的坐标是 12.如图，在平面直角坐标系中，线段OA与x轴正方向的夹角为45°，且OA=2.若将线段OA绕 点O按顺时针方向旋转105°得到线段OA',则此时点A'的坐标为 (第12题) (第13题) (第14题 (第15题) (第16题) 13.如图，等边三角形ABC的边长为6，O为BC的中点，△BPQ与△BAO关于点B成中心对称， 连接CP,则△QCP的面积为 14.如图，在□ABCD中，连接AC,将△ACD绕点A按顺时针方向旋转一定角度，得到△AEF,点C,D 分别旋转到了点E,F.已知点E在边BC上，AD=5,EF=2√13，BE=3,则AE的长为 15.如图，在△ABC中，∠ACB=30°，AB=AC,P是△ABC内一点，且PA=2,PB=√21，PC= 3,则∠APC的度数为 16.如图，在菱形ABCD中，AB=8,∠ADC=60°，E,F分别为菱形边上的动点，过点E,F的直线 将菱形分成面积相等的两部分，过，点D作DM⊥EF于点M,连接CM,则线段CM长的最大值 为 三、解答题（共36分） 17.(10分)如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△AB0的三个顶点 的坐标分别为A(一1,3)，B(一4,0)，O(0,0),解答下列问题. 81 拔尖特训：数学（人教版）九年级上 (1)将△ABO向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到△A2B2O2,请画 出△A2B2O2. (2)在图中添加一个点P,使以A,B,O,P为顶点的四边形为中心对称图形，则点P的坐标为 (填写一个即可). (3)已知△A1B1O1是由△ABO按逆时针方向旋转一定角度得到的，△A1B1O1的三个顶点的 坐标分别为A1(1,一1)，B1(4,一4)，O1(4,0),则旋转中心的坐标是，旋转角是 0 B (第17题) 18.(12分)(1)如图①，在四边形ABCD中，若BC=CD,∠BAD=∠BCD=90°，则AC平分 ∠BAD.小明为了证明这个结论，将△ABC绕，点C按顺时针方向旋转90°，请帮助小明完成他 的作图. (2)如图②，在五边形ABCDE中，∠A=∠C=90°，AB=BC,AE+CD=DE,求证：DB平 分∠CDE. ① ② (第18题) 19.(14分)在菱形ABCD中，∠BCD=60°，将边CD绕，点C按顺时针方向旋转a(0°<a<120)得 到线段CE,连接ED,ED或其延长线交∠BCE的平分线于点F. (1)如图①，若a=20°，求∠CFE的度数 (2)当α在0°<α<120°范围内变化时，∠CFE的度数变化吗？请说明理由. (3)如图②，若60°<a<120°，求证：EF-DF=CF. (第19题) 82 >“答案与解析”见P48 第二十九章 圆 29.1圆的有关概念 第1课时 圆的有关概念 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1,有下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是 等弧；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分.其中，正确的个数为 （) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，AB是⊙O的弦，OD是⊙O的半径，OC⊥AB,垂足为C,OD∥AB,OD=2OC,则∠ODB 的度数为 () A.60° B.65 C.70 D.75 10 D B D (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，OA,OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB=40°，∠OBC=50°，则∠OAC= 0 4.如图，⊙O的弦AB和半径OC的延长线交于点D,BD=OA.若∠AOC=126°，则∠D的度数是 5.如图，BD,CE是△ABC的高，M为BC的中点.求证：点B,C,D,E在以点M为圆心的同一个 圆上 M (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能◆ 6.如图，AB是⊙O的弦，C是AmB上的动点（不与点A,B重合），CH⊥AB,垂足为H,M是BC 的中点.若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是 () A.3 B.4 C.5 D.6 (第6题) 83 拔尖特训：数学（人教版）九年级上 7.如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（网格线的交点称 为格点).若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取 值范围是 () A.2√2<r<17 B.√17<r≤3√2 C.√17<r<5 D.5<r</29 A ....... (第7题) (第8题) 8.如图，过A,C,D三点的圆的圆心为点E,过B,E,F三点的圆的圆心为点D.如果∠ABC=24°， 那么∠CAB的度数为 9.如图，两个正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A,D在半圆O上，顶点B,C在半圆O的 直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，顶点B,E在半圆O的直径上，顶点G在大正方 形的边AB上.若小正方形的边长为4，则该半圆的半径是多少？ C (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.如图，直线l经过⊙O的圆心O,且与⊙O交于A,B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，P是 直线l上的一个动点（不与圆心O重合），直线CP与⊙O相交于另一点Q,连接OQ. (1)当点P在半径OA上时，若QP=QO,求∠OCP的度数. (2)当点P在直线l上的其他位置时，是否还存在QP=QO?若存在，请求出∠OCP的度数： 若不存在，请说明理由. (第10题) 84 >“答案与解析”见P51 第二十九章圆 第2课时」 三角形的外接圆 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.有下列命题：①经过三点可以作一个圆；②一个圆有且只有一个内接三角形；③一个三角形有 且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；⑤直角三角形的外心是 三角形斜边的中点.其中，真命题的个数是 () A.4 B.3 C.2 D.1 2.如图，点A,B,C,D均在直线L上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个 数为 （) A.4 B.6 C.8 D.12 P. 0 ABD一 (第2题) (第3题) 3.如图，⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O.若∠A=60°，∠B=75°，则AB的长为 4,如图，在5×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1. (1)画△ABC的外接圆圆心O. (2)求△ABC的外接圆的半径 (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长均为1，点A,O在格线的交点上. 若在方格纸格线的交点上存在B,C两点，使得△ABC的外心为点O,则BC 的长为 ( A.4 B.5 C.√10 D.25 (第5题) 6.若过平面直角坐标系中的三个点A(1,0),B(0,2),C(一1，m)能确定一个圆，则m≠ 7.易错题已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB 的长 “答案与解析”见P52 85 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 第3课时 反证法 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB=AC,则∠B<90°”时，首先应该假设 () A.∠B≥90 B.∠B>90 C.AB≠AC D.AB≠AC且∠B≥90° 2.用反证法证明命题“如果a>b>0,那么√a>√b”的第一步应假设 3.用反证法证明“已知△ABC的三边长为a,b,c(a≤b<c),若a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三 角形”时，应先假设 4.用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 求证： (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5,用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不大于60”时，首先应假设这个三角形中() A.没有一个内角不小于60° B.没有一个内角不大于60° C.所有内角不大于60 D.所有内角不小于60° 6.用反证法证明“任意三角形的三个外角中至多有一个直角”时，应假设 7.如图，在△ABC中，点D,E分别在AC,AB上，BD,CE相交于点O.求证：BD和CE不可能互 相平分（用反证法）. (第7题) 且已知实数a,6cmn满足m十n-名m=会 (1)当a>0时，求证：b≥2c (2)若m,n为正整数，且十为奇数，请用反证法证明：m,m至少有一个为奇数 86 >“答案与解析”见P52 第二十九章圆 29.2圆的有关性质 第1课时垂直于弦的直径 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD垂直平分半径OA,CD交AB于点E,连接AC,CB.有以下 结论：①BE=3AE;②CE=DE;③BC=2CE.其中，正确的个数是 （) A.0 B.1 C.2 D.3 0 0 B (第1题) (第2题) (第3题) 2.舒境数学文化《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”.凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理 篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥ CD于点E,ED=4,AB=16,则CD的长是 () A.18 B.19 C.20 D.21 3.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为 4.*如图，在△AOB中，OA=OB,AB交⊙O于点C,D,OE是⊙O的半径，且OE⊥AB于点F. (1)求证：AC=BD. (2)若OF=2EF,CD=8,求⊙O的直径， (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.如图所示为某圆形干果盘，四条隔板AB,CD,EF,GH的长均为24cm,横纵隔 E 板互相垂直，交于隔板的三等分点，则该干果盘的直径为 A.6 cm B.16√2cm C.125 cm D.8/10cm F (第5题) 87 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 6.如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E.若E 是BD的中点，则AC的长是 () A B.3√3 C.3√2 D.42 E B 0 (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,BE=1,AE=5,∠AEC=30°，则CD的长为 8.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB,垂足为D,E是⊙O上的动点（不与点C重 合)，F为CE的中点.若AD=3,CD=6,则DF长的最大值为 9.如图，在半径为6的扇形OAB中，∠AOB=120°，C是AB上的一个动点（不与点A,B重合）， OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别为D,E,连接DE.求： (1)DE的长. (2)四边形ODCE各内角的度数 (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直于点P,连接OP.若OP=1,求AB2十CD 的值 /0 7D B (第10题) 88 “答案与解析”见P53 第二十九章圆 第2课时圆心角 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.如图，A,B,C,D四点都在⊙O上，OB⊥AC,BC=CD,有下列说法：①AC=2CD;②AC= 2CD;③OC⊥BD;④∠AOD=2∠COD.其中，正确的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，AB,CD是⊙O的弦，且AB=CD.若∠BOD=84°，则∠ACO的度数是 () A.48 B.42° C.44° D.46 3.如图，点A,B,C,D在⊙O上，AB=BC=DA,AD,BC的延长线交于点P,且∠P=40°，则CD 的度数为 4.如图，AB,AC是⊙O的两条弦，且AB=AC,连接OA,BC. (1)求证：AO平分∠BAC. (2)若AB=4√5，BC=8,求⊙O的半径， 0 (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，AB,CD是⊙O的弦，且满足AB=2CD.若AB=6,则下列各数中，可能是 CD长的为 A.1 B.2 C.3 D.4 (第5题) 89 拔尖特训：数学（人教版）九年级上 6.如图，点A,B,C,D在⊙O上，且AD=BC,E是AB延长线上的一点，且BE=AB,F是EC的 中点.若BF=6cm,则BD= cm. D 0 PO (第6题) (第7题) 7.如图，AB是⊙O的直径，C是上半圆的一个三等分点（靠近点A),D是AC的中点，P是直径 AB上的一个动点.若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是 8.如图，在⊙O中，AD,BC相交于点E,EO平分∠AEC,连接AB,CD. (1)求证：AB=CD. (2)若⊙O的半径为3，AD⊥CB,DE=1,求AD的长. (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.如图，AD,BC是⊙O的弦，且AD=BC,连接AB,CD. (1)求证：CD=AB. (2)连接BD.若BD=AB+CD,BD=24,AB=4√13，求⊙O的半径. R (第9题) 90 “答案与解析”见P54 第二十九章圆 第3课时圆周角定理及其推论 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OD,C是⊙O上的一点，且∠AOC=152°，则∠BAC的度 数是 () A.32° B.22 C.20 D.16 D D (第1题)》 (第2题) (第3题) 2.=题多解如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则⊙O的半径为() A.√5 B.25 C.25 D.3√2 3.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB,CD所对的圆心角分别为∠AOB,∠COD.若CD=6, ∠AOB与∠COD互补，则弦AB的长为 4.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC. (1)求证：∠AOB=2∠BOC. (2)若AB=8,OC=5,求BC的长. (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.如图，AB是⊙O的直径，点C,D分别在不同的半圆上，BD=2BC,则下列 D ∠ABD与∠ABC的关系中，恒成立的是 A.∠ABD=2∠ABC B.∠ABD+∠ABC=90° C∠ABC-2∠ABD=45 D.2∠ABC+∠ABD=180° (第5题) 91 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 6.如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，E,F分别是AC,BC的中点，直 线EF与⊙O交于G,H两点.若⊙O的半径是4，则GE+FH的最大值是 () A.5 B.6 C.7 D.8 A R (第6题) (第7题) 7.如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC的交点分别为D,E,且DE=BE. 若半圆的直径为13，BC=10,则BD的长为 8.如图，AB是⊙O的直径，CD=CB,CE⊥AB于点E,连接BD交CE于点F,连接AC (1)求证：CF=BF. (2)若CD=2,AC=4,求BD的长. (第8题) 微专题·与圆心角或圆周角有关的辅助线 1.[构造同弧所对的圆周角]如图，在足球比赛中，从点A,B,C,D四个位置向球门PQ射门，其中， 点P,Q,B,C在⊙O上，点A在⊙O外，点D在⊙O内.设射门角度为射门位置与球门两端 P,Q所连线段的夹角，则射门角度最大的位置是 ( A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处 E (第1题) (第2题) (第3题) 2.[连半径，构造圆心角]如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB,过点C的弦CD与 线段OB相交于点E,满足∠AEC=65°，连接AD,则∠BAD的度数为 ) A.20 B.25° C.30 D.32.5 3.[连直径，构造直角三角形]如图，⊙O的半径为4，△ABC的顶点A,B在⊙O上，AC,BC分别与 ⊙O交于D,E两点，且BE=DE.若∠B=90°，∠A=60°，则△ABC的面积为 92 >“答案与解析”见P55 第二十九章圆 第4课时 圆的内接四边形 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在AC上.若∠D=120°，OA=2, 则AC的长为 A.23 B.2√2 C.2 D.4 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O,D是AC的中点，延长BC到点E,使CE=AB, (第1题) 连接BD,ED, (1)求证：BD=ED (2)若∠ABC=60°，AD=5,求⊙O的半径. (第2题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O.若AB=BC=CD,∠ADC=100°，则∠AOD的度数为() A40° B.50° C.60° D.70° EB (第3题) (第4题) 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AE⊥CB交CB的延长线于点E.若BA平分∠DBE,AD=6, CE=25,则AE的长为 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=60°，对角线DB平分∠ADC. (1)求证：△ABC是等边三角形. (2)一题多解过点B作BECD,交DA的延长线于点E.若AD=2,DC=3,求△BDE的面积. (第5题) ●“答案与解析”见P57 93 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 29.3弧长和扇形面积 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在△ABC中，∠B=70°，BC=6,以BC为直径作半圆（圆心为点O),分别交AB,AC于点 D,E.若DE=BD,则CE的长为 () B. 5π C5π 5π 6 D.2 (第1题)》 (第2题) (第4题) 2.如图，从一块半径是2dm的圆形铁片上剪出一个圆心角为90的扇形，将剪下来的扇形围成一个 圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是 () A.do B② c. dm D受dn 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3.若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所 得几何体的表面积为 4.如图，半圆O的直径AB为4，将半圆O绕点B按顺时针方向旋转45°得到半圆O',与AB交于 点P,则图中涂色部分的面积为 5.如图，在△ABC中，AB=AC=18,以腰AB为直径作半圆O,分别交BC,AC于点D,E. (1)若∠BAC=50°，求BE的长， (2)连接DE,求证：BD=DE. D (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.如图，将直角三角尺30°角的顶点A放在⊙O上，边AB,AC分别交⊙O于点E, D.若AD=4,AE=43,则DE的长为 A贸 B 7 (第6题) C. 8π D. 16π 3 94 第二十九章圆 7.如图，在△ABC中，AB=2,∠CAB=30°，∠ACB=45°，将△ABC绕，点A按逆时针方向旋转一定的 角度得到△ADE.若用扇形ABD围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1;用扇形 ACE围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2,则 (结果保留根号) r2 (第7题) (第8题) 8.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=√2，BC=4,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到 △ADE,点D恰好落在BC上，则图中涂色部分的面积为 9.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D,连接OA,OB,OC,AC,OB与AC相 交于点E. (1)求∠OCA的度数. (2)当∠COB=3∠AOB,O℃=2√3时，求图中涂色部分的面积（结果保留π） (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.已知四边形ABCD内接于⊙O,⊙O的半径为3，对角线BD与AC相互垂直. (1)如图①，若∠CAD=2∠BAC,求证：AC=AD, (2)如图②，过点D作DF⊥AB,垂足为F,交AC于点E.若AE=3,求BD的长 ① ③ (第10题) ●“答案与解析”见P58 95 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 专题特训十二 与圆有关的不规则图形面积的求法 类型一直接和差法 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O,若∠BCD=120°，AB=AD=3,则图中涂色部分的面积为() A至3 B.T-33 C.3π93 4 24 D.2x-93 8 0 B (第1题)》 (第2题) 2.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4.分别以点B,C为圆心，线段BC长的一半 为半径作圆弧，交AB,BC,AC于点D,E,F,则图中涂色部分的面积为 类型二割补法 3.[2025青岛中考]如图，在扇形OAB中，∠AOB=30°，OA=2√3，点C在OB 上，且OC=AC,延长CB到点D,使CD=CA.以CA,CD为邻边作□ACDE,)Bb 则图中涂色部分的面积为 (结果保留π). (第3题) 类型三整体法 4.如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O过其中四个格点，则图中涂色部 分的面积为 (结果保留π). (第4题) (第5题) 5.如图，三个小正方形的边长都为1，则图中涂色部分的面积为 (结果保留π). 类型四等积变形法 6.如图，P为⊙O外一点，AC为⊙O的直径，OA⊥PA,点B在⊙O上，连接PB,PC,且PA= PB,连接OB, (1)求证：OB⊥PB. (2)若∠APB=60°，PA=2√3，求图中涂色部分的面积 B (第6题) 96 >“答案与解析”见P60 第二十九章圆 综合与实践5从等分圆周到探究四点共圆的条件 类型一等分圆周 1.如图，⊙O的半径为r.现只用一把圆规，将已知圆周四等分，其具体作法如下：①在⊙O的圆周 上任取一点A;②以r为半径，从点A开始，在圆周上连续截取，顺次得到点B,C,D;③分别以 点A和D为圆心，AC为半径画弧，两弧在⊙O的上方相交于点E;④以点A为圆心，OE为半 径，从点A开始，在圆周上连续截取，顺次得到点F,G,则A,G,D,F即为⊙O的四等分点。 运用几何知识说明上述作图方法可以将圆周四等分的理由（图中已连接线段OA,AC,OE). (第1题) 类型二探究四点共圆的条件 2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAC=∠BDC=50°，则∠ADB的度数为 (第2题) (第3题) 3.如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC,∠ABC=90°，∠CAD=16°，AD=BD,则∠ADB 的度数为 4.如图，在⊙O中，C是直径AB上方半圆上的一个点，直径AB平分非直径弦CD于点G,E是 AC上一点（不与点A,C重合），过点E作EF⊥AB,EH⊥OC,垂足分别为F,H,连接FH. (1)求证：∠OCD+∠FEH=90°. (2)若CD=3,求FH的长， D (第4题) “答案与解析”见P60 97 拔尖特训：数学（人教版）九年级上 第二十九章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD.若∠CDB=30°，⊙O的半径为2，则CD的长为 A.4 B.√3 C.23 D.4√3 D A B D 0 A (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=7,点D在边BC上，且BD=3,连接AD,以点D 为圆心，r为半径画圆.若点A,B,C中只有2个点在圆内，则r的值可能为 () A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，将扇形纸片OAB沿着半径剪成两个扇形，∠AOB=164°，其中较小的扇形的圆心角为α°，围 成一个无底盖的圆锥甲（接缝处忽略不计），记它的底面积为S甲；较大的扇形的圆心角为°，围成一 个无底盖的圆锥乙（接缝处忽略不计），记它的底面积为Sz·若S2=9S甲，则α的值为() A.41 B.45 C.36 D.40 4.如图，点A,B,C在⊙O上，D为⊙O外一点，∠AOB=50°，BC=2OA,则∠D的度数可能是 () A.80 B.75° C.70 D.67 5.如图，∠AOB是锐角，在射线OA上取一点C,以点O为圆心，OC为半径作PQ,交射线OB于 点D,连接CD,分别以点C,D为圆心，CD为半径作弧，交PQ于点M,N,连接OM,MN.根据 以上作图过程及所作图形，下列结论中，错误的是 A.∠COM=∠COD B.若OM=MN,则∠AOB=20° C.MN//CD D.MN=3CD 0 0 (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线分别相交于点E,F.若∠E=55°， ∠F=37°，则∠A的度数为 () A.34 B.44 C.88 D.92 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠AOC=∠ABC,AC=2√3，则AC的长为 A π B.2π c D. 98 第二十九章圆 8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E,AE=DE,BC=CE,过点O作OF⊥AC于 点F,延长FO交BE于点G.若DE=4,EG=2,则AB的长为 () A47 B.2J19 C.8 D.2√/17 D B (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠A=60°，E是AB的中点，以点B为圆心，BE为半径作弧，交 BC于点F,连接DE,DF,EF,则图中涂色部分的面积为 () A35+ B58+ C.33-3元 D. 10.如图，AB是⊙O的直径，点D,C在⊙O上，∠DOC=90°，AC=2,BD=2√2，则⊙O的半径为 () A.3 B.√5 C.√2+1 D./10 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于点C,四边形CDEF是正方形，连接BD.若CO=3, OF=1,则BD的长为 D 0 (第11题) (第12题) (第13题) (第14题) (第15题) (第16题) 12.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=AD,点P在AB上，连接PA,PB.若∠APB= 130°，则∠BCD的度数是 13.如图所示为一张平行四边形纸片ABCD,BC=36cm,∠A=110°，∠BDC=50°，M为BC的中 点.若以点M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N,将扇形MCN剪下来围成一个无 底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm. 14.如图，将△ABC绕，点C按顺时针方向旋转60°得到△A'B'C.若AC=10,BC=6,则线段AB扫 过的图形（涂色部分）面积为 15.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=45°，AD⊥BC,垂足为D,BD=2,DC=6,则AD= 16.一题多解如图，A(12,0),B(8,6)为平面直角坐标系内两点，⊙B经过原点O,BC⊥x轴于点C, D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长的最大值为 99 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 三、解答题（共52分） 17.(12分)如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E,CF⊥BD于点F,交AB于点H,连接CA. (1)求证：CA=CH. (2)若CE=21,OH=1,求⊙O的半径. D (第17题) 18.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为 D,分别交CB的延长线，AC于点E,F,AF,BC的延长线交于点G. (1)求证：AC=CG. (2)若EB=CG,求∠BAC的度数. (第18题) 19.(14分)如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶，点C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC, AE的延长线交⊙O于点D,连接BD,CD. (1)求证：DB=DE (2)若AB=25,BE=2W2,求BC的长 (第19题) 20.(14分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E,连接AC. (1)求证：∠CAD=∠BCE, (2)连接OC,若OC∥AB,∠EAD=60°，AD=4,求图中涂色部分的面积. (第20题) 100 >“答案与解析”见P61 第三十章」 直线与圆的位置关系 30.1直线与圆 第1课时直线与圆相离、相切、相交 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.易错题已知⊙O的半径为3cm,P为直线L上的一点.若OP=5cm,则直线l与⊙O的位置关 系是 () A.一定相交 B.一定相切 C.一定相离 D.可能相交，可能相切，也可能相离 2.在平面直角坐标系中，已知点M(4,3),以点M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离， 那么r的取值范围是 ( A.0<r<5 B.3<r<5 C.4<r<5 D.3<r<4 3.已知在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为(3，一4)，将该圆向上平移 m(m>0)个单位长度，若此时该圆与x轴没有交点，则m的取值范围是 4.如图所示为两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3.若大圆的弦AB与小圆 有公共点，则弦AB长的取值范围是 (第4题) 5.如图，∠APB=30°，OP=3cm,⊙O的半径为1cm,圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动. (1)当圆心O移动的距离为1cm时，求⊙O与直线PA的位置关系. (2)若圆心O的移动距离是dcm,当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围， (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.已知⊙O的半径为5，直线1与⊙O相交，点O到直线L的距离为3，则⊙O上到直线1的距离为 √2的点共有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.已知在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,以点C为圆心，R为半径作⊙C. (1)若⊙C与斜边AB有且只有一个公共，点，则R的取值范围是 (2)若⊙C与斜边AB有两个公共点，则R的取值范围是 (3)若⊙C与斜边AB没有公共点，则R的取值范围是 101 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 8.已知一次函数y=kx十2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心，r为半径作⊙O.若 对于符合条件的任意实数k,一次函数y=kx十2的图象与⊙O总有两个公共点，则x的最小值 为 9.分类讨论思想在平面直角坐标系中，直线L经过原点O,且与x轴的正半轴的夹角为30°，点M在 x轴上，⊙M的半径为2，⊙M与直线1相交于A,B两点.若△ABM为等腰直角三角形，则点 M的坐标为 10.如图，P是曲线y=1(>0)上的一点，以点P为圆心，1为半径作⊙P,设点P的坐标为 (x,y). (1)当x为何值时，⊙P与直线y=3相切？请求出此时点P的坐标. (2)直接写出当x为何值时，⊙P与直线y=3相交、相离. 03 y=4(x>0) 0 (第10题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.如图，在边长为6cm的等边三角形ABC中，点P,Q分别从点A,B出发，同时向点C以2cm/s 的速度移动，到达点C时停止，设移动的时间为ts. (1)当t为何值时，△PQC的面积等于3cm2? (2)以点Q为圆心，PQ为半径画圆，当⊙Q与线段AB有唯一公共点时，求t的取值范围， (第11题) 102 >“答案与解析”见P64 第三十章直线与圆的位置关系 第2课时切线的性质和判定 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，AB与⊙O相切于点C,OA=OB,过点C作CDOA,与⊙O交于点D,延长BO与⊙O交 于点E,连接DE.若∠AOB=80°，则∠BED的度数为 () A.20° B.25° C.30° D.35 Y P B (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.[2025青岛中考]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=90°，DC=BC,直线EA与 ⊙O相切于点A.若∠BCD=128°，则∠DAE的度数为 () A.52 B.54 C.64 D.74° 3.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=125°，过点C的圆的切线交BO的延长线于点P,则 ∠P的度数为 4.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P经过点A,与x轴相切于点C,过点A作y轴 的垂线交⊙P于点B.若⊙P的半径为5，点A的坐标为(0,1)，则点B的坐标为 5.*如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB,D为OB上一点，连接CD并延长，交⊙O于点E,延长OB 至点F,使得DF=FE. (1)求证：EF为⊙O的切线， (2)若OD=2,BD=BF,求⊙O的半径 B (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,AB=10,D为边BC的中点，O为AD上的 一点，⊙O与AB,BC均相切，则⊙O的半径为 () 2 B.7 C.2 D. 12 5 (第6题) 103 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 7.如图，在△ABC中，AB=BC,AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D,过点D作DE⊥BC于 点E,CB的延长线交⊙O于点F.若BE=1,BF=2,则AD的长为 () A.2 B.3 C.23 D.√/10 (第7题)》 (第8题) 8.如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OB=3,半径为1的⊙O与OB交于点C,且与AB相切，过点 C作CD⊥OB交AB于点D,M是边OA上的动点.则△MCD周长的最小值为 9.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AO=2,∠ACB=60°，D为圆外一点，且在AO的延长线上， AD交⊙O于点E,交BC于点F,AB=BD=DF,连接CE. (1)求证：DB是⊙O的切线. (2)求OF的长. (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 10.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC=BC,连接AC并延长到点D,使AC=CD,E是 OB的中点，连接CE并延长，交DB的延长线于点F. (1)求证：BD是⊙O的切线. (2)若AF交⊙O于点H,连接BH,且OA=2,求BH的长. (第10题) 104 >“答案与解析”见P66 第三十章直线与圆的位置关系 第3课时切线长定理 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，PA,PB为⊙O的两条切线，CD与⊙O相切于点E,分别交PA,PB于点C,D,F为优弧 AB上的点，连接AF,BF.若PA=5,∠P=40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为() A.10,40° B.10,80° C.15,70° D.10,70° (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，EA,ED是⊙O的切线，切点为A,D,点B,C在⊙O上.若∠BAE+∠BCD=236°，则 ∠E的度数为 () A.56 B.60° C.68 D.70 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E.若 AD=1,BC=2,则CD的长为 4.如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，点F在 AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积. D 0 (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，AB为⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B,CD与⊙O相切于点D,CD的延长线与BA的 延长线相交于点E.若AB=3,ED=2,则BC的长为 () A.2 B.3 C.3.5 D.4 (第5题) (第6题) 6.[2024南京中考]如图，在四边形ABCD中，ADBC,AD,CD分别与扇形BAF相切于点A,E 若AB=15,BC=17,则AD的长为 () A.8 B.8.5 C.53 D.9 105 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 7.如图，PA,PB,EF分别与⊙O相切于点A,B,D,连接OE,OF.若∠P=50°，则∠EOF的度数 为 B (第7题) (第8题) 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6,以点C为圆心，2为半径作⊙C,过AB上的动点 P作⊙C的切线PD,PE,过劣弧DE上一点Q作⊙C的另一条切线，分别交PD,PE于点M, N,则△PMN周长的最小值为 9.如图，AB为⊙O的直径，过圆外一点E作⊙O的两条切线EC,EB,切点分别为D,B,EC交 BA的延长线于点C,连接OE,OD,AD (1)AD与OE有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若EB=6,CD=4,求⊙O的半径 (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 10.如图，AB为⊙O的直径，PA,PC分别与⊙O相切于点A,C,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线于 点Q. (1)求证：OQ=PQ. (2)连接BC并延长，交PQ于点D.若PA=AB,CQ=6,求BD的长. 0 (第10题) 106 “答案与解析”见P67 第三十章直线与圆的位置关系 专题特训十三 证明圆的切线的三种方法 类型一无切点，作垂线，证相等 1.如图，O为菱形ABCD对角线上一点，⊙O与BC相切于点M,求证：CD与⊙O相切. M (第1题) 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点O,D为AB上的一点，OD= OC,以点O为圆心，OB为半径作⊙O. (1)求证：AC是⊙O的切线 (2)若AB=6,BD=2,求线段AC的长 类型二连切点，利用全等证垂直 (第2题) 3.如图，在□ABCD中，AC是对角线，∠CAB=90°，以点A为圆心，AB为半径作⊙A,交BC边于 点E,交AC于点F,连接DE. (1)求证：DE与⊙A相切. (2)若∠ADE=30°，AB=6,求EF的长 (第3题) 4.如图，PB与⊙O相切于点B,连接PO并延长，交⊙O于点E,过点B作BA⊥PE,交⊙O于点 A,连接AP,AE. (1)求证：PA是⊙O的切线， (2)若AB=DE,OD=3,求⊙O的半径 0 B (第4题) 107 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 5.如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA,垂足为E,交⊙O于点C,连接CO并延 长，与AB的延长线交于点D, (1)求证：CA是⊙O的切线， (2)若OC=2,OD=5,求AD的长. (第5题) 类型三连切点，利用角度转化证垂直 6.如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O,交CB的延长线于点E,连接DE,DE=DC. (1)DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若CD=4,BD=2,求△ABC的周长. (第6题) 7.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD,连接AC,OD. (1)求证：∠BOD=2∠CAB, (2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F.若F为AC 的中点，求证：CE是⊙O的切线. (第7题) 8.如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O,交CB于点F,点E在CD上，且CE=CF,连 接AE,AC. (1)求证：AE是⊙O的切线. (2)设AC交⊙O于点P,若AP=√3，BF=1,求⊙O的半径. C (第8题) 108 >“答案与解析”见P68 第三十章直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，⊙O是△ABC的内切圆，D,E分别为边AB,AC上的点，且DE为⊙O的切线.若△ABC 的周长为25，BC的长为9，则△ADE的周长为 () A.7 B.8 C.9 D.16 (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，点O是△ABC的内心，∠BAC=70°，P为平面内一点，点O恰好又是△BCP的外心，则 ∠BPC的度数为 () A.50° B.559 C.62.5 D.65 3.如图，点O为△ABC外接圆的圆心，点I为△ABC的内心，连接BO,CI.若∠BCI=38°，则 ∠OBA的度数为 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心，∠CDE=70°，点E在AD的延长线上， 则∠AIC的度数为 5.如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O,点I为△ABC的内心，连接CI并延长，交⊙O于 点D,E是BC上任意一点，连接AD,BD,BE,CE. (1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数. (2)求证：DI=DA. (第5题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，AE 的延长线交⊙O于点D,连接BE,BD.若AB=5,BE=√/10，则AD的长为( A.√5 B.√10 C.25 D.2√/10 (第6题) 109 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 7.如图，E,F,G,H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE,连接EF,FG, GH,HE.若EF=17,△GCH的内切圆半径为3，则AB的长为 () A.22 B.23 C.24 D.25 0 B (第7题) (第8题) 8.如图，在一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm,AC=4cm,⊙O是它的内切圆. 小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块△ADE,则△ADE的周长为 cm. 9.如图，AB是⊙O的直径，点E是△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点D,连接AD,AE. (1)求证：AD=ED. (②连接0E,若∠A0E=135,水%的值 D (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 10.(1)如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D.若AB=15,AC=8,则AD的长 为 (2)如图②，某工厂剩余一块三角形板材ABC,其中AB=100cm,BC=160cm,AC=140cm. 为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件，你认为可以吗？若 可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请 说明理由. ① (第10题) 110 >“答案与解析”见P70 第三十章直线与圆的位置关系 30.3正多边形与圆 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，分别与AB,CD相切于点M,N,P是优弧MN上的 一点，则∠MPN的度数为 () A.549 B.60° C.66° D.72 M 0. .0 N A B (第1题) (第2题) (第3题) (第4题)》 2.如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O,顶点B,E在x轴上，以BE为直径的⊙O的半径为 4,则顶点F的坐标为 () A.(-2,23) B.(2,23) C.(-2,4) D.(-23,4) 3.如图，A,B,C,D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为正多边形的中心.若∠ADB=12°，则 这个正多边形的边数为 4.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P在AF上，则∠APF的度数为 5.如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O,AC,BD相交于点P.若⊙O的半径为1，求： (1)AC的长. (2)∠APD的度数. A (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为2cm,若G为CD的中点，连接AG,则AG 的长为 () A.√J11cm B.√J13cm C.√/15cm D.√17cm (第6题) (第7题) 7.如图，正方形ABCD内接于⊙O,线段MN在对角线BD上运动.若⊙O的面积为2π，MN=1, 则△AMN周长的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 111 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 8.将边长均为2的正方形和正六边形按如图所示的方式拼接，若⊙O经过点A,B, C,D,则点O到AB的距离为 "0 9.如图，在矩形ABCD中，P是边BC的中点，⊙O是△PAD的外接圆，⊙O交边 AB于点E. (1)求证：PA=PD (第8题) (2)当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：AE=EP. 0 (第9题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.(1)如图①，△ABC是⊙O的内接正三角形，P为BC上一动点，求证：PA=PB+PC (2)如图②，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P为BC上一动点，求证：PA=PC十√2PB. (3)如图③，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，P为BC上一动点，试用等式表示PA, PB,PC之间的数量关系，并说明理由 ① ② ③ (第10题) 112 “答案与解析”见P71 第三十章直线与圆的位置关系 专题特训十四 构造辅助圆 类型一定（动）点定长模型 1.如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,且∠CAD=3∠BAC.若∠DBC=42°，则∠CAD= ,∠BDC= A (第1题) (第2题) 2.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2,则BD的长为 类型二对角互补模型 3.如图，在等边三角形ABC中，AB=6,P为边AB上一动点，PD⊥BC,PE⊥ AC,垂足分别为D,E,连接DE,则DE长的最小值为 类型三定弦对定角模型 D (第3题) 。如图在矩形ABCD中，AD=5,AB=33,点E在AB上能-)，在矩形内找一点P,便得 ∠BPE=60°，则线段PD长的最小值为 A.27-2 B.2√13-4 C.4 D.25 (第4题) (第5题) 5.[2024河南中考]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋 转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1,则AE长的最大值为 ,最小值 为 类型四圆周角为直角模型 6.如图，正方形ABCD的边长为4，E是边AB上一个动点，F是边CD上一个动点，且AE=CF, 连接EF,过点B作BG⊥EF于点G,连接AG,则AG长的最小值为 P (第6题) (第7题) 7.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC,P为圆上一动点，M为AP的中点，连接 CM.若⊙O的半径为4，则CM长的最大值为 “答案与解析”见P73 113 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 专题特训十五与圆有关的作图题 类型一作孤中点或弦中点 1.如图所示为由小正方形组成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫作格点，A,B,C三个格点都 在圆上.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示. (1)画出该圆的圆心O,并画出劣弧AB的中点D. (2)画出弦CE,使得CE=AB. (第1题) 类型二作直径 2.请用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（画图过程用虚线表示，画图结果用实 线表示) (1)如图①，AB,AC是圆的两条等弦，M,N分别为其中点，画出该圆的直径AD. (2)如图②，AB为圆的直径，弦CDAB,画出该圆的圆心O. ① ② (第2题) 类型三画圆的切线或角平分线 3.如图①②所示为由小正方形组成的7X8的网格，每个小正方形的顶点叫作格点.A,B均为格 点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） (1)如图①，C是格点，先画△ABC的角平分线BD,再在劣弧BC上画点E,使BE=AC. (2)如图②，AB所对的圆心角是120°，先画等边三角形ABF,再过点B画此圆的切线BG. ① ② (第3题) 114 “答案与解析”见P75 第三十章直线与圆的位置关系 综合与实践6生活中的优化问题 1.如图①，某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为α，b,4r的长方体纸箱，饮料罐可近似看成 底面半径为r,高为4r的圆柱体.如图②，若纸箱里装满了一层饮料，则纸箱的空间利用率为（空 间利用率为饮料罐总体积与纸箱容积的比，纸箱的厚度忽略不计) () 包装箱 ○○○○…0 ① ② (第1题) A牙 B.πr2 ab D. Aab 2.(1)如图①，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门PQ,当他带球冲到点A处时，队友乙已冲到 点B处，甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？ 对于上面这个问题，小明结合图①判断甲的视角∠PAQ小于乙的视角∠PBQ,根据“仅从射门 角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙.请结合 图①给出小明得到∠PAQ<∠PBQ的理由. (2)德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图②，A,B是平面内两个定 点，C是直线L上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与L相切于点C时，∠ACB最大. 如图③，∠MPN=30°，A,B是边PM上两点，AB=6,C是边PN上一动点， ①若∠ACB最大为90°，求PC的长 ②若∠ACB最大不超过60°，请直接写出PA长的取值范围. ① ③ (第2题) 》“答案与解析”见P75 115 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 第三十章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线1的距离为3，P为圆上的一个动点，则点P 到直线的最大距离是 () A.2 B.5 C.6 D.8 2.[2025福建中考]如图，PA与⊙O相切于点A,PO的延长线交⊙O于点C,AB∥PC,且交⊙O 于点B.若∠P=30°，则∠BCP的度数为 () A.30° B.45° C.60° D.75 G 0. 0 H (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,G是DF上一点，连接 GD,GF.若∠A=50°，则∠DGF的度数是 ( ) A.105 B.110 C.115° D.125 4.如图，⊙O的半径为6，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，AE,BF交于点G,BD,CE交 于点H,则四边形BGEH的面积是 () A.36 B.183 C.24√3 D.24 5.如图，AB为⊙O的弦，直线EF与⊙O相切于点C,且ABEF,连接OC,∠AOC=70°.若D为 弦AB所对弧上一点，则∠CDB的度数为 () A.35 B.70 C.35°或145 D.70°或110° (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,⊙O是四边形ABCD的内切圆，CD,BC分别与 ⊙O相切于F,E两点.若AD=3,BC=6,则EF的长是 () 、号 B166 Cv⑨7 5 5 D2v97 5 7.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点E是△ABC的内心，OE⊥EB.若AE=2√2，则 △ABE的面积为 () A.22 B.2 C.√2 D.1 116 第三十章直线与圆的位置关系 8如图，在平面直角坐标系中.0为坐标原点，抛物线)=一十x与：轴 5 的一个交点为A(一8,0)，C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，P为⊙C 上一动点.若D为PA的中点，连接OD,则OD长的最大值是 ( A√89 (第8题) c D②87 2 二、填空题（每小题4分，共24分） 9.如图，⊙O的半径为5，C是⊙O上一点，直线l⊥OC交⊙O于A,B两点，垂足为H,AB=8.若 将直线1沿O℃所在的直线平移后恰与⊙O相切，则平移的距离为 (第9题) (第10题) (第11题) 10.如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O,连接AE,HE.若⊙O的半径为2√2，则△AEH的 面积为 11.如图，在正五边形ABCDE中，以点A为圆心，AC为半径画弧，分别交AB,AE的延长线于点 F,G,连接CG,DG,则∠CDG的度数为 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC,BC,AB 相切于点D,E,F,则AO的长是 (第12题) (第13题) (第14题) 3如图，⊙O经过矩形ABCD的顶点A,D,与BC相切于点F,与CD相交于另一点G,若8 月则的值为 14.如图，AB,AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AB,交AC于点D,过点B作⊙O的切线，与AC 的延长线交于点E,连接BC.若CD=OD,CE=1,则AB的长为 三、解答题（共44分） 15.(14分)如图所示的正六边形ABCDEF是一个创意花坛，AB=20m.点G,H,M,N,P,Q分 别在该正六边形的六条边上，且AG=BH=CM=DN=EP=FQ,现计划在六边形 GHMNPQ内种植花卉，在剩余部分的六个全等三角形内种植草皮. 117 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 (I)正六边形ABCDEF的面积是 m2. (2)当AG的长为多少时，草皮的种植面积最大？最大面积是多少？ E ND H (第15题) 16.(14分)如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O,AD=CD,对角线AC与BD交于 点E,在BD的延长线上取一点F,使DF=DE,连接AF. (1)求证：AF是⊙O的切线. (2)若AD=5,AC=8,求⊙O的半径. (第16题) 17.(16分)已知PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,连接OP (1)如图①，AB交OP于点C,D为PB的中点，求证：CDPA. (2)如图②，OP交⊙O于点E,EF⊥PB于点F.若PA=45,⊙O的半径为2√5，求EF 的长 ② (第17题) 118 “答案与解析”见P?6 中考新题型特训 题组一传统文化 1.[2025徐州中考]“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的 等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案.如图①所示为“八连弧纹镜”的实物图，纹饰中有八 个连续的等弧连成一圈.如图②所示为一件连弧纹镜（残件）的示意图. (1)若将图②中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“ 连弧纹镜” (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图②中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”（保留作图痕迹，不写 作法). ① ② (第1题) 2.[2025贵州中考]小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具（如图①）， 有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N 的物体，且OB=1m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F(N),当改变点A与点O的距离 l()时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与（有一定的关系，记录了F与l的变化，如下表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 (1)表格中a的值是 (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与之间的关系.在如图②所示的平面直角 坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象 (3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，判断F是增大还是减小？请说明理由， F/N 300 坠 200 100 2 3 5 l/m ① ⑨ (第2题) 119 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 题组二学科融合 ■■ 3.[2025攀枝花中考]跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随 时间变化的关系”开展深入探究.先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析， 并进一步应用. 【设计实验方案】如图①，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端 由静止释放.从弹珠运动到点A处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运 动时间t(s)、运动速度v(cm/s)、运动路程y(cm)的数据. y/cm 160 140 121/(cm/s) 120 100 1 80 8 6- 60 4 40 20 04812162024t/s 024681012141618202224t/s ① ② ③ (第3题) 【收集整理数据】 运动时间t/s 0 4 12 16 20 运动速度v/(cm/s) 12 10 8 6 4 2 … 运动路程y/cm 0 44 80 108 128 140 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图②、图③的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： v与t之间的关系可以近似地用 函数表示，y与t之间的关系可以近似地用 函 数表示（填“一次”“二次”或“反比例”）. 【检验】根据猜想求出v与t,y与t之间的函数解析式，并代入一组数据进行验证. 【应用】当弹珠到达水平轨道上点A时，前方点B处有一辆电动小车以3c/s的速度在匀速向 前直线运动，若弹珠能追上小车，则AB的长最大是多少？ ■■■题组三规律探究题■■丽 4.[2025镇江中考]如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC,第1次操作：取AC的中点O1,将O1B 绕，点O1分别按逆时针方向旋转120°和180°得到线段O1C1和O1A1;第2次操作：取A1C1的中 点O2,将O2O1绕点O2分别按逆时针方向旋转120°和180°，得到线段O2C2和O2A2;·,按照 120 中考新题型特训 这样的操作规律，第30次操作后，得到线段O30C30和O3oA30.若用点C在点A的正南方向表示 初始位置，则点C30在点A0的 () A.正东方向 B.正南方向 C.正西方向 D.正北方向 C不A (O)B。x (第4题) (第5题) 5.[2025东营中考]二次函数y=x2的图象如图所示，点B。位于坐标原点，点B1,B2,·,Bn在 y轴的正半轴上，点A1,A2,…,Am,点C1,C2,…,Cm在二次函数的图象上，四边形BoA1B1C1, 四边形B1A2B2C2,…,四边形Bn-1A,nB,Cn都是正方形，则正方形B,-1 A,B.C的周长为 题组四新定义题■■■ 6.[2025乐山中考]定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫作“单位圆点”， （1)有下列三个函数：①y=x十2：②y=③y=2+1.其中，图象上存在“单位圆点“的是 (填序号) (2)若一次函数y=x十m的图象上存在“单位圆点”，则m的取值范围是 7.[2025兰州中考]如图，在黄金矩形ABCD中，A5-5,1,以宽AB为边 B AD 2 在其内部作正方形ABFE,得到四边形CDEF是黄金矩形.依此作法，四边 形DEGH,四边形KEGL也是黄金矩形.依次以点E,G,L为圆心作AF, A E K FH,HK,曲线AFHK叫作“黄金螺线”.若AD=2,则“黄金螺线” (第7题) AFHK的长为 (结果保留π). 题组五综合实践题■■■ 8.[2025巴中中考]综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，M是x轴上一点，连接AM,作线段AM的垂 直平分线L1,过点M作x轴的垂线l2,记L1,l2的交，点为P. 【操作与发现】 (1)当点M的坐标为(0,0)时，点P的坐标为 ;当点M的坐标为(4,0)时，点P的坐标 为 【猜想与证明】 (2)在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P,把这些点连接起来形成图象L,猜想L为 121 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 我们学过的 图象（填“一次函数”或“二次函数”） (3)设点P的坐标是(x,y),根据PA与PM的关系，确定x,y满足的关系式 【实践与运用】 (4)运用所学知识，要使△AMP为钝角三角形，直接写出x的取值范围， 許 1 -5-4-3-2-11012345 -2 -3 - -5 (第8题) 9.[2025兰州中考]综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请 你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题， 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生 长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决， 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子 的发芽率y(%)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度x/标准单位 00.611.7 22.5 2.73 3.34 4.2 发芽率y/% 35.0049.2856.0062.3763.0061.2559.5756.0051.1735.0029.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的，点 说明：①当x=0时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于或等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率降低到0时，停止实验， 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的解析式 (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围 y/% % 60 自然发芽率 20 0123456x/标准单位 (第9题) 122 >“答案与解析”见P79 第二十五章 一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 (m-）+4=3+4=18. 1.A原方程整理得x2一12x一25=0，其化为一元二 次方程的一般形式是x2-mx十n=0,∴.m=12,n=-25. 14.7 :m为一元二次方程x2+x一4=0的一个根， 2.C由题意，把x=0代入原方程，得a2-1=0,解得a= ∴.m2十m-4=0,即m2+m=4..4m2+4m=16..4n2+ ±1.又a+1≠0，..a≠-1...a=1. +1-1zea+1r-R∴0-品 易错警示 15.(1)△ABC是等腰三角形.理由：把x=1代人方程 忽略一元二次方程的二次项系数不为0而致错 (a十c)x2-2bx+(a-c)=0,得a+c-2b+a-c=0, 根据某个条件求一元二次方程中待定字母的值时， ∴.2a=2b.a=b.∴.△ABC的形状是等腰三角形. 要保证二次项的系数不为0. (2),△ABC是等边三角形，∴.a=b=c.:(a十c)x2 3.Dm是方程x2-2x-3=0的一个根，∴.m 2br十(a-c)=0,.(a十a)x2-2a.x十a-a=0,即x2 2m-3=0..7m2-2m=3.∴.-3m2+6m=-3(m2- x=x(x-1)=0,解得x=0或x=1.∴.这个一元二次方 2m)=-3×3=-9. 程的根是x=0或x=1. 4.x=3关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0有一 16.23a,b是方程x2一x一3=0的两个根，∴.a2 个根为x=5,∴.一元二次方程a(2x一1)2十b(2x-1)+ a-3=0,b2-b-3=0,即a2=a+3,b2=b+3..2a3+ c=0必有2x-1=5..x=3. b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)- 5.1)2xx-10=28x-x-56=0(2)x2=22- 11a-b+5=2a2-2a+17=2(a+3)-2a+17=2a+6- x)x2+2.x-4=0 2a+17=23. 6.(1)一般形式为4x2-2x十7=0.方程的二次项系数、一 17.(1)是.：当x=1时，x2-4x+3=1-4×1+3=0, 次项系数和常数项分别为4，一2,7.(2)一般形式为 .一元二次方程x2-4x十3=0是“A方程”.(2)①该 5y2十6y-15=0.方程的二次项系数、一次项系数和常数 方程是“A方程”，即关于x的方程一x2十ba十c=0的一 项分别为5,6，-15. 个根为-1，.-1-b+c=0.∴.b=c-1.②b=c- 7.C根据题意，得x×1=(1一x),整理得x2-3x十1=0. 1,∴.b2-6c=(c-1)2-6c=c2-2c+1-6c=c2-8c+ 8.D关于x的一元二次方程x2十bx十a=0有一个根 1=(c-4)2-15.:(c-4)2≥0，∴.b2-6c=(c-4)2- 是-a,∴.(-a)2-ab+a=0,即a2-ab十a=0.∴.a(a- 15≥一15.∴.当c=4时，代数式b2-6c有最小值，最小值 b+1)=0.a≠0，∴.a-b=一1..a一b的值恒为常数 为-15. 9.A由条件可知a+20十c=0,即ax+2xo=-c 25.2降次一解一元二次方程 N=(axo+1)2=a2x+2a.xo+1,M=2-ac,.N- M=(a2x号+2a.x。+1)-(2-ac)=ax+2ax。+ac-1= 第1课时配方法 a(a.x+2x)+ac-1=a(-c)+ac-1=-1<0.∴.MN. 1.D将x=2代人原方程，得(2a-1)=16,∴.2a-1= 10.C根据题意，得a十b+c=0,a一b十c=0.两式相加， 士4a=号或a=-是 得2(a十c)=0,.a=-c.两式相减，得2b=0,∴.b=0. 2.Dx2-3x十1=0，.x2-3x=-1..x2-3十 11.m≥0且m≠1由题意，得m≥0且m-1≠0，解得 m≥0且m≠1. 号-号即（一）广=是又用配方法解方程-十 12.3关于x的一元二次方程2(x一1)2+b(x一1)十c= 0可化为2x2+(b-4)x+2-b+c=0.由题意，知b-4= 1=0时，将方程化为(x-a)=b的形式，.a=2,6二5 4 -3,2-b+c=-1,解得b=1,c=-2,.b-c=3. a①972智子8若号4台专 13.13m是方程x2-3x一1=0的一个根，.m2 4.(1)7(2)8 3m-1=0m3-0m品(+动)》广= (1)(x2+y2-3)2=16,.x2+y2-3=±4.∴.x2+ y2=-1(不合题意，舍去)或x2+y2=7.(2):(a2+9.(1):x2+2xy+5y2+4y+1=0,.x2+2xy十y2+ b2+1)(a2+b2-1)=63,.(a2+b2)2=64..a2+b2= 4y2+4y+1=0.∴.(x+y)2+(2y+1)2=0.∴x+y=0, -8(不合题意，舍去)或a2十b2=8. 2x+1-ax-7y=-3w-号×（←2） 5.(1)4x2+4+1=17,.(2x+1)2=17..2x+1= -1 士，解得，亚=1亚 一4 (2)a2+5b2-4ab-2b+1=0,∴.a2-4ab+ 2 (2)x2 4b2+b2-2b+1=0..(a-2b)2+(b-1)2=0..a-2b= 号=0x-x=号2-x+(）)°=号+ 1 5 0,b-1=0..a=2,b=1.△ABC是等腰三角形，∴.c= 2或c-1(不符合三角形三边关系，舍去).∴.△ABC的周 (兮》八“(-》厂-其日士四解得 长=2+2+1=5. +四日四 微专题·配方法的应用 1.≥m-n=a2+b2-1-(2a-4b-6)=a2+b2 8-1-1=04w-10z=1-号= 1-2a+4b+6=a2-2a+1+b2+4b+4=(a-1)2+ (b+2)2.(a-1)2≥0，(b+2)2≥0，.m-n≥0，即 -吾+()=+()()-器 n≥n. 2.等边三角形a2十b2十c2-ab-bc-ac=0, . 5 4 4 4 ∴.2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0..a2+b2 2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0.∴.(a-b)2+ 易错警示 配方时易出现的错误 (b-c)2+(c-a)2=0..a-b=0,b-c=0,c-a=0. 1移项时忘记变号； .a=b=c.∴.△ABC为等边三角形. 2.系数化为1时漏项； 312令w=-3x+3y+6-y2=-(0-号)° 3.方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方」 -0+12.”-(-2x)广≤0，-子x-40< 3 (4)x(x-5)=2x-3,.x2-7x=-3.∴.x2-7x十 (侵)-3+()八(-)-平-号 7 0,W≤12..W的最大值为12. 4,设AC,BD的交点为O,则Sm边An=S△ACn十 Sax=2AC·OD+AC·0B=号AC·BD.i设 2 6.D将原方程的二次项系数化为1，得x一4虹+ =0 1 AC=,则BD=12-2,Sa无ACn=2x(12-x)= 移项，得-红=号E方，得r一十有仁一号+4， 2 2r2+6x=-7c-60+18.:-2x-6y<0, 即-2y=号a=-2.6= ..a+b=-2+ ∴.S四边无ACn≤18.当x=6时，S四边无ACD最大，为 18,此时AC=6,BD=6..当AC=BD=6时，四边形 104 ABCD的面积最大 33 7.Bx2-5x+q=0,.x2-5x=-q..x2-5x十 第2课时公式法 -g=9. 1.A 根据题意，得a=3,b=5,c=一7，.x= g=-只把g=-代人x+5x十g=-1,得2 -b±6-4c=-5±√一4X3X(=D.:.☐~处 2a 2×3 5x-=-1.2+5x=子x2+5x+() 应填-5. 2.B由题意，得a=2,b=一4，c=一1，∴.△=b2一4ac= 子+（受）》，即(+)°=8：p=号x+p)=8 （-42-4X2X(-1)=24>0..x=4生2厘_2±6 2×2 2 8.526-x2+10x+1=-(x-5)2+26≤26，.当 x=5时，一x2+10x+1有最大值，最大值为26. :2牛52,5，“其中较小的根为x26 2 2 21 3.D·关于x的一元二次方程(m一2)x2十x+1=0有 b2,得x=-2a±√4a2+46 =-a±√a2+b,.该方 实数根，.△≥0且m-2≠0，即1一4(m-2)≥0且m≠ 2,解得m<号且m≠2 程的正根为√a2+b2一a.∴.线段DE的长是方程x2+ 2ax=b的正根」 4.1+5 由题意，得(m十1)(m-1)=m,整理，得m2一 9.士3或-5①当原方程是一元一次方程时，方程只有 2 一个实数根，则k2一9=0，解得k=±3；②当方程是一元 m-1=0解得m-1或m1(不合题高，含去. 2 二次方程时，则方程有两个相等的实数根，即△=b2 5.117 4ac=4(k十1)2-4(k2-9)=0,解得k=-5.综上所述，k 2 根据题意，得x2+x-(2x-1)=5,整理，得 的值为±3或-5. x2-x-4=0.:a=1,b=-1,c=-4,∴.△=b2-4ac= 10.0根据题意，得△=(-2k)2-4(k一1)(k+3)= (-1)2-4X1X(-4)=17>0.x=-6±6=4 2a 一86十12>0，且k-1≠0，解得6<号，且k≠1.“6的最 1±亚，即x,-1+亚，1一严.：点A在数轴 大整数值为0. 2 2 2 11.-1+3 2 解法-：将2+1+3 a'bb-a =0整理，得2b+ 的负半铂52x-1长0.即×分-上严 2 2ab-a2=0,两边同时除以。得到关于名的方程：2（名）°十 1 6.(1)原方程整理，得x2-3z-=0.:a=1,b=一3， 2b -1=0,解得2 =二1±3：a>b>0, 2 c=-子4=6-4ac=(-32-4X1×(-)=10> -1+√3 0.“x=-6士-c-3±而，即，-3汁而 2 解法二：将子十古十己。=0整想，得。 2a 2 2ab-2b2=0,将其看作是关于a的一元二次方程，由公式 02-3-/ 2 .(2):a=1,b=-25,c=-4,△= 法可得4=26±+86-b土56.：4>6>0，.4 2 b2-4ac=(-25)2-4×1×(-4)=36>0.∴.x= 1+3)6.:b=-1+3 a 2 -b±-4c-5±3，即x1=5+3,x2=5-3. 2a 12.(1):△=[-(k+2)]-4×1×2k=(k-2)2≥0， (3)原方程整理，得x2+2x十3=0.a=1,b=2,c=3, ∴.原方程一定有两个实数根.(2)由(1)，知△0，x= ∴.△=b2一4ac=2-4×1×3=一8<0..原方程无实数 十2生k-2,即1=kx,=2..方程总有一定根为2 2 根.(4)原方程整理，得3x2一8x十3=0.：a=3,b= (3)由(2)，知x1=k,x2=2,不妨设b=2,则c=k. -8,c=3,..△=b2一4ac=(-8)2-4×3×3=28>0. :△AC是等腰三角形，∴.分两种情况：①当k=2时， .= -b±√6-4ac-4±7 4+√7 2a 3 b=c=2,a=3,则△ABC的周长为3十2十2=7；②当k= 47 3时，a=c=3,b=2,则△ABC的周长为3十2+3=8.综上 3 所述，△ABC的周长为7或8. 7.B由题意，得9-5a-a2-0,解得a=二5士√6 13.(1)②.(2)ax2+√2cx+b=0是“勾系一元二次 2 方程”，∴.a,b,c为同一直角三角形的三边的长，且c为斜 a>0,.a= -5+67<6i<8,.2<√- 边的长.∴.c2=a2+b2.A=(W2c)2-4ab=2c2-4ab= 2 2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0，∴.关于x的“勾系-元二 5a1同<号即1a<号 2 次方程”aa2十√2cx十b=0必有实数根.(3)：x=一1 8.C四边形ABCD是矩形，∴.∠BAD=90°.∴.BD= 是“勾系一元二次方程”ax2十√2cx十b=0的一个根， √JAB+AD=√a+b.由题意，知BE=AB=a, ∴.a-2c十b=0..a+b=√2c.四边形ACDE的周 .DE=BD-BE=√a2+b-a.,解方程x2十2ax=长是12，.2(a+b)+√2c=12..22c+√2c=12. 3 ∴.c=22..a+b=√2×2√2=4..(a+b)2=16. c)x2+2bx十(c一a)=0有两个相等的实数根，∴.△ .a2+2ab+b=16.:a2+b2=c2=(22)2=8, (2b)2-4(a十c)(c-a)=0,化简，得a2+b2=c2.2a,2b 分别为□ABCD的对角线AC,BD的长，c为边AB的长， .2ab十8=16..ab=4..S△4x= 2 ab=- 2×4-2. ∴.□ABCD的对角线AC,BD互相垂直.∴.四边形 专题特训一根的判别式的四种考法 ABCD是菱形.(2)：四边形ABCD为正方形，2a,2b 分别为□ABCD的对角线AC,BD的长，c为边AB的长， 1.A·△=k2-4(k-1)=2-4k+4=(k-2)2≥0， .方程有两个实数根. a=b=2。 c,a2+b=c2.∴c=2h.一元二次方程 2.A,关于x的方程x2-(2一2)x十2一1=0有两 (a+c)x2+2bx+(c-a)=0,.∴.△=(2b)2-4(a+c)(c 个实数根，.△=[-(2k-2)]2一4×1×(k2-1)≥0，解得 a)=4(b2+a2-c2)=0..x= 一2b -6 =1 k≤1.∴.k-1≤0,2-k>0..√(k-1)-(2-k)2= 2(a+c)b+√2b -(k-1)-(2-k)=-1. √2，即这个一元二次方程的根是x=x2=1一√2. 3.C将原方程看作是关于b的方程并整理，得b一ab十 第3课时因式分解法 a+2=04=(-a)2-4(2a+2≥0.a2-2a 1 1.D x(x-5)=5-x,∴x(x-5)-(5-x)=0. 8≥0.∴.(a-1)2≥9..∴.a-1≥3或a-1-3,解得a ∴.x(x-5)+(x-5)=0..（x-5)(x十1)=0，解得 一2或a≥4. 2x1=5,x2=-1. 4.4'关于x的一元二次方程(m2-4)x2+2(m-2)x+ 2.Cx2-10x+24=0,.(x-4)(x一6)=0，解得 1=0有实数根，∴.△=[2(m-2)]2-4(m2一4)≥0，且 x1=4,x2=6.Rt△ABC的两边长是方程x2-10.x十 m2一4≠0，解得m<2且m≠一2.∴.m取最大整数为1， 24=0的两个根，∴.有以下情况：①两直角边长是4,6，由 此时原方程为一3x2一2x+1=0,即3x2+2x一1=0. 勾股定理得，斜边长=√？+6-2√3；②一直角边长 ∴.3x2+2x=1.∴.3x2+2x+3=1+3=4. 是4，斜边长是6. 5-7:方程x2+21+az+3a2+4ab+46+2=0 3.C解方程x2+5x=0,得x,=0,x2=一5.m是方 有实数根，∴.△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b+2)= 程x2+5x=0的较大的一个根，∴.m=0.解方程x2一x 4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab- 6=0,得x1=3,x2=一2.n是方程x2一x一6=0的较 16b2+8a-4≥0.∴.-2a2-4ab-4b2+2a-1≥0. 小的一个根，∴.n=-2..m十n=0十(-2)=-2. ∴.a2-2a+1+a2+4ab+4b2≤0.∴.(a-1)2+(a+ 430x2-16=2(x-4)2,∴.(x+4)(x-4)=2(x 2b)20.(a-1)2+(a+2b)2≥0，，.(a-1)2+(a+ 4)2.∴.(x-4)[(x+4)-2(x-4)]=0.∴.(x-4)(-x+ 26r=0.u+2%=0.名=2 12)=0,解得x1=4,x2=12.当x=4时，4+7=11，不满足 a 三角形的三边关系，不合题意，舍去；当x=12时，三角形 6.(①由题意，得△=[-(m+1)]-4×1×(m-) 的周长为7+11+12=30. 5.6O是AB的中点，∴.OA=OB.O是原点，点B m2+2m+1-4m+1=m2-2m+2=(m-1)2+1.:(m 表示的数是x,∴.点A表示的数是一x.B是AC的中 1)≥0，.(m-1)2+1>0,即4>0.∴.方程必有两个不 点，.AB=BC..x-(-x)=(x2-3x)-x,解得x1= 相等的实数根.(2)，当0<m<5且m为整数时，该方 0,x2=6.点B异于原点，x≠0.x=6. 程存在两个有理数根，且△=(m-1)+1,∴.m=1.∴.原 6.(1)(x-2)(x-5)=-2,.x2-7x+10=-2. 方程为x2-2x十号=0，且4=1.：此时原方程的解为 .x2-7x+12=0..(x-3)(x-4)=0,解得x1=3, 上-二（二2》士，即-日=是加的值为1这两 x2=4.(2)(2x-1)2=3(1-2x),∴.(2x-1)(2x 2 个有理数根为2和2 1+3》=0.(2x-1)(2x+2)=0,解得x,=2x: 7.(1)四边形ABD是菱形.理由：一元二次方程(a十 -1.3)“2(e-2)》-x-…2(x-2)°- (x+2)(-8)-0.“(x-2)[2(x-3)-(x+ 3-1=-y叶5，解得=-2 。(3)原方程化为 2)】=0(-)(-2)=0,解得=3x (5x+1)(2x一3)+2(2x-3)=0,..(5x+3)(2x-3)=0. 三.4)：2-1)2-4x-1D=-4,G-1P 15z十8=0或2x-3=0,解得=-号：=多 12.:3x2+8y-3y2=0,∴.(3x-y)(x+3y)=0. 4(x-1)+4=0..(x-1-2)2=0..(x-3)2=0,解得 x1=x2=3. 3x-y=0或x十3)=02=}或x=-3”当 7.D(a1-2)(x1-x2)=0,x1-2=0或x1一x2 1 0.①如果x1一2=0，那么x,=2,将x=2代人x2十(2k十 x=3y时，+y-3+y x-y 1 =-2；当x=-3y时， x一y 1)x十k2-2=0,得4+2(2k+1)+2-2=0,整理，得 3-y k2+4k十4=0，解得k,=k2=一2；②如果x1一x2=0,那 二名…的宜为2或吃 -3y-y 么△=(2k十1)2-4(k2-2)=0,解得k=-2.25..k的 13.x1=4,x2=-1设x2-3=y,.y2-y-12=0,即 值为-2或-2.25. (y-4)(y十3)=0，解得y1=4,y2=-3.当y=4时，x2 8.D2x2-4x=5(2-x),.∴.2x(x-2)+5(x-2)= 3x=4,解得x1=4,x2=一1；当y=一3时，x2-3x=一3， 0.6G-22r十5)=0，解得，=2=-AE 即x2-3x+3=0,由△=b2-4ac=(-3)2-4×1×3= 的长是一元二次方程2x2一4x=5(2-x)的一个根，AE> 一3<0，可知此方程无实数根.综上所述，方程的解为x, 0,∴.AE=2.∠B=45°，AE⊥BE,∴.易得AE=BE= 4,x2=-1. 2.:AE垂直平分线段BC,.BE=CE=2.∴.在Rt△ABE 14x=1是方程x3+x2-3x十1=0的一个解，∴.多 项式x3+x2-3x十1的一个因式为x一1.设x3十x2 中，AB=√BE+AE=2√2，BC=BE+CE=4.:四边 3x+1=(x-1)(x2+a.x-1),∴.x3+x2-3+1=x3+ 形ABCD是平行四边形，∴.□ABCD的周长为2(AB十 ax2-x-x2-ax+1=x3+(a-1)x2+(-a-1)x+1 BC)=8+4V2. .1=a-1,-3=-a-1,解得a=2.∴x3+x2-3x+ 9.2x2-x-1=(x+1)°，∴.x+1≠0，(x+1)"=1. 1=(x-1)(x2+2x-1). ∴.x2-x-1=1.∴.x2-x-2=0.(x+1)(x-2)=0, 解得x,=一1（不合题意，舍去），x2=2. 第4课时一元二次方程的根与系数的关系 易错警示 1.C由题意，得a+b=1,ab=-6,∴.(a+1)(b+1)= 忽略零次幂的底数不能为0而致错 ab+(a+b)+1=-6+1+1=-4. 解决含零指数幂的方程时，必须先明确零指数幂的 2.B由题意，得a十B=2,3=-2026,a2-2a-2026= 底数不能为0，再进行方程求解，最后要根据限制条件检 0,∴.a2=2a+2026.∴.a2+23+a8=2a+2026+23+ 验所有的解，舍去不符合条件的解。 (-2026)=2(α+B)=4. 3.B:关于x的一元二次方程x2+2x十1一2m=0的 10.5或-号 x2-(0m+3)x+2n+2=0,(x-2)· 4=22-4×1×(1-2m)>0, 两个实数根之积为负数，. [x-(n十1)门=0，解得x1=n+1,x2=2.方程x2一 1-2m0, (n十3)x十2m十2=0是“一元二次三倍根方程”，∴.分两种 解得m>子“实数n的取值范匿是m> 情况讨论：①当3(m十1)=2时，n=-3:@当n+1= 1 4x2一6.x+6=0根据题意，得2X3=c,1十5=一b,解 2X3时，n=5.综上所述，m的值为5或- 得b=一6，c=6,∴.正确的一元二次方程为x2一6x十 6=0. 11,(1)原方程化为x2-23x+3=0,则△=(-2√3)2- 5.4a,b是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根， 4×1X3=0,.x= 25±0=5，即x1=x,=3. .a2+2a-1=0,a+b=-2..a2-1=-2a,a2= 2×1 (2)原方程化为(3y-1)2=(y-5)2,.3y-1=y-5或 -2a+1原式=-a1+2。-必=-2a+1-1 5 2b=-2(a+b)=-2X(-2)=4. 2026.x1-1+2026x2-20262=2026(x1+x2)-1 6.(1),关于x的一元二次方程x2-(2m一1)x十m2=0 20262=20262-1-20262=-1.解法二：方程x2 有两个实数根，∴.△=[-(2m-1)]一4m2=4m2一4m+ 2026x十1=0的两个根分别为x1,x2,.x1x2=1,x号一 1-4m=-4m十1≥0，解得m≤子·实数m的取值范 2026x1+1=0.·x号-2026x,=-1.x5-2026- 围是m<(2)由题意，得，十=2m-1= 20264=x2-2026x1=-1 x1x2 m2,.(1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1十x2)+4=m2一 2-号 :x1,x2是关于x的一元二次方程x2十 2(2m-1)+4=m2-4m+6.:(x1-2)(x2-2)=11, (3a-1)x+2a2-1=0的两个实数根，∴.△=(3a-1)2- .m2-4m+6=11..m2-4m-5=0,解得m1=5, 4(2a2-1)=a2-6a+5≥0，x1+x2=1-3a,x1x2=2a2- m=-1.又：m<m=-1 1.(3x1-x2)(x1-3x2)=-80,.3x7-10x1x2+3= -80..3(x1十x2)2-16x1x2=-80..3(1-3a)2- 7.D设菱形的两条对角线长分别为a,b,则2ab=12, 16(2a2-1)=-80,整理，得5a2+18a-99=0..(5a+ ∴.ab=24.:a,b是关于x的一元二次方程x2-10x十 33)(a-3)=0..a1= u,=3.:a2-6a+5≥0， 33 m=0的两个实数根，∴.a+b=10.∴.菱形的边长为 .当a=3时，32-6×3十5=-4<0，不合题意，舍去. √)+（分）a+b)-3a+b-2- a=- 33 5 210-2x2=vB. 13.(1)·原方程有两个不相等的实数根，∴.△=[一(2k一 3)]-4(k2+1)=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5>0, 8.B由题意，得m2-2m一2=0，mm=一2，m十n=2, 解得6< :m=2m+2:4m2+8m+m+2025=4(2n+ 12 (2) 思路导引 2+8n+号mi+2025=8m+8+8m+7mm+2025 k< 5 x+xz=2k-3 xx2k2+1>0 80m+0+2m+2033=8×2+2×(-2)+203 16-1+2033=2048. x1<0,x2<0 x+x2=2xx2-3 9.D5+5-2=0,.2n2=51-1=0.2m2 x1-x2=2xx2-3 代入 5m-1=0,m≠1，.m,n是一元二次方程2x2一5.x一1 ,111_n十m 的两个根&m+m1三二2，mnm (2k-3)=2(k2+1)-3 5 2 求得k的值，并检验 =-5. 10.7a,b是方程x2-3x-1=0的两个根，∴.a十b= 由题意，得x十=2张一3看=十1.由.得<是 3,a2-3a-1=0.∴.a2-3a=1..(2a2-6a-1)(3a+ 3b-2)=[2(a2-3a)-1][3(a+b)-2]=(2×1-1)× 十n=2k-8<-号<0又：=发+1>0， (3×3-2)=7. x1<0,x2<0.|x1|+|x2|=2lx1x2-3,.-x1 11.一1解法一：·方程x2-2026.x十1=0的两个根分 x2=2x1x2-3.∴.-(x1十x2)=2x1x2-3..-(2k- 别为x1x2,.x1十x2=2026,x7-2026x1十1=0，x2- 3)=2(k2+1)-3,即k2十k-2=0..k1=1,k2=-2.又 2026z+1=0,gx,≠0-2026+0.1 :<最心质=-2 x3-2026.-2026-2026,-2026.x号-2026 14.(1).x2-(m+1)x+3(m一2)=0，.△=[-(m+ 1)]-4×1×3(m-2)=m2+2m+1-12m+24=m2- 6 10m+25=(m一5)2..对于任意实数m都有(m一5)2≥(130一3x)(60一2x)=5750,整理，得3x2一220x十 0,∴.△>≥0.∴无论m为何值，方程总有两个实数根. 1025=0,解得，-（不合题意，合去。=或5垂钓 (2):边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2 通道的宽度为5m. (m+1)x+3(m一2)=0的两个实数根，∴.AB+AC= 2.C设劳动基地中的道路的宽度为x米.由题意，得(34一 m+1,AB·AC=3(m-2)(m>2).,△ABC是以BC为 2x)(18-x)=480,整理，得x2-35x+66=0,解得x1=2, 斜边的直角三角形，∴.BC2=AB2+AC2.∴.AB2十AC2= x2=33(不合题意，舍去).∴.劳动基地中的道路的宽度为 (AB+AC)2-2AB·AC=(m+1)2-2X3(m-2)= 2米 m2-4m十13=25..m=6或m=-2(不合题意，舍去) 3.2设道路的宽度为x米.根据题意，得(20一x)(12 ∴.当m=6时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形. x)=180,解得x1=2,x2=30(不合题意，舍去).∴.道路的 15.人心子由题意，得△=[-(2k-3)]-4(2必-4)= 宽度为2米 4.(1)设裁去的小正方形的边长为xcm由题意，得(32一 4k2一20k十25=(2k-5)2≥0，∴.无论k取何实数，方程都 2x)(14-2x)=280,解得x1=2,x2=21(不合题意，舍 有两个实数根.设该方程的两个根为x,x2,则x,十x2= 去).∴.裁去的小正方形的边长为2cm.(2)能.设左侧 2k一3，x1x2=2k一4.：一根大于3，一根小于3，.不妨 的小正方形的边长为ycm.根据题意，得(14一2y)· 设x1>3,x2<3..(x1-3)(x2-3)<0,即x1x2 3(x1+x2)+9<0..2k一4-3(2-3)+9<0. 322义=180，解得1=1,2=2（不合题意，舍去）.盒 2 k>2 7 于的体积为180×1=180(cm). 5.B:'四边形ACDB与四边形AENM都是正方形， 16.(1)x1=2,x2=-2,x3=3,x4=-3.(2)a≠ ∴.AB=BD=2,∠M=∠N=∠B=∠D=90°.：EF⊥ b,∴.a2≠b2或a2=b2(a=-b).①当a2≠b2时，令a2= CD,∴.∠NFC=∠EFD=90°..四边形EFDB与四边 m,b2=n,则2m2一7m十1=0,2n2一7n十1=0，m≠n. 形MNFC都是矩形.：'正方形ACDB与四边形MNFC ∴.m,n是方程2x2一7x+1=0的两个不相等的实数根】 的面积相等，∴.易得正方形AENM与矩形BDFE面积相 7 1 等.设AE=x,则BE=2-x.由题意，得x2=2(2-x),整 m十n=2mm=2六a4+b=m2+n2=(m十n)2- 理，得x2十2x-4=0,解得x1=√5-1，x2=-√5-1（不 2m=华@当公=公a=-6)时，易得。2=公= 合题意，舍去).∴.AE的长为5-1. 7士w√/41 .综上所 65-1 2 由题意，得(a十b)2=b(b+a+b),整理，得 4 ,此时a十6=2a=2a')2=45±7V4 4 述a+0的值为或5+7①或15=7画 Q2+ab-b2=0,方程两边同时除以b,得（号）广+（号）- 4 4 (3)令 =a,-n=b,则a2+a-7=0,b2+b-7=0.:n>0, 1 1=0.“只-5,1（负值舍去. b 2 7.(1)34.由题意，得DG=MN=CH=60cm,AB= 二≠一1，即a≠6.∴a,6是方程x2+x-7=0的两个 AE=BF=EF=GH=CD=x cm,EG=FH,.EG= 不相等的实数根..a十b=一1，ab=一7.∴. 680-6a-3X60=(250-3x)cm..当x=72时，BG= m 2 250一3X72=34(cm).(2)(310-2x).由题意，得AD= a2+b2=(a+b)2-2ab=15. BC=680-AB-EF-GH-CD-MN_680-4-60 25.3实际问题与一元二次方程 2 (310-2x)cm.(3)由题意，得x(310-2z)=12000,整 第1课时几何图形问题 理，得x2-155x+6000=0,解得x1=75,x2=80.,EG 1.B设垂钓通道的宽度为xm,则两块垂钓鱼塘可合成 的高度不小于22cm,即250-3x≥22，∴.x≤76..x2= 长为(130-3x)m、宽为(60-2x)m的矩形.根据题意，得80不合题意，舍去.∴.x的值为75 7 微专题·围墙问题 300,解得n=24(负值舍去)，故②正确.当1十2十…十n= 1.6设BC的长为xm,则AB=12+一工m根据题 2 600时，即m+1D=60.解得n=-1±y480,均不为 2 2 意，得x.12+)2=21,整理，得x2-13x十42=0，解 2 正整数，故③正确.综上所述，正确的个数是3. 得x1=6,x2=7.墙长6.5m,∴.x≤6.5，则x2=7不 6.C:一月份第一周的营业额为60万元，且第二、第三 合题意，舍去.∴.BC的长为6m 周的平均增长率均为m,∴.第二周的营业额为60(1十m)万 2.7设花圃垂直于墙的边AB的长为xm,则BC= 元，第三周的营业额为60(1十m)2万元.根据题意，得60十 34-3x+2=(36-3x)m.由题意，得(36-3x)x=105, 60(1+m)+60(1+m)2=218.4,整理，得25m2+75m- 整理，得x2-12x十35=0，解得x1=5,x2=7.当x=5 16=0,解得m1=0.2=20%,m2=-3.2(不合题意，舍 时，BC=36-3×5=21(m),21>20,不符合题意，故舍 去)，.m的值为20%. 去；当x=7时，BC=36-3×7=15(m),15<20,符合题 7.144设最小数为x,则另外八个数分别为x十1，x十2， 意，∴.当AB的长为7m时，所围成的花圃面积为105m. x+7,x十8，x十9，x十14，x+15,x+16.由题意，得x(x+ 16)=192,整理，得x2十16x-192=0,解得x1=8,x2 第2课时传播、平均变化率与握手等问题 24(不合题意，舍去)，∴.这9个数的和为x十(x十1)十 1.C由题意，得1+m十m(1十m)=625,解得m,=24, (x+2)+(x+7)+(x+8)+(x+9)+(x+14)+(x+ m2=-26(不合题意，舍去). 15)+(x+16)=9x+72=144. 2.10%设线上销售量占比的月平均增长率为x.由题 8.9设每件商品降价x元.根据题意，得(200一x一155)· 意，得25%(1十x)2=30.25%,解得x1=0.1=10%,x2= (20+2x)=1500,整理，得x2-35x十300=0，解得x1= 一2.1（不合题意，舍去），∴.线上销售量占比的月平均增长 15,x2=20.,要尽快减少库存，∴.每件商品降价20元. 率为10%. 200一20=0.9应将商品打9折出售。 200 方法归纳 增长率（或降低率）问题的规律 9.(1)设该市这两年参加健身运动人数的年平均增长率 设某数为a,平均增长率（或降低率）为x,则一次增 为x.由题意，得20(1十x)2=33.8,解得x1=0.3=30%, 长或降低后的值为a(1士x),两次增长或降低后的值为 x2=一2.3（不合题意，舍去），∴.该市这两年参加健身运动 a(1士x),以此类推，n次增长或降低后的值为a(1土x)”. 人数的年平均增长率为30%.(2)设该哑铃组每组应降 价m元.由题意，得(50-m-30)(150+10m)=3060,整 3.12设这种植物的主根长出x个支根.由题意，得1十 理，得m2-5m十6=0，解得m1=2,m2=3.:要尽可能多 x+号xx+(1-号)z·x=109,解得x,=12 地让利于顾客，∴.该哑铃组每组应降价3元 10.(1)设每天增长的百分率为x.由题意，得5(1十x)2= 号（不合题意，舍去），这种植物的主根长出2 7.2,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去). 支根 ∴.每天增长的百分率为20%.(2)①设应该增加m条 4(①淇淇的说法正确理由：根据题意，得弓x(x-1) 生产线，则每条生产线的最大产能为(15一0.5m)万个/天. 由题意，得(1十m)(15-0.5m)=65,解得11=4，m2=25. 40,整理，得x2-工-80=0，解得x=1±32，均不为正 2 :在增加产能的同时又要节省投人，m=4.∴应该增 整数，∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是 加4条生产线.②不能.理由：设增加a条生产线，则每 40场.∴.淇淇的说法正确.(2)由题意，得 条生产线的最大产能为(15-0.5a)万个/天.由题意，得 (x-1D(x-2+4=40,解得G,=10,x,=-7(不合题意， (1+a)(15-0.5a)=150,整理，得a2-29a+270=0.,△= 2 (一29)2-4×1×270=一239<0，∴.该方程无实数根 舍去)，∴.x的值为10. ∴，不能增加生产线，使得每天生产口罩150万个 5.D当n=4时，三角点阵中的点数之和是1十2+3十 专题特训二一元二次方程与动点问题 4=10,故①正确当1+2十…十n=300时，即nm+1 2 1.A设点P,Q分别从点A,B同时出发，xs后P,Q两 点之间的距离等于4√2cm.由题意，得AP=xcm,BQ= 经过：或号PQ的长是10em2)设经过ys 2xcm,,.BP=AB一AP=(6-x)cm.,'在Rt△PBQ 中，BP2+BQ=PQ,.(6-x)2+(2x)2=(4√2)2，解得 △PBQ的面积为12cm,①当0≤y<9时.PB-(16- 2 x,=以2=2.”当一点到达终点后，两点同时停止运 )cm.P·BC-12,即号×06-3)×6-12.解 动2z<3,即≤是x=号要使P,Q两点之间 得=4②当9<y<号时，BP=(y-16m,0= 的距离等于4厄cm,则需要经过号s 2m,则7BDC0-号(8y-16)X2y=12,解得，= 2.6∠BAC=90°，AB=AC=16cm,AD为BC边上 6,y2=- （不合题靠舍去.@当号<y<8时，Qp 的高，.易得∠DAC=45°，AD=BD=CD=8√2cm由 题意，得AD=Eicm,∴.5，=号A·BD=号×EX CQ-Cp=2y-(3y-22)=(22-y)cm,则2QP·CB= 8√2=8t(cm2),PD=(8√2-√2t)cm.:四边形PDFE 2(22-y)×6-12,解得y-18(不合题意，舍去.综上所 是矩形，∴.∠EPD=90°..∠APE=90°.∴.∠PAE= 述，经过4s或6s,△PBQ的面积为12cm ∠PEA=45..PE=AP=2tcm..S2=PD·PE= 综合与实践1黄金分割 (8√2-2t)·2t.S1=2S2,∴8t=2(82-√2t)· 1.(15-55)设AC的长为xcm.根据题意，得BC= √2t,解得t,=6,t2=0(不合题意，舍去).∴.当t=6时， AC·AB,即(10-x)2=10x,解得x1=15-55,x2=15+ S1=2S2. 5√5（不合题意，舍去），∴.AC的长为(15一55)m 3.1或4设出发后xs时，SA0N=立SA 1 2.(1)由题意，将m=1代入x2十x-1=0,得x2+x- 1 1 :S装5m=2AC·BD=2X8X6=24(cm2), 1=0,∴.x= -1±-4X1x五--15.：黄金 2 1 ·Saov-2S乖Am=2cm.:四边形ABCD是菱形， 分割数大于0，.黄金分割数为15 (2).·b2-2b= 2 .AO=CO-7AC=4 em,BO=DO=BD=3 cm: 4d6-2m6-4=0.(-名)厂+m·(←2）-1=0 AC⊥BD.①当x<2时，点M在线段AO上，点N在线段 又b≠-2a,a2+ma-1=0,.a,- 是一元二次方程 b B0上，由题意，得2(4-2z)(3-x)=2,解得，=1， x2+mx-1=0的两个根.(3)记p2+mp-1=q①， x2=4.:x<2,∴.x=1.②当2<x<3时，点M在线段 g2+g-1=p②，由①十②，得(p2+g2)十n(p十q)-2= 0C上，点N在线段B0上，由题意，得2(2x-4)(3- p+q,.(p+q)》2-2pg+n(p+q)-2=p+q.由①-②， x)=2,整理，得x2-5x十8=0.△=(-5)2-4X1×8= 得(b2-g2)+n(p-q)=-(p-q),∴.(p+q)(p-g)+ 一7<0，.该方程无实数根.③当x>3时，点M在线段 n(p-q)=-(p一q).:p≠q,即p-q≠0，∴.（p十q)十 n=-1..p十q=-n-1.又：(p十q)2-2pg+n(p+ 0C上，点V在线段0D上，由题意，得2(2x-40(x q)-2=p+q,∴.(-n-1)2-2g+n(-n-1)-2= 3)=2,解得x1=1,x2=4.x>3,∴.x=4.综上所述，出 -n-1..n2+21+1-2pg-n2-n-2=-n-1. 发后1：或4：时.Saw=立5m .g=n.∴.pg一n=0. 4.(1)设经过xs,PQ的长是10cm.过点Q作QE⊥AB 3(①设AP=x,则BP=1-x.根据题意，得气=兰， 于点E.由题意，知AP=3xcm,CQ=2xcm.∴易知 整理，得x2十x一1=0，解得x,= -1+/5 -1-5 2 “,x2= PE=116-2x-3x=|16-5x|cm,EQ=6cm.∴.116- 2 5+8-10,即16-5P-64解得-号-兽 不台会去0-生5船-， 2 9 即黄金比为5一二 8.C由题意，得mn=2025,m2-2024m+2025=0, 2 .(2)①设△ABC中BC边上的高为 n2-2024n+2025=0,.∴.m2-2023m+2025=(m2- 2CD·h 2BD·h 2024m+2025)+m=0+m=m,n2-2023n+2025= S△ABD S△Ax 1 BD·h 1 即品 BC·h (n2-2024n+2025)+n=0+n=n.∴.(m2-2023m+ 2025)(n2-2023m+2025)=m=2025. 肥D是线段C的黄金分制点 ②设△ACD的面 9B设经过的时间是x8.根据题意，得2(50一2x)· 积为5，则△ABD的面积为4-S.由题意，得，为 3x=450,整理，得x2-25x+150=0,解得x1=15,x2= 10.:一点到达终点时，两点同时停止移动，∴.3x≤40. 4整理，得5-125+16=0，解得5，-6-25,5， 4<9=10.:当△PCQ的面积为450m时，经 6+25(不合题意，舍去)，.△ACD的面积为6-25. 过的时间是10s. 第二十五章拔尖自主测评 1 10,A”∠ABC=90,AB=m,BC=2,.AC 1.C,关于x的一元二次方程(m十3)x2-4x十mx十 VAB+BC=√m+子.AE=AD=AC-CD |m十3=0的常数项是6，∴.m|+3=6,m+3≠0，解得 m=3.把m=3代人原方程可得6x2一x十6=0，∴.一次项 AC-BC-Vm=m 1 1 是一x /n2+4m2 2.A:△=b2-4ac=[-(3k+1)]2-4×1×(3k2+ h0·2n±√7—= 4 2)=9k2+6k+1一12k2一8=-3k2+6k一7=-3(k- 3=±√r+m-2:“一定是关于x的-元 1 1)2一4<0，.方程无实数根， 次方程x2十nx=m的一个根的是线段AE的长。 3.A2x2-5x-1=0,.2x2-5x=1..x2- 2x- 11.24x2-8x+15=0,.(x-3)(x-5)=0..x1= 2+()-3+(停)…(-)-器 3,x2=5.·当菱形边长是3时，3+3=6<8，不能组成三 角形，∴.该菱形的边长是5.：四边形ABCD是菱形， 4D解2x-9x十8=0，得=9生厘.：原方程的两 4 ·AC⊥BD,BD=2OB,0A=令AC=4·OB- 个根分别为a,b,且a>b,a=9+√亚 √AB2-OA7=√5-4平=3.∴.BD=6.∴.S装形An 4 5.Da是方程x2-2025x+1=0的一个根，∴.a2- 2AC·BD-2X8X6=24 2025a+1=0...a2-2025a=-1,a2+1=2025a.,∴.原 12.25根据题意，得a十B=2,a2=2a十4，.a°十83十 式=a-202m+a十0=-1+a十} 1=a(2a+4)+83+1=2a2+4a+83+1=2(2a+4)+ =-1+ 4a+83+1=8a+83+9=8(a+B)+9=8×2+9=25. Q2+1--1+2025a=-1+2025=2024. 13.41设共有x名同学.根据题意，得x(x一1)十x= a 1681,解得x1=41,x2=一41（不合题意，舍去），.共有 6.A由题意，得△=(4m)2-4×4X(-3m一1)= 41名同学 16m2+16(3m+1)=0,即m2+3m+1=0,.m2= 14.1根据题意，得8X5一2×7(8一x)(5-x)=12,解 -3m-1,m2+3m=-1..∴.m3+4m2+4m-2= m(-3m-1)+4m2+4m-2=m2+3m-2=-1-2= 得x1=1,x2=12(不合题意，舍去)，∴.x的值为1. -3. 1板x=0.=子”关于x的-元二次方程ar十 7.D设这种机床每台的售价应定为x万元.由题意，得 bx十c=0(a≠0)的两个根分别为x1=一1，x2=2, (60-) =2X60×(1+25%),解得x1=3,x2=5. -么=-1+2=1,6=-1X2=-2.将方程c(x Q 10 1DP+6-1D+a=0变形，得后(-1)+合x-1D+ 以.理由：.mx2一3(m一1)x十2m一3=0，∴.(x一1)· 1=0,.-2(x-1)2-(x-1)+1=0,即2(x-1)2+(x (x-2m+3)=0.x,=1,x,-2m-3.2m-3=2 m 1)-1=0.∴.[2(x-1)-1][(x-1)+1]=0.∴.x=0, 3 m ∴当整数m=一1或一3或3时，x2也是正整数 3 x2=2 ∴.该方程的两个实数根可以都为正整数. 16.-6,a,B为方程x2-2(2-k)x十k2+8=0的两个 19.(1)由题意可知，涂色部分可合成长为(40一2x)m、宽 实数根a十B=2(2-k).t=a十里_2(2-k)-4 k 为(30-2x)m的矩形，∴.(40-2x)(30-2x)=600,整理， 2.又△=[-2(2-k刀2-4(k2+8)≥0，.k≤-1. 得x2-35.x十150=0，解得x1=5,x2=30(不符合题意，舍 :-4≤4<01-6≤号-2<-2.即-6≤1<-2 去)..x的值为5.(2)由题意，得(200十a)（60- .t的最小值为一6. 号×1)=12320，整理，得a2-10a+1600-0,解得a,= 17.(1):(2x-1)=x(1-2x),.(2x-1)+x(2x- 1D-0(2x-1Dc+1D=0,解得号。=-1 20,a2=80(不合题意，舍去)，∴.此时a的值为20. 20.(1)此方程为“特优方程”.理由：x2一22x+85=0, (2)3x2-10x+6=0,.3x2-10x=-6..x2 ∴.(x-17)(x-5)=0,解得x,=17,x2=5.17>5>0, 9=-2-9+(g)》=-2+要(-) 3<号<4，此方程为“特优方程、(2)由根与系数的 3 关系，得十-54-：十对 (3)2x2=25x-1,.2x2-2√3x+1=0.△=b2- 4ac=(-23)2-4×2×1=12-8=4>0,∴.x= 3x(a+-5=只.(5)- 生证-2装-出，即-， 2a 2X2 2· 5X生5号，解得1-器：-3>0-8 ,8-1 ∴.此时方程为4x2-18x十14=0，即2x2-9.x十7=0，解 2 7 18.(1):△=[-3(m-1)]2-4×m×(2m-3)=m2- 得=2=1.·x1>x2>0,且3<9<4.符合 6m十9=(m一3)≥0，.该方程有两个实数根.(2)可“特优方程”的定义..k=3. 第二十六章 二次函数 26.1二次函数的概念 (2),矩形AEGF的面积是10，∴.10=-2x2+4x+16, 解得x1=3,x2=-1(不合题意，舍去).∴.BE的长为3. 1.A:y=2(x-3)2+2=2x2-12x十20，∴.该函数的 二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，一12,20. m≠0， 5.D由题意，得 解得m=-3. 2.B七月份生产零件50万个，则八月份生产零件50(1十 m2+3m+2=2, x)万个，九月份生产零件50(1+x)万个，∴.y=50+ 易错警示 二次函数必须满足的条件 50(1+x)+50(1+x)2. (1)含有自变量的代数式必须是整式；(2)化简后 3.2由题意，得|m=2且m十2≠0，解得m=2. 自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不为0，如本题 4.(1):'正方形ABCD的边长是4，BE=x,DF=2BE, 中易因不考虑自变量的系数出错，由m2+3m十2=2解 .AE=AB-BE=4-x,AF=AD+DF=4+2x...y= 得m的值中应去掉m=0的情况. (4-x)(4十2x)=-2x2+4十16.点E不与点A,B重 合，.0<x<4..y=-2x2+4x+16(0<x<4). 6.y=-3x2+28x由题意，得AB=x米，BC=(28- 11 3x)米，.y=AB·BC=x(28-3x)=-3x2+28x. 6.(1)一3；y轴。(2)（一1，一1）.(3)图象如图所示. 7.如图.四边形ABCD是边长为2的正方形，.∠A= -4≤y≤0. ∠B=90°.∴.∠1+∠2=90°.，四边形EFGH为正方形， ∴∠HEF=90°，EH=FE.∴.∠1+∠3=90°.∴∠2= ∠A=∠B, 3 ∠3.在△AHE和△BEF中， ∠2=∠3，..△AHE≌ -2 EH=FE, 654320123456元 △BEF..AE=BF=x,AH=BE=2-x.在R△AHE 2 中，由勾股定理，得EH=AE+AH=x2+(2-x)2= 3 2x2-4x+4..y=2x2-4x+4(0<x<2). 5 -6 (第6题) 7.C:点B(一1，y2)在该抛物线y-ax2(a>0)上， ∴.易得点(1，y2)也在该抛物线上.对于该抛物线，在y轴 的右侧y随x的增大而增大，而0<1<2，∴.y1>y2>0. F (第7题) 8.c 26.2二次函数的图象和性质 思路导引 点B的横坐标与 第1课时二次函数y=ax2的图象和性质 纵坐标之和为6 B(a,6-a) 1.D点(W5,2)与（一√5,2）关于二次函数y=-ax 设，点B的横坐标 6-a=a2 为a 点B在抛物 的对称轴y轴对称，且该函数图象经过点（一3,2），.该 线yx上 点B在第 一象限 函数图象必经过点（√3,2） 求出OB 人 点B的坐标 2.B,抛物线开口向下，∴二次项系数小于0.∴.选项 得出答案 A.C不衍合题意：-号引<-石1.地物线y一 AC=OB 正方形OABC 设点B的横坐标为α.'点B的横坐标与纵坐标之和等于 号：的开口更大 6,.点B的纵坐标为6一a.:点B在二次函数y=x2的 3.Dab>0,∴a>0,b>0或a<0,b<0.当a>0,b> 第一象限的图象上，∴.6一a=a2,解得a,=一3（不合题 0时，抛物线y=ax2开口向上，顶点为原点，直线y=ax十 意，舍去)，a2=2.∴.6一a=4.∴点B的坐标为(2,4).如 b经过第一、二、三象限，此时无选项符合题意.当a<0, 图，连接OB,则BO=√22+4=25.四边形OABC b<0时，抛物线y=ax2开口向下，顶点为原点，直线y= 是正方形，∴.AC=OB=2√5 az十b经过第二、三、四象限，此时选项D符合题意。 4.0:抛物线y=ax2的对称轴为y轴，而点A(x1,8), B(x2,8)(x1≠x2)均在抛物线上，∴.x1十x2=0..当 x=0时，y=0. m-3=2, 5.5由题意，得 解得m=5. 2-m0. (第8题 易错警示 9.)<0≤3当抛物线经过点(1,3)时a=3;当抛物线 确定二次函数y=ax2解析式时的注意点 确定二次函数y=a.x2时易忽略开口方向隐含的条 经过度3,1时.a专观察图象可知日<a 件致错」 10.y=2x2设直线1对应的函数解析式为y=kx+b.把 12 (3k+b=0 A(3,0),B(0,3)代入，得 0解得一1直 第2课时二次函数y=ax2+k、 b=3, b=3. y=a(x-h)2的图象和性质 线1对应的函数解析式为y=一x+3.设P(t,一t+3) 1.D,抛物线y=ax2+2026(a>0),.当x>0时，y (0t<3).:△40P的面积为3，号×3(-1+3)=3， 随x的增大而增大，且对应函数的最小值为2026.：0< 解得t=1.∴.点P的坐标为(1,2).把P(1,2)代人y 20252026 ax2,得a=2.∴.二次函数的解析式为y=2x2. 202350283%>>0 11.:点A的横坐标为3，AB垂直于x轴，∴.点B的横 2.D一次函数y=kx十b的图象经过第一、二、四象限， 坐标为3.将x=3代入y=x2,得y=9;将x=3代人y= 故k<0,b>0,由二次函数y=k(x一b)2的图象可知k< x,得y=1,点A的坐标为(3,9)，点B的坐标为3， 1 0,b<0,故选项A不符合题意.一次函数y=kx十b的图象 1).:CD∥x轴，∴.点D的纵坐标为9.将y=9代入y= 经过第一、二、三象限，故>0，b>0,由二次函数y= 号2，得9=号，解得x=9或x=-9(舍去)点D k(x一b)2的图象可知k<0,b>0,故选项B不符合题意. 一次函数y=kx十b的图象经过第一、二、四象限，故k< 的坐标为(9,9)..BE∥x轴，∴.点F的纵坐标为1.将 y=1代人y=x2,得1=x2,解得x=1或x=一1（舍去）， 0,b>0,由二次函数y=k(x一b)2的图象可知k>0,b< .点F的坐标为(1,1).∴.AB=8,BF=2,DA=6..四 0,故选项C不符合题意.一次函数y=kx十b的图象经过 边形ADBF的面积为2BF·AB+名DA·AB=AB· 第一、二、三象限，故k>0,b>0,由二次函数y=k(x-b)月 的图象可知k>0,b>0,故选项D符合题意 (BF+DA)=2×8X(2+6)=32. 3.(3,4)抛物线y=ax2-1的顶点坐标为(0，一1)， 12.(1)当y=0时，x=-2,.A(-2,0).(2)当a.x+ 点(0，一1)向右平移1个单位长度，向上平移2个单位 2a=a.x2时，解得x=2或x=-1,∴.B(-1,a),C(2, 长度到点A(1,1)处，∴.点P(2,2)向右平移1个单位长 4a).点B'与点B关于x轴对称，∴.B'(-1,-a). 度，向上平移2个单位长度到点Q(3,4)处 .AC=16+16a2,B'C=9+25a2,AB'2=1+a2.①当 4.675二次函数y=3(x一3)2的图象开口向上，对称轴 AC为斜边时，16+16a2=9+25a2+1+a,解得a= 为直线x=3.:当x分别取x1,x2(x1≠x2)时，函数值相 5 等，.x1十x2=6..31十3x2=18..当x取3x1+ 或a=-压（舍去）：@当BC为斜边时，9+25a=16十 5 3a2,即x=18时，函数值为3×15=675. 16a2+1+a,解得a=1或a=-1(舍去)；③当AB'为斜 5.(1)由题意，得A(-1,0),B(0,-1).将x=0,y=-1 边时，1+a2=16+16a2十9+25a2,此方程无实数根.综上 代入y=a(x十1)2，得a=一1，则抛物线对应的函数解析 所述a的值为5或1，(3)如图①，当直线y=ax十 式为y=-(x+1)2=-x2-2x-1.(2)如图，过点C 2a经过点0,3)时a=号，此时有5个格点：当直线y 作CD⊥x轴于点D,将C(-3,b)代入y=-x2-2x-1, 得b=-4,即C(-3,一4)..S△c=梯0D一S△cn x十2a经过点1,5)时a=号，此时有6个格点，则号 5 5aw=×3x4+1D-号×4x2-×1x1=8 a<号，有6个格点如图②，当u=2时，有6个格点综上 所述，<a<号或a=2 2 (第5题) 6.B如图，过点A作AH⊥x轴于点H.:四边形 ② ABCO是正方形，∴.∠AOB=45°.∴.∠AOH=45°= (第12题) ∠OAH.∴.AH=OH.设A(m,m),则易得B(0,2m), 13 m=am+c4=-.c的值为-·2m 2m=c. B'(4,-3)代人y=kx+b,得 解得 4k+b=-3, -2. 13 k= 12 13 ∴.直线AB对应的函数解析式为y=一 6= 3 令当y=一1时、是+音=一1解得袋当点 (第6题) P的坐标为（袋-1）时，PA+PB取得最小值 7.B函数图象的对称轴为直线x=h.①若h≥3，则当 11.(1):二次函数y=(x+2)2的图象与y轴交于点B, x=3时，y取得最大值，即-(3-h)2=-1,解得h=2(舍 ∴.令x=0,得y=4.∴.B(0,4).:二次函数y=(x+2) 去)或h=4.②若h≤1，则当x=1时，y取得最大值，即 的图象与x轴交于点A,∴.令y=0,得x1=x2=一2. -(1-h)2=-1,解得h=0或h=2(舍去).③若1<h< ∴.A(-2,0).(2)由题意，令y=4,则4=(x+2)2, 3,则当x=h时函数取得最大值0，不符合题意.综上所述， ∴.x1=0,x2=-4..C(-4,4)..BC=4,OB=4, h=0或4. 0A-2S80m=号(0A+BC)XOB=2X×(2+ 1 8.B由点A,B的坐标，可知a<0.:|m-h|<|n-h, 4)×4=12.(3)①当BC为边时，有BC=AP=4,且点 ∴.点C比点D离对称轴更近.画草图（图略）可知y1>y2. P必在x轴上，设P(m,0),∴.AP=m十2.∴.|m+2 g(0,)过点A作AD1BC于点D,则AD=2 4.∴.m1=2,m2=-6..P,(2,0),P2(-6,0).②当BC :△ABC为等边三角形，∴AB=AC,∠ACD=60° 为对角线时，对角线PA和BC互相平分，设P(x,y),易得 -2+x=-4十0,0十y=4+4,∴.x=-2,y=8,∴.P3(-2, ·易得CD= 号A0-29c(-计号.2以设地物线 8).综上所述，满足条件的点P有三个，P,(2,0),P(一6， 0),P3(一2,8). 对应的函数解析式为y=a+3,则。(-3计25+3)”- 第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的 2解得a=兰y=号(x+3识.当x=0时y 27 图象和性质 21 “抛物线与y轴的交点坐标为(0，)】 1.C根据题意知，将拋抛物线y=3(x一2)2+1向下平移 2个单位长度，向右平移3个单位长度后所得抛物线对应 10.(1),抛物线的顶点坐标为(2,0)，∴.设抛物线对应 的函数解析式为y=3(x-5)2-1. 的函数解析式为y=a(x一2)2.：该抛物线经过点(4,1)， 2C:抛物线y(女+1+3，.抛物线的升 “1=aX4一2，解得a=子.“范物线对应的函数解 向下，对称轴为直线x=一1，顶点坐标为（一1,3），当x> 析式为y= 4(x-2)2=1 x2-x+1.(2)存在.联立 一1时，y随x的增大而减小，函数的最大值为3，∴.当x> 1时，y随x的增大而减小.故①③④⑤共4个正确 42, x1=1, 3.A:二次函数y=a(x一h)2十k的图象经过(0,3)、 解得1 x2=4, .点A的坐标 （66两点a>0,0<A<60h<即A<a只有 y= 4x2-x+1, y=4,y2=1. 选项A符合题意。 为(1，)，点B的坐标为(4,1.作点B关于直线y=一1 4.1≤t<5:a=-1<0,.抛物线开口向下.：抛物 的对称点B,连接AB'交直线y=一1于点P,此时PA十 线的对称轴为直线x=1,∴.当x>1时，y随x的增大而 PB取得最小值.易知点B'的坐标为(4，一3).设直线AB 减小.：当t<x<5时，y随x的增大而减小，∴.1≤t<5. 5.(1)将A(1,0)代人y=(x-2)2+m,得(1-2)2+m= 对应的函数解析式为y=kx+6(k≠0).将A(1,) 0,解得m=一1，.二次函数的解析式为y=(x一2)2-1. 14 当x=0时，y=4-1=3,∴点C的坐标为(0,3).由于点点C的坐标为(c,2),则点D的坐标为(c+2,2).h= C和点B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x 2c+2 2 =c+1..把C(c,2)代入y=-3(x-h)2+k,得 2,.点B的坐标为(4,3).将A(1,0),B(4,3)代入y 2=-3Lc-(c+1)]2+k,解得k=5. kx十b:得4十b=3, k+b=0, 解得 =1,“一次函数的解析式 b=一1. 10.（1)当m=5时，y=-2(x-5)2+4,当x=1时，n= 为y=x一1.(2)存在.如图，过点C作CP∥AB交抛物 线于点P,则P即为所求点.CP∥AB,∴易得直线CP 2×4+4=-4(2)当n=2时，将C(1,2)代入y 1 /y=(x-2)2-1, 对应的函数解析式为y=x十3.联立 x-m)2十4，得2=-21-mP+4,解得m=3或 1 y=x十3， (x-2)2-1=x十+3，∴.x=0(舍去)或x=5.∴.点P的坐 m=一1（舍去），∴.此时抛物线的对称轴为直线x=3.根据 标为(5,8). 抛物线的对称性可知，当y=2时，x=1或x=5,故结合图 P 象可知，当y≥2时，x的取值范围为1≤x≤5.(3)，点 A与点C不重合，∴.m≠1.：抛物线的顶点A的坐标是 B (m,4),∴.抛物线的顶，点在直线y=4上.当x=0时，y= -m+4点B的坐标为(o,-之m2+4小如图，地 1 物线从图①的位置向左平移到图②的位置前，m逐渐减 (第5题) 6.A一次函数y=cx十a的图象经过第一、二、四象 小，点B沿y轴向上移动.当点B与点O重合时，如图①， 限，∴.a>0,c<0.二次函数y=a(x-3)2十c的图象 2m2十4=0，解得m=2/或m=一22（不合题意，舍 开口向上，顶点为(3，c)在第四象限，∴.a>0,c<0.故A 去)，当点B与点D重合时，如图②，顶点A也与点B,D 正确.一次函数y=cx十a的图象与y轴交于负半轴， ∴.a<0.二次函数y=a(x-3)2+c的图象开口向上， 重合，点B到达最高点，点B(0,4).一2m十4=4、 ∴.a>0.故B错误.二次函数y=a(x一3)2十c的对称轴 ∴.m=0.当抛物线从图②的位置继续向左平移时（如图 为直线x=3,在y轴右侧，故C错误.：一次函数y= ③)，点B不在线段OD上，∴.当点B在线段OD上时，m cx十a的图象经过第一、二、三象限，∴.c>0.:二次函数 的取值范围是0≤m<1或1<m<2√2. y=a(x一3)2十c的图象的顶点(3，c)在第四象限，∴.c< y 0.故D错误 B(A D) 7.B抛物线的对称轴为直线x=1.,a=3>0,∴.抛物 线开口向上.∴点到对称轴的距离越远，函数值越大 :点(-2，y1)到直线x=1的距离为一2-1=3，点(0， OB) y2)到直线x=1的距离为0一1|=1，点(3，y)到直线 x=1的距离为3一1=2，.到对称轴的距离从远到近依 ② 次为(-2y1),(3,y3),(0y2).∴.y1>y3>y2 8.6:二次函数y=(x-2)2+1,∴.该函数图象开口向 上，对称轴为直线x=2,当x=2时，y取得最小值1.x= D 一1时，y=(-1一2)2十1=10，当-1xm时，函数y= (x一2)2+1的最大值为17，∴.当x=m时取得最大值，即 (m-2)十1=17，解得m=6或m=-2(舍去) 9.5点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(6,2)， ③ (第10题) ∴.AB=6.抛物线y=一3(x一h)2+k(h,k为常数)与 11.(1)当x=0时，y=-3,当y=0时，x=3,∴.A(0, 线段AB交于C,D两点，且CD-号ABCD=2.设 -3),B(3,0).将A(0,-3),B(3,0)代入y=a(x-2)2+ 15 (4a+k=-3, .a=-1, 5.A①当k>0时，函数y=kx十k的图象经过第一、 k,得 解得{ .抛物线对应的函数解 a+k=0, {k=1, 二、三象限，函数y=一kx2十4x十4的图象开口向下，∴.B 析式为y=-(x一2)2+1=-x2+4x-3.(2)由抛物线 不正确，不符合题意.②当k<0时，函数y=kx十k的图 的顶点式，得C(2,1).设直线AC对应的函数解析式为 象经过第二、三、四象限，函数y=一kx2十4x十4的图象开 y=bx一3，则2b一3=1，解得b=2,∴.直线AC对应的函 口向上，.C不正确，不符合题意.函数y=一kx2十 数解析式为y=2x一3.当y=0时，2x一3=0，解得x 是△ABC的面积为2×(3-2)×1+3)=8 4女十4的对奇辅为直线=一头=是<0，A正确，符 合题意，D不正确，不符合题意 (3)由题意，设点P(x,一x2+4x-3)(0x<3),则 6.A二次函数y=mx2-4m2x-3,∴该函数图象的 D(x,x-3),.PD=-x2+4x-3-(x-3)=-x2十 对称轴为直线x=2m,与y轴的交点为(0，一3).：'P(xp, 3x=-(-)厂+号4当x=号时，PD的长有最大 yp)是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤一3，分两 值，为此时点P的坐标为（号，） 种情况：①当m>0时，对称轴x=2m>0,此时，当x=4 时，y≤-3，即m·4-4m2·4-3≤-3，.m≥1.②当 第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 m<0时，对称轴x=2m<0,当0≤x≤4时，y随x的增大 1.B原抛物线y=2x2+4x+3=2(x十1)2+1，.其 而减小，则当0≤xp≤4时，yp≤-3恒成立.综上所述，m 顶点坐标为（一1,1）.∴.经过平移后的新抛物线的顶点坐 的取值范围是m≥1或m<0. 标为(2,3). 如图，连接OC,OD,分别过点D和C作x轴的垂 2.A:y=3x2+bx+1,∴.当x=0时，y=1.∴.抛物线 过点(0,1).：抛物线的开口向上，对称轴为直线x= 线，垂足分别为M和N.:四边形ABCD是正方形，原点 O是正方形的对角线交点，.OC=OD,∠COD=90°. 2x3 b 一6“抛物线上的点离对称轴越远，对应函数 ∴.∠CON+∠DOM=∠CON+∠OCN=90 ∴.∠DOM=∠OCN.在△DOM和△OCN中， f∠DOM=∠OCN, >-名，20-1<-名点A(-2)到对 2 -62 ∠DMO=∠ONC=90°，∴.△DOM≌△OCN.又，点D 称轴的距离大于点(0,1)到对称轴的距离，小于点B(1,y2) OD-CO. 到对称轴的距离..1<y<y2 的坐标为(1,3)，∴.OM=CN=1,DM=ON=3.∴.点C 3.(1)(2,-10)(2)9 的坐标为3，-1D.将C3,-1D代人y=-号2+b缸，得 (1):抛物线y=2x2十4mx十m的对称轴为直线x=2, 4m. ·x=一2x2-2,解得m=-2.·y=2x2+4x+m= 吉×十必=-1，保得6-号 2x2一8x-2=2(x一2)2-10.∴.抛物线的顶点坐标为(2， 一10).(2)：二次函数y=ax2+6x十a的函数值最小 是8，a>0,y=4如36=8.整理，得a2-84-9=0, Aa ∴.a=9或a=-1.a>0,∴.a=9. 4.(1)把(2,1)代人y=-x2+ax+1,得1=-4+2a十1， 解得a=2..y=-x2+2x十1=-(x-1)2十2..图象 (第7题) 的顶点坐标为(1,2).(2)①把x=3代人y=一x2+ 8.(1)当m=2时，二次函数y=ax2+bm+3的图象过点 2x+1,得y=-9十6十1=-2.∴.n=-2.②m为点 (一2,0)和(6,0)，把（一2,0）和(6,0)代人解析式，得 Q的横坐标，点Q到y轴的距离小于2，∴.|m<2.抛 4a-2b+3=0, 物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2)，∴.y的最 解得 a=-4' (2):二次函数y= 36a+6b+3=0, 大值为2.2-1<1-(-2)，当x=一2时，y=一4一4十 b=1. 1=-7,.一7n2 ax2+bx十3的图象过点（一m,0)和(3m,0),.抛物线的 16 对称轴为直线x=m.:二次函数y=ax2十bx十3的图象 N,C=DN,时，过点C作CE⊥DN,于点E.设DN,=t, 过点A(一n,3),(0,3),且点A不在坐标轴上，.由图象 则EN,=2-t,CE=在R△CEN,中，由勾股定理可 的对称性，得-n=2m,且n≠0.m=-受：-2< 知，(2-0+（侵）广=，解得=瓷N,(侵，) n<1.-2<-号<1.-2<<n的取值范围 综上所述，存在点N,(受，)或N,(号，-)或 是-2<n<4且n≠0.(3)抛物线过点(-m,0), （3m,0).抛物线的对称轴为直线x=一m十3m=m N,(侵4)或N,(受，)，使△NCD是等腰三角形， b ·-2a=m.b=-2am.八b2+4a=(-2am)+4a= 4a(am2+1).:点(-m,0)和(3m,0)在二次函数y= am2一bm+3=0①， a.x2+bz十3的图象上，. ①X3+ 9am2+3bnm+3=0②， ②，得12am2+12=0..am2+1=0..b2+4a=4a×0=0. ② g.1< 。将二次函数y=x2一2x十3配方可得y= (x一1)2十2(x<2),∴.图象开口向上，对称轴为直线x= 1,顶点为(1,2).当x=1时，函数有最小值为2，x1十 =2:-次丽数y=-子x+号(u≥2.当=2 时，有最大值3，当y=2时，=号由条件可知点A(, ③ y1),B(x2y2),C(x3,y3)(x1<x2<x3)在直线y=m (第10题) 上n==%=m,2<m<3.2<号1= 专题特训三确定二次函数的解析式 x3y3 x1y1十x2y2x1m十x2mx1十x2 “1<号 1.C由图可知二次函数图象与y轴交于正半轴，∴.c> 0.故B选项、D选项不符合题意.：二次函数图象的对称 1 10.(1D对3y=一2x十2，当x=0时)=2：当y=0时， 销为直线-名=一名一冬>0，ib0故A选 b x=4,.B(4,0),C(0,2).(2)存在.设二次函数为y= 项不符合题意，C选项符合题意 a(x-m)(x一n)(a≠0).：二次函数图象经过点B(4, 0),A(-1,0),∴.y=a(x-4)(x十1).把C(0,2)代人y= 2y=方-x+ :抛物线y=ax2十br十c过点 a(x-4)(x+1),得a×(0-4)×(0+1)=2,解得a= a+b+c=1, y=-40+D=+2x+2 A(1,1),B(3,3),C(5,9),: 9a+3b+c=3, 25a+5b+c=9, 次函数图象经过点B(4,0),A(一1,0)，∴对称轴为直线 a2 =D(号0)C(0,2,CD= 解得b=一1，∴.这个抛物线对应的函数解析式为y= √（受-0）+0-2)=号.①如图0.当Dc=DN时. DN-号N,(号，)，N(层，-）.@如图②，当 CD=CN3时，过点C作CH⊥DN3于点H.:CD= 3.(1)把A(0,6),B(3,3),C(4,6)分别代入y=ax2+ CN3,CH⊥DNg,∴.DH=N3H.'C(0,2),∴.DH=2. c=6 a=1, bx十c,得9a+3b十c=3,解得b=-4,∴.二次函数的 N,H=2.ND-4N(受，4)③如图③，当 16a+4b+c=6, c=6. 17 解析式为y=x2一4x十6.(2)当y>6时，x的取值范围 方法归纳 是x<0或x>4. 根据所给点的坐标，设二次函数解析式的方法 4.y=x2-6x十10：B(m十2，n),C(4一m,n),∴.抛物 1.已知任意三点，设一殷式。 2.已知其中有两，点的纵坐标都为0，设交点式， 线的对称轴为直线=m十24一m=3.:.设抛物线对应 2 3.已知顶点的坐标，设顶点式。 a×(0-3)2+k=10, 的函数解析式为y=a(x一3)2十k. 7.(1)将(0，-3)和(3,0)分别代入y=a(x一1)2+h,得 a×(3一3)2+k=1, fa×(0-1)2+h=-3, a=1, 解得 (2)新抛物线对 a=1, 解得 .抛物线对应的函数解析式为y=(x一3)2+ a×(3-1)2+h=0, h=-4. k=1 应的函数解析式为y=(x一1一1)2-4+2=x2-4x+2. 1=x2-6x+10. 8.:y=2x2一4x+1=2(x一1)2-1，.抛物线的顶点坐 5.(1)设抛物线对应的函数解析式为y=a(x一1)2一4. 标为(1，一1).(1)·点(1，一1)关于x轴对称的对应点的 :点A(-1,0)在抛物线上，.0=a×(-1-1)2-4.a= 坐标为(1,1)，∴.原抛物线关于x轴对称的抛物线对应的 1.y=(x-1)2-4=x2-2x-3..抛物线对应的函数 函数解析式为y=-2(x-1)2+1.(2):点(1，一1)关 以=2-2x-3解 于y轴对称的对应点的坐标为（一1，一1），∴.原抛物线关 解析式为y=x2一2x一3.(2)联立 y=-2x+1, 于y轴对称的抛物线对应的函数解析式为y=2(x十1)2一1. (3),点(1，一1)关于原点对称的对应点的坐标为（一1， x=一2，x=2, 5或 得 ∴C(-2,5),D(2,-3).如图，过 y=-3. 1),∴.原抛物线关于原点对称的抛物线对应的函数解析式 为y=-2(x+1)2+1. 点P作PH∥y轴，交直线CD于点H,则点H的坐标为 (1,-1).SAPCD=SARCH +SAPDH PH=-1-(-4)= g:不论a取何值抛物线y=之2+5号2x+2a-2 3Sm-2PHw-)-号X3X[2-(-2]=6 都经过：拍上一定点Q当a=0时=一号2+号： 1 -2:当a=1时，y=-2x2+2x令y=0,则 1 5 -2x2+2x-2=0, 解得x=4,∴.Q(4,0).直线 22+2x=0, 1 NH y=(a一2)x十2也经过点Q,∴.0=(a-2)×4十2，解得 3 D P Q=2.“此抛物线对应的函数解析式为y=一号十 (第5题) 4x+1. 6.(1)设二次函数的解析式为y=a(x十1)(x一5).把 C(0,-5)代入，得-5=a×(0+1)×(0-5),解得a=1. 专题特训四含参二次函数的最值问题 .二次函数的解析式为y=(x十1)(x-5)=x2-4ax-5. 1.D由题意，得6=m2-m,解得m1=3,m2=-2.抛 y=x2-4x-5=(x-2)2-9,∴.D(2,-9).(2)设 物线y=x2十mz十m2一m的对称轴在y轴左侧，∴.m> 直线BC对应的函数解析式为y=mx十n.把B(5,0), 0..m=3..y=x2十3x十6..二次函数有最小值，为 /5m+n=0, m=1, 4ac-b2_4×1×6-3215 C(0,-5)分别代人，得 ∴.直线 Aa 4×1 4 n=-5, 解得 n=-5. BC对应的函数解析式为y=x一5.当x=2时，y=x一5= 2-9 ”当x<0时，y随x的增大而增大，∴.a<0. -3.E(2,-3).△CDE的面积=2X(-3+9)× 由y=ax2一4ax+3a2一6知其图象的对称轴为直线x= 2=6. 40=2.:1-1-2>4-21·当x=-1时y有 2a 18 最小值2，即2=a+4a+3a2-6,解得a=1或a=- 8 3 -2+h=-A2+h=-(h-)》广+<子：-1< :a<0a=-等 0,-1<h<1,.当h=号时，n的最大值为子若h≥1， 34或-号 二次函数解析式为y=m2一2mx十2 则当x=1时y取最小值，此时n=1一2h+h=1一h. h≥1，n=1-h≤0.∴n的最大值为0.一2<0< (m≠0)，∴.二次函数图象的对称轴为直线x=一 -2m_ 2m 寻…n的最大值为 1 1.①当m>0时，：在-2≤x≤2时有最小值-2，.当 8.一3或5易知抛物线的对称轴为直线x=a.把x=2a x=1时，y=m-2m+2=-2.∴.m=4.②当m<0时， 代入y=x2-2ax+5,得y-5;把x=2a+2代入y=x2- 在-2x≤2时有最小值-2，∴.当x=一2时，y= 2a.x十5，得y=4a+9.当2a+2≤a,即a≤-2时y1=5, 4m十4m十2=-2.m=-子，综上所述，m=4或m y2=4a+9.:y1-y2=a2-1,5-(4a+9)=a2-1,解 得a1=-1(舍去)，a2=-3.当2a≥a,即a≥0时，y2=5, y1=4a+9.:y1-y2=a2-1,∴.4a+9-5=a2-1,解得 4.B将二次函数y=2x2一4x一1转化为顶点式，得y= a3=5,a1=一1（舍去.当一2<a<0时，在取值范围内函 2(x一1)2一3，.抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标 数在x=a时，取得最小值，即y2=a2-2a2+5=一a2+ 为(1，-3)，当x=0时，y=-1.2>0,.开口向上 5.y1-y2=a2-1,∴.y1=y2+a2-1=4.当x=2a .在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.当0≤x≤a 时，y=5≠4，∴.在取值范围内，y的最大值至少为5，与 时，y取得最大值为15，∴.2(a-1)2-3=15,解得a=4或 y1=4相矛盾.故-2<a<0不符合题意.综上所述，a的值 a=一2（舍去） 为-3或5. 5.把(-6，-3)代人y=-x2+bx-3,得b=-6,.y= -x2-6x-3.y=-x2-6x-3=-(x十3)2+6，.当 26.3二次函数与一元二次方程 x=-3时，y有最大值，为6.①若-3<m≤0，则当x=0 1.C:二次函数y=ax2+bm十c图象的顶点为(1， 时，y有最小值，为一3，当x=m时，y有最大值，为一m2一 一4)，.对称轴为直线x=1.·对称轴左侧图象与x轴 6m-3,∴.-m2-6m-3+(-3)=2..m=-2或m= 交点横坐标的取值范围是一3<x<一2，∴.右侧交点横坐 一4（舍去）.②若一6m一3，则y的最大值为6，最小值 标的取值范围是4<x<5. 为-3,6一3≠2，∴.此种情况舍去.③若m<一6，则当 2.B根据题意，得x1,x2为方程x2一√3x一4=0的两 x=一3时，y有最大值，为6，当x=m时，y取最小值，y 根，由根与系数的关系，得x1十x2=3,x1x2=一4， 的最大值与最小值之和为2，∴.y的最小值为一4.∴.一(m十 3)2+6=-4,∴.m=-3-√10或m=-3+√10（舍去）. 1+1-+--- TI T3 T12 -4 4 综上所述，m=一2或一3一√10. 3.b<1且b≠0令x2-2x十b=0,根据函数的图象与 6.抛物线的对称轴为直线x=2-a①若a≤1，则 坐标轴有三个交点，可得（一2）2一4b>0且b≠0，解得b< 1且b≠0. 当x=1时函数取得最小值，∴.1一2a十3=2a,解得a=1. 易错警示 ②若1<a<3,则当x=a时函数取得最小值，∴.a2一 抛物线与坐标轴交点问题 2a·a十3=2a,解得a1=1(舍去)，a2=-3(舍去).③若 本题中函数图象与y轴的交点不能在原点，即b卡 a≥3，则当x=3时函数取得最小值，∴.9-6a十3=2a,解 0,否则函数图象与坐标轴只有两个交，点，解题时易混淆 得a=号（舍去）.综上所述，a的值为1. “与x轴的交点”和“与坐标轴的交点”而致错 7.二次函数y=x2一2hx十h图象的对称轴为直线x=h. 4x1=一2，x2=5关于x的一元二次方程a(x-1)2十 若h≤一1，则当x=一1时y取最小值，此时n=1+2h十 c=b-bx可变形为a(x-1)2十b(x一1)十c=0.:抛物 h=1十3h.h≤-1，.n=1十3h≤-2..n的最大值 线y=ax2+bx十c经过点A(一3,0)，B(4,0),、方程 为一2.若一1<h<1,则当x=h时，y取最小值，此时n= a.x2十bx十c=0的解为x=一3或x=4.对于方程a(x 19 1)2十b(x一1)十c=0,则x一1=一3或x一1=4，解得x= 得最小值，即1一2t-1=2,解得t=一1；若1<t<2,则当 -2或x=5,.一元二次方程a(x-1)2十b(x-1)+c=0 m=t时，y取得最小值，即t2-2t2一1=2，方程无实数根 的解为x1=一2，x2=5. 综上所述，t=一1. 5.(1)将P(2,4)代入y=x2+m.x+m2-3,得4=4十 10.(1).抛物线y=ax2+br十c经过A(2,0),∴.0=4a十 2m十m2-3,解得m1=1,m2=-3.m>0,∴.m=1. 2必+0.“对称轴是直线x=1一会=1@.：关于x (2)二次函数y=x2+m.x+m2一3的图象与x轴交点的 的一元二次方程a.x2十bx十c=x有两个相等的实数根， 个数为2.理由：m=1,.y=x2十x一2.：在方程 ∴.关于x的一元二次方程a.x2十(b一1)x十c=0有两个 x2+x-2=0中，△=12一4×1×(-2)=9>0，..二次函 相等的实数根.∴.△=(b一1)2一4ac=0③.由①②③可得 数y=x2十mx十m2-3的图象与x轴交点的个数为2. 1 6.B:'x1,x2(x1<x2)是关于x的一元二次方程一x2十 a 29 b十c十m2=0的两根，.x1,x2(x1<x2)是二次函数 b=1, :抛物线对应的函数解析式为y=一司十杠 y=一x2十bx十c的图象与直线y=一m的交点的横坐 c=0, 标.如图，由图象可得，x1≤-2<1≤x2. (2)n<-1,∴.2-1<-3，n+2<1.∴.点B,点C在 对称轴直线x=1的左侧.：抛物线y=-十x中， a=- <0,在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 1 -20 y=-m (n+2)-(2n-1)=-n+3>0,.2n-1<n+2. (第6题) .y1<y2. (3)当点B在对称轴直线x=1的左侧， b 点C在对称轴直线x=1的右侧时，由题意，得 7.B:抛物线的对称轴为直线x=1,、一 a =1..b 2n-11, 一2a.∴.2a十b=0.故①正确.，抛物线y=ax2十bx十c 3n+2>1, 解得号<1.当点C在对称轴 的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点横坐标在2,3之 1-(2n-1)<n+2-1, 间，∴.与x轴的另一个交点横坐标在一1,0之间.∴.方程 直线x=1的左侧，点B在对称轴直线x=1的右侧时，由 ax2+br十c=0一定有一个根在一1和0之间.故②错误. 2m-1>1, :抛物线y=ar2十b加十c与直线y=号有两个交点， 题意，得n十2<1， 此不等式组无解.综上所 2m-1-1<1-(n+2), “方程ar+bx十c一2-0一定有两个不相等的实数 述青m<1 根.故③正确.抛物线与x轴的另一个交点在一1,0之 11.(1)把A(-1,0)代人y=-x2+bm+3,得b=2. 间，∴.当x=一1时，y=a-b十c<0.:图象与y轴交点 的纵坐标是2，∴.c=2.∴.a-b+2<0..b-a>2.故④ (2):抛物线的对称轴为直线x=一)+3=1设P(1, 2 错误.综上所述，正确的结论有2个. m).由-x2+2x十3=-x-1,得x1=-1,x2=4.当x=4 8.一1区1<8：对称轴为直线x=一2X11,小6- 时，y=-4-1=-5,∴C(4,-5).由PA2=PC2,得22+ m2=(4-1)2+(m+5)2,.m=-3.∴.点P的坐标为 一2.∴.二次函数解析式为y=x2一2.当x=一1时，y= (1,一3).(3)由题意，得M(0,6),N(4,6).当a>0时， 1十2=3；当x=4时，y=16-2×4=8;当x=1时，y=1一 .y=-a(x-1)2十4a,∴.抛物线的顶点为(1,4a.当 2=-一1.：x2十ba-t=0的解相当于y=x2十bx与直线 y-t的交点的横坐标，.当-1≤t<8时，方程在-1< 4a=6时，抛物线与线段MN只有一个公共点，a= 2 x4的范围内有解. 3a>6, 9.-1由题意，得△=[2(m一2)]2一4(2-m)≤0，解得 :当x=0时，y>6:当x=4时，y≤6，∴.}-5a≤6，解得 1≤m≤2.若t≥2，则当m=2时，y取得最小值，即4 a>0, 红-1=2，解得1=（舍去)：者《1，则当m1时y取 a≥2.iu>2或a=是当a<0时，：当=0时y<6, 20 3a<6. 程a2+bc+c=0的解是x=1,=n,一 当x=4时，y≥6，. -50≥6，解得u≤-号.综上所述。 a<0, 一1十”.故结论3④正确.综上所述，结论正确的有3个 2 >2或a=号或a≤-号 5.①②④由表中数据，可知当x=1和x=3时，y= 专题特训五 二次函数图象信息题 一4“抛物线的对称轴为直线x-1号3-2.“一会=2 b 1.Ca>1,∴.函数图象开口向上.：选项D中图象开 .b=-4a.当x=0时，y=m,.m=c.:0<m<2, 口向下，故该选项不符合题意.，对称轴为直线x=2, ∴.0<c<2.当x=1时，y=a十b+c=-4,∴.a-4a十 ∴.对称轴在y轴右侧.选项B的对称轴在y轴左侧，故 c=-4,即c=-4什3a.0<-4+3a<2,解得号<a< 该选项不符合题意.令a.x2一4a.x十3a+1=0,则4= 2.故结论④正确.a>0,b=-4a<0,c>0,.abc<0. (-4a)2-4a(3a+1)=16a2-12a2-4a=4a2-4a= 故结论①正确.：抛物线开口向上，点（一1，y1)到对称轴 4a(a一1).：a>1,∴.△>0.∴.方程有两个不相等的实数 的距离为3，点(6，y2)到对称轴的距离为4，.y2>y1.故 根，即二次函数y=ax2一4a.x+3a十1的图象与x轴有两 结论②正确.当m=1时，c=1,代入c=一4+3a,得a= 个交点.选项A的函数图象与x轴无交点，故该选项不 5 符合题意.：选项C的函数图象与x轴有两个交点，故该 3x+1当y=1 选项符合题意， 时，x=0或x=4.:当t≤x≤t十2时，y有最小值为1， ∴.t=一2或4.故结论③错误.由表格数据和抛物线的对 2.A由抛物线可知，a>0,x=一 <06>0由直线 称性可知，当x=0和x=4时，y=k=m,∴方程az2十 可知a>0,b>0,故选项A符合题意.由抛物线可知a<0, bx十c|=k(0<k<2)等价于ax2十ba+c=k或ax2十 由直线可知a>0,故选项B不符合题意.由抛物线可知 bx十c=一k.由于抛物线开口向上且顶点的纵坐标n< a>0,由直线可知a0,故选项C不符合题意.由抛物线可 一4，∴.抛物线与直线y=k和直线y=一k各有两个交点， <0,b<0.由直线可知a<0,b>0,故 即方程有四个实数根.故结论⑤错误， 知a<0,x= 2a 6.C过点O作OM⊥AB于点M.:'AC⊥BC,∠ABC= 选项D不符合题意， 60°，.∠BAC=30°.BC=4,.AB=8,AC=4√3」 3.D由图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， a<0>0:对称轴为直线x=名-26=-a :四边形ABCD为平行四边形，A0=号AC=25. >0.∴.bc>0,4a十b=0.故选项A,B正确，不符合题意. OM-7A0-3.AM-AOF-OVF-3.EM- ,ax+bx1=ax号十bx2且x1≠x2,.a.x号+bx1+c= AB-AM-BE=8-3-x=5-x.OE2=OM2+EM2, a.x号十ba2十c.∴.x=x1和x=x2关于对称轴直线x=2 ∴.y=(x一5)2+3..抛物线开口向上，顶点坐标为(5， 对称，∴.x1十x2=4.故选项C正确，不符合题意.抛物 3),与y轴的交点为(0,28).0≤x≤8，∴当x=8时 线的开口向下，∴.抛物线上的点离对称轴越远，函数值越 y=12.故C选项中的图象符合题意， 小.，'(-1，y1),(3,y2)两点都在抛物线y=ax2十bx十c 7.B:正方形的边长为4cm,∴.当0<x≤4时，y= 上，|-1一2>|3-2|，.y1<y2.故选项D错误，符合 SAAD-SAQ=7X4X4一7·x·zx三- 1 2x2+8:当 题意 1 4.C根据图象可得，抛物线的开口向下，交y轴于正半 428时，y=Sm-SA0三2X4X47·(8-x) 轴，∴.a<0,c>0.又抛物线的对称轴在y轴右侧，x= (8-x)=一2(8-x)+8.y与x之间的函数关系可 一力>0，b>0..abc<0.故结论①正确.由函数的图 2a1 以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图 象可得，当x=-2时，y<0,即4a-2b+c<0,∴.4a十c< 象符合 2b.故结论②错误.二次函数y=ar2+bx十c的图象交 8.当点P在BC上时，在Rt△PCD中，CD=√2，PC=t, x轴于A,B两点，点A(-1,0),点B(n,0),∴，关于x的∴.S=PD=t2+(√2)2=t2+2.当S=6时，6=t+2,解 21 得t1=2,t2=一2（舍去），∴.BC=2.∴.题图②中的抛物线 4C方案1：如图，设菜园面积为S,平方米，AD=x米 经过点(2,6).由图象可知，题图②中的抛物线顶点为(4， 则AB=(8-2x)米.∴.S,=x(8-2x)=-2x2+8x= 2).设抛物线对应的函数解析式为S=a(t一4)2+2.将(2， 一2(x一2)2+8.∴.当x=2时，此时菜园面积最大，为8平 6)代入，得6=aX(2一4)2+2，解得a=1...S=(t 方米.方案2：如图，过点A作AD⊥BC于点D.设菜园面 4)2+2.当S=18时，18=(t-4)2+2,解得t=8或t=0 积为S2平方米，CD=x米，AD=y米，则易得x2+y2 (舍去).∴.AB=(t-2)×1=(8-2)×1=6.在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AC=√AB-BC=√62-2=4√2 16-号BCAD=2x·y=.-y x2+y2-2xy≥0，.16-2xy≥0..xy≤8.∴.当且仅当 .△ABC的周长=AB+BC+AC=6+2+4√2=8H x=y=22时，菜园面积最大，为8平方米.方案3：由题 42. 26.4实际问题与二次函数 意，得半圆的半径为受米“此时荣园面积= (》 2 第1课时最大高度与最大面积问题 3型（平方米).：2>8，“方案3围成的菜园面积最大 1.D设改造后的花园的面积为Sm.长20m、宽16m 的矩形花园，现要将它的长缩短xm,宽增加xm,.S= B (20-x)(16+x)=-x2+4x+320=-(x-2)2+324. 一1<0，∴.当x=2时，改造后的花园面积达到最大，为 方案1 方案2 324m. (第4题) 2.C①当t=1时，h=30一5=25，故①正确.②.h= 54√3过点F作FG⊥AD,交AD的延长线于点G. 30t-5t2=-5(t2-6t)=-5(t-3)2+45,-5<0,∴.当 t=3时，h有最大值，最大值为45，故②错误.③由②可知， ,菱形ABCD的边长为8，∠BAD=60°，∴.AD=CD= 8,AB∥CD..∠FDG=∠BAD=60°.设AE=x,则 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线t=3,∴.当3≤ DE=AD-AE=8-x.AE+CF=8,..CF=8-x. t≤6时，高度h随着时间t的增大而减小，故③正确.∴.正 ∴.DF=CD-CF=8-(8-x)=x.在Rt△DFG中， 确结论的个数是2. 3.(1)由题意，得y=x(30-3x)=-3x2十30x..y与x :∠FDG=60,·∠DFG=30易得FG= 2 之间的函数解析式为y=一3x2+30x.(2)当y=63时， -3x2十30x=63,解得x1=7,x2=3.当x=7时，30- 六5am-DEG=号×8-)x号=-g+ 3x=9<10,符合题意；当x=3时，30-3x=21>10,不合 题意，舍去..AB的长是7m(3)y=-3x2+30x= 23x=- -4十4.当x=4时，△DEF的国 -30-5)y+75.由题意，得0<30-3r<10,架得9< 积最大，最大值为4. 6.(1):小正方形的边长为m,直角三角形较短直角边的 x<10.,一3<0，.当x>5时，y随x的增大而减小 长为，∴.直角三角形较长直角边的长为m十n.∴由勾股 时y有最大值，为-3×（僧-）°+5 当x=20 定里，得S=(m+n)2+n2..n=2m一4，∴.S=(m+ 婴即录大可积为学㎡。 2m-4)2+(2m-4)2=13m2-40m+32.n=2m-4> 0,∴.m>2..S关于m的函数解析式为S=13m2 方法归纳 40m+32(m>2).(2).S=13m2-40m+32= 利用二次函数的性质求实际问题中最值的方法 在实际问题中，利用二次函数求最值的一般步骤 18(mg)+82<m≤3.当m≥8时5随u的 如下： 增大而增大..当大正方形的面积最大时，m=3. (1)列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意 7活动任多-：(48-3x):9≤x< 3· 活动任务二：由题 义，确定自变量的取值范围」 意，得x(48-3x)=180,解得x1=6,x2=10.当x=6时， (2)求出函数图象的顶，点坐标，再结合自变量的取 48-3x=30>21,不合题意，舍去；当x=10时，48-3x= 值范围，确定函数的最值 18<21,符合题意，.此时的宽AB为10米.活动任务 22 三：小辉的说法不对.理由：设菜地的面积为S平方米，则 根据题意，得y=(110一t一40-a)(20十4t),整理，得y= S=x(48-3x)=-3x2+48x=-3(x-8)2+192. -4t2+4(65-a)t+1400-20a..-4<0,当1≤t≤30(t :一3<0，抛物线的对称轴为直线x=8.∴.在取值范围 内，y随x的增大而减小.∴.当x=9时，S取得最大值，最 为正整数)时y随：的增大而增大.52>29”，解 大值为189..189<192，.小辉的说法不对 得a<6.又a>0,∴.a的取值范围是0<a<6. 第2课时最大利润问题 6.(1)设y,=k.:函数y1=kx的图象过点(1,2)，∴.k= 2.∴.利润y1关于投资量x的函数解析式为y,=2x(x≥ 1.B销售量=原销量十多经销的销量，故销售量可以表 0).:该抛物线的顶点是原点，∴设y2=ax2.:函数 示为50+18子×500=(-50mx+000作，故A正 y=a2的图象过点(2,2).d2=a·2,解得a= 确，不符合题意.销售额可以表示为x(一5000x+70000) 元，故B错误，符合题意.所获利润可以表示为(x一10)· 利润y关于授资量x的函数解析式为y=2x(x≥ (-5000x+70000)=-5000x2+120000x一700000= 0). (2).投人种植花卉m万元(0m8),.∴.投人种 [一5000(x一12)2十20000]元，故C正确，不符合题意.所 获利润可以表示为[-5000(x一12)2+20000]元，则当批 植树木(8-m万元0=28-m十号m=号m 发价为12元/件时，所获利润有最大值20000元，故D正 2m+16= 确，不符合题意 2m-2)2+14.“2>0,0≤m≤8，当m 2.121当10x20时，设y=kx+b.把(10,20)，(20， 2时，e的最小值是14，当m=8时，的最大值是32. 10k+b=20, k=一1， ∴.他能获取的最小利润是14万元，最大利润是32万元. 10)代入，得 解得 ∴.每天的销售量 20k+b=10, {b=30. (3)根据题意，当w=22时，2(m-2)2+14=22,解得 y(个)与销售价格x(元/个)的函数解析式为y=一x十30. 设该食品零售店每天销售这款冷饮的利润为心元，则心= m=-2(舍去)或m=6,∴.6≤m≤8. (x-8)y=(x-8)(-x+30)=-x2+38x-240= 7.(1)设一次函数解析式为y=kx十b.根据题意，得 一(x一19)2+121.1<0，.当x=19时，有最大值 (40k+b=300, k=一10， 解得 .y与x的函数解析式为 为121. 45k+b=250, b=700, 3.(1)由题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪 y=一10x十700.(2)由表中数据知，每件商品进价为 念品的成本为y元. 2x+3y=15,、=25:每 40X300-3000-30(元)w=(x-30)y=(x-30)· {4x+y=135. (y=35. 300 个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为 (-10x+700)=-10x2+1000x-21000=一10(x 35元.(2)由题意，每套的成本为25+35=60（元），售价 50)2十4000.一10<0，∴.当x=50时，最大，最大值 为a元，.每套的利润为(a-60)元.当售价为72元 为4000.，∴.当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最 时，销量为80套，每降价1元销量相应增加10套，∴.销量 大，最大利润为4000元.(3)根据题意，得=(x一30一 为80+10(72-a)=(800一10a)套..∴.W=(a一60)(800 m)(-10x+700)=-10x2+(1000+10m)x-21000-700m, 10a)=-10a2+1400a-48000=-10(a-70)2+1000. 、对称轴为直线=-100七=0十2m.”一10< 一10<0,65≤a≤72且a为整数，∴.当a=70时，每天 2×(-10) 的利润最大， 0,当x≤50+ 之m时，w随x的增大而增大.当x≤ 4.1264设每份A种快餐降价a元，则每天卖出(40十 52时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增 2a)份，每份B种快餐涨价b元，则每天卖出(80一2b)份， 总利润为W元.由题意可得，40+2a+80一2b=40+80,解 大.且x为整数50十分m>152m>3.:0< 2 得a=b,∴.W=(12一a)(40+2a)+(8+a)(80-2a)= m≤6，.m的取值范围是3<m≤6. -4a2+48a+1120=-4(a-6)2+1264..-4<0, ∴.当a=6时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总 第3课时抛物线形问题 利润最多为1264元. 1.B建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线对应的 5.0<a<6设每天缴纳摊位管理费用后的利润为y元. 函数解析式为y=a.x2+c.由题意，得c=2,点A(2,0),将 23 点A的坐标代人解析式，得0=4如十2，解得a=一之故抛 44如图，以水面在的直线为x轴，以跳台支柱所在的 直线为y轴建立平面直角坐标系.由题意，得A(3,10), 物线对应的函数解析式为y=一之x+2.当水面宽为 B(3.5,11.25).设抛物线对应的函数解析式为y=a(x 3.5)2+11.25,则10=0.25a+11.25,解得a=-5,.y= 3m,即x=1.5时，则y=一 2×1.52+2=0.875,即水位 -5(x-3.5)2+11.25.当y=0时，-5(x-3.5)2+11.25= 上升了0.875m 0,解得x=2(舍去)或x=5,∴.C(5,0).∴.C=5m y/m ∴.入水点C与池边的水平距离为5一1=4(m). 跳台A 3m (第1题) 1C水面 2号 如图，以AB的中点O为原点，以直线AB为x轴， 池边 (第4题) 以过点O且与直线AB垂直的直线为y轴建立平面直角 5.(1)把(2,2.3)，(3,2.6)代入y=ax2+bx+1.1,得 坐标系.AB=8m,DF=2m,EF=6m,∴.A(-4,0), 4a+2b+1.1=2.3, B(4,0),D(3,2).设经过A,B,D三点的抛物线对应的函 解得 a=-0.1, 9a+3b+1.1=2.6, y=-0.1x2+ b=0.8, 数解析式为y=a(x+4)(x一4)(a≠0)，∴.2=a(3+4)· 0.8x+1.1=-0.1(x-4)2+2.7.(2)不能.理由： 3-0.a=-2 ·经过A,B,D三点的抛物线对应 一0.1<0，∴当x=4时，y有最大值，最大值为2.7 2.8>2.7,∴.羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不 的函数解析式为y=一 2 (x+4)(x-4).当x=0时，y= 能达到2.8m.(3):保持羽毛球飞行路线对应的抛物 -×(0+4)×(0一4)= 即拱门的高度为器m 32 线的形状不变，.a=一0.1.∴.解析式为y=一0.1x2+ x+1.1.当x=5时，y=-0.1×52+5k+1.1>2.1,解得 y/m k>0.7.球的落地点与球网的水平距离小于6m,∴.当 x=11时，y=-0.1×11+11k+1.1<0,解得k<1.∴.k D 的取值范围是0.7<k<1. 6.任务-：CD=12cm,GF=9cm,∴.D(-6,9),C(6, 01 F B x/m 9).:EG=8cm,∴.EF=1cm.∴.E(0,1).设抛物线对应 (第2题) 的函数解析式为y=ax2+1.由题意，得36a十1=9，解得a= 3.0.6如图，以地面水平线为x轴，左边树所在直线为 y轴建立平面直角坐标系.由题意，可得A(0,2.6),B(2, 号：豌体D心对应的函数解析式为y-号十1 2.6),C(0.5,1.1).设函数解析式为y=ax2+bx十c,把 (一6≤x≤6).任务二：由题意，得此时液面的纵坐标为9一 A,B,C三点分别代人，解得a=2,b=-4,c=2.6.∴.y= 2=7.当y=7时，号x2+1=7,解得x=3, 2x2-4x十2.6=2(x-1)2+0.6.2>0,∴.当x=1时， y最小=0.6.∴绳子的最低点与地面的距离为0.6米. 一33，则液面宽度为63cm.任务三：如图，以AB所 在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐 标系，记y轴交HC于点S,交AB于点P,交CD于点O. CD∥AB,OP=8+1=9(cm),∴.CD⊥y轴.又 6米 :∠0CS=45°，∴.∠OSC=45°=∠OCS..OS=0C= 6cm..PS=3cm.∴.S(0,3).设直线CH对应的函数解 2米 (6k+b=9, 析式为y=kx十b,则 .y=x+3. (第3题) b=3, 得1， b=3, 24 3 45°.∴.OM=OC=3,∴M(-3,0).∴易得直线CM对应 y=x+3, 2 x=6, 联立 解得 或 .点H的坐标 的函数解析式为y=x十3.：D是直线CM与二次函数图 v=9, y-2 y=x+3, x=0, 象的交点，联立 解得 y=-x2十2x+3, 为().“H=√6()】+) 3或 x=1, .D(1,4). 5反cml ②y=-x2+2x+3=-(x y=4. 1)2+4,∴.D(1,4)是抛物线的顶点.如图，过点D作二次 y/cm 函数图象的对称轴，过点O作OHEF,交二次函数图象 的对称轴于点H,连接HE,设DH交x轴于点G.:'OH∥ EF,∴.∠CBO=∠BOH=45°.易知DH⊥x轴，OG= -N B x/cm xn=1,∴.OH=√2OG=√2=EF.∴.四边形OFEH是平行 (第6题) 四边形..OF=EH.OG=GH=1,.H(1,-1). 专题特训川六二次函数与线段长、 DE+EH≥DH,.当DE+EH=DH时，DE+EH 角度、图形面积的综合 最小.D(1,4),H(1,-1),∴.DH=5.此时D,E,H三 9a十3b=3, 点共线且DH⊥x轴，.点F的坐标为(0,3)与点C重合， 1.(1)①：A(3,3)为二次函数图象的顶点，∴ b 满足EF在线段C上.∴.DE十OF的最小值为5. 2a =3, 1 解得 3 ·二次函数解析式为y=一3x2+2x。 b=2 ②正比例函数y=x的图象经过点A(3,3),∴.3k A 3.k=1..正比例函数的解析式为y=x.设OD= (0≤3)，则CD=t,PD=二32+2t,÷.PC=PD (第2题) cD=-3+2-4=-3+=-36-)}'+ 3①由题意，把B(9,0),C(0,-3)代人y= 3x2+x+ 3×92+96+c=0, 1 6= ·当号时，线段PC的长取得最大值 .(2)二 c,得 Γ3.抛物线对应的 c=一3， c=一3. 次函数y=ax2十bm的图象经过点A(3,3),∴.9a+3b= 3,即b=1-3a.令ax2十br=0,解得x1=0,x2=- b 西数解析式为y=子r-号，一32)如图O,当点P a 在BC下方时，∠PCB=∠OBC,∴.PC∥OB.∴点P 二次函数的图象与x轴的一个交点为B(m,0),m>4, 与，点C关于抛物线的对称轴对称.，抛物线的对称轴为直 m=-么>4.a<0b>-4a.1-3a>-4u,解 a 3 得a>-1.∴.a的取值范围是-l<a<0. 线x= =4,∴点P的坐标为(8，一3).如图②，当 2.(1)A(-1,0),B(3,0)在二次函数y=-x2+bx十c 2X3 的图象上，设该二次函数为y=一(x一x1)(x一x2), 点P在BC上方时，设直线PC交x轴于点H.:∠PCB= .y=-(x+1)(x-3)..y=-x2+2x+3.(2)①把 ∠OBC,.CH=BH.∴.CH=BH2.设H(m,0),∴.(0- x=0代入y=一x2+2x+3,得y=3,∴C(0,3).延长DC m)2+(-3-0)2=(9-m)2,解得m=4.∴.H(4,0).设直 与x轴相交于点M.B(3,0),C(0,3),∴.OB=OC=3. 线PC对应的函数解析式为y=k1x+b, :∠COB=90°，∴.∠CBO=45°.：∠DCB=90°= 3 ∠BCM,∴.∠CMB=90°-∠CB0=90°-45°=45°. 4k1+b,=0, k1= 4'、.直线PC对应的函数解 ∴.∠M0=180°-∠COM-∠CMB=180°-90°-45°= b1=一3， b1=一3. 25 一2，∴.a=一1.∴.抛物线对应的函数解析式为y=一x2一 析式为y=x一3.联立 4x-3, 解得 2x+3.(2)当y=0时，-x2-2x+3=0,解得x=-3 1 32-3, 或x=1,.A(-3,0).当x=0时，y=3,∴.B(0,3).设直 线AB对应的函数解析式为y=kx十b,将点A(一3,0)与 41 4 x=0, 会去)减P的坐标为（得） 点B(0,3)代入，得b=3,k=1,∴.直线AB对应的函数解 或 75 y=-3 析式为y=x十3.向上平移m个单位长度后，直线对应的 y16 函数解析式为y=x十3十m.令一x2一2x十3=x十3十m, 综上所述，点P的坐标为8，-3)或（得，）】 (3)由 整理，得x2+3x十m=0.当抛物线与直线有交点时，△= (2)可得原抛物线的对称轴为直线x=4.:B(9,0),∴.由 3-4X1Xm=9-4m≥0，解得m≤是.又m>0“m的 对称性可得A(-1,0)..OA=1.C(0,一3)，.OC 取值范围是0<m≤9 (3)抛物线的对称轴为直线x= 3.∴.AC=√OA2+OC2=√10.：将抛物线沿射线CA 的方向平移2√10个单位长度后得到新抛物线，∴.将原抛 -1.直线AB:y=x十3，当x=-1时，y=2,.D(-1, 物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛 2》.易知点C的坐标为(-1,4).“Sacw=2CD· 物线.新抛物线对应的函数解析式为y=子（x十2- AE=2×(4-2)×2=2.设P(x,-x2-2x+3).①如 号十2)-3+6=号-号x-1.当BE为对角线时。 4 图，过点C作AB的平行线，与抛物线交于点P,连接AP, 平行四边形对角线互相平分，∴.BE,C℉的中点坐标相 AD,此时S△PD=S△CD=2.设直线PC对应的函数解析 式为y=x+t,将点C(一1,4)代入，得t=5,即PC对应的 1 同.E十9=0十4.xE=一5.yE=33 ×(-5)2 y=一x2-2x十3， 函数解析式为y=x+5.联立 解得 号×(-5)-1=14.此时点E的坐标为(-5,1.当 y=x+5, BF为对角线时，平行四边形对角线互相平分，∴.BF, =-2或=一1：点P的坠标为-23).@如图， 或 y=3 y=4. 住的中点标相铜0岁。=18 过点E作AB的平行线，交抛物线于点P,与点P2.'CD= 2 DE=2,即直线PC向下平移到直线AB的距离等于直线 号×13-号×13-1=38此时点E的坐标为13， AB向下平移到直线P,P2的距离，∴.此时存在满足条件 38).当BC为对角线时，平行四边形对角线互相平分， 的点.由于直线P,P2相较于直线AB,向下平移了2个单 C,F的中点坐标相同号生”= 位长度，故直线P,P2对应的函数解析式为y=x十1.联立 2 y=-x2-2x+3, g=号×5-号×5-1=号“此时点E的坐标为 消去y并整理，得x2十3x一2=0，∴.x= y=x+1, (6,号)，综上所述，点E的坐标为(-5,14)或(13,38) 二3士亚，即点P,的横坐标是3， 2 2 ,点P2的横坐 或(6，) 标是一3士T综上所述，存在点P,其横坐标为一2或 2 -3+厘或3二， 2 B ⑨ (第3题) 4.(①)“抛物线顶点的横坐标为一1心一一 b =-1.,b= (第4题) 26 专题特训七二次函数与特殊图形的 为斜边时，则CP2=AC2+AP2,∴.t-10t+29=50+9+ 存在性问题 t2,解得t=一3.∴·P(0,一3).综上所述，存在符合条件的 点P,点P的坐标为(0,7)或(0，一3). 1.(1)将A(1,0),B(3,0)代入y=ax2+b+3,得 a+b+3=0, a=1, 3.(1)由题意，得 2a-1, 解得 ,.二次函数的解析式为 解得/01， .该抛 9a+3b+3=0, b=一4. b=2. 9a+3b+3=0, y=x2-4x十3.(2)在y=x2-4x+3中，令x=0,得 物线对应的函数解析式为y=一x2十2x十3.(2)当x= y=3..C(0,3).由点B,C的坐标，易得直线BC对应的 -1时，y=-x2+2+3=0,取得最小值..-1<t≤3. 函数解析式为y=一x十3.设P(x,3-x),则Q(x,x2一 当-1<t≤1时，由题意，得-t2+2t+3=2t-1,解得t=2 4x+3)..PQ=3-x-(x2-4x+3)=-x2+3x= 或t=一2（均不合题意，舍去）.当1<t≤3时，易知当x=1 -(-2)+号：-1<0当x=号时.PQ的长有 时y取得最大值，则-1+2×1+3=2-1，解得1=号， 最大值。2-4十3=一是“点Q的坐标为 符合题意综上所述的值为2 (3)存在.易知点B的 (3,-): (3)存在.由点C,Q的坐标，易得直线CQ 坐标为(0,3).由A(3,0),B(0,3),易得直线AB对应的函 数解析式为y=一x+3.设C(m,一m2+2n+3),则 5 对应的函数解析式为y=一2x十3.过点Q作TQ/小轴， D(m,一m十3).当BD,CD为菱形的邻边时，BD=CD,即 交x轴于点T,则∠TQC=∠OCQ.:∠CQD=2∠OCQ, √m+(-m十3-3)2=-m2+2n+3-(-m+3),即 ∴.∠CQT=∠DQT.∴.直线CQ和直线DQ关于直线QT √2m=-m十3m,解得m=0(不合题意，舍去)或m=3- 对称.∴.易得直线DQ对应的函数解析式为y= √2.∴菱形的边长为√2m=3√2一2.当BD为菱形的对角 59 y- 2x一2’解得 线时，有BC=CD,即√m+(-m2+2m十3-3)=-m2+ 2m十3-(-m十3)，解得m=0(不合题意，舍去)或m=2. y=x2-4x+3, 菱形的边长为-m2+2m十3-(-m+3)=-m2+ 3 2 x=5, 3m=2.综上所述，菱形的边长为32-2或2. 或 .D(5,8).由点B,D的坐标，易得 4(1)抛物线的顶点坐标为(1，一4)，∴.设y=a(x一 y≥ 3 {y=8. 4 1)2-4把C(0,-3)代人，得-3=a-4,解得a=1,.抛 BD2=68.设E(0,m),则易得DE2=25十(m-8)2,BE2= 物线对应的函数解析式为y=(x一1)2-4，即y=x2 9+m2.当DE=BD时，25十(m一8)2=68，解得m=8士 2x-3.(2)对于函数y=x2-2x-3.令y=0,则x2 √43；当DE=BE时，25+(m-8)2=9+m2,解得m=5: 2x-3=0,解得x1=一1，x2=3..A(一1,0)，B(3,0).解 当BE=BD时，9+m2=68,解得m=土√59..点E的 法-：设P(t,t-2t-3),如图①，连接OP.:'S△cDw= 坐标为(0,5)或(0,8±√43)或(0，士√59). S△P5E,∴.SCDE+Sm边无DE=S△PE十S四边无DE,即 2.(1)将B(1,0),C(2,5)代入y=ax2+bx-3(a≠0)，得 SaM-S-5AmM+SAm. a+b-3=0, 解得1， ∴.抛物线对应的函数解析式 4a+2b-3=5 b=2, 3X(-+2+3)+号×1×，解得，=0（含去：=子 为y=x2+2x-3.(2)①令y=0,则x2+2x-3=0,解 .t2-2t-3= 得x=-3或x=1,∴.点A的坐标为(-3,0).②一3< (号)-2x号-8=-9p( x<1.(3)存在.设点P的坐标为(0，t).A(一3,0)， 2 9 解法二：如图②，连接CP.,S△CnE=S△PE, C(2,5),∴.AC=(2+3)2+(5-0)2=50,AP2=(0+ .S△CDE+S△BDR=S△PsR+S△nE,即S△CD=S△BPD 3)+(t-0)2=9+t2,CP2=(0-2)2+(t-5)2=t-10t+ ∴.CP∥BD.设直线BD对应的函数解析式为y=kx十b, 29.:△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴.分以下 两种情况讨论：当AP为斜边时，则AP2=AC2+CP, k+b=0, 则/ 解得 3.1 直线BD对应的函数解析 ∴.9+t2=50+t2-10t+29,解得t=7..P(0,7).当CP =-1, 一1 27 式为y= 3x-1,设直线CP对应的函数解析式为y= 3x+c,把C(0,-3)代人，得c=-3,直线CP对应的 M 函数解析式为y= 3x一3.联立 y 3x-3, 解得 y=x2-2x-3, ③ ④ 7 x1=0, x2=3 或 7 20 M y1=-3 20 9 (3)满足条件 y2= 9 的点M,N存在.①若点M,N分别在直线BC的两侧，不 妨令点M在直线BC上方，点N在直线BC下方，如图③， 可知∠MGH=90°，则∠MGN=∠MGH+∠HGN>90°， 不符合题意.②若点M,N在直线BC的下方，不妨设点M G 在点N的下方，如图④，：B(3,0),C(0,一3)，∴.直线BC 对应的函数解析式为y=x一3.连接MH,GN,则△MGN 是等腰直角三角形，∠HGN=45°，.GN⊥y轴，MH1 x轴.设点M的坐标为(m,m2一2m一3)，其中0<m<3, 则，点H的坐标为(m,m一3)，根据正方形的性质，得点N H 的坐标为(@，)将点N的坐标代入y 2 x-2z-3=（x-3)(x十1)，得（-m,+5m-3）. 2 (m,+5m+1）-m-m-6,即(m-5m十6(m-5m 2 2 ⑤ 2)=2(m2-m-6).化简，得(m-2)(m-3)(m2-5m (第4题) 2)=2(m-3)(m+2).0m<3,∴.(m-2)(m2-5m- 综合与实践2从最值探究到距离建模 2)=2(m十2)，整理，得m2-7m十6=0，解得m1=1,12= 1.(1)a=-1<0:5:95×5.(2)猜想650X650的积最 6(舍去).∴.MH=2,则正方形的边长为2.③若点M,N 大.理由：设两个三位数的积为y,其中一个乘数的十位与 在直线BC的上方，不妨设点M在点N上方，如图⑤，设点 个位上的数组成的数为x,则另一个乘数的十位与个位上 M(m,m2-2m-3),其中m<0或m>3.根据正方形性 的数组成的数为100一x.根据题意，得y=(600十x)· 质，点N的坐标为（仁m)+5m,m一m一），将点N的坐 (600十100-x)=-(x-50)2+422500,a=-1<0, 2 2 ∴.当x=50时，y有最大值.∴.650×650的积最大 标代人y=x2一2x-3=(x-3)(x十1)，同理可得m1=1 2.(1)如图 (舍去)，m2=6,此时，MH=18,则正方形的边长为9√2 803/m 综上所述，正方形的边长为√2或92. 70 60 50 40 0 呢 20 o 0f306090120150x/(km/h) ① ② (第2题) 28 (2)由题意，设y与x的函数解析式为y=ax2十bx.把0.4时，x对应的值有2个.故D选项错误，不符合题意 900a+30b=7.8, 7.C抛物线y=a(x一2)2+k(a>0),开口向上，对称轴 (30,7.8)和(60,19.2)代入，得 3600a+60b=19.2, -1+5=2,.点 为直线x=2:A(-1,5),E(5,5),且2 a-5001 :y与x的函数解析式为y=+号 A,E同时在抛物线上或同时不在抛物线上.当抛物线过点 1 b=5 a+k=2, A,E,B时，把A(一1,5)，B(1,2)代入，得 9a+k=5. 3)由题意，令y=40,则40=动2+号，解得x=100 3 a= 8 或x=一200（舍去），.该款汽车某次测试的刹车距离为 解得 经检验，点C,D不在该抛物线上，符合题意 13 40m,估计该车的速度为100km/h. k- 第二十六章拔尖自主测评 当抛物线过点A,E,C时，把A(-1,5),C(2,1)代人，得 1.BB,D中函数的二次项系数为负数，对应抛物线开口 4 f9a+k=5, 解得 向下.由于|a|越小，抛物线开口越大，故选B, Q-9'经检验，点B,D不在该抛物线 k=1, k=1, 2.D抛物线y=-x2十6x-7=-(a-3)2+2.:-1< 上，符合题意当抛物线过点A,E,D时，把A(一1,5)， 0,∴开口向下，故选项A错误，不符合题意.对称轴为直线 x=3,故选项B错误，不符合题意.与y轴的交点坐标为 9a+k=5, D(3,-1)代入，得 解得 经检验，点 (0,一7)，故选项C错误，不符合题意.顶点坐标为(3,2)， a+k=-1, 故选项D正确，符合题意. 4” 3.C由题意，可知抛物线C,向下平移2个单位长度后得 B,C不在抛物线上，符合题意.当抛物线过点B,C,D时， 到抛物线C2.∴.抛物线C,上点P的坐标是(m,n),则点 :n十=2，yn≠nB,C,D三点不能同时在抛物 2 P平移后的对应点Q的坐标是(m,n-一2). 4.A由条件可知抛物线的对称轴为直线x=一1，十3-1， 线上.结合速项可霜的值可能为，专，子不可能为号 2 8.A二次函数y=a.x2+ba十c(a,b,c为常数，a≠0) 抛物线开口向上，∴.点离对称轴越远，对应函数值越大 图象的顶点坐标是（一1，n),且经过(1,0），(0，m)两点，3< ,C(m一2，y1),D(m,y2)是该函数图象上的两动点，且 m<4,∴.抛物线开口向下，对称轴为直线x=一1..a< 总有y,<y2,∴点D离对称轴的距离大于点C离对称轴 0,抛物线与x轴的交点为(1,0)和（一3,0），大致图象如图 的距离，即m-1>m-2-1,解得m>2. 所示.令y=n一1，即把y=n向下平移1个单位长度，再 5.A:抛物线y=ax2+2aa十2a2+5的对称轴是直线 结合函数图象可知a.x2十bx十c=n一1(a≠0)有两个不相 三-公=-1，且当2≥2时y随x的增大而增大，“Q> 等的实数根，故ax2十br十c一n+1=0(a≠0)有两个不相 0.当一2≤x≤1时，y的最大值为10，∴.当x=1时， 等的实数根.故①正确，符合题意.：抛物线开口向下，对 y=a.x2+2a.x+2a2+5=10.,∴.a+2a+2a2+5=10..∴.a 称轴为直线x=一1，∴.当x>一1时，y随x的增大而减 1或a=-受（合去.a= 小.故②正确，符合题意.：抛物线与x轴的交点为(1,0) 和（一3,0），∴.二次函数为y=a(x一1)(x+3)=a(x2十 6.B当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减小，故A 2x-3)=ax2+2ax-3a.∴.m=-3a.3<m<4, 选项错误，不符合题意..抛物线过点(1000,0.6)， (300,0.6).抛物线的对称轴为直线x=1000+3000 3K-3<4,解得-号<a<-1L故⑥正确，符合题意 2 结合函数图象可知，当x=一2时，y=4a一2b十c>0.故④ 2000.抛物线的开口向下，∴.当x=2000时，y有最大 值.故B选项正确，符合题意.由图象可得，当y=0.6 正确，符台题意.”g=品-16-2a+1D 时，x1=1000,x2=3000,∴.当y≥0.6时，1000≤x≤ (at一a+b)=(t+1)(at-a+2a)=a(t+1)(t+1)= 3000.故C选项错误，不符合题意.由图象可得当y= a(t+1)2.:a<0,(t+1)2≥0，∴.a(t+1)2≤0.故⑤正 29 确，符合题意.综上所述，正确的结论共有5个 3,.抛物线L1的对称轴为直线x=1,顶点为(1,3) :L:y一子2+早x一抛物线L的对称轴为直 3 线x= 3 2x 号整强，得-z一2=0，解得x=-1或=2,1阿西 (第8题) 数图象的交点的横坐标为一1和2，画出大致图象如图所 9.(0,3):抛物线y=2a2十b十b+3的对称轴是 示.把x=-1代人y=-x2+2x十2，得y=-1,把x=2 b 抽-2号=-2×2=0..b=0..抛物线为y=22 代入y=一x2十2x十2，得y=2,.两函数图象的交点为 3,顶点坐标为(0,3 (-1,-1)和(2,2).∴.在-1<x<2范围内，内点M的纵 10.一4作二次函数y=ax2-bx十2的图象关于x轴的 坐标yM的取值范围是一1<yM<3. 对称变换，所得图象对应的函数解析式为y=一ax2十 bx一2，再向左平移1个单位长度，向上平移4个单位长度 4人 3 为y=一a(x十1)2+b(x十1)十2.：二次函数y=a.x2 2 bx+2有最大值8，.y=一a(x+1)2+b(x+1)+2的最 5-42-灾 23 45x 小值为一4. 2 11.3解法一：，一元二次方程a.x2十bx十m=0有实数 -3 -4 根，∴.△=b2-4am≥0.由函数y=ax2+bx的图象可知， -5F 顶点的纵坐标为-3，…0--一862=12a.4△= (第13题) 14(1):抛物线的对称轴是直线x=2.--2,解 b2-4am=12a-4am≥0.a>0,.m≤3.∴.m的最大 值为3.解法二：一元二次方程ax2十bx十m=0,移项，得 得b=4.·抛物线与y轴交于点C(0,一5)，∴.c=一5.∴.抛 aa2十bx=一m,此等式可以看作是联立y=ax2十bx和 物线对应的函数解析式为y=x2一4a一5.(2)CD∥ y=一m后的求解过程，即在讨论抛物线y=a.x2十bx和直 x轴，.yn=yc=-5.将y=-5代人y=x2-4x-5,得 线y=一m的交点问题.根据一元二次方程ax2十bx十 x2-4x一5=-5，解得x1=0,x2=4..点D的坐标为 m=0有实数根，可以得到函数y=ax2+bx与函数y= (4,一5)..易知直线OD对应的函数解析式为y= 一m的图象有交点.由题图可知，一m≥一3，即m3, x.“y=x2-4x-5=(x-2)2-9,抛物线的顶点 5 ∴.m的最大值为3. 坐标为(2，一9).如图，过点(2，一9)作y轴的平行线，与 12.①②④：抛物线y=ax2+bx十c的顶点A的坐标 CD和OD分别交于点M,N,则点M的坐标为(2，一5).将 为-方小会号a=26:艳物线开口 x=2代人y=-号，得y=-号×2=-号，则点N的 向下，即a<0,∴b<0.当x=0时y=c>0∴abc>0.故 ①正确.由图象，可知当x=1时，y=a十b十c<0,∴.5b十 坐标为(2，-）-5-(-9=4--(-9 2 2<0,故②正确.：直线x=一号是抛物线的对称轴， “m的取值范围是4<m<受 ∴.点（一6，y,)到对称轴的距离大于点(5，y2)到对称轴的 距离.∴.y,<y2.故③错误.关于x的一元二次方程 ar+h加十c=4无实数根，顶点A(-了n)在直线)y 4的下方.∴n<4.故④正确.故正确的有①②④ 13.-1<yM<3:L1y=-x2+2x+2=-(x-1)2+ (第14题) 30 15.1①2.(2)由题意，得4=(-m)y-4X2×(m- 点E与点C关于抛物线的对称轴直线x=一1对称， ∴.E(-2,-3a),EC∥x轴.∴.∠ECA=∠CAO.:AC 1)=m2-2m+2=(m-1)2+1.(m-1)2≥0，∴.(m- 平分∠EAO,∴.∠EAC=∠CAO..∠ECA=∠EAC 1)2+1>0.∴.△>0.∴.该二次函数的图象与x轴有两个 ∴.AE=CE.A(-3,0),C(0,-3a),E(-2,-3a), 不同的公共点。（3)抛物线y一号2-x十m-1的对 或a一3 ·√-3+2)+(0+3a)=2,解得a=5 3 称轴为直线x=-二八=m:二次项系数}>0三 1 2X2 :a<0,a=-怎抛物线对应的函数解折式为y 次函数图象开口向上.：y1<y2,∴.点A(m+1,y1)到对 称轴的距离小于点B(m十，y2)到对称轴的距离.∴.|m+ -2+、3)如图造接AP,m:y 1-m<m+p-ml,即p>1.∴.p>1或<-1. ax2+2ax-3a=a(x+1)2-4a,.D(-1,-4a).:'C(0, 16.(1)由题意，得y=100-10(x-20)=一10x+300,x的 一3a),∴.易得直线CD对应的函数解析式为y=ax-3a. 取值范围为20≤x≤28，且x为正整数.∴.W=(x一15)y= ·S△Ar=S△CP.S△Ar=S△CP.AP/∥CD.设直线 (x-15)(-10x+300)=-10x2+450.x-4500.∴.y关于 AP对应的函数解析式为y=ax十m,把A(-3,0)代人，得 x的函数解析式为y=一10x十300(20≤x≤28，且x为正 0=一3a十m,∴.m=3a.∴.直线AP对应的函数解析式为 整数)，W关于x的函数解析式为W=一10x2+450x一 y=ax+3a, x=-3, y=ax+3a,联立 解得 或 4500(20≤x≤28，且x为正整数).(2)由题意，当W= v=ax2+2ax-3a, y=0 540时，即-10x2+450.x一4500=540，解得x,=21,x2= x=2, ∴.P(2,5a).由D(-1,-4a),P(2,5a)易得直线 24,20≤x≤28，∴.销售单价应定为21元或24元. y=5a. (3)W=-10x2+450x-4500=-10(x-22.5)2+562.5, DP对应的函数解析式为y=3a.x一a.在y=3ax一a中， 20≤x≤28，且x为正整数，∴.当x=22或x=23时，W 令y=0,得=G().D(-1,-4a).p2 最大.当x=22时，W=-10×222+450×22一4500= 560,当x=23时，W=-10×232+450×23-4500=560, 5aG=/-1-）+16a-4中a,G 3 ∴.日销售利润最大为560元.∴.当销售单价定为22元或 √(23)+2a-5中. .DG 4 23元时，销售该纪念品所获的日销售利润最大，日销售利 3 润最大是560元. 17.(1)在y=az2+2a.x-3a(a<0)中，令y=0,得0 0 az2+2ax-3a,解得x=-3或x=1,.A(-3,0),B(1, 0).(2),y=ax2+2a.x-3a=a(x+1)2-4a,.抛物 线y=ax2+2ax一3a的对称轴为直线x=一1.在y= ax2+2ax-3a中，令x=0得y=-3a,∴.C(0,-3a). (第17题) 第二十七章 反比例函数 27.1反比例函数的概念 解得=，和：互为数6：一2正比例园 1.CA中函数是正比例函数；B,D均不符合反比例函数 形式，只有C中函数是反比例函数. 数解析式为一子反比例函数解析式为二”)一 3 2 1x2 4一y2y=2x 小当x=-1时wy=2×(-1)- 3子把点2,1代人正比例函数-，得1-2，号-+2- 31 m2-2=-1, 2.D:(-2)X(-2)<k<3×3,即4<k<9,∴.选项中 4.1由题意，得 解得m=1.当m=1时， m+1≠0， 只有6符合题意 (m-2)2026=(-1)2026=1. a- 。:点A(-2,1),B(3,2),C(-4,m)分别在三个 易错警示 根据反比例函数的概念求值的易错点 不同的象限，点A(一2,1)在第二象限，∴.点C(一4，m)一 根据反比例函数的概念求值时易忽略比例系数不 定在第三象限：B(3,2)在第一象限，反比例函数y= 能为0这一条件致错， m-2=-1, (质≠0)的图象经过其中两点，“反比例函数y一名（化≠0） 5.-6由题意，得 ∴.m=-1.∴.y= m一1≠0， 的图象经过B(3,2),C(-4,m).∴.3×2=-4m.∴m= -当)=日时，得x=-6 6由题意，得y=30y=2又：墙长为6m, 4一4（答案不唯一）由图可知k<0.·反比例函数y= :30≤6.x≥5.y关于x的函数解析式为y 30 象与线段AB有交点，且点A(-2,1D,B x r可 (x≥5).(2)xy均为整数，x≥5，且y-30 把A(一2,1代人y=冬，得=一2：把B(-4,5)代入 以取56,10,15,30.又：2x+y≤20，即22+30 ,得=一20.∴.满足条件的k值的范围是一20≤ 20， x k≤-2. ∴.x可以为5,6..共有2种围建方案，方案1：AB的长 为5m,BC的长为6m:方案2：AB的长为6m,BC的长为 5(Dy=-图象如图所示。2y<-3或y>6 5m. (3x>3或x<-2 3 7.(1D设y=ax(a≠0)，y2-x+(6≠0).·y=y十 %y-a+年把x=1g=4z=2y=6号代入， 5 6 3 4, 解得3， -2 得 y=3+2 +1 (2)当 /2a+ b=2. 3=63, 6543210123456x =5时y=3x+异=15十号15 2 3 3 4 27.2反比例函数的图象和性质 5 -6 第1课时反比例函数的图象和性质 (第5题) 1.B由k的符号推图象的位置找矛盾， 6.A函数y=一 6 (x<0)与y=-2x十3的图象交 y=-kx+1 结论 于点P(a,b),∴.b= 6 ,b=-2a+3..ab=-6,2a+ 选项B符合， 图象位于第 图象经过第 6=3.1+2-2a+b3_1 k>0 选项A,C,D a b ab -62 一、第三象限 第二、第四象限 不符合 7.C:k<0,“反比例函数y-(k<0)的图象在第 图象位于第 图象经过第一、 选项A,B,C, k<0 二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.若t= 二、第四象限 第二、第三象限 D均不符合 0,则A(x1,一1)，B(x2,1),.点A在第四象限，点B在 32 第二象限.∴.x1>x2.故A不合题意.若一1<t<1,则t一 解得a=子“直线OD对应的函数解析式为y=子，设 1<0,t+1>0,∴.点A在第四象限，点B在第二象限，则 x1>x2.若t<-1,则t-1<t+1<0,∴.点A,B在第四 点C的坐标为(m,)0=√m一+（受m-3) 象限，则x1<x2.故B不合题意，C符合题意.若t>1,则 0<t-1<t十1，.点A,B在第二象限..x1<x2.故D 2.5,解得m=2或m=6(舍去).“点C的坐标为(2，号) 不合题意 将C(2,)代人y=冬，得=3 8.(2,4)点A在直线y=2x上，.设A(a,2a)(a> 0).∴.点A关于y轴对称的点B(一a,2a).点B在双 曲线y=-8上，-202=一8，解得a=2(负值舍去). x .A(2,4) 9.（D由题意，将A1,6代入y=受得n=6反比例 (第10题) 函数的解析式为y一兰：2- .n=3.B(3,2》. 第2课时反比例函数图象和性质的应用 1.A如图，由当一4≤x≤-1时，一4≤y≤一1可知反比 k十b=6, k=一2， 解得 .一次函数的解析式为y= 3k+b=2, b=8. 例国数图象经过点（一4，-1）-1=冬·k=4 -2x+8. (2)如图，作点A关于y轴的对称点E,连接 EB交y轴于点P,则此时△PAB的周长最小.，点A的 六反比例函数的解析式为y一兰“2m=4n=2 坐标为(1,6)，∴.E(一1,6).设直线BE对应的函数解析式 -m+c=6, 为y=mx十c,∴. 解得m1， 直线BE 3m+c=2, c=5. 对应的函数解析式为y=一x十5.当x=0时，y=5,∴.点 P的坐标为(0,5).(3)由题意，得直线EF对应的函数 (第1题) 解折式为y=-2r十8-aE(22.0)F(0,8-a) 2B:反比例函数y=二n-1,一-1<0，函数图 象在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大 EF= AB,√）+8- 2= 1 2 又x1<0x2<x3,.y1>0,y2<y3<0.∴.y2<y3< √/(1-3)2+(6-2)2，解得a=6或a=10. 0y1· 3一6：反比例函数y=兰（使为常数且：≠0，当 3≤x≤-1时，y的最大值是6，.k<0..在每一个象 限内，y随x增大而增大.∴.当x=一1时，y取得最大值 (第9题) 6,此时长=-1X6=-6y=-兰当=1时y 10.如图，取AB的中点D,连接OD,CD,OC.线段AB 一6..当1≤x≤3时，y的最小值为-6. 的端点A,B的坐标分别为(1.5,3)，(6.5,3)，.AB=5, 28 4. 由已知，得点A,B的横坐标分别为一4，一2， 点D的坠标为4.3.：∠ACB=90:D=AB=-2 -4(k-3)+b=k-4 一4 5.当O,C,D三点共线时，OC取得最小值.设直线OD对 应的函数解析式为y=ax(a≠0)，代入点(4,3)，得4a=3, -2k-3)+6=6-4. -21 33 5.():一次函数y=kx十b的图象与反比例函数y=” 8.(1)将A(-m,1),B(-1,m)代人y=1x+4,得 x 一mk1+4=1, 位于第一象限的图象交于点A(1,21)和点B(3m一6,2)， 整理，得m2-4m十3=0，解得m1=3, {-k1+4=m, .∴.1·2m=2(3m一6)，解得n=3.∴.点A的坐标为(1,6)， m2=1(不合题意，舍去).∴.A(-3,1),B(-1,3),一k1+ 点B的坐标为(3,2)..m=1×6=6.将点A(1,6)和点B(3 k十b=6, k=一2， 4仁3.“k:=1.将A(-3,1代入y-经，得：=-8 2)代人一次函数y=kx十b,得 解得 3k+b=2, b=8. (2)根据函数图象，由不等式与函数图象的关系，可得 ∴.一次函数的解析式为y=一2x十8，反比例函数的解析 -1≤x<0或x≤-3.(3)由(1)可知k1-1,k2=-3, 式为y=6 (2)存在.一次函数y=-2x十8的图象 .直线AB对应的函数解析式为y=x十4，双曲线对应的 与x轴交于点C,当y=一2x十8=0时，x=4,.点C的 函数解析式为y=一3.依题意，设C(aa十4，一3≤4≤ 坐标为(4,0).0C=4.广SaMm=S△a0c一S△c=2X -1:CDLy轴D0a+0F(←a年a+) 4X6-号×4X2=&:△0CD的面积是△A0B面积的 CD=-a,OD=a+4.:SAc=CD.OD=-4- 号△0CD的面积为子×8=6设点D的纵坐标为1， 3 2a=-2(a+2)2+2.:-2<0,-3≤a≤-1当 ·号X4=6,解得1=3或1=-3.：点D在宜线AC a=-2时，Sm有最大值“点F的坐标为（←号，2） 上，.3=一2x+8或一3=一2x+8,解得x=2.5或x= 9.(1)过点A作AC⊥OB,交x轴于点C.:OA=AB, 5.5.∴.点D的坐标为(2.5,3)或(5.5，一3) AB⊥OA,..△AOB为等腰直角三角形..∴.AC=OC= 6.C,x=1是关于x的一元二次方程x2一4x十m=0 (m为常数)的一个根，∴.1一4×1+m=0.∴.m=3. =20B=2.A(2,2).将A2,2代入y=会，得k= ·反比例函数的解析式为y=一三.：一30，反比例 4,“反比例函数的解析式为y= ,(2)如图，过点A作 函数的图象分布在第二、第四象限，且在每个象限内，y随 AELx轴于点E,过点B作BD LAE于点D.:AB⊥OA, x的增大而增大.，x1<x2<0,.0<y1y2 即∠OAB=90°，∴.∠OAE+∠BAD=90°.：∠AOE+ 7.(2,22):点A(2,2)在曲线y=a>0上，2 ∠OAE=90°，∴.∠BAD=∠AOE.在△AOE和△BAD ∠AOE=∠BAD, 会=4y一兰如图，过点A作ADLz轴于点D, 中， ∠AEO=∠BDA=90°，.△AOE≌△BAD.∴AE= 过点C作CH⊥x轴于点H,过点B作BG⊥CH于点G. OA=AB, A(2,2),∴.AD=OD..∠AOD=45°.∴.∠AOB= BD=n,OE=AD=m.∴.AE-AD=n-m,OE十BD= 45°.OA/BC,.∠CB0=180°-45°=135..∠CBG= m十，即B(m十n,n一m).由点A与点B都在反比例函 135°-90°=45°..∠CBG=∠BCG..BC=2,∴.BG= 数图象上，得到mn=(m十n)(n一m),整理，得n2-m2= CG=2.·点C的横坐标为2.又：点C在曲线y= x mm,即（份）‘+%-1=0，解得=二1去5.：点A0m 2 (x>0)上，C(2,22) n)在第-象限，m>0,n>0.m-5-1 2 O HD 0 (第7题) (第9题) 34 专题特训八反比例函数中k的几何意义 1.C连接AO.AB⊥x轴，∴.AB∥y轴.∴.S△Ao= Sc=5.又：点A在反比例函数的图象上，·号k= 6 A 4 5.又k<0,.k=一10. 2 QB 2.一6过点A作AE⊥BC于点E.四边形ABCD为 02468x 平行四边形，AD∥x轴..四边形ADOE为矩形. (第1题) SLARCD=S拒无AOE.:'S矩形AOp=|k|,.|k|=6. 2(4) 把A1,2术代人y=是，得为=2：把A1,2 k<0,.k=-6. 代入y=x十6，得6=1y=是y=x十1.设P(a,2) 2 3.6连接OD,OE.:点B的坐标为(3,4)，四边形 OABC是矩形，∴.OA=BC=3,OC=AB=4,∠B= (a>0).当x=0时，y=x+1=1,∴.C(0,1).:Sm=12, ∠0A=90D(片4)，E号).BD=8-年 号×1Xa=12,解得a=24负值合去.P(24,)】 BE=4-令：F为0C的中点，F(0,2,即OF= 3.一16过点C作CE LBD于点E.CD=BC,∴.DE= CF=2:点E,D在反比例函数y=冬(k>0)的图象上， BE.“直线y=一？x十2与x轴轴分别交于A,B两 △DEF的面积为3，Sam=号Sam-年，SAME 点.A(4,0),B(0,2).:BDx轴，.D(,2.点 2SADT-SEOM-SACDF-SAONE-S OF-SAME- E的债坐标为气代人y=一合c+2,得y=一冬十2. 33x4年合合×2x8-号（自-）4-合)= C(停，合+2小”点C在函数y=(<0x<0) 3.∴.k2一6k=0,解得k=6或k=0(舍去). 的图象上，冬×(-合+2)=e,整理，得2+1d=0, 4.2延张AB,AC分别交y轴、x轴于点E,D.AB∥x轴， 解得k=-16或k=0(舍去). AC∥y轴，∴.四边形ODAE为平行四边形.∠DOE 90°，∴.四边形ODAE为矩形..∠OEB=∠ODC=90°， 4(Dk,D.(2)设P(,务)，直线PA对应的函数解 即△OEB,△ODC为直角三角形.：点A在函数y= |一kp+q=-1, x 析式为y=px十q.根据题意，得 (x>0)的图象上，.S矩形oD=8.·点B,C在函数y= np十g=m (k≠0，x>0)的图象上，·.S0m=S00=2: k kk ∴.S四泣OnC=SE0Rn-SA0ea一S△0C=8-2一2 k一1. 直线A对应的西数解析式为y=十 9 6..k=2. 1 令y+点1=0则x=n-8M 专题特训九反比例函数 O).同理可得，N(n十k,0.过点P作PH⊥MN于点H, 与一次函数的综合应用 H,0).又：”+k;n-=线段MN的中点坐 2 1.子<m<4如图，过点P作PAz轴，交双曲线于点 标为(n,0).∴.直线PH是线段MN的垂直平分线 A,过点P作PB∥y轴，交双曲线于点B.:P(4,6),反比 ∴.PM=PN. 例函数y=兰A(兮6)，B(4,）:一次函数y的 5.-4连接OA,OB.AB/OD,.S△A0w=S△Am=4. 值随x值的增大而增大，∴.点Q(m,n)在点A,B之间. =2AC,Sae=青，Sae-设A(m,嘉)， 35 直线AB对应的函数解析式为y=ax十b,.三=am十b. (-k2十b=6, m 1)两点，. ,1:一次函数的解 解得 -6k2+b=1, b=7. 3 :.b-m 一am.∴.直线AB对应的函数解析式为y=ax十 析式为y=x十7.(2)一6≤x≤-1.(3)点C的横 3 坐标为-4，代人y=x+7,得y=一4十7=3，.C(一4， 一am.BC=2AC,点A的横坐标为m,∴.点B的横 3.将y=3代人y=-6,得x=-2,.D(-2,3.过月 坐标为-2m.把x=一2m代人y=ax十3-am,得y B,D分别作x轴的垂线，垂足分别为F,E..B(一6,1)， -am+品B(-2,-am+)号（得-am) D(-2,3),∴.DE=3,BF=1,EF=-2-(-6)=4. :'SAD十S△rO-S梯无BPBm十S△DO,S△m0=S△DF0=3, m=音，解得am2=子：-2m(-am+）= Sm=Smm=号(DE+BF)·EF=子X(3十 ∴.6am2-6=k.∴.k=-4. 1)×4=8. 6.子<<2把点5(3,1D分别代人y=-x+b和y= 专题特训十 反比例函数与几何图形的 综合应用 ,得b=4,k=3,一次函数的解析式为y=一x十4，反 y=2x, x=1, 比例函数的解析式为y是.：P是线段AB上一点， 1-6由题意，建立方程组一2解得 或 y= y=2 x 设P,-n十4.把点Am,3)代入y=三得m=1, x=一1， ∴.A(1,2),B(一1，-2).∴.点A,B关于原点对 y=-2. 1≤n≤3.S=OD·PD=号·n(-n+40= 称.∴.AB的垂直平分线OC经过原点.：直线AB对应的 -2m2-4m)=-2m-2+2:-2<0,且1≤≤ 函数解析式为y=2x,∴.易得直线OC对应的函数解析式 1 3,∴当n=2时，S有最大值，且最大值是2；当n=1或 为y=-2.可设C(a,-).:△ABc为等边三 ”=3时，S有最小值，且最小值是受“S的取值范国是 角形，AC=AB.·√a-1D+(2a-2 2 √(1+1)2+(2+2).∴.a=士23.∴.点C的坐标为 7.①把A(-3m代人y=-号x,得m=2A(-3, (25,一B)或(-2).将点C的坐标代人y=冬，得 k=-6. 2》.:点A在反比例西数y=冬传≠0)的图象上，- 2813 25 过点C作CELx轴于点E,过点D作DF⊥ 一3×2=一6.(2)由题意，易得点B的坐标为(3，一2)， x轴于点F.设BD=m,则OC=3m..'△AOB是等边三 .OA=OB.连接BE.CDAB,.Sa0E=2SAMc= 角形，∴.在Rt△OCE中，∠COE=60°..易得OE= 2m,CE=3 3 号X12=6.六20E·x6=60E=4E0,0.根据 2誓m点C的坠标为（侵m3m)在 平移可设直线CD对应的函数解析式为y=一 3x+b.将 Rt△BDF中，BD=m,∠DBF=6O°，则BF= 2m,DF= E(0,4)代人，得b=4.∴.直线CD对应的函数解析式为 号m点D的坐标为(6-号m停m):双由线y 2 y=-3x十4. 8.(1)由题意，得k1=一6×1=一6，∴.反比例函数的解 计cD两点多m…29a-(6-) 2m,解 析式为y=一5.6=一 x ,解得a=-1.∴.点A的坐 得m-号m=0含去C(号.k- 25 标为（一1,6）.：一次函数的图象经过A(一1,6)，B(一6,3.(1)在y=2x十4中，令y=0,得x=一2，∴.点A的坐 36 标为（一2,0）.在y=2x十4中，令x=0,得y=4,∴.点B 7.y=18 :四边形OABC是矩形，∴OC=AB=3. 的坐标为(0,4).(2)过点C作CE⊥BD,垂足为E. △BCD是以BD为底边的等腰三角形，∴.CB=CD. 四边形CDEF是正方形，∴.CD=CF=EF.:BC= 2CD,设CD=m,则BC=2n.∴.B(3,2n),E(3十m, :CELBD,那=DE.在y=冬中，令y=,得x= m).设反比例函数的解析式为y=冬3×2m=(3十 年D(年4小E=DE=冬在y=点中，令x m)m,解得m=3或m=0(不合题意，舍去).∴.B(3,6). 合得y=8C(台8.：点C在-次函数y=2x十4 “A=3×6=18.这个反比例西数的解析式为y-8 的图象上，“8=2X冬+4，解得=16.k的值为16. 8.(8,3)设菱形的边长为a,则AB=BC=AD=a. 4.(1)把A(m,1)代入y=(z<0,得m=-6,.点 A(0,25),C(2,0),∴.OA=2,OB=a-2. :AB2=OB2+OA2,∴.a2=(a-2)2+(23)2,解得a= A的坐标为(-6,1).把C(3,m)代入y=12(>0),得n 4..AD=4..D(4,25).顶点D在反比例函数y= 4,点C的坐标为(3,4).把A(-6,1),C(3,4)代入y= 兰的国象上-X25=8.y=8:E是 -6k+b=1, k= kx十b,得 解得 3’.直线AC对应的 (3k+b=4, CD'的中点，.点E的纵坐标为√.把y=√3代人y= b=3. 函数解析式为y一了x十3《2)△A(D是等腰直角三角 5,得=8点E的坐标是(85)， x 形.理由：由作图，可得DA-DC,即DA2-DC2.设点D 9.(1)设点M的坐标为(a,b.:点M在反比例函数y= 的坐标为(0，d),则6+(1一d)=3+(4-d)2,解得d= 二的国象上，o山=2.：ACLz辅，M是AC的中点， -2,.DA2=DC2=62+(1+2)2=45,AC2=(3+6)2+ ∴.点A的坐标为(a,2b).设经过点A的反比例函数C2的 (4-1)2=90.∴.DA2+DC2=AC.∴.△DAC是等腰直 角三角形，《3)令方十3=一号解得=-6= 解析式为y一点把A(a,2b)代人，得2b-合，即=2ab, 又：ab=2,.k=4..反比例函数C2的解析式为y= -3,由图象可得关于x的不等式x十6<的解集为 ,(2)设点M的坐标为(a,b).:BDLy轴，∴.点D x<一6或一3x0. 5.B:BD∥x轴，D(0,4),∴.B,D两点纵坐标相同，都 的纵坐标与点M的纵坐标相同.·点D在反比例函数C2 为4.∴.可设B(t,4).矩形ABCD的对角线的交点为 的图象上，令y=6,得x=各“点D的坐标为 E,E为BD中点，∠DAB=90.·E(合，4， (号b）由1蜘Aa,20)ab=2.即a=云点M的 ∠DAB=90,.AD2+AB2=BD2.A(2,0),D(0, 4),B(t,4),.22+4+(t-2)2+4=t,解得t=10. 坐标为（会，b)aBM=DM-会M是AC的中点， E(5,4).函数y=(k>0,x>0)的图象经过点E, .AM=CM.∴.四边形ABCD是平行四边形.ACL .k=5×4=20. x轴，BD⊥y轴，∴.AC∥y轴，BD∥x轴，即AC⊥BD. 6.B四边形OABC是矩形，A(6,0),SE0Ax=24, ∴.四边形ABCD是菱形. 六B6,4).·D(6,合)E(年，4小CE=冬，BD 27.3实际问题与反比例函数 4- 合：Sa=CE·BD,SA=X名 第1课时用反比例函数解决乘积型实际问题 1.C根据题意，可知xy的值即为糖水中含固体糖质量 (4-合)-6-12)+3.：-8<0，当大=12 :乙、丁两杯对应的点恰好在同一个反比例函数的图象 时，S△有最大值 上，∴·乙、丁两杯糖水中含固体糖质量相同.：甲杯对应 37 的点在反比例函数图象下面，丙杯对应的点在反比例函数 7.(1)2:10.(2)依题意，设大棚内温度y与时间x的反 图象上面，∴甲杯的xy的值最小，即糖水中含固体糖质量 最少，丙杯的xy的值最大，即糖水中含固体糖质量最多. 比例西数解折式为y（≠0.其中12<r≤36，观察西 2.y=300 设总微章数为k枚，计划天数为a.由题意得， 数图象将12,18代人=冬得=12×18=216y 当y=75时，x=a-2,即k=75(a-2);当y=50时，x= 216(12≤≤36.(3)依题意，当0x≤2时，设-次函 a,即k=50a.,∴.50a=75(a-2),解得a=6..∴.k=50× 数解析式为y=hx+b(h≠0)，将(1,12)，(2,18)分别代人 6=300.y与x的函数解析式为y=300 12=h+b, h=6, y=hx十b,得 解得 ∴.y=6x十6(0 3.()y=3000 (20300.②：y=3000,当 18=2h+b, b=6. x x≤2).将y=15代入y=6x+6,解得x=1.5.将y=15 y=60-15-5=40时，3000-40，解得x=75.:在每 代人y解得心=14.4÷144-15=12.9( 个象限内，y随x的增大而减小，∴老李的步行速度至少 ∴.在一个升温、恒温、降温周期内，能持续12.9h使该大棚 为75m/min才能提前5min到岗. 内的温度适应蔬菜生长 4.B设y=飞(k≠0).：点(0.2,500)在图象上 第2课时用反比例函数解物理类实际问题 500X0.2=100.函数解析式为y=10.当x=0.25时， 1C:m=oW,p-.由图象，得m,>m1,<V, 100 =400:当x=0.5时y=0.5 100 y-0.2 =200..度数减少 了400一200=200（度）. “受供受>得院费丙的害度大于甲的害 5设陆线CF对应的数条所式为y：四边 度，丙的密度大于丁的密度，丁的密度大于乙的密度.这 四种液体中密度p(g/cm3)最大的是丙. 形ABCD是矩形，∴.BC⊥AB.:y轴垂直平分AB, 3 AB=87m,.OB=43.5m.BC=20m,C(43.5, 2.1 设气球内气体的气压p(kPa)和气体体积V(m) 20.20=5k=870y=820 EF=16m, 的解析式为p=合.：图象过点1.6,60一60=2 ·点F的横坐标为8.y=870_435 84 整个冷却塔的 大=2.力=得由图象，可知p随V的增大而减小 高为5m “当p≤120时，V>踢：V>号，即气球内气体体积至 6.(1),t=480,且全程速度限定为不超过120千米/ 时，口关于t的函数解析式为u=480(t≥4).(2)①8 少为号m 时至12时8分的时长为号小时，8时至1M时的时长为6 1D设1与R的函数解析式为1是(R>0,.:谈阻象 U 小时将1=6代人=②得=80：将=号代人0= 经过点P(80,0.25)0.25=80U=220.1与R 4.得=10m.u的取值范玉是80≤<10②方 的函数解折式为1一爱(R>0)故B不符合题意当R 方不能在当天11时30分前到达B地.理由：8时至11时 220 1000时，1=100=0.22.：220>0.1随R的增大而 30分的时长为子小时，将：=弓代人u-4”得u-50> t 71 减小..当I0.25时，R>880:当R>1000时，I<0.22: 120,∴.超速了.∴.方方不能在当天11时30分前到达 当880<R<1000时，I的取值范围是0.22<I<0.25.故 B地. A,C不符合题意，D符合题意 38 42设1-食（R>0,k≠0.代人1=4，R=9,得4=合 第3课时建立函数模型解决实际问题的一般步骤 五颜1-装令1=8，则R- 1.C由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数 3 =12.I≤3， 设y=么(k≠0).把x=10,y=45代入，得k=450, ∴.R≥12.：12-10=2()，.至少应再串联一个22的 x 电阻才可以保证电路安全。 .y 450.将其余各点代人验证均适合“y与x之间的 525电源电压U-定，U一定.”P=R卫 函数解析式为y-450(x>O).选项A,B的说法正确 x 与R之间是反比例函数关系.设U=k(k为常数，且k才 把y=12.5代入y=450,得x=36,当弹簧测力计的示 0,则P=合根据题意，得合一品=20，解得=40， 数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是36cm.∴.选 ·P与R之间的函数解析式为P=40 .当R=16时，P= 项C的说法不正确.随着弹簧测力计与O点的距离不断增 R 大，弹簧测力计上的示数不断减小.∴.选项D的说法正确 增-6 2.12观察图象，可知当x=7时，y=100,当0≤x≤7 6.(1).·400×0.5=200=500×0.4=800×0.25=1000× 时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b, 0.2=1250×0.16,.∴.压强p(Pa)与受力面积S(m)满足 (b=30, k=10, 解得 .当0≤x≤7时，y关于x 反比例函数关系.设压强p(Pa)关于受力面积S(m)的函 7k+b=100, b=30. 数解折式为力-令，则k=S=20.1-29 (2)不 的函数解析式为y=10x+30.当x>7时，设y=二，则 安企里由：由题图巴中的摆放方式得S一0×品 100=号，得a=700当>7时关于x的函数解折 0.02(m).p=0-1000>200.这种摆放方式 式为y=700 ,将y=50代入y=10x+30,得x=2:将y= 不安全 50代入y=70,得x=14.:14-2=12(mim水温不 7.(1)由题图③可知，可变电阻R,(单位：k)与所放置的 低于50℃的时间为12min. 物体质量x(单位：kg)之间的关系为一次函数关系，设 303答案不唯一）由题意可1设u冬，将0.3,80)代 R,=mx+b(m≠0).把(0,32)，(3.2,0)代入，得 b=32, 解得/一10， 人，得=0.3×80=24=24.：最高车速为120km/h, t ..R,=-10x+32.当x= 3.2x+b=0. b=32. 1.2时，R1=-10×1.2+32=20,此时R=R1+R2=20+ 在最高车建120kh下的行筑时间为器-02，同 10=30.(2)设电流I(单位：mA)与总电阻R(单位：k2) 理可得，在最低车遮60kmh下的行院时间为器 的函数解析式为1=冬由(1)知，把(30,02代人，得 0.4(h).∴.通过AB段限速区间的行驶时间应该在0.2~ IR=30×0.2=6,.电流I(单位：mA)与总电阻R(单位： 0.4h之间.∴.0.2≤m≤0.4，在此范围内任取一个m的值 即可. n的函数解析式为I一R(3):1-尽R=9 6 4(1)当0≤x<3时，设y=kx+b.由题意，得 ∴.R随1的增大而减小.：0.15≤I≤0.5，∴.当1=0.15 b=12, b=12, ∴.y=-2.5x+12(0≤x<3). 时，R取得最大值，最大值为40，此时R,取得最大值30： 3k+b=4.5, k=-2.5. 当I=0.5时，R取得最小值，最小值为12，此时R,取得最 (2)3×4.5=5×2.7=6×2.25=9×1.5=13.5,.y 小值2.：R,=一10x+32,∴.R,随x的增大而减小. 是x的反比例函数y=13.5(x≥3).(3)能当x= x ∴.当R,取得最小值2时，x取得最大值3.∴.该电子秤所 称物品质量的最大值为3kg. 5时，y1=0,9,13.5>0,…y随x的增大而诚 39 小.0.91.0，∴.该企业所排污水中硫化物的浓度能在 第二十七章拔尖自主测评 15天以内不超过最高允许的1.0mg/L. 1.B:y1与x成正比例，y2与x2成反比例，可设 5.(1)45.(2)随着x值的增大，y的值先增大后减小 (答案不唯一).(3)能.理由：观察函数图象及表格数据 y=kx=是（使a为常数，k≠0，a≠0.y== 发现当≥时，可以用反比例函数描述y与x之间的关 c·是一但即y是x的反比例面数 系，设此段函数的解析式为y=冬(k≠0).当x=2时，y= 2.DA.:k=一6<0，∴此函数的图象位于第二、第四 象限，正确，不符合题意B:当x=一2时，y=一6 -2 2罗函数解析式为y=空由该人晚上8：00喝完 3,∴.此函数图象必经过点（一2,3），正确，不符合题意 250毫升低度白酒至第二天早上7：30，可得x=11.5,把 C.当x=1时，y=-6,.当x>1时，-6<y<0,正 x=11.5代入y=25,可得y≈19.57.19.57<20， 确，不符合题意D.k=一6<0，∴此函数的图象位于 第二、第四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，原 ∴.该人不属于“酒后驾驶”，能驾车去上班. 说法错误，符合题意」 综合与实践3从曲线绘制到密度测算 3.C一个人完成需12天，∴一人一天的工作量为 1.1①)-(2)①如图.②如图.空.(3)①(2,2：8 12”m个人共同完成需”天“一人一天的工作量为 ②0个交点时，0<m<8;2个交点时，m>8;1个交点时 :每人每天完成的工作量相同，mn=12.n= mn' m=8.(4)m≥410. .:n是m的反比例函数。.只有C选项符合题意 y m 9 (x>0) 4B:k>0,反比例函数y=(>0)的图象在第 -7 一、第三象限.点A(x1,一2)，B(a2,4),C(x3,6)都在反 4 3 比例函数y-冬（>0)的图象上，“B,C两点在第一象 2 限，点A在第三象限4<6，x2>x3>0.x1<0, 4321汉123456789x .x1<x3<x2 5.A连接OA.四边形DEOF,四边形ACOB都是正 2 3 方形，.EF∥AO.∴.SAOEF=S△ABP:∴.S△AP= 4 Sgsanmw-lald. 1 (第1题) 2(1D如图.p=20 · (2)0.8g/m. 6D设f与T之间的函数解析式为=夸(k为常数，且 k +p/(g/cm') k≠0).将T=200,f=20代人，得220=20解得k- 10 9 4100,f与T之间的函数解析式为/-4900当了- 6 40时，得10=40，解得T=10,应该将张力减小 至100N. 3 G12345678910h/cm 7.AA是射线y=2x(x≥0)上一点，设点A的 (第2题) 坐标为(2a,3a).∴.OB=2a,AB=3a.又：点A在双曲 40 线y=上k=2a×3a=60.双曲线对应的函数解 ·=一子，即点B的横坐标为-子Sm=AB: 析式为y=6a.:四边形ABCD是正方形，AB= 6=[号-(-2)门6=86=-5. 解法二（几何法）： BC=CD=3a.∴.OC=OB+BC=5a.CD与双曲线 如图，连接OA,OB,设AB交y轴于点E.AB∥x轴， y=相交于点E点E的坐标为(a,号).BC= AB⊥y轴.：A是函数y=2(x>0)的图象上的点， ga 等E-w-(E-数g-0÷-是-2 Sm号×2-1.：B是层数y-2(<0的图家 2 上的点Sm=×1-3=5w=1 8.A如图，过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BNI AM于点N.∴.AM∥y轴.BC⊥x轴，AD⊥y轴， 号：四边彩A收D为平行四达形，Sm-25w-5 .'OM=AD,AM=OD,MN=BC,BN=CM.OD= 3BC=3,∴.OD=3,BC=1..AM=3,MN=1..AN= 2.:点A,B在反比例函数y-会的图象上A(夸， k 2 3),B(,1).六BN=CM=k-3=3k.“A0=AB, (第11题) 122s:点A,(1,1)在反比例函数y=的图象上， .OP+AM=AN+BN..()'+3-2+ 1-合六k=1小反比例函数的解标式为y- (号k),解得k,=5,k:=一.：反比例函数的图 :B,是OB,的中点，B,(0,)∴点A,的纵坐标为 象在第一象限，.k>0..k=15 YA ,代人y=,得x=2.·A(2,)同盟，可得 D A(4,)A:(8,8)…依次类推，可归纳出规律：点 0 M C (第8题) A.的纵坐标为，，横坐标为2.根据规律，当n=2026 9.2根据题意，得m2一1-2m+1=0,解得m=0或m 时，点A22的横坐标为2202s-1=22025】 2.:m为正数，∴.m的值为2. 10.1.2浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度 13.(1):反比例函数y=”的图象过点A(一2,6)， x p(单位：g/cm)的反比例函数，设反比例函数的解析式为 ∴.m=一2×6=一12..反比例函数的解析式为y= 方=合将p=15,A=16,代人，得16=5解得=24， -2把=3代人y-卫，得)y=-4B3,-4.将 x x 、.反比例函数解析式为=24当=20时，得20=24 一2k+b=6, A(-2,6),B(3,一4)代入y=kx+b,则 解 3k+b=-4, 解得p=1.2. (k=一2， 11.5解法一（代数法）：设点A的纵坐标为b.A是函 得 .一次函数的解析式为y=一2x十2. b=2. 数=子>0)的图象上的点是=k.x=号，即点 x (2)一2<x<0或x>3.(3)设直线AB与x轴交于点 D,当y=0时，-2x+2=0,.x=1..D(1,0) A的横坐标为子.：AB:轴，点B的纵坐标为6， :△ABC的面积为18，.S△Ac=S△A+S△cDB= :B是函数y=一3(x<0)的图象上的点，-3=6， 2 2CD.:-)2cDX(6+)=18D=8 41 点C的坐标为(-9o)或（停o), 15.(1)当x=1时，a=-1+6=5,.A(1,5)..k=5. 14①06：5C103.10k+号=8k=易 (2)当-x十6=时，解得=1或=5，B(6,1.设 3 3 c Cm,-m+6.则D(m,）CD=-m+6-是 小一次函数解析武为)y一0x十2·结合图象可得，当 =0时y取最大值，最大值为易×30+号=6,2)由 为线段AB上一点，.1≤m<5.:△0CD的面积为号， 题意，当x≥30时，CD段是反比例函数图象的一部分，设 号×(-m+6-是)Xm=受解得m=2或m=4 函数解析式为y一只.又：图象过点C(30,6..m= .点C的坐标为(2,4)或(4,2).(3)延长EH,交直线 AB于点G.BH平分∠EBA,BH⊥EG,∴.△EBG是 30×6=180.∴.当m≥30时，y与x之间的函数解析式为 等腰三角形.∴.H是EG的中点，BG=EB.OB=EO, 180 y= ,(3)由题藏令y-品x十是-4，得x-令 3 ∴.E(-5,-1).设G(t,-t+6).:BG=BE=2√26， x 180 .2w√26=W(t-5)+(-t十5).∴.t=5-2√13或t= 4,得x=45..消毒效果达到4效力及以上的时 x 5+2√13（舍去）..G(5-2√13,1+2√13).：H是EG 间为5一-9智（分钟，：学>8本次捐喜有效 3 的中点，.H(-√13，√13). 第二十八章 旋转 28.1图形的旋转 ∴.∠DAC=∠ACB=70°.∴.∠BAE=∠BAC+∠DAC+ ∠DAE=40°+70°+40°=150°.∴.当ADBC时，∠BAE 1.C,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到 的度数为30°或150°. △EDC,∴.DC=BC,∠E=∠A.:AD=CD,.∠DCA= ∠A.:点D恰好落在边AB上，∴.∠B=∠CDB= ∠DCA+∠A=2∠A.∠A+∠B+∠ACB=180°，且 ∠ACB=78°，.∠A+2∠A+78=180°..∠E= ∠A=34°. 2.A由旋转的性质可知，∠ACD=∠AOB=60°，AC= ② AO=6,CD=OB=8,∴.△AOC是等边三角形.∴.OC= (第3题) OA=6,∠ACO=60°.∴.∠DCB=180°-∠ACO-∠ACD 4.4 连接OB.四边形ABCD为正方形，O为对角线 60°.过点D作DELx轴，垂足为E.∠DEC=90°， AC的中点，∴.OA=OB,∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC= ∠CDE=180°-∠DCB-∠DEC=30.∴.CE=2CD= 45.:四边形OA'B'C'为正方形，.∠A'OC'=90 4..OE=OC+CE=10.在Rt△DCE中，DE= :∠AOE+∠EOB=90°，∠EOB+∠BOF=90, ∴.∠AOE=∠BOF.在△AOE和△BOF中， √CD2-CE=45,.点D的坐标为(10,4V3). ∠OAE=∠OBF, 3.30或150°当点D在点A的左侧时，如图①所示 OA=OB, ∴.△AOE≌△BOF.∴.S△oE= :AB=AC,∠BAC=40,·∠ABC=号(180- ∠AOE=∠BOF, ∠BAC)=70°.·AD∥BC,∴.∠BAD=∠ABC=70°. SAr.∴.四边形BEOF的面积=S△E十S△F=S△E十 .∠BAE=∠BAD-∠DAE=70°-40=30°.当点D在 5a-5as=752m=}X-空 1 41 点A的右侧时，如图②所示.'AB=AC,∠BAC=40°， 5.(1),△ABC是等边三角形，.∠ABC=60°.由旋转， ∠ACB=(180-∠BAC)=70.:AD∥BC, 可得∠ABD=∠FBE=6O°.EC∥BF,.∠BEC+ 42 ∠FBE=180°..∠BEC=120°.(2)过点C作CH⊥8.52如图，连接CD,CD.在Rt△ABC中，：AC= BE于点H.:∠BEC=120°，.∠CEH=60°.CHL 8cm,BC=6cm,∴.AB=√AC+BC=10cm.D是 BE,∴.∠ECH=30°.∴.CE=2EH.根据勾股定理，得 CH=√3EH.△ABC是等边三角形，∴.BC=4.:D AB的中点，4CD=合AB=2×10=5cm.:将 为BC的中点，.BD=2BC=2由旋转，可得BE= Rt△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90到△A'B'C 的位置，∴.∠BCD=∠B'CD.:∠BCD+∠DCB'= BD=2.:BC2=CH2+BH2,.16=(3EH)2+(2+ 90°，.∠B'CD'+∠DCB'=90°，即∠DCD'=90°又：易 EHY,解得EH=√-1（负值舍去.EC=2EH= 2 得CD=CD'=5cm,∴.△CDD'是等腰直角三角形 w√13-1. ∴.DD'=√CD2+CDF=5W2cm. 6.B如图，过点B作BC⊥OA于点C,直线A'B交y轴 于点D.OA=AB,∠OAB=120°，.∠AOB=30°， ∠BAC=60°...∠DOB=60°..OB=23,.BC= 2OB=3.·易得OA=AB=2.:将△AOB绕原点0 (第8题) 9.(1)∠ABC=∠BEC.:△ABC在平面内绕点B按顺 按逆时针方向旋转120°得到△A'OB,.∠B'=30°， 时针方向旋转（旋转角不超过180），得到△DBE,∴.BE= A'O=OA=2,OB'=OB=23,A'B'=AB=2,/BOB'= BC.∴.∠BCE=∠BEC.:CE∥AB,∴.∠ABC= 120.∠0B=60.∠0DB=60.0D=20B'- ∠BCE.∴.∠ABC=∠BEC.(2)过点D作DF⊥CE于 √3.∴B'D=3.∴A'D=BD-A'B=1.点A的对应 点F.由旋转，得AC=DE=√I9,BC=BE,∠ABC= 点A'的坐标为(-1，√3). ∠DBE,AB=BD,.∠BEC=∠BCE.:CE∥AB, '.∠BCE=∠ABC.∴.∠DBE=∠BEC=∠BCE. ∴.△BCE是等边三角形.∴.BC=BE=EC,∠DCE= 60.:DF⊥CE,∠CDF=30.CF=2CD=1, (第6题) 方法归纳 DF=√3CF=5.在Rt△DEF中，EF=√DE-DF2= 利用旋转的性质求点的坐标的方法 √19-3=4，∴.CE=EF+CF=5=BC.∴.BD=BC 在平面直角坐标系中，根据旋转的性质求点的坐 CD=5-2=3=AB..AB的长为3. 标，可以先过所求的点分别作出x轴、y轴的垂线，再根 据旋转的性质求出有关线段的长，从而确定，点的坐标. 10.4十42过点B作BD LAC,垂足为D.在Rt△ABD 中，：∠ADB=90°，∠A=45,∴.AD=BD.设AD= 7.D如图，过点A作AM LBC于点M,过点D作BC边 BD=x.在Rt△BDC中，：∠BDC=90°，BD=x,∠C 上的高DN.在△ABC中，：AB=AC,AM LBC,BC=4, 30°，.CD=3BD=√3x.AD+CD=AC,.x+ :CM=2BC-2,∠ACM+∠CAM=90:由旋转的性质 5x=4十45，解得x=4.∴.AD=BD=4.∴.BC=2BD= 可得∠ACD=90°，CA=CD,∴.∠ACM+∠DCN=90°. ∴.∠CAM=∠DCN..△ACM≌△CDN..CM= 8AB=AD=4E.:E为AB的中点BE=2AB= DN=2.:'Sam-7BC DN-2 ×4×2=4. 2√2.当点P在AC上运动，BP与AC垂直，△ABC绕点 B旋转，使点P的对应点P,在线段AB上时，EP,最小， 最小值为BP,一BE=BD-BE=4-2√2.当点P在AC 上运动至点C,△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P, (第7题) 在线段AB的延长线上时，EP,最大，最大值为BC+ 43 BE=8+2√2，∴EP,的最大值与最小值之差为(8+ ,3.60如图，过点A作AE⊥b.由中心对称图形的性质可 22)-(4-2,W2)=4+4√2！ 知OE=OD=6,.图形①与图形②面积相等..涂色部 11.(1):△ABC是等边三角形，.BC=AC,∠ACB= 分的面积=矩形ABOE的面积=10X6=60. 60°.：将线段CE绕点C按顺时针方向旋转60°得到线段 CF,CE=CF,∠FCE=60°.∴.∠BCE=∠ACF= 60°一∠ACE.∴.△BCE≌△ACF..∴BE=AF.(2)CE= 2MF+DE.解法一：过点A作AH∥BC,交CF的延长 (第3题) 线于点H,则∠H=∠GCM,∠CAH=∠ACB=60°.：M 4(1)∠BON=90°，∠DBC=30°，ON=1,∴.BN= 为AG的中点，∴.AM=GM.∠AMH=∠GMC, 2ON=2.∴.B0=√BN2-ON=3.点O为 ∴.△AMH≌△GMC..HM=CM.∠CBD=60°， □ABCD的对称中心，∴.BD=2BO=25.(2):四边 .∠CBD=∠CAH.由旋转，得∠BCD=∠ACH.又 形ABCD为平行四边形，∴.AD∥BC.∴.∠ODM= :BC=AC,.△BCD≌△ACH..CD=CH..CE ∠OBN,∠OMD=∠ONB.DO=BO,∴.△DOM≌ CF,.CD一CE=CH-CF,即DE=HF.CF=MF+ △BON..DM=BN.DMBN,∴.四边形BNDM为 CM-MF+HM=MF+MF+HF=2MF+DE,..CE= 平行四边形. 2MF+DE.解法二：在MC上取一点N,使MN=MF, 5.C:菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC= 连接GN.M为AG的中点，∴.AM=MG.∠AMF= ∠GMN,MF=MN,∴.△AMF≌△GMN.∴.AF=GN, 4.BD-16.AC LBD,(C-AC-2.OB-BD-8 ∠AFM=∠GNM.由(1)，得△BCE≌△ACF,∴.∠BCE= .∠OC=90.:△BOC绕点C旋转180°得到△B'OC, ∠ACF,∠BEC=∠AFC.∠BED+∠BEC=180°， ∴.∠CO'B'=∠BOC=90°，OC=OC=2,O'B'=OB=8. ∠GNC+∠MG=180°，.∠BED=∠GNC..'∠BDE= ∴.AO=6.在Rt△AOB中，根据勾股定理，得AB'= 120°-∠BCD,∠NCG-∠ACG-∠ACF=120°- √AO+OB7=10.∴.点A与点B'之间的距离为10. ∠BCD,∴.∠BDE=∠NCG.,BE=AF,∴.BE=GN. 6.A如图，连接AC,B0交于点D.当直线y=3x+1向 .△BDE≌△GCN.∴.DE=CN.∴.CE=CF=MF十 下平移经过点D时，该直线可将矩形OABC的面积平分. MN+CN=2MF+DE. .AC,BO是矩形OABC的对角线，∴.OD=BD.O(O, 28.2中心对称 0),B(4,2),∴.D(2,1).根据题意，平移后直线对应的函数 解析式为y=3x+1一m,.1=3×2+1一m,解得m=6. 第1课时中心对称与中心对称图形 y1y=3x+1 1.BA.图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合 题意；B.图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题 D、 意：C.图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题 0 A 意；D.图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符 (第6题) 合题意. 7 连接AF,BG.,正方形ABCD和正方形EFGH 2.B:四边形OABC是平行四边形，且平行四边形是中 的边长分别是3和2，.正方形的面积分别为9和4.正 心对称图形，对角线的交点为其对称中心，∴.经过平行四 方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O, 边形对角线交点的任一直线将平行四边形的面积平分.又 平行四边形的对角线互相平分，∴.经过OB的中点的直 58=×(9-0= 41 线将平行四边形OABC空地的面积平分. 8.(1)△FCP如图所示.(2)△ADP与△FCP关于 44 点P成中心对称，∴.△ADP≌△FCP..CF=AD= V+6=B,0G=2AB=2·Camw≥2(A0+ AE,AP=PF=ZAF,∠DAP=∠CFP.·CF∥AD. OG)=2(√13+2)=2√13+4.∴.△PMN周长的最小值 .∠ACF+∠DAC=180°.：∠BAC=∠DAE=90°， 为2√13+4. ∴.∠DAC+∠BAE=360°-∠BAC-∠DAE=180°. D ∴.∠ACF=∠BAE.:AC=BA,∴.△ACF≌△BAE. ·AF=BE=2AP.AC=1 BE 2 (第10题) 第2课时关于原点对称的点的坐标 1.C:点P(m,m-n)与点Q(2,1)关于原点对称， (第8题) ∴.m=-2,m-n=-1..n=-1.∴.M(-2,-1)在第 9.2W5设正方形ABCG的边长为a.:G是CF的三等 三象限， 分点，∴.CF=3CG,即正方形CDEF的边长为3a.∴.BD 2.B BC+CD=4a,FG=FC-CG=2a.:'S*色=S正r无Ax十 由题意，得点P(Q十1，-号+1)在第一象限， S正方cDFr一S△PB一S△DR=4,∴.可得方程a2十9a2 a+1>0. 解得一1a2.故将a的取值范围表示 3a2-6a2=4,解得a=2(负值舍去).如图，连接AC,CH, 2+1>0, 过点H作HM⊥BD交于点M.:点H与，点A关于点C 在数轴上正确的是B选项 成中心对称，∴.A,C,H三点共线，且AC=CH. 3.(一5，一3)如图.A(2,3),B(0,1),C(3,1),线段 :∠ABC=∠HMC,∠ACB=∠HCM,∴.△ACB≌ AC与BD互相平分，∴.点D的坐标为(5,3)..点D关 △HCM.∴.MH=CM=AB=BC=2.∴.BM=4.∴.BH= 于坐标原点的对称点的坐标为（一5，一3）. w√BM+MH2=25. C 543210123.手.5x D -=3 -1--- (第9题) 10.如图，取MP的中点Q,连接AQ,OQ,AO,过点O作 (第3题) 4.2:'点P(一1-2a,2a一4)关于原点对称的点在第一 0 XGLBC,垂足为G,则AQ=PQ=QM=2PM:线段 -1-2a<0, MN始终经过矩形的对称中心O,∴.O是MN的中点. 象限内，∴点P在第三象限. 解得-< 2a-4<0, .MO=ON=7MN.QQ=7PN.Can =PM+ a<2.:a为整数，∴.a=0或1，共2个 5.(1)点A(-1,3a-1)与点B(2b+1,-2)关于x轴 PN+MN=2AQ+20Q+2ON=2(AQ+OQ+ON)> 对称，.2b+1=-1,3a-1=2,解得a=1,b=-1. 2(AO十OG).,O是矩形ABCD的对称中心，.O是矩 ∴.A(-1,2),B(-1,-2),C(3,-1).点C(3,-1)与 形ABCD对角线的交点.：AB=4AD=6A0-号X 点D关于原点对称，∴.D(一3,1).(2)如图，四边形 45 ADC的面积为2×4X2+号×4X4=12 10.(1)点A的坐标为(2,3)，.易得点A关于直线 y=x对称的点B和关于原点对称的点C的坐标分别为 Y (3,2)和（一2，一3）.(2)四边形ABCD是矩形.理由：连 接AB,BC,CD,DA,OA,OB,OC,OD.·点B,D关于原 点对称，心点B,D,0在同-直线上，B0=D0=2BD, 同理，可得点A,C,0在同-直线上，A0=C0=2AC, ∴.四边形ABCD是平行四边形.·点A与点B关于直线 (第5题) y=x对称，∴.直线y=x垂直平分线段AB.∴.OA=OB. 6.B如图，连接OA,OD,过点A作AF⊥x轴于点F,过 ∴.AC=BD.∴.四边形ABCD是矩形 点D作DELx轴于点E.易证△AFO≌△OED,∴.OE 方法归纳 AF=√5，DE=OF=2..D(W3,-2).点B,D关于原 点P(x,y)关于特殊直线对称的点的坐标 点对称，∴.B(一√3,2). 1.点P(x,y)关于直线y=x对称的，点P'的坐标 为(y,x). 2.点P(x,y)关于直线y=一x对称的点P'的坐 标为（一y,一x). 专题特训十一旋转中常见的几何模型 (第6题) 1.4如图，将△BCP绕点C按顺时针方向旋转60°得到 7.1点P(2x,y2+4)与Q(x2+1,一4y)关于原点对 △ACP'.由旋转的性质，得BP=AP'=3,∠AP'C 称，.x2+1+2x=0,y2+4-4y=0.∴.(x+1)2=0, ∠BPC=150,PC=P'C,∠PCP'=60°.∴.△PCP'是等 (y-2)2=0,解得x=-1,y=2..x十y=1. 边三角形.∴.∠PPC=60°.∴.∠AP'P=∠AP'C- 8.(一3，一2)首先发现点P的坐标是（一3,2），第一次跳 ∠PPC=150°-60°=90°.在Rt△APP'中，根据勾股定 到，点P关于x轴的对称点P,处是（一3，一2），接着跳到点 理，得Pp'=√AP-AP=√5-3=4.：△PCP'是 P,关于y轴的对称点P2处是(3，一2)，第三次再跳到点 等边三角形，.CP=PP'=4. P2关于原点的对称点处是（一3,2），发现3次一循环. 2026÷3=675…1,∴.点P26与点P,重合，坐标为 (-3,一2). 9.(1)A(-2,2),A2(-2,一2)，如图.(2)设点P的坐 标为(t,0),OA=√2十2=22.当OP=OA时，点P的 (第1题) 坐标为（一22,0）或(2w2,0).当AP=AO时，点P的坐 2.√19如图，将△ACP绕点C按逆时针方向旋转90得 标为(4,0).当PO=PA时，点P的坐标为(2,0).综上所 到△BCP',连接PP',过点P作PD⊥BP',交BP的延长 述，点P的坐标为（一2√2,0）或(2√2,0)或(4,0)或(2,0). 线于点D.由旋转可知，AP=BP'=3,CP=CP'=2, ∠PCP'=90°，∠APC=∠BP'C=165°，∴.∠CPP'= ∠CP'P=45°，PP'=√2PC=2.∴.∠PP'B=∠CP'B ∠CP'P=165°-45°=120°..∠PPp'D=180°-120°= 60°.在Rt△PP'D中，∠P'PD=90°-60°=30°，.P'D= PP'-1.PD=/PP-P'DF-3.BD=BP+ (第9题) PD=3十1=4.在Rt△BPD中，由勾股定理，得BP= 46 √BD+PD=√I9 5.(1)√2.(2)AD-DC=√2BD.过点B作BE⊥BD, D 交MN于点E,记AD与BC交于点O,则∠DBE=90° ,∠ABC=∠DBE=90°，.∠ABE+∠EBC=∠CBD+ ∠EBC.∴.∠ABE=∠CBD.'CD⊥MN,∴.∠CDO= B (第2题) 90°=∠ABC.∴.∠BAE+∠AOB=90°，∠BCD+∠COD= 3.14十43如图，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转 90°.：∠AOB=∠COD,∴.∠BAE=∠BCD.又：AB= 90°，得到△CBP',连接PP',过点A作AH⊥BP,交BP CB,∴△AEB≌△CDB..AE=CD,BE=BD. 的延长线于点H,则∠PBP'=90°，∠APB=∠CP'B, ∴△BDE为等腰直角三角形，DE=√BE+BD= P'B=PB=√2，P'C=PA=23.由勾股定理，得PP2= √2BD.'DE=AD-AE=AD-CD,∴AD-DC= P'B2+PB2=4.P'C=(2√5)2=12，PC2=4=16, √2BD. .PC=PP'?十P'C.∴∠PP'C=90°.又易得 6.√5将△CAD绕点C按逆时针方向旋转90°得到 ∠BP'P=45°，.∠BP'C=135°.∴.∠APB=∠BP'C= △CBF,连接EF.设AD=x,则EB=2AD=2x.:AC 135.∴.∠APH=45°.∴.∠APH=∠PAH=45°..易 BC,∠ACB=90°，∴.∠A=∠ABC=45.由旋转知 得AH=PH=号PA-6.BH=PH+PB=6+E. △CAD≌△CBF,∴.∠CBF=∠A=45°，BF=AD=x, CF=CD..∠FBE=∠CBF+∠ABC=90°.∴.EF= ∴.AB2=AH+BH2=(√6)2+(6+√2)2=14+43. √EB2+BF2=√5x.∠DCF=90°，∠DCE=45°， ∴.正方形ABCD的面积=14+4√3. ∴.∠FCE=45°=∠DCE.CD=CF,CE=CE, D &△CDE2△CE.DE=FE=5.∴-6 7.10把△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°至△ABN', .△ADN≌△ABN.∴.∠D=∠ABN'=90°.∴.∠ABC+ (第3题) ∠ABN'=180°..N',B,C三点共线.由△ADN≌ 4.2W7如图，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°至 △ABN'得AN=AN',DN=BN',由旋转知∠NAN'= △A'O'B处，连接OO',A'C.在Rt△ABC中，∠ACB= 90°.∠MAN=45°，∴.∠MAN'=45=∠MAN. 90°，AC=2,∠ABC=30°，.AB=4..∴.BC=2√3.由旋 ∴.△MAN'≌△MAN..MN'=MN.设MN=MN'= 转，得A'B=AB=4,OB=OB,OA'=OA.:将△AOB x,则DN=BN'=x+2,.CN=x-4.在Rt△MCN中， 绕点B按顺时针方向旋转60°，∴.∠A'BC=∠ABC十 由勾股定理，得82+(x-4)2=x2,解得x-10,∴.MN=10. 60°=90°，∠OB0'=60°.∴△OBO为等边三角形.∴.0O= 8.如图，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转120°得到 OB.∴.OA+OB+OC=O'A'+OO+OC≤A'C..当C, △ACF,取CF的中点G,连接EF,EG,过点A作AN⊥ O,A',O四点共线时，OA'+OO+OC的值最小，即OA+ BC于点N.AB=AC=23,∠BAC=120°，∴BN= OB十OC的值最小，为A'C的长.：A'C=V√BC+BA= CN,∠B=∠ACB=30°.在Rt△BAN中，∠B=30°， √(23)2+4=2√7.∴.OA十OB+OC的最小值为2√7. AB-2/5,.AN-7AB-3.+.BN-ABAN- 3.BC=6.由旋转的性质，可知∠FAC=∠DAB, ∠ACF=∠B=30°，CF=BD=2CE,∴.∠ECG=60°. 0 G为CF的中点，∴.CF=2CG..CG=CE.∴△CEG 为等边三角形..EG=CG=FG,∠CEG=60°.∴.∠EFG= ∠FBG=3∠CGE=30.∠CEF=∠CBG+∠FEG= 0 90°.∴.△CEF为直角三角形.，∠BAC=120°，∠DAE= (第4题) 60°，∴.∠BAD+∠CAE=60°∴.∠FAE=∠FAC+ 47 ∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°=∠DAE.在△ADE和2.72°根据题意，这个图形可以由一个基本图形绕中心 (AD-AF, 依次旋转四次而得到，每次旋转的度数为360°÷5=72的 △AFE中，∠DAE=∠FAE,,∴.△ADE≌△AFE. 倍数，故旋转角α的最小值是72° AE=AE, 3.(1)B. ∴.DE=FE.设EC=x,则BD=CF=2x,DE=FE=6 (2)C.中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋 3x.在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x,EC=x,EF= 转对称图形.故说法①正确.等腰三角形绕一个定点旋转 √CF2-EC=5x,∴.6-3x=3x.∴x=3-5】 一定的角度α(0°<a≤180)后，不一定能与自身重合，只有 ..DE=√3x=3√3-3. 等边三角形是旋转对称图形，故说法②不正确.圆具有旋 转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋 转对称图形.故说法③正确.∴.正确的说法有2个. (3)①③⑤.(4)4.(5)图形如图所示 DN (第8题) 9.(1)AE十CF=EF.(2)(1)中结论仍然成立.理由：延 长DC至点K,使得CK=AE.在△ABE和△CBK中， AB=CB. (第3题) ∠A=∠BCK=90°，∴△ABE≌△CBK.∴.BE=BK, 第二十八章拔尖自主测评 AE-CK, 1.DA.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意 ∠ABE=∠CBK.∠ABE+∠CBE=120°，∴.∠CBK+ B.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.C.既 ∠CBE=120°，即∠KBE=120°.：∠EBF=60°， 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.D.既 ∴.∠KBF=∠EBF=6O°.在△EBF和△KBF中， 是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意 BE=BK, 2.A点P,(a-1,1)和P2(2,b-1)关于原点对称， ∠EBF=∠KBF,∴.△EBF≌△KBF..EF=KF ∴.a-1=-2,b-1=-1.六a=-1,b=0..(a十b)202s= BF=BE. (-1十0)2026=1. ∴.EF=CK+CF.∴.AE十CF=EF.(3)(1)中结论不 3.B过点A作AB⊥x轴于点B,过点A'作A'C⊥y轴 成立.AE一CF=EF.理由：在DC的延长线上取点K,使 于点C,则∠A'CO=∠ABO=90°.由旋转的性质可知， CK=AE,连接BK.在△ABE和△CBK中， ∠AOA'=90°，AO=A'O,.∠COA+∠A'OC=90°. AB=CB, :∠AOB+∠COA=90°，∴.∠AOB=∠A'OC.∴.△A'CO≌ ∠A=∠BCK=90°，∴.△ABE≌△CBK..BE=BK, △ABO.∴.AC=AB,OC=OB.:点A的坐标为(3,2)， AE-CK, ∴.AB=2,OB=3.∴.A'C=AB=2,OC=OB=3..点 ∠ABE=∠CBK.∠ABE+∠CBE=120°，∴.∠CBK+ A'的坐标为（一2,3）. ∠CBE=120°，即∠KBE=120°.：∠EBF=60°， 4.D设BF与CE相交于点H.由旋转的性质，得∠BCE= ∴.∠KBF=∠EBF=60°.在△EBF和△KBF中， ∠ACD=60°.，∠B=30°，∴.在△BHC中，∠BHC= BE=BK, 180°-∠BCE-∠B=90°.∴.BF⊥CE.故D选项正确.设 ∠EBF=∠KBF,.△EBF≌△KBF.∴.EF=KF. ∠ACH=x°，则∠ACB=60°-x°.∠B=30, BF=BE. ∴.∠EDC=∠BAC=180°-30°-(60°-x)=90°+x% .EF=CK一CF.,∴.AE一CF=EF ∴.∠EDC+∠ACD=90°+x°+60°=150°+x°.：x不一 综合与实践4利用图形变换设计图案 定等于30°，.∠EDC+∠ACD不一定等于180°.∴.AC∥ 1.D图案②将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能 DE不一定成立.故B选项不正确.，∠ACB=60°一x°， 与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称.图案③中 ∠ACD=60°，x不一定等于0°，∴.∠ACB=∠ACD不一 有4条对称轴，图案包含轴对称变换.故没有用到平移。 定成立.故A选项不正确.将△AC绕点C按顺时针方 48 向旋转60得到△DEC,∴.AB=DE=EF+FD.∴.AB=90°，∠BAH十∠CAO=90°.∴.∠ACO=∠BAH. E℉不一定成立.故C选项不正确. ∴.△ACO≌△BAH.设点A(m,0).∴.OA=m.∴.BH= 5.B:△AOB与△COD关于点O成中心对称，∠A= OA=m,AH=OC=4.∴.B(m+4,m)..BK2=(m十 90°，∴.∠OCD=∠A=90°，OD=OB.CD=3,CO=4, 4-2)2+(m-0)2=2m2+4m+4=2(m+1)2+2.当m= ∴.OD=WOC+CD=√42+3=5.∴.BD=OD+ 一1时，BK最小，即BK的长最小.此时B(3,一1). OB=10. 10.A如图，将△ABD绕点B按顺时针方向旋转60°得 6.BA(4,1),P(0,1),∴.PA⊥y轴，PA=4.由旋转 △CBE,连接DE,过点C作CF⊥BE,交BE的延长线于 得∠APB=60°，AP=PB=4.过点B作BC⊥y轴于点C, 点F.由旋转的性质，可知BD=BE=3,∠DBE=60°，AD= 则∠BPC=30°..BC=2..PC=2√3..B(2,1+ CE=4.∴.△BDE是等边三角形.∴.∠BED=60°，DE= 2W3).设直线PB对应的函数解析式为y=kx十b,则 BD=3.在△CDE中，DE=3,CE=4,CD=5,∴.DE2+ 2k+b=1+23,,k=5, CE2=CD2..∠DEC=90°.∴.∠BEC=∠BED+ ∴.直线PB对应的函数解 b=1, b=1. ∠DF0=150..∠CEF=30.:∠F=90,.CF=2CE- 析式为y=3x+1.当x=-1时，y=-√3+1，.点 2..EF=√CE-CF=23.在Rt△BCF中，BC=CF+ M（一1不在直线PB上当=-9时y=-1计 BF2=22+(3十23)2=25十123.∴·易得等边三角形 1=0点M(-号0)在直线PB上当x=1时y AC的面积为C- ×(25+125)=25,3+9 4 4 5+1,∴点M(1,W5-1)不在直线PB上.当x=2时， y=23+1,∴.点M(2,2√3)不在直线PB上. 7.B:△ABC绕点A按逆时针方向旋转a,∴.∠BAB'= ∠CAC'=a,∠B=∠B'=30°，AB=AC=AB'=AC ∴.∠C=∠C'=30°.∴.△ABF≌△AC'E.∴.BF=C'E, (第10题) AF=AE.∴.B'F=CE.∠C=∠B',∠EDC= 11.(4,一1)：□ABCD的对称中心是坐标原点，∴.顶 ∠FDB',.△CDE≌△B'DF..CD=B'D.∴.B'D十 点C与顶点A关于坐标原点对称.A(一1,1)，∴.C(1, DE=CD+DE=x.AC'=2,∠C'=30°，∴.△AEC'边 一1).：将□ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，∴.顶 BC上的高为1L:易得=2=BCy=合(25 点C的对应点的坐标是(1十3，一1)，即(4，一1). 12.(1,一√3)如图，过点A'作AH⊥x轴于点H.由旋 x)×1=-x十.选项B符合题意 转的性质，可知OA=OA'=2,∠AOA'=105°.，∠AOH= 8.B:将线段AD绕点A按顺时针方向旋转90得到线 45∠H0M=60.∠A=30.0H-20M'=1. 段AE,∴AD=AE,∠DAE=90°.∴.∠EAB+∠BAD= .A'H=5..A'(1,-√3) 90°.：∠BAC=90°，AB=AC,∴.∠BAD+∠DAC=90°， ∠C=∠ABC=45.∴.∠EAB=∠DAC.∴.△EAB≌ △DAC.∴.∠ABE=∠C=45°，BE=CD.∴.∠EBC= ∠ABE+∠ABC=90°.BC=2,BD:CD=1:3,∴.BD= 合.CD=BE=是.Sme=BD·BE=之×X (第12题) 3_3 13. 27W3 2=8 2 :△ABC是等边三角形，O为BC的中点， 9.D过点B作BH⊥x轴于点H.C(0,4),K(2,0), ∴.OC=4,OK=2.由旋转，得AC=AB,∠CAB=90°. AB=6,BO=CO=2BC=3,A0LBC.在R△AB0 ∴.∠AOC=∠CAB=∠AHB=90°.∴.∠CAO+∠ACO= 中，AO=√6-32=35.△BPQ与△BAO关于点B 49 中心对称，∴.BQ=BO=3,PQ=AO=33,∠Q=∠AOB= 17.(1)如图，△A2B,O2即为所求.(2)（一3，一3）（答 90CQ=9·△QcP的面积为2×9X35-279 案不唯一).(3)（2,2)：90 2 14.√37过点A作AH⊥BC于点H,则∠AHB=90°， :四边形ABCD是平行四边形，∴.BC=AD=5,AB= CD.:BE=3,∴.CE=BC-BE=5-3=2.由旋转，得 AE-AC.EF-CD-2/13.EH-CH-CE-1, AB=2√13.∴.BH=BE+EH=3+1=4..AH= √AB2-BH=V√(2√13)2-42=6..AE= (第17题) √AH+EH=√62+1=√37. 18.(1)如图①，△EDC即为所求.(2)如图②，将 15.120°：AB=AC,∠ACB=30°，∴.∠BAC=120°.如 △BAE绕点B按顺时针方向旋转，得到△BCF. 图，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转120°得到△ACQ, ∴.△BAE≌△BCF.∴·BE=BF,AE=CF,∠BCF= 连接PQ,过点A作AD LPQ,垂足为D.由旋转的性质， ∠A=90°.∴.∠BCD+∠BCF=180°.∴.点D,C,F在同 得PB=CQ=√2I,∠BAC=∠PAQ=120°，PA=AQ= 一条直线上.AE+CD=DE,∴CF十CD=DE,即 DF=DE.BD=BD,BF=BE,.△BDF≌△BDE 2.∠APQ=∠AQP=2(180°-∠PAQ)=30,PQ ∴.∠BDF=∠BDE,即DB平分∠CDE. 2DQ.在R△AQ中，AQ-2AD=号AQ=1.Q √5.∴.PQ=2DQ=23.PQ+PC2=(23)2+32= 21,CQ=(√21)2=21，.PQ+PC=CQ2..△PCQ 是直角三角形，且∠QPC=90°.∴.∠APC=∠APQ+ ∠QP℃=30°+90°=120°. ① ② (第18题) 19.(1)由旋转，知CE=CD,∠DCE=a=20°，∴.∠E= B 18020°=80.：∠BCD=60,.∠BE=60+20°= 2 (第15题) 80:CF平分∠CE,∠FCE=号∠BCE=40 16.2√7+2√3如图，连接BD交AC于点O.取OD的中 点T,连接TM,TC.:直线EF平分菱形ABCD的面积， ∴.∠CFE=180°-80°-40°=60°.(2)不变.CD= ∴.直线EF经过点O.:四边形ABCD是菱形，∴AB= CE,∠ECD=a,∴.∠E=∠CDE=2(180°-a)=90- BC=CD=AD=8,∠ADC=∠ABC=60°，AC⊥BD, OA=OC,OB=OD.∴.△ABC,△ADC都是等边三角形. 2Q.:∠BCD=60,·∠BCE=60+a.CF平分 .'AC=AB=8,0A=OC=4,0B=OD=43.T ∠E∠RCE=∠BCE=30+7d∠CFE= OD的中点，∴.OT=TD=23.∴.CT=√OT?+OC= √(23)2+4=27.DM⊥EF,.∠DM0=90°. 180-∠P0E-∠E=180°-(30+2）- OT-TD,TM-20D-2/3.CM<CT+TM- (9o-2a)=60·∠CFE的度数不变，且∠CFE- 27+25.∴.CM长的最大值为2√7+23. 60°.(3)在DE上取一点T,使得CT=CF.由(2)知 ∠CFE=60°，∴.△CFT是等边三角形.∴.∠CFT= ∠CTF=60°，FT=CF=CT..∠CFD=∠CTE=120° :CD=CE,∴∠CDF=∠E.∴.△CDF≌△CET (第16题)》 .DF=ET..EF-DF=EF-ET=FT=CF. 50 第二十九章圆 29.1圆的有关概念 于AE的长，即r>√17，同时圆的半径需不大于AB的 长，即r≤3√2..r的取值范围是√17<r≤3√2. 第1课时圆的有关概念 1.D①直径是弦，正确，符合题意；②半圆是弧，正确，符 合题意；③半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意； ④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原说法错误，不符 合题意；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分，正确，符合 题意.故正确的个数是4. 2.D连接OB,则OB=OD.OD=2OC,.OC= (第7题) 20D.0C=20B.:0CLAB易得∠0BC=30. 8.54°连接EC,ED.DE=DB,∴.∠DEB=∠ABC= OD∥AB,∴.∠BOD=∠OBC=30°..∠OBD= 24°..∠EDC=∠DEB+∠ABC=48°.：EC=ED, ∴.∠ECD=∠EDC=48°.∴.∠CED=180°-∠ECD ∠0DB=2180°-∠B0D)=75 ∠EDC=84°.∴.∠CEA=180°-∠CED-∠DEB=72° 3.30连接OC.,OC=OB,∴.∠OCB=∠OBC=50°. 又：EA=C,∠CAB=号XI80-∠CEA)=5 .∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=80°.∴.∠AOC= ∠BC+∠AOB=120°.OC=OA,∴.∠OAC=∠OCA= 9.连接OF.:四边形ABCD为正方形，∴.CD=AB. 180°-∠A0C)=309 1 OD=OA,OC=OD-CD ,OB-OA?-AB, ∴.OB=0C.设OB=x,则OE=x+4,AB=2x.在 4.18°连接OB.OA=OB,BD=OA,∴.OA=OB= Rt△AOB中，OA2=OB2+AB2=x2+(2x)2=5z2;在 BD..∠A=∠OBA,∠BOD=∠D..∠OBA=∠BOD+ Rt△OEF中，OF2=OE2+EF2=(x+4)2+4.,OA= ∠D=2∠D,∴∠A=2∠D.:∠A+∠AOC+∠D= OF,∴.5x2=(x+十4)2+4，整理，得x2-2x-8=0,解得 180°，.2∠D+126°+∠D=180°..∠D=18°. x1=4,x2=-2(不合题意，舍去).∴OA=√5x=45,即 5.连接ME,MD.:BD,CE是△ABC的高，M为BC的 该半圆的半径是45. 中点ME=MD=MC=MB=2BC.·点B,C,D,E 10.(1)设∠QPO=a.:QP=Q0,∴.∠QOP=∠QPO= 在以点M为圆心的同一个圆上. a.∠Q=180°-2a.0Q=0C,.∠0CP=∠Q= 6.ACH⊥AB,垂足为H,∴.∠CHB=90°.：M是 180°-2a..∠QPO=∠0CP+∠P0C,.a=180°-2a+ BC的中点，M=2C.:当BC为直径时，C的长 30°，解得a=70°.∴.∠0CP=180°-2X70°=40. (2)存在.如图①，设∠QOC=x,则∠QOP=x+30° 最大，即MH的长最大，⊙O的半径是3，∴.BC长的最大 QP=QO,.∠QPO=∠QOP=x+30°.∴.∠QCO= 值为6.∴.MH长的最大值为3. ∠COP+∠CPO=30°+x+30°=x+60°..OQ=OC, 7.B如图，连接AB,AD,AE,AF.由勾股定理，得AD= .∠OQC=∠QCO=x+60°.∴.x+x+60°+x+60°= √22+2=2√2，AE=AF=√12+4=√17，AB= 180°，解得x=20°.∴.∠0CP=∠Q0C+∠OQC=20°+ √3+3=32，AB>AE=AF>AD.以，点A为圆心，20°+60°=100°.如图②，设∠QP0=y.QP=Q0, AE为半径画圆，此时除点A外，点D在圆内，点E,F在 ∴.∠QOP=∠QP0=y.∴.∠CQO=2y.'0C=OQ, 圆上，其余点在圆外（且圆外的点离圆心A最近的是B) ∴.∠OCP=∠CQO=2y.:∠AOC=∠APC+∠OCP, 要求除点A外恰好有3个点在圆内，∴.圆的半径需大∴y十2y=30°，解得y=10°.∴.∠OCP=2y=20°.综上所 51 述，∠OCP的度数为100°或20°. 25. 0 ① ② (第5题) (第10题) 6.4A(1,0),B(0,2),.易知直线AB对应的函数解 第2课时三角形的外接圆 析式为y=一2x十2..当x=一1时，y=-2×(一1)十 1.B经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故命题 2=4.:不在同一条直线上的三个点确定一个圆，∴点C 不在直线AB上，即m≠4.∴.当m≠4时，过平面直角坐标 ①是假命题：一个圆有无数个内接三角形，故命题②是假 系中的三个点A(1,0),B(0,2),C(一1，m)能确定一个圆. 命题；一个三角形有且只有一个外接圆，故命题③是真命 题；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故命 7.如图①，当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长， 题④是真命题；直角三角形的外心是三角形斜边的中点， 交BC于点D.AB=AC,点O为△ABC的外心，∴.AD⊥ 故命题⑤是真命题.故真命题的个数是3. BC.,∴.OD=3cm.在Rt△BOD中，OB=5cm,OD= 2.B:不在同一直线上的三个点确定一个圆，∴过以下 3cmm,∴.BD=√OB2-OD=√52-32=4(cm.OA= 三点可以画出一个圆：A,B,P:A,C,P:A,D,P;B,C,P; OB=5cm,.∴.AD=OA+OD=8cm..∴.在Rt△ABD中， B,D,P:C,D,P.∴最多可画出圆的个数为6 根据勾股定理，得AB=√BD+AD=√4？十8= 3.2√2在△ABC中，：∠BAC=60°，∠ABC=75°， 45(cm).如图②，当△ABC是钝角三角形时，连接AO交 ∴.∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=45°.连接OA,OB, BC于点D.同理可得BD=4cm,AD=OA-OD=2cm, OC,则OA=OB=OC=2.∴.∠OAC=∠OCA,∠OBC= ∴.在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB=√BD+AD= ∠OCB.:'∠OCA+∠OCB=∠ACB=45°，∴.∠OAC+ √4+2=2√5(cm).综上所述，AB的长为2√5cm或 ∠OCA+∠OBC+∠OCB=90°.又.∠OAC+∠OAB+ 4√5cm. ∠OBA+∠OBC+∠OCA+∠OCB=180°，.∴.∠OAB十 ∠OBA=90°.∴.∠AOB=90°..在Rt△AOB中，由勾股 定理，得AB=√OA2+OB=2√2. 4.(1)如图，点O即为所求.(2)如图，过点O作OH1 BC于点H,连接OB.在Rt△OBH中，OH=2,BH= ① ② (第7题) 号由勾脱定里，得0B- 易错警示 2 ..△ABC的外接圆的半 圆内接三角形常见圆心位置疏漏 径为②6 解决圆与圆内接三角形的综合应用题时，对于无图 2 类的问题，易因不分类讨论圆心与三角形的相对位置而 致错 -0 第3课时反证法 H (第4题) 1.A“∠B<90”的反面是“∠B≥90” 5.D△ABC的外心为点O,.OB=OC=OA.OA= 2√a≤石“√a>√b”的反面是“√a≤6” √1+3=√10，∴.OB=OC=√10.：B,C是方格纸格 3.△ABC是直角三角形“△ABC不是直角三角形”的反 线的交点，∴点B,C的位置如图所示.∴.BC=√2十4= 面是“△ABC是直角三角形”. 52