29.2.3 课时1 圆周角 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十九章 圆 29.2.3 圆周角 课时1 圆周角 ▌课时目标 1. 理解圆周角的概念，能区分圆周角与圆心角，识别角所对的弧。 2. 掌握圆周角定理及其两个推论，会按圆心与角的位置关系分类证明定理。 3. 能运用圆周角定理进行角度计算，会用“遇直径构造直角”的辅助线方法解题。 ▌课时目录 知识点01：圆周角的概念 知识点02：圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半） 知识点03：推论：同弧或等弧所对的圆周角相等 知识点04：推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 知识点05：圆周角定理及推论在角度计算中的应用 知识点06：遇直径构造直角、遇直角连直径的辅助线方法 ▌知识点01：圆周角的概念 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，如∠ACB（C在圆上）。 两个条件缺一不可：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交。 辨析：顶点在圆上但一边不与圆相交的角不是圆周角；圆周角∠ACB所对的弧是（不含点C的那段）。 1．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列命题是真命题的是（     ） A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半径相等的半圆是等弧 【答案】D 【分析】结合圆相关概念的适用前提，逐一判断各命题的真假． 【详解】解：A、 圆周角需两边都与圆相交，该命题缺少此条件，是假命题． B、 共线的三点无法确定圆，是假命题． C、缺少同圆或等圆的前提，相等圆心角所对的弧不一定相等，是假命题． D、半径相等的半圆能够完全重合，是等弧，是真命题． 2．（26-27九年级上·江苏·单元测试）下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据圆周角的定义，选项C中的为圆周角． 3．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角． 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合， 故选：A． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义． 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：B． ▌知识点02：圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半） 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 符号表述：若∠ACB与∠AOB同对，则∠ACB＝∠AOB。 应用：已知圆心角求圆周角用“减半”，已知圆周角求圆心角用“加倍”。 5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知中，若，则度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 6．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，A，B，C是上的三个点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理，得，结合，得． 【详解】解：根据圆周角定理，得， 又， 故． 7．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 8．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，，垂足为E． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂径定理得到，则，再由圆周角定理可得答案； （2）设圆O的半径为r，则，，由垂径定理可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是圆O的一条弦，是圆O直径，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设圆O的半径为r，则，， ∵是圆O的一条弦，是圆O直径，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆O的半径为． ▌知识点03：推论：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。 符号表述：若∠ACB与∠ADB同对，则∠ACB＝∠ADB。 应用：这是圆中“找等角”的重要工具，常用于证明角相等或角的转移。 9．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）给出下列说法： ①相等的两个圆心角所对的弦相等； ②同弧或等弧所对的圆周角相等； ③三点确定一个圆；         ④平分弦的直径垂直于弦； ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数． 其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据圆的基本性质和相关概念逐项分析即可得出结果． 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的弦相等，故①说法错误； ②同弧或等弧所对的圆周角相等，故②说法正确； ③不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，故③说法错误； ④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故④说法错误； ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，故⑤说法错误； 综上所述，正确的有个． 10．（26-27九年级上·吉林·阶段检测）如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点，，现给出下面四个结论： ①；②；③的半径为；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②③ 【分析】①根据“弧、弦、圆心角的关系”，即可判断；②连接，根据“弧、弦、圆心角的关系”，易得，再根据圆周角定理，即可判断；③根据圆周角定理，可得，计算可得，从而，再利用勾股定理，即可求解；④先求，再计算即可． 【详解】解：①， ，故①正确； ②如图，连接， 点是的中点， ， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ，， ， ， ，即是等腰三角形， ， 在中，， ， ，即的半径为，故③正确； ④的半径为，， ， ， 则，故④不正确； 综上所述，正确结论的序号有①②③． 11．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，以的边为直径画半圆，与，分别交于点D、E，．求证：． 【答案】证明：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】首先利用等边对等角得到，然后利用弧和圆周角的关系得到，即可得到． 【详解】略 12．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是上的四个点，． (1)的形状为_________； (2)探究线段之间的等量关系，并证明． 【答案】(1)等边三角形 (2)解：，证明如下： 在上截取， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，根据等边三角形的判定定理证明； （2）在上截取，得到为等边三角形，证明，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得，，， ∴是等边三角形； （2）略． ▌知识点04：推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。 符号表述：AB为直径⇔∠ACB＝90°（C在圆上）。 应用：见直径联想直角三角形；见90°圆周角联想直径，是圆中垂直关系的重要来源。 13．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 14．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是___________． 【答案】/度 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．连接，根据是的直径，得到，利用直角三角形两锐角互余求出，根据圆周角定理得到． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ． 15．（2026·江西·中考真题）如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 【答案】1 【分析】根据题意得出在以为直径的上运动，进而可得当时，到的距离最大，此时面积最大，得出，结合题意得出是等腰直角三角形，求得，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴ ∴在以为直径的上运动 ∴当时，到的距离最大，此时面积最大， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 16．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，、是的弦，且，是直径，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵对角线是的直径， ∴， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【分析】由是的直径，可得，证明，得到，可证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】略 ▌知识点05：圆周角定理及推论在角度计算中的应用 基本思路：先找角所对的弧，再由弧找它所对的圆心角或其他圆周角，实现角的转化。 常见关系：圆周角＝同弧圆心角的一半；同弧的圆周角相等；直径对直角。 常与三角形内角和、等腰三角形性质结合，设未知数列方程求解。 17．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，过外一点，作的切线，切点为，连接并延长交于，两点，为上任意一点，连接，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线的性质得出，根据圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，切点为， ∴，， ∵和是所对的圆心角和圆周角，， ∴，即， ∴． 18．（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 【详解】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． 19．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，是圆的直径， ， ； (2)6 【分析】（1）利用垂径定理可得，即可解答； （2）连接，根据勾股定理求出，然后利用垂径定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，交于点E，，连接，． (1)若，求的度数； (2)如图2，点N在上，作，分别交，于点M，P，，过点B作交于点F． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)①证明：如图，连接， ∵，， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴； ②10 【分析】（1）连接，得到，，求出即可解题； （2）①连接，设，可得，，由，结合三角形内角和定理得，根据平行线的性质得，故，根据等角对等边得，等量代换可得结论； ②连接，取中点，连接，过作于，过作交于，证明四边形是平行四边形，得到，，求出，得到，，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①略； ②连接，取中点，连接，过作于，过作交于，如图： 由①知， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌知识点06：遇直径构造直角、遇直角连直径的辅助线方法 方法1：已知直径，连接直径端点与圆上一点，得到90°圆周角，构造直角三角形。 方法2：已知圆中直角（90°圆周角），连接直角两边与圆的交点，所得弦即为直径。 口诀：“见直径，想直角；见直角，连直径”。结合勾股定理进行计算。 21．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，是半径为的的直径，是弦，是上一点，连接、，分别交于点，交于点，若为的中点，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明，得，证明，得，，求出，，由勾股定理求出和即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是半径为的的直径， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 23．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，为的直径，点，，是上的三点．若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而求得的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴ ∵ ∴ 24．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，于点，连接，，满足． (1)求证：平分； (2)若，，求半径． 【答案】(1)证明：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； (2)半径为． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，再得到，再进一步得到，再根据，得到，即可得出结论； （2）作于点，连接，如图：设的半径为，得到，，再根据勾股定理得到，即，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：作于点，连接，如图： 设的半径为，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴半径为． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，是的直径，位于两侧的点C、点D均在上，等于，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角等于对应圆心角的一半是解题的关键． 先求得，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵等于， ∴， ∴． 故选D． 2．（2026·重庆·模拟预测）如图，是的直径，，是上的两点，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】DD 【详解】解：∵，， ∴． 又∵是的直径 ∴， ∴ 3．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ． ， ． 4．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）如图，是的直径，A，C是上两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，则，求出的度数，则由同弧所对的圆周角相等可得的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 5．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 【答案】 【分析】先由圆周角定理求出圆心角，再算出，最后利用等腰三角形性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故． 6．（2026·湖南益阳·二模）如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 【答案】/63度 【分析】首先根据求出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 7．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，，则_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，由是直径，可知，再利用同弧所对的圆周角相等，可知和相等，从而求得答案． 【详解】解：连接 是直径 ， 故答案为：． 8．（2026·山东青岛·一模）如图，以正五边形的边为直径作，连接交于点，的延长线交于点，则的度数为__________． 【答案】/54度 【分析】根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵正五边形， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴. 三、解答题 9．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，圆的直径长为，弦的长为，的平分线交圆于点； (1)求弦与弦的长． (2)求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，然后利用勾股定理可计算出；根据圆周角定理得到°，再根据角平分线定义得，则，于是可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质即可求得； （2）作于，由（1）可得是等腰直角三角形，进而可得，，利用勾股定理求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：是的直径， ， 在中， ， 是的直径， ， 的平分线交于点， 是等腰直角三角形， （2）如图，作于， 是的直径， ， 的平分线交于点， ， 是等腰直角三角形， ， 在中， ， ． 10．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训川练 第二十九章圆 29.2.3圆周角 课时1圆周角 课时目标 理解圆周角的概念，能区分圆周角与圆心角，识别角所对的弧。 2. 掌握圆周角定理及其两个推论，会按圆心与角的位置关系分类证明定理。 3. 能运用圆周角定理进行角度计算，会用“遇直径构造直角”的辅助线方法解题。 课时目录 知识点01：圆周角的概念 知识点02：圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半） 知识点03：推论：同弧或等弧所对的圆周角相等 知识点04：推论：半圆（或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 知识点05：圆周角定理及推论在角度计算中的应用 知识点06：遇直径构造直角、遇直角连直径的辅助线方法 知识点01：圆周鱼的概念 圆周角：项点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，如∠ACB(C在圆上)。 1/13 两个条件缺一不可：①顶点在圆上：②角的两边都和圆相交。 辨析：顶点在圆上但一边不与圆相交的角不是圆周角：圆周角∠ACB所对的弧是AB(不 含点C的那段)。 0 1.(26-27九年级上江苏徐州阶段检测)下列命题是真命题的是() A.顶点在圆上的角叫圆周角 B.三点确定一个圆 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.半径相等的半圆是等弧 2.(26-27九年级上江苏·单元测试)下列各图中的∠1为圆周角的是（) A 1 B D 3.(25-26九年级上河北廊坊期中)图中∠ACB是圆周角的是() B B B D B 4.(25-26九年级上吉林长春·期中)下列图中是圆周角的是（) 2/13 D 知识点02：圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半） 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 1 符号表述：若∠ACB与∠AOB同对AB,则∠ACB=2∠AOB。 应用：已知圆心角求圆周角用“减半”，已知圆周角求圆心角用“加倍”。 B 5.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)如图，己知⊙0中，若∠A0B=80°，则∠ACB度数是() A.40° B.80° C.100° D.160° 6.(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)如图，A,B,C是⊙0上的三个点，若∠A=25°，则∠B0C的 度数为() 3/13 A.60° B.55° C.50° D.45° 7.(26-27九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，己知四边形ABCD内接于⊙0，∠ADC=145°，则 ∠AOC的大小是() D B A.36° B.70° C.46° D.92° 8.(26-27九年级上江苏宿迁阶段检测)如图所示，AB是圆O的一条弦，CD是圆O直径，CD⊥AB, 垂足为E. C E B D (1)若∠AOD=48°，求∠DCB的度数： ②考1B=27,D=2,求圆0的半径长」 知识点03：推论：同孤或等弧所对的圆周鱼相等 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。 符号表述：若∠ACB与∠ADB同对AB,则∠ACB=∠ADB。 应用：这是圆中“找等角”的重要工具，常用于证明角相等或角的转移。 4/13 A 0 C 9.(26-27九年级上辽宁盘锦阶段检测)给出下列说法： ①相等的两个圆心角所对的弦相等： ②同弧或等弧所对的圆周角相等； ③三点确定一个圆： ④平分弦的直径垂直于弦： ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数. 其中正确的有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 10.(26-27九年级上·吉林阶段检测)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，直径CD与AB边交 于点E,点B是CD的中点，CE=6,现给出下面四个结论： OAC=B:②∠1=45°，③⊙0的半径为32：④CE=3D.上述结论中，正确结论的序号有 B D 11.(26-27九年级上·江苏南京·阶段检测)如图，以△ABC的边BC为直径画半圆，与AB,AC分别交于 点D、E,AB=AC.求证：BD=EC. 5/13 B 12.(26-27九年级上江苏徐州阶段检测)如图，A,P,B,C是⊙0上的四个点，∠APC=∠CPB=60°. D 0 (I)△ABC的形状为 (2)探究线段PA,PB,PC之间的等量关系，并证明. 知识点04：推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直鱼，90°的圆周角所对的弦是直径 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。 符号表述：AB为直径台∠ACB=90°(C在圆上)。 应用：见直径联想直角三角形；见90°圆周角联想直径，是圆中垂直关系的重要来源。 B 13.(2026河南南阳模拟预测)如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BAC=40°，则 ∠CBD的度数为() 6/13 A.40° B.45° C.50° D.55° 14.(26-27九年级上：江苏无锡阶段检测)如图，BC是⊙0的直径，A,D是⊙0上的两点，连接AB, AD,BD,若∠ABC=20°，则∠ADB的度数是 D 15.(2026江西中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4，E是边AD上的动点，连接 BE,过点C作CF⊥BE于点F.当△BFC面积最大时，DE的长为 E B 16.(26-27九年级上江苏南京阶段检测)如图，AD、BC是⊙0的弦，且AD=BC,AC是直径，求证： 四边形ABCD是矩形. 知识点05：圆周鱼定理及推论在角度计算中的应里 基本思路：先找角所对的弧，再由弧找它所对的圆心角或其他圆周角，实现角的转化。 常见关系：圆周角=同弧圆心角的一半；同弧的圆周角相等；直径对直角。 7/13 常与三角形内角和、等腰三角形性质结合，设未知数列方程求解。 17.(26-27九年级上重庆阶段检测)如图，过⊙0外一点P,作⊙0的切线PA,切点为A,连接P0并 延长交⊙0于B,C两点，D为⊙0上任意一点，连接AC,AD,DB,∠ADB=26°，则∠P的度数 为() A.26° B.30° C.32 D.38 18.(2026山东淄博中考真题)如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上的点，∠ABC=58°，CD平分 交于点，垂足为P,则C0E ∠ACO DE⊥AB、⊙O,,E F B D 19.(2627九年级上浙江杭州阶段检测)如图，AB是O0的直径，弦CD1B于点五，G是MC上任意 一点，连接AD,AG,GD G 0 (I)求证：∠AGD=∠ADC: (2)若AE=9,BE=1,求CD的长. 20.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)如图，AC是O0的直径，BD交AC于点E, 8/13 ∠BAC=2∠CAD,连接AB,AD B B B M D 图1 图2 备用图 (1)若∠D=50°，求∠CAD的度数： (2)如图2，点N在AD上，作MN⊥AD,MN分别交AB,AC于点MP,MN=BE,过点B作 BF∥MN交AC于点F. ①求证：BF=MN: ②若BM=4,PE=6,求AM的长. 知识点06：遇直径构造直鱼、遇直角连直径的铺助线方法 方法1：己知直径，连接直径端点与圆上一点，得到90°圆周角，构造直角三角形。 方法2：已知圆中直角(90°圆周角)，连接直角两边与圆的交点，所得弦即为直径。 口诀：“见直径，想直角；见直角，连直径”。结合勾股定理进行计算。 21,(26-27九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，弦CD交AB于点E,连接AC、AD 若∠BAC=27°，则∠D的度数是() B D A.56° B.58° C.60 D.63° 22.(26-27九年级上·重庆阶段检测)如图，AB是半径为3的⊙0的直径，BC是弦，D是⊙0上一点， 连接AD、OD,BC分别交OD于点E,交AD于点F,若F为AD的中点，BE=CE,则DF的长度 为() 9/13 A2 B V6 C.2v2 D.3 23.(2026·贵州遵义·模拟预测)如图，AB为⊙0的直径，点C,D,E是⊙0上的三点.若∠D=40°， 则∠E的度数为一 D 24.(26-27九年级上·北京阶段检测)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交OB于点E,CF⊥AB于点F, 连接AC,AD,满足AD=DE. (I)求证：CD平分∠ACF: 2若0E=1.AD=25 半径 课时训练 一、选择题 1.(25-26九年级上山西吕梁期末)如图，AB是⊙0的直径，位于AB两侧的点C、点D均在⊙0上， ∠BOC等于20°，则∠ADC等于() 10113 D B A.65 B.55° C.70° D.80° 2.(2026重庆模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上的两点，设∠D=58°，则∠ABC的 度数为() C B D A.42° B.58 C.64° D.32 3.(25-26九年级下河南驻马店期中)如图，AB是⊙0的直径，点C在圆上，若∠CAB=35°，则 ∠ABC的度数为() B A.45° B.55 C.65° D.35o 4.(25-26九年级下·江苏准安期中)如图，BD是⊙0的直径，A,C是⊙0上两点，连接AC,AD,CD 若∠C=24°，则∠ADB的度数为() 11/13 A.48° B.66° C.72° D.76° 二、填空题 5.(2627九年级上江苏镇江阶段检测)如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半 轴于点C,D为第一象限内⊙0上的一点，若∠DAB=2I°，则∠OCD=° B 6.(2026湖南益阳二模)如图，A,B,C,D,E五点在OO上，连接EA,EB,EC,ED.若 AB=BC-CD,∠AEB=21°，则∠AED的度数是 F D B 7.(2425九年级上山东济宁·期中)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AD是⊙0的直径， ∠ABC=45°，则∠CAD= 0, D 12113 8.(2026山东青岛一模)如图，以正五边形ABCDEF的AB边为直径作⊙0，连接AC交⊙0于点F, CB ⊙0 ∠FAG 的延长线交于点，则 的度数为 E 三、解答题 9.(26-27九年级上山东日照·阶段检测)如图，圆O的直径AB长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分 线交圆O于点D; C (I)求弦BC与弦AD的长. (2)求CD的长 10.(25-26九年级上：陕西西安期中)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，且对角线BD经过⊙0 的圆心O,过点A作AE⊥CD,与CD的延长线交于点E,且DA平分∠BDE. B D (I)求证：∠ABO=∠EAD； (2)过点O作OH⊥CD于点H,连接OA,若⊙O的半径为5，求EH的长. 13113