28.2.3 关于原点对称的点的坐标 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十八章 旋转 28.2.3 关于原点对称的点的坐标 ▌课时目标 1. 理解关于原点对称的点的坐标特征，能直接写出已知点关于原点对称的点的坐标。 2. 掌握三种对称（原点、x轴、y轴）的坐标规律，会在坐标系中作关于原点对称的图形。 3. 能综合运用平移、轴对称与中心对称的坐标变化解决求字母值与图形变换问题。 ▌课时目录 知识点01：关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标都互为相反数） 知识点02：关于原点对称与关于x轴、y轴对称的坐标特征辨析 知识点03：在坐标系中作关于原点对称的图形 知识点04：利用对称点的坐标关系求字母的值 知识点05：坐标系中中心对称与旋转作图的综合 知识点06：平移、轴对称与中心对称的坐标变化综合 ▌知识点01：关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标都互为相反数） 点P(x，y)关于原点对称的点P′的坐标为(－x，－y)，即横、纵坐标都互为相反数。 验证：原点O是线段PP′的中点，由中点坐标公式[x＋(－x)]÷2＝0可得。 提醒：两个坐标都要变号，只变一个就错了；原点关于原点对称的点仍是原点。 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）关于抛物线和的异同点，下列说法中正确的有（） ①有共同的顶点和对称轴；②两抛物线的开口方向相反；③两抛物线关于x轴成轴对称；④两抛物线关于原点中心对称； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质可判断①正确；根据抛物线的开口方向由二次项系数的正负决定可判断②正确；根据若点在上，则点满足可判断③正确；根据若点在上，则点满足可判断④正确． 【详解】解：①抛物线和的顶点都是原点，对称轴都是y轴，二者顶点和对称轴完全相同，故①正确； ②的二次项系数是，的二次项系数是，和符号相反，因此两个抛物线开口方向必然相反，故②正确； ③若点在上，则点满足，也就是这两个点关于x轴对称，因此两条抛物线整体关于x轴成轴对称，故③正确； ④若点在上，则点满足，整理得，也就是这两个点关于原点中心对称，因此两条抛物线整体关于原点中心对称，故④正确． 综上可知，4个说法全部正确． 2．（25-26八年级下·广西来宾·期末）若点关于原点的对称点是，则的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数求得m、n，再代入加法运算即可解答． 【详解】解：点关于原点的对称点是， ∴,， ∴． 3．（2026·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数的特征求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 4．（26-27九年级上·广东深圳·自主招生）点与点关于轴对称，则点关于原点对称点的坐标是_________． 【答案】 【分析】先根据关于轴对称的点的坐标特点求得，的值，再根据关于原点对称的点的坐标特点即可得出答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 点关于原点对称点的坐标是． ▌知识点02：关于原点对称与关于x轴、y轴对称的坐标特征辨析 关于x轴对称：点(x，y)变为(x，－y)，横坐标不变，纵坐标变号。 关于y轴对称：点(x，y)变为(－x，y)，纵坐标不变，横坐标变号。 关于原点对称：点(x，y)变为(－x，－y)，两个坐标都变号。 记忆：关于哪条轴对称，哪个坐标不变；关于原点对称，两个坐标都变。 5．（24-25九年级上·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中点和点的位置关系是（   ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．轴 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．纵坐标互为相反数．横坐标互为相反数可知两点关于原点对称． 【详解】解：∵点和点横纵坐标都相反， ∴点和点关于原点对称， 故选：A． 6．（24-25八年级下·河北唐山·阶段检测）学生甲错将P点的横坐标与纵坐标的次序颠倒，写成，学生乙错将Q点的坐标写成它关于x轴对称点的坐标，写成，则P点和Q点的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标的知识，解题的关键是掌握关于轴、轴对称的点的坐标的特征； 首先根据题意表示出的正确坐标，注意关于轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等；接下来根据关于坐标轴对称的点的坐标特征，即可求解； 【详解】解：由题意可得：P点的正确坐标为，Q点的正确坐标为， ∵关于轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴P点和Q点的位置关系是关于y轴对称； 7．（25-26八年级下·河北唐山·期末）在无人机表演中，无人机群会由初始位置整体平移到新位置．其中A、B、C三个无人机在平面直角坐标系中的初始位置如图所示，坐标分别为，，． (1)若无人机与关于原点对称，无人机与关于轴对称，无人机与关于轴对称，则点的坐标为____________，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)无人机群整体向下平移4个单位，再向左平移3个单位，画出、、三个无人机构成的平移后得到的相应图形． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案； （2）根据平移方式可得点的坐标，再描点，连线画图即可． 【详解】（1）解：∵无人机与关于原点对称，无人机与关于轴对称，无人机与关于轴对称，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）略 8．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，顶点坐标分别为，，． (1)若与关于轴对称，则的坐标是______； (2)若与关于坐标原点中心对称，则的坐标是______； (3)请在下图中画出将绕点沿顺时针方向旋转得到的，并写出的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查作图-旋转变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，也考查了轴对称的性质． （1）根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解； （2）根据关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求解； （3）分别作出A，B，C的对应点，即可写出的坐标． 【详解】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征可知：点关于轴对称的点的坐标是 故答案为： （2）根据关于原点对称的点的坐标特征可知：点关于坐标原点对称的点的坐标是 故答案为： （3）如图所示，即为所求作的三角形， 由图可知： ▌知识点03：在坐标系中作关于原点对称的图形 作图依据：各顶点关于原点的对称点坐标为原坐标的相反数。 步骤：①读出原图形各顶点坐标；②写出各顶点关于原点对称的点坐标(－x，－y)；③在坐标系中描出各对称点并顺次连接。 检验：所得图形与原图形关于原点中心对称，对应点连线都经过原点且被原点平分。 9．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）如图所示，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)写出点关于原点对称的点的坐标__________； (2)画出绕原点逆时针旋转90°得到的； (3)在（2）条件下求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点的坐标的对称性（关于原点对称，横纵坐标改变，且为原来坐标的相反数）即可求出答案． （2）分别确定绕原点逆时针旋转的，和三点位置，顺次连接即可得到． （3）根据旋转的性质和已知条件确定等腰直角三角形，推出，利用勾股定理求出的长度，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， 点关于原点对称的点的坐标是． （2）解：①连接，将绕原点逆时针旋转即可得到，确定点位置， ②两点都在轴上，绕原点逆时针旋转，确定和的位置都在轴的负半轴上，且距离分别为6和1． ③将，和三点连线即可得到． （3）解：连接，如图所示， 由直角坐标系可知，， 逆时针旋转得到， 为等腰直角三角形， ． 10．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： (1)若向右平移6个单位长度后得到，作出； (2)将绕点旋转，画出旋转后的； (3)若与关于点成中心对称，则点的坐标为_． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3) 【分析】（）根据平移变换即可求解； （）根据旋转变换即可求解； （）连接，，，则与交于 P点，求出直线的解析式为，直线的解析式为，，直线的解析式为，，联立，解方程组即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，，，则与交于 P点， 根据图形可知：点，，，，，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为，， 直线的解析式为，， 联立， 解得：， ∴点P的坐标为． 11．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出与关于原点对称的，与关于轴对称的，其中点的对应点分别为点，； (2)直接写出点，的坐标，及点与点之间的关系． 【答案】(1) (2)，，关于轴对称 【分析】（1）根据原点对称坐标变换公式，由，，求出，描点连线画出；再根据轴对称坐标变换公式求出，描点连线画出。 （2）根据坐标变换得到，，对比两点横、纵坐标，得出两点关于轴对称。 【详解】（1）解：作出与如图所示； ； （2）解：，， 点与点关于轴对称． 12．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，的三个顶点分别为，，，（每个方格的边长均为个单位长度） (1)平移得到，其中内任意一点平移后的对应点 ，的坐标为_； (2)若和关于原点成中心对称，画出，则 的坐标为_． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)如图，即为所求， 【分析】（1）先确定平移方式，再利用平移变换的性质分别作出、、的对应点，再顺次连接即可得到，从而得出点的坐标； （2）利用中心对称变换的性质即可得出的坐标． 【详解】（1）解：点平移后的对应点 ， 平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度；图略； 向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到； （2）解：图略； 和关于原点成中心对称，， ． ▌知识点04：利用对称点的坐标关系求字母的值 若点A(a，b)与点A′(m，n)关于原点对称，则a＋m＝0，b＋n＝0，即两坐标分别互为相反数。 常考题型：已知点P(a＋1，2－b)与点Q(3，－4)关于原点对称，列方程a＋1＋3＝0，2－b＋(－4)＝0求解。 提醒：列方程时用“和为0”或“互为相反数”两种写法均可，注意符号不要出错。 13．（26-27九年级上·天津·阶段检测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值是___________． 【答案】4 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴， ． 14．（26-27九年级上·四川·期中）已知点和点关于原点中心对称，则的值为______． 【答案】8 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，列出方程求解n和m，再计算的值． 【详解】解：∵点和点关于原点中心对称， ∴，， ∴，， ∴． 15．（25-26九年级上·安徽·期末）已知点，． (1)若A，B两点关于原点对称，求，的值； (2)若A，B两点关于轴对称，求，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标，理解题意是解决本题的关键． （1）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此即可作答； （2）关于x轴对称的两点的纵坐标互为相反数，横坐标相等，据此即可作答． 【详解】（1）解：两点关于原点对称， ， ； （2）解：两点关于轴对称， ， ． 16．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）直角坐标系第二象限内的一点与另一点关于原点对称，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，关于原点对称的两个点的坐标特点，第二象限内的点的坐标特点，关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，据此可得，解方程求出m的值，根据第二象限内的点的横坐标为负，可得，据此确定m的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点与另一点关于原点对称， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∵在第二象限， ∴， ∴， ∴． ▌知识点05：坐标系中中心对称与旋转作图的综合 关于原点对称就是绕原点旋转180°，坐标规律(－x，－y)可直接使用。 绕原点旋转90°：点(x，y)逆时针旋转90°变为(－y，x)，顺时针旋转90°变为(y，－x)，可借助全等直角三角形理解。 综合题常先旋转再求坐标或面积，注意看清旋转方向和旋转中心是否为原点。 17．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，将三角形纸片的一角沿折痕翻折，使得点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)用直尺和圆规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，探究与的数量关系，并说明理由： (3)设与关于点对称． ①在原图中用直尺和圆规作出（不写作法，保留作图痕迹）； ②若将连续经过两次图形变换能与重合，则以下变换一定可以实现的是（    ） A．第一次平移，第二次轴对称 B．第一次轴对称，第二次旋转 C．第一次旋转，第二次平移 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3) 作图见解析； C 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，交于点，即为所求； （2）由平行线的性质，结合翻折的性质，即可得与的数量关系； （3）以点为圆心，为半径作弧，交延长线于点，以点为圆心，为半径作弧，交延长线于点，连接，即为所求；以点为中心，将逆时针旋转，再沿着进行平移，即可得． 【详解】（1）解：分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点、，直线交于点，交于点，即为所求． （2）解：， 理由：∵， ∴， 由翻折可知， ∴． （3）解：以点为圆心，为半径作弧，交延长线于点，以点为圆心，为半径作弧，交延长线于点，连接，即为所求． 以点为中心，将逆时针旋转至，再沿着进行平移，即可得． 18．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为，，． (1)平移，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度； 请画出平移后的． 如果看成一次平移，则平移的距离是____________个单位长度． (2)请在图中画出关于原点中心对称的． 【答案】(1)如图，即为所求； ； (2) 如图，即为所求． 【分析】（）根据平移的性质得出坐标，然后连接进而画出图形即可； 根据平移的性质及勾股定理即可求解； （）根据中心对称的性质画出图形即可． 【详解】（1）解：∵先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，，，， ∴，，， 连接； 如图，连接， ∴， ∴如果看成一次平移，则平移的距离是个单位长度， 故答案为：； （2）略 19．（24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，在的正方形网格中，每个格子的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将先向右平移2格，再向下平移3格，得到． (1)请在网格图中画出平移后的； (2)若与关于点成中心对称．请在网格图中画出； (3)若在格点上存在点，且点异于点，使得，这样的点一共有_____个． 【答案】(1) 如图 (2) 如图 (3)3 【分析】此题主要考查了平移变换以及平行线的性质和三角形的高，利用平行线的性质得出P点位置是解题关键． （1）分别将点A、B、C向向右平移2格，再向下平移3格，得到点、、，然后顺次连接； （2）找出、关于的中心对称点、（中心对称点连线过对称中心，且被对称中心平分），连接、、得； （3）利用平行线的性质过点A作出BC的平行线进而得出符合题意的点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示： 中为底，根据，可知点到的距离与到距离相等的格线与格点的交点（除）有3个， 所以点共3个． 故答案为：3． 20．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 【答案】(1) 如图，线段、即为所求； (2) 如图，即为所求． (3) 【分析】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P．则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合， 点P的坐标为， 故答案为∶． ▌知识点06：平移、轴对称与中心对称的坐标变化综合 平移：点(x，y)向右移h、向上移k变为(x＋h，y＋k)，左减下减。 轴对称：关于x轴变纵坐标符号，关于y轴变横坐标符号；中心对称（原点）：两坐标都变号。 连续变换按顺序逐步计算坐标，例如先关于x轴对称再关于y轴对称，结果与关于原点对称相同，即(－x，－y)。 解题时把每一步变换后的坐标写清楚，避免符号错误。 21．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别为，，．点的坐标为． (1)画出将先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到的； (2)画出将绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)写出与点关于原点中心对称的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）按“左减右加，上加下减”求出三个顶点平移后的坐标，描点连线画出图形； （2）求出各点相对旋转中心的坐标，描点连线，得到的坐标； （3）关于原点对称的两点，横、纵坐标都为相反数，直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：已知，，， 先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度， 则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解：已知，，， 绕点逆时针旋转得到， 则点的坐标为，点的坐标为． （3）解：已知点的坐标为， 则与点关于原点中心对称的点的坐标为． 22．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)若和关于原点O成中心对称，请画出； (2)将进行平移得到，若的坐标为，请画出；则点的坐标为______； (3)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且点D在y轴上，则点D的坐标是______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得点的坐标，据此描点，连线画图即可； （2）根据点A和点的坐标可判断出平移方式，再根据平移方式可得点的坐标，据此描点，连线画图即可； （3）分三种情况：为对角线、为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同建立方程组求出点D的坐标即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵将进行平移得到，，的坐标为， ∴平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即， 画图见答案； （3）解：设点D的坐标为， ，，， 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴，不符合题意； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴，符合题意； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴，不符合题意； 综上所述，点D的坐标为． 23．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)点关于坐标原点对称的点的坐标为__________； (2)将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的； (3)若A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形的位置发生怎样的变化? 【答案】(1) (2)如图所示，即为所求作的图形； (3)图形的位置是向右平移了3个单位 【分析】（1）根据两个点关于原点对称时，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得出答案； （2）分别找到点A、B绕着点C顺时针旋转以后的对应点、，然后顺次连接即可得出旋转后的图形； （3）横坐标都加3，纵坐标不变，根据平移规律：左右平移点的纵坐标不变，上下平移时点的横坐标不变即可得出图形向右平移了3个单位长度． 【详解】（1）解：∵， ∴点B关于坐标原点O对称的点的坐标为． （2）略 （3）解：∵A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变， ∴图形的位置是向右平移了3个单位． 24．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． (1)将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． (2)将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． (3)若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如（1）中图，即为所求． (3) 【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格特征，找出点、的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质，结合网格特征，找出点、、的对应点，顺次连接即可； （3）由旋转的性质及中心对称的定义得出点与关于原点中心对称，根据关于原点中心对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数即可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵将绕原点旋转，点的对应点为，， ∴点与关于原点中心对称， ∴的坐标为． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·广西柳州·二模）在平面直角坐标系中，点绕原点旋转得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】点绕原点旋转，得到的点与原来的点关于原点中心对称，利用关于原点对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵点绕原点旋转得到点， ∴点与点关于原点对称， ∵关于原点对称的点，横坐标和纵坐标分别是原坐标的相反数， ∴点的坐标为． 2．（24-25九年级上·四川自贡·阶段检测）将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是根据原点旋转得到关于原点对称． 根据抛物线绕原点O旋转得到旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称，即可得到答案； 【详解】解：∵抛物线绕原点O旋转， ∴旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称， ∴旋转后的抛物线：， 即． 故选：D． 3．（2026·浙江·中考真题）已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据中心对称性质求出坐标，再确定平移方式，然后利用平移方式求解即可． 【详解】解：∵点的对应点恰好与点关于原点成中心对称， ∴点 的坐标为， ∵ 点 平移后的对应点为 ， ∴ 平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度， ∵ 点 B的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ，即 ． 4．（2026·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，平行于x轴，点M的坐标是，点的坐标是，则点N的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得点、点的纵坐标相同，即，从而可得，再由平行四边形的性质并结合题意可得点、点关于点成中心对称，由此求解即可． 【详解】解：∵平行于x轴，点M的坐标是，点F的坐标是， ∴点、点的纵坐标相同，即， ∴， ∵在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点， ∴点、点关于点成中心对称， ∴点N的坐标是． 二、填空题 5．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）已知点和点关于原点对称，则的值为_________． 【答案】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此建立方程求解即可． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，解得． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）点与点关于原点对称，则_________． 【答案】1 【分析】根据关于原点对称的点的坐标性质，求出和的值，代入计算即可得到结果。 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，关于原点中心对称的两个点，横纵坐标都互为相反数，先求出原二次函数的顶点坐标，得到对称后二次函数的顶点坐标，结合的顶点式即可求出的值，进而计算． 【详解】解：先对配方得， 因此的顶点坐标为. 因为两个函数图象关于原点中心对称， 所以的顶点坐标为， 又因为的顶点坐标为， 因此可得，， 所以． 8．（25-26八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】作轴，轴，垂足分别为． 由题意得． ，； ，， ． ，， 根据勾股定理 同时，， 则点的坐标为，点的坐标为， 同理可得，， 如图，与关于原点对称， 则，接着，，，，，…， 观察可知，点到点为一个变换周期， 因为，余数为2，说明点的坐标与的坐标相同，即点的坐标为． 三、解答题 9．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)将向右平移五个单位长度，向上平移一个单位长度，画出平移后的，并写出点的对应点的坐标（________，________）； (2)画出关于原点对称的，并写出点的坐标（________，________）． (3)请直接写出的面积________． 【答案】(1)；5，5 (2)；， (3) 【分析】（1）根据平移方式得到点的坐标，再描点，连线作图即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此得到点的坐标，再描点，连线作图即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：∵将向右平移五个单位长度，向上平移一个单位长度得到 ，且， ∴点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 画图见答案； （2）解：∵与关于原点O对称，且， ∴点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 画图见答案； （3）解：． 10．（2026·广东广州·二模）定义：若两个函数的图象关于某一点中心对称，则称这两个函数关于点互为“伴随函数”．例如，函数与关于原点互为“伴随函数”．举例：求函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式． 解：设函数关于原点的“伴随函数”上的任一点为， 则该点关于原点的对称点为， 将代入函数得： ， ． 函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式为； (1)函数的顶点坐标是________，它关于原点的“伴随函数”的函数解析式为________； (2)已知函数与函数关于点互为“伴随函数”．若当时，函数与函数的函数值都随自变量的增大而减小，求的取值范围； (3)已知点，点，点，二次函数与函数关于点互为“伴随函数”，将二次函数与函数的图象组成的图形记为，若图形与线段恰有2个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据顶点式的性质，即可得到顶点坐标；将代入原函数，即可得到关于原点的“伴随函数”； （2）分别求出两个二次函数y随x增大而减小的x的范围，根据题目要求列不等式，求解m的范围； （3）求出函数N的解析式，结合线段的位置，分类讨论交点个数，得到a的取值范围． 【详解】（1）解：为顶点式， 顶点坐标为， 设原函数关于原点的“伴随函数”上的任一点为， 则该点关于原点的对称点为， 将代入函数，得， ． （2）解：化为顶点式，得， 开口向下，顶点坐标，时，函数随x增加而减小， 设，点是的点与函数上的对应点的中点， 关于点对应点的坐标为， 代入，得， 化简得， 开口向上，顶点坐标，当时，函数随x增加而减小， ， 解得． （3）解：过点、点的线段，方程为， 设，关于的对称点是， 代入得， ， ，开口向下，顶点，在第一象限，y轴交点，交于y轴负半轴，与x轴交点， 原二次函数整理得， ，开口向上，顶点，在第四象限，y轴交点，交于y轴负半轴，与x轴交点， 与至多一个交点，即在上，无交点或者一个交点，处，取得最大值，最大值为， 分类讨论交点总个数为2的情况： ① 原函数无交点，N有两个交点，如下图 原函数无交点，最大值为，则，得， N在有两个交点，则顶点纵坐标，得， 且处N的函数值，得， 综上，a的取值范围为； ②原函数有一个交点，N有两个交点，且原函数与N函数，与有一个公共交点， 如下图， 即， 解得， ， 舍去， 将代入，解得； ③原函数有一个交点，N函数有一个交点， 在，原函数，得， N函数，得， ； 综上所述，满足条件的a的取值范围是或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，中心对称图形的性质，抛物线上点的坐标的特征，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练应用以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训川练 第二十八章旋转 28.2.3关于原点对称的点的坐标 课时目标 理解关于原点对称的点的坐标特征，能直接写出已知点关于原点对称的点的坐标。 2.掌握三种对称（原点、x轴、y轴）的坐标规律，会在坐标系中作关于原点对称的图 形。 3 能综合运用平移、轴对称与中心对称的坐标变化解决求字母值与图形变换问题。 课时目逯 知识点01：关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标都互为相反数） 知识点02：关于原点对称与关于x轴、y轴对称的坐标特征辨析 知识点03：在坐标系中作关于原点对称的图形 知识点04：利用对称点的坐标关系求字母的值 知识点05：坐标系中中心对称与旋转作图的综合 知识点06：平移、轴对称与中心对称的坐标变化综合 知识点01：关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标都互为相反数） 点P(x,y)关于原点对称的点P的坐标为（一x,一），即横、纵坐标都互为相反数。 1/15 验证：原点O是线段PP的中点，由中点坐标公式[x+(一x]÷2=0可得。 提醒：两个坐标都要变号，只变一个就错了；原点关于原点对称的点仍是原点。 1.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)关于抛物线y=m和'=-r(a≠0) 的异同点，下列说法中正 确的有() ①有共同的顶点和对称轴：②两抛物线的开口方向相反：③两抛物线关于x轴成轴对称；④两抛物线 关于原点中心对称： A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.(2526八年级下广页米宾期未)若点1(-1-2)关于原点的对称点是 B(m,n) 则m+n的值是() A.1 B.3 C.-1 D.-3 3.(2026四川德阳中考真题)在平面直角坐标系中，点 (-2,3) 关于原点对称的点的坐标是() A.（-2,-3) B(2,3) c.（-2,3) D.(2-3) 4.(2627九年级上广东深圳自主招生)点(a3)与点2,6)关于*精对称，则点a,)关于原点对称点 的坐标是 知识点02：关于原点对称与关于x轴。y轴对称的坐标特征辨板 关于x轴对称：点(x,)变为x,一)，横坐标不变，纵坐标变号。 关于y轴对称：点(x,)变为（一x,),纵坐标不变，横坐标变号。 关于原点对称：点(x,y)变为（一x,一），两个坐标都变号。 记忆：关于哪条轴对称，哪个坐标不变：关于原点对称，两个坐标都变。 5.(24-25九年级上云南照通期中)在平面直角坐标系中点4(-2,1和点B(2,-) 和点 的位置关系是() A.关于原点对称B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.ABI‖x轴 6,(2425八年级下河北唐山阶段检测学生甲错将P点的横坐标与纵坐标的次序颜倒，写成53引，学 -3,-5) 生乙错将Q点的坐标写成它关于x轴对称点的坐标，写成 ,则P点和Q点的位置关系是() A.关于x轴对称B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.以上答案都不对 2/15 7.(25-26八年级下·河北唐山期末)在无人机表演中，无人机群会由初始位置整体平移到新位置.其中 AB、C三个无人机在平面直角坐标系中的初始位置如图所示，坐标分别为L,1),(4,2),(3,4) 浙 y体 “4 3引 2 -5-4-3-2-10引 1 2345x (I)若无人机A'与A关于原点对称，无人机B与B关于x轴对称，无人机C”与C关于y轴对称，则点 A的坐标为 一，点B的坐标为 一，点C的坐标为 2)无人机群整体向下平移4个单位，再向左平移3个单位，画出A、B、C三个无人机构成的△ABC 平移后得到的相应图形△AB'C. 8.(24-25九年级上四川自贡期末)如图，△ABC顶点坐标分别为 A(-2,1)B(-4,4)C(-5,2) B 3 2 d-- -5-4-3-21Q12345x -3 Q若△4BG与△MBC关于轴对称，则A的坐标是 ②若△4B,C与△ABC B 关于坐标原点O中心对称，则的坐标是 （-1,0 3)请在下图中画出将△ABC绕点 沿顺时针方向旋转90°得到的△4a,C,并写出C的坐标。 3/15 知识点03：在坐标系中作关于原点对称的图亚 作图依据：各顶点关于原点的对称点坐标为原坐标的相反数。 步骤：①读出原图形各顶点坐标：②写出各顶点关于原点对称的点坐标（一x,一）：③在坐 标系中描出各对称点并顺次连接。 检验：所得图形与原图形关于原点中心对称，对应点连线都经过原点且被原点平分。 9.(25-26八年级下湖南郴州期末)如图所示，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(-2,3),B(-6,0), C(-1,0) (1)写出点A关于原点O对称的点的坐标 2)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△AB'C: 3)在(2)条件下求△OAM的面积、 10.(25-26九年级上河南安阳·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(-2,2)B(-1,4) C(-4,5) ,请解答下列问题： 4/15 y 6⊙ 3 A 1 -64321可123456 1-1 -2 3 4 -5 6 (I)若△ABC向右平移6个单位长度后得到△MBG,作出△4BG: ②)将△MBC绕点O旋转180° 画出旋转后的 △A,B2C2 ®若△4G与△4B,C关于点P成中心对称，则点P的坐标为 11.(26-27九年级上·辽宁大连期中)如图，平面直角坐标系x0少中，△ABC的三个顶点的坐标分别为 A1,2）B(4,1)C(3,3) ①)作出与△MBC关于原点对称的△4G,与△ABC 关于》轴对称的 4，B,C,其中点C的对应点分别 C C2 为点， C2 Q)直接写出点，的坐标，及点与点之间的关系 12.(24-25九年级上内蒙古赤峰阶段检测)如图，△ABC的三个顶点分别为 (4,-)B(-5,-4) 5/15 C-1,-),《每个方格的边长均为个单位长度） 3 45x ①)平移△MBC得到△48G,其中△MBC内任意一点P(a) 平移后的对应点 R(a+6,b+2）.B的坐标 为- (2) △4，B,C和△MBC关于原点成中心对称，画出 4，B2C ,则 2的坐标为- 知识点04：利用对称点的坐标送系求字母的值 若点A(a,b)与点A'(,)关于原点对称，则a十m=0,b十n=0,即两坐标分别互为相反 数。 常考题型：已知点P(a十1,2-b)与点Q3,一4关于原点对称，列方程a十1+3=0,2-b +(-4)=0求解。 提醒：列方程时用“和为0”或“互为相反数”两种写法均可，注意符号不要出错。 13.(26.27九年级上天津阶段检测)在平面直角坐标系中，点1(a,)与点B(-26)关于原点成中心对称， 则a-2b的值是 14.(26,27九年级上四川期中)已知点42m+5)和点B(-2m-2)关于原点中心对称，则”的值为 15.(25:26九年级上安徽期末)已知点4(m+1,2）,B(-2n-) (I)若A,B两点关于原点对称，求m,n的值： (2)若A,B两点关于x轴对称，求m,n的值. 6/15 16.(25-26九年级上宁夏园原期中)直角坐标系第二兰象限内的一点M(㎡+2m3)与另一点N(m+2m 关于原点对称，试求m+n的值. 知识点05：坐标系中中心对称与旋转作图的综合 关于原点对称就是绕原点旋转180°，坐标规律（一x,一y)可直接使用。 绕原点旋转90°：点(x,y)逆时针旋转90变为（一y,x),顺时针旋转90°变为y,一x),可借 助全等直角三角形理解。 综合题常先旋转再求坐标或面积，注意看清旋转方向和旋转中心是否为原点。 17.(25-26七年级下·江苏常州期中)如图，将三角形纸片ABC的一角沿折痕DE翻折，使得点C与点A 重合，折痕与边BC交于点D,与边AC交于点E A (1)用直尺和圆规作出DE(不写作法，保留作图痕迹)： (2)连接AD,若AB∥DE,探究∠ADC与∠B的数量关系，并说明理由： 3)设△C"DE'与△CDE关于点D对称. ①在原图中用直尺和圆规作出ACDE(不写作法，保留作图痕迹)： ②若将△CDE连续经过两次图形变换能与△C"DE'重合，则以下变换一定可以实现的是() A.第一次平移，第二次轴对称 B.第一次轴对称，第二次旋转 C.第一次旋转，第二次平移 18。（25-26八年级下山西晋中期中)如图，在平面直角坐标系中，△M8C各顶点坐标依次为4(-5) B(-3,2）C(0,3) 7/15 7 6 5 3 C 2 -4-3-2-10 12345678x 3 4 6 -8 (1)平移△ABC,先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度； ① △4BC1 请画出平移后的 ② 如果看成一次平移，则平移的距离是 个单位长度. (2)请在图中画出△MBC △A,B2C2 关于原点中心对称的 19.(24-25七年级下四川眉山期末)如图，在8×8的正方形网格中，每个格子的边长均为1个单位长度， AABC AABC △4BC 的顶点都在格点上，将先向右平移2格，再向下平移3格，得到 B (I)请在网格图中画出平移后的△4BG； △4B,C与△48G关于点成中心对称.请在网格图中画出 A AB2C2 (2)若 8/15 3)若在格点上存在点P,且点P异于点，使得心 得Sac=Sac,这样的点P一共有一个. 20.(24-25九年级上·河南洛阳期末)如图，已知在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为 A(3,4),B(4,2) (I)画出线段AB绕点B逆时针旋转90得到线段CB,连接点A、C得到△ABC; (②)在(I)的条件下，画出△ABC关于原点O对称的△DEF,点A、B、C的对应点分别是D、E、F; 3)在(2)的条件下，已知线段AB绕平面内的点P旋转一个特定的度数可与线段FE重合（其中点A 对应点F),请直接写出点P的坐标为 知识点06：平移轴对你与虫心对称的坐标变化综台 平移：点(x,)向右移h向上移k变为x十h,y十)，左减下减。 轴对称：关于x轴变纵坐标符号，关于y轴变横坐标符号；中心对称（原点）：两坐标都 变号。 连续变换按顺序逐步计算坐标，例如先关于x轴对称再关于y轴对称，结果与关于原点对 称相同，即（一x,一）。 解题时把每一步变换后的坐标写清楚，避免符号错误。 21。（25-26八年级下陕西西安期中)如图，△18C在平面直角坐标系中三个顾点的坐标分别为11，-)， B(4,-)C(3,-3) 点D的坐标为2,3列 9/15 5 3 2 -3-2- 2 (I)画出将△ABC先向上平移2个单位长度，再向左平移6个单位长度得到的△4BG; ②画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到 △AB,C2 并写出点的坐标： D. 3)写出与点D关于原点O中心对称的点”的坐标」 2。(2526八年级下河南驻马店期末)如图，在平面直角坐标系中，△18C的三个顶点分别为4(-1,4) B(4,2).C(3,5),《每个方格的边长均为1个单位长度）· (I)若△ABC和△4BG关于原点O成中心对称，请画出△4BG: 伦将△BC进行平移得到△1BC,若4的坐标为42)，请画出△4A,C；则点一的坐标为 3)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，且点D在y轴上，则点D的坐标是 23.(25-26八年级下宁夏银川期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 10/15 A(-2,1)B(-1,1)C(0,-2) V (1)点B关于坐标原点O对称的点的坐标为 ②)将△ABC绕着点C顺时针旋转90，画出旋转后得到的 AB,C 3)若A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形△ABC的位置发生怎样的变化？ 24.(25-26八年级下·贵州贵阳期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(-2,4).B(4,2),C,(每个小方格都是边长为个单位长度的正方形)·请完成以下画图并 填空 3 2 5-43.219 12.3.45x 2 -3 (1)将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，画出旋转后得到的△4BC. ②)将△MBC向上平移个单位，再向右平移5个单位，画出平移后的 A,B2C2 B)若将△MBC绕原点0旋转180°，A的对应点 A、 的坐标是 课时训练 一、选择题 11/15 P(4,4) 1.(2026广西柳州：二模)在平面直角坐标系中，点 绕原点旋转180°得到点2，则点巴的坐标为 () A.(4,4) B.(44) c.(4,4) D.（4,-4) 2.(2425九年级上四川自贡阶段检测)将抛物线y-2r+1绕原点0旋转180，则旋转后的抛物线的 解析式为() A.y=2x2+1 B.y=-2x2-1 c.y=-,x+1 2 D.y=--1 2 3.(2026渐江中考真题)已知4MBC三个顶点的坠标分别为4(-3,4)，B2-）,C-2,-2）.将△1C 平移，使点A的对应点A'恰好与点C关于原点O成中心对称，则平移后点B的对应点B的坐标是 () A.(7,-3) B.(5,-2) c.3-4) D.(2,2) 4.(2026河南周口·三模)如图，在平面直角坐标系中，MNEF的两条对角线ME,NF交于原点O, MF平行于x轴，点M的坐标是（m),点F的坐标是2 ),则点N的坐标是() M A.（2-) B.（1-2) c.（-2,-3) D.（-2-4) 12/15 二、填空题 5.(2627九年级上重庆江北阶段检测已知点1（如+3,5）和点B(-2,-5)关于原点对称，则“的值为 6.(26-27九年级上全国课后作业)点1(-)与点1么，2列关于原点对称，则a+b- 7.(25-26八年级下浙江宁波期末)若二次函数=r-4r+5与为=-6x-mP+n； 的图象关于坐标原点 中心对称，则m+n的值为 8.(25-26八年级下·山东枣庄期末)如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形AOB的边OA 与轴正半轴重合，将108绕点逆时针旋转0”，得到人 △AOB△AOB 0 ,再作 关于原点的中心对 称图形，得到408，再将△4O品，绕点0道时针质转0，得到△406，再作△ 作△AOB,关于原点O的 A,OB4 中心对称图形，得到 ,按照此规律，先将三角形绕点0逆时针旋转90°，再作关于原点0 的中心对称图形，则点“的坐标是 A AB B O A B2 A 三、解答题 9.(25-26八年级下·河北邯郸期末)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. 13/15 432-1012.345 4 5 (I)将△ABC向右平移五个单位长度，向上平移一个单位长度，画出平移后的△ABG,并写出点A的对 A 应点的坐标( (②)画出△AB 关于原点0对称的 4B,C,并写出点的坐标（ B (3)请直接写出 △A,B,C2 的面积 10.(2026广东广州·二模)定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P 互为“件随函数”.例如，西数”=与”=- 关于原点互为“件随函数”，举例：求函数 y=2x+1关于原点O的“件随函数”的函数解析式。 解：设函数y=2+1关于原点O的“件随函数”上的任一点为（飞，y), 则该点关于原点O的对称点为 -x,-y) 1 将(x,-y)代入函数y=2x+1得： 1 -y=--x+1 2 y2-1. :函数y=2x+1关于原点0的“件随函数”的函数解析式为y=2x-1, =(x-2)2+3 (1)函数 的顶点坐标是 它关于原点的“伴随函数”的函数解析式为 14/15 ②已知质数y=--2x与函数G关于点Pm-3 互为“伴随函数”.若当m<x<7时，函数 y=-?-2x与函数G的函数值'都随自变量*的增大而减小，求m的取值范围： 已知点40,2引，点B(6,2),点C(6,0),三次函数y=am-4r-5aa>0与西数N关于点C互为 “件随函数”，将二次函数'=a-4-5aa>0与西数V的图象组成的图形记为”，若图形”与 线段AB恰有2个公共点，求a的取值范围. 15/15