28.1 课时1 旋转的定义及其性质 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十八章旋转 28.1图形的旋转 课时1旋转的定义及其性质 课时目标 1. 理解旋转、旋转中心、旋转方向和旋转角的概念，能在图形中指出对应点、对应线段 与对应角。 2.掌握旋转的三条基本性质，能运用性质求角的度数与线段的长度。 3. 经历观察旋转现象、探究性质的过程，能辨析旋转与平移、轴对称的区别，发展空间 观念。 课时目录 知识点01：旋转的定义（旋转中心、旋转方向、旋转角) 知识点02：旋转的对应点、对应线段与对应角 知识点03：旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等） 知识点04：旋转的性质（对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角) 知识点05：旋转的性质（旋转前、后的图形全等) 知识点06：旋转与平移、轴对称的辨析 1/17 知识点07：利用旋转的性质求角度与线段长 ■知识点01：旋转的定义（旋转中心旋转方向、旋转角） 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中 心，转动的角叫做旋转角。 旋转由三个要素决定：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）和旋转角。 旋转中心可以在图形上、图形内或图形外，旋转只改变图形位置，不改变图形的形状和大 小。 1.(2026广东佛山三模)下列运动属于旋转的是（) A.国旗上升的过程 B.在笔直的公路上行驶的汽车 C.传输带运输的物品 D.工作中的风力发电机叶片 2.(25-26七年级下河南周口期末)下列图形的运动，属于旋转的是() A.电梯上下运行 B.推拉窗户 C.钟表指针转动 D.滑雪板直线滑行 3.(25-26八年级下·浙江绍兴期末)下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋 转得到的是() D (25-26六年级下·四川成都期中)下面()图形不是通过旋转得到的 安》米 2/17 知识点02：旋转的对应点。对应线段与对应鱼 旋转前图形上的点P经过旋转到达点P,则点P与点P叫做对应点；对应点连成的线段叫 对应线段，对应边所夹的角叫对应角。 确定对应关系时先看旋转中心和旋转方向，再找各顶点旋转后的位置。 易错提醒：对应点必须满足到旋转中心距离相等且与旋转中心连线所成的角等于旋转角， 不能只看图形外观相似就判断。 5.(26-27七年级上·浙江杭州阶段检测)图中的钟表比标准时间快了10分钟，如果要将它调成标准时间， 应该将分针() 1121 10 2 9 3 8 4、 6 5 A.按顺时针方向旋转30° B.按顺时针方向旋转60° C.按逆时针方向旋转30° D.按逆时针方向旋转60° 6.(2026江苏无锡中考真题)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C',若 ∠BAC=30°，∠BAC=110°，则旋转角的度数是() B' A.50° B.60° C.70° D.80° 7.(26-27九年级上·北京阶段检测)如图，在平面直角坐标系O少中，△ABC绕某点顺时针旋转90°后得 到△DEF,则旋转中心的坐标是 3/17 210 -2 -3 8.(25-26七年级上：湖南岳阳期末)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的 顶点均在格点上 B2 B 1)将△ABC向上平移5个单位长度得到△ABC,请画出△4BC: ②)如图，△1BC可绕某一点逆时针旋转90° △A,B2C2 0得到 旋转中心是图中的 点（填M或 N) 知识点03：旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等） 性质：对应点到旋转中心的距离相等，即若点P的对应点为P,旋转中心为O,则OP= OP'。 应用：由旋转中心到各对应点距离相等，可知旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上。 利用这条性质可以用尺规确定旋转中心的位置，也可以求与旋转中心有关的线段长。 9.(24-25九年级上·山西朔州期中)如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到 RtAEFC.若AC=4,CF=3,则线段BE的长为() 4/17 ■■ C B A.5 B.6 C.7 D.8 10.(25-26九年级上：云南怒江阶段检测)如图，把△AOB绕点O顺时针旋转一定角度得到△COD.若 AB=12,AO=17,B0=21CD ,则的长为() A.9 B.12 C.17 D.21 11.(25-26八年级上·湖北武汉期中)如图，四边形ABCD中，AB=AD,∠DAB=∠DCB=90°， AC=3,则四边形ABCD的面积为() D A.9 B.7.5 C.6 D.4.5 12.(25-26九年级上：陕西延安期中)如图，将正方形ABCD绕点C顺时针旋转一定角度得到正方形 FECG(点AB、D的对应点分别为点FE、G),EF交AD于点P,连接PC.求证：PE=PD P 知识点04：旋转的性质（对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角） 5/17 性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠POP'=旋转角(O为旋转中 心)。 图形上每一对对应点与旋转中心连线所成的角都相等，都等于同一个旋转角。 求旋转角时，只需找到一对对应点，量出或算出它们与旋转中心连线所成的角即可；注意 区分顺时针与逆时针方向。 13.(26-27九年级上海南期中)如图，把R1△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到RtaAB'C,点C'恰好落 在边AB上，连接BB,则∠BB'C的度数为() A.30度 B.40度 C.20度 D.90度 14.(2026宁夏中考真题)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转65°，得△A'B'C,若∠A=50°，∠B=100°， 则∠BCA'= B 15.(25-26八年级下·陕西西安期末)如图，在△ABC中，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE, DE交边AC于点F,点D怡好落在边BC上，若∠BAC=50°，则∠AFE的度数为 6/17 16.(25-26七年级下·江苏扬州期末)如图，将△ABC绕点O按逆时针方向旋转92°后得到△DEF.若 ∠AOC=78°，则∠COD度数为 0 知识点05：旋转的性质（旋转前、后的图形全等） 性质：旋转前、后的图形全等，即对应线段相等、对应角相等。 若△ABC绕点O旋转得到△AB'C',则△ABC≌△AB'C',AB=AB',∠BAC= ∠B'A'C'。 利用全等可以把要求的线段或角转移到已知图形中，是旋转中计算与证明的重要依据。 C B 17.(25-26七年级下·江苏南京期末)如图，△ABC绕点O逆时针旋转得到△DEF,下列结论正确的是 () 7/17 A A.A与F是对应点 B.AB=DF C.∠AOC=∠DOF D.ACEF 18.(24-25八年级下山西运城期末)如图，△ABC中，∠ABC=108°，在AC边的同侧作等边三角形 △ABD△ACE△BCF DE,EF ，连接 .以下结论中正确的有() ①四边形BDEF是平行四边形： ②∠ADE=108°： ③BF=DE: ④△EFC可以看成是△ABC绕点C顺时针旋转60°得到的， E D B A.②③ B.①②④ C.①②③④ D.②③④ 19.(2425七年级下江苏南京·期中)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A, B,C,D,E,F均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母. D B 图1 图2 8/17 Q①0在图1中，面出线段4B关于直线CD对称的线段48.连接M,线段“和直线CD。 AA AA 的关系为 A.B2 ②在图1中，将线段AB向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段 画出线 B.连接 BB. 段 AA BB2 2,线段1和线段°的关系为 AA (2)在图2中，线段AB与线段EF存在旋转变换关系.画出旋转中心O. 20.(25-26九年级上：广东汕头·期中)如图，在方格纸（每个小正方形的边长均为1）所在的平面直角坐 标系中，△MBC的三个顶点坐标分别为4L、B(4,)C(23),点0为坐标原点.把△MBC绕原点 O逆时针旋转90°，得到△AB'C',点A、B、C的对应点分别为、B'、C'. (I)在图中画出旋转后的△AB'C,并直接写出点A'、B、C的坐标： (2)求△ABC的面积； B)连接OB、OB、BB,判断△OBB的形状，并求出它的面积. 知识点06：旋转与平移抽对称的辨析 三种变换都是全等变换，变换前后图形的形状、大小不变，只改变位置。 平移：各点沿同一方向移动相同的距离： 轴对称：沿一条直线翻折； 旋转：绕一个定点转动一个角度。 判断变换类型时看关键要素：平移看方向与距离，轴对称看对称轴，旋转看旋转中心与旋 转角。 易错提醒：旋转180°后的图形与原图形方向相反，不要与平移混淆。 9/17 21.(2025江苏南京·二模)格点△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.△4BG和△ABC关于x轴 对称，将△4BC向左平移8个单位，再向下平移2个单位 △4，B,C,再将 4B,C绕若点4按逆时 90° m△ABC3 针方向旋转后得 下列说法：O△1BC △4B,C3 绕某点旋转一定的角度可得到 :② △4BG绕某点旋转一定的角度可得到 AB,C.® △48G与△4B,C关于某条直线对称.其中所有 正确的序号是() A2(A3) B2 3 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 22.(24-25七年级下山西临汾期末)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的 顶点均在格点上. m (1)将△ABC向右平移5个单位长度，得到△ABG,请画出△4BC: 10117 ②△4B,C与△MBC关于直线"对称，请画出 A,B2C2 3)将 4B,C绕点顺时针旋转0，得 A △A,B,C,请画出 AB,C 23.(25-26七年级下·湖南岳阳期中)如图1，△ABC和△DEF的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点 上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”， A(D) 图1 图2 (I)在图1的3×3正方形网格中，格点△ABC和格点△DEF关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴】 (2)请在图2中画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的格点△AB'C, 24.(24-25七年级下河南南阳期末)综合与实践： 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成 科学的思维习惯，下面是王老师在“两次轴对称变化”主题下设计的问题 【观察发现】如图1、图2的网格图中△4BG与△MBC关于直线对称，△4B,C与△4BG关于直线 2对称： 图1 图2 【发现1】图1中直线 %,且5与的水平面离为1个年色，那么△AG可以看作是△1BC句右平 移得到的，平移距离为， 个单位长度. 【发现2】图2中直线与相交于0，所夹锐角为45°，那 △4，B2C 可以看作是△MBC绕旋转中心 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 11/17 △4BG关于直线？的轴对称图形 4，B2C2 【操作实践】如图3，直线与2垂直，垂足为O,请作 【发现3】 △4，B,C与△MBC 图形： 0 图3 【拓展应用】 1.如图4，通过两次轴对称变化使得线段AB与线段CD重合，请画出这两条对称轴和第一次轴对称后的 对称线段： B 图4 图5 2.利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解决问题：如图5，在△ABC中， ∠BAC=30°，点P是△ABC内部一定点，AP=6,点E、F分别在边AB、AC上，请你在图5中画出使 △PEF周长最小的点E、F的位置（不写画法），并直接写出周长的最小值 知识点07：利用旋转的性质求角度与线段长 基本思路：先由旋转确定对应关系，再利用“对应线段相等、对应角相等、夹角等于旋转 角”列式求解。 常见模型：旋转后出现等腰三角形(OP=OP,OQ=OQ),即△OPP和△OQQ'为等腰三 角形，可用等腰三角形性质与内角和求角。 求线段长时，常把分散的线段通过旋转集中到同一三角形中计算。 注意写明旋转中心、方向和角度，推理要有依据。 12117 P 25.(25-26九年级上河南安阳阶段检测)如图，点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上，且 ∠MAN=45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE. (I)求证：△AEM≌△AWM, 2)若BM=3,DN=2,求正方形ABCD的边长. 26.(26-27九年级上黑龙江绥化阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=0°，∠B=60°，△AB'C'可 以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B与点B是对应点，点C'与点C是对应点），连接CC'. B A (1)求∠CC"B的度数是 (2)若BC=4,求CC的长. 27,(26-27九年级上河北保定阶段检测)如图，将正方形4BCD绕点4逆时针旋转“(0<a<90)后得 到正方形AEFG, 13/17 B 图1 图2 I)如图1，过点D作DP⊥AE于点P,过点B作BO⊥AE于点Q,求证：AP=BO (2)如图2，连接DE,DF,若u=30°，求∠DFE的度数. 28.(26-27八年级上浙江宁波·阶段检测)将军饮马问题是一道典型的几何最值问题，下面一起探究相关 问题. A B 图1 图2 图3 (I)如图1，点A,B是直线I外的定点，AB=2,点P是直线I上一动点，连接PA,PB,求PA-PB 的最大值。 (2)如图2，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,作BC中点O,延长AO至点D,使得 AO=2OD,在AC上取点E,使得3AE=EC,求PE-PD的最大值， 3)如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=8,点P为动点且AP=6,求PB-PC的最大 值 课时训练 一、选择题 1.(25-26九年级上江西赣州期末)下面图形不能通过旋转变换得到的是() B 14117 2.(25-26八年级下·浙江台州期末)如图，将Rt△ABC绕着直角顶点A旋转得到Rt△ADE,DE经过点 B,∠C=34°，则旋转角的度数为() B A.34° B.56° C.68 D.78 3.(26-27九年级上·新疆期中)如图，将△ABC在平面内绕点C顺时针旋转到△ABC的位置， ∠BCB=48°，则下列说法正确的是() B A.旋转角为46° B.∠CAA=48° C.∠CA4的度数为66° D.∠BAC=68° 4,(2026吉林长春中考真题)如图，点O为正方形ABCD的中心，E,F分别为边AB,BC的中点， 若△DAE经过一次变换后会得到△ABF,下列变换方式中能实现的是() D O A.沿直线AC翻折 B.沿直线OE翻折 C.向右平移2个单位 D.绕点O逆时针旋转90° 二、填空题 5.(26-27九年级上辽宁盘锦阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,AB=5,将 △ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC',点C的对应点C'落在AB边上，连接AA，,则AA的长为 15117 6.(2026江苏宿迁·二模)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转56°得到△ADE,点D在AC的延长线上， 连接CE,则∠ACE=°. B 7.(25-26七年级下·江苏盐城期中)如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转一定的角度得到△AB'C',若 ∠ACB=100°，∠ACA'=70°，则∠ACB=°. B A 8.(2026湖南株洲一模)如图，在△ABC中，∠ABC=70°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转，使点B的 对应点B'在BC边上，点C的对应点为C',则∠CAC'= B B 三、解答题 9.(26-27九年级上·吉林·期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为 4(-2,5)B(-5,3)C(3,),将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△4B'C,点A、B、C的对应点 16117 分别为A'、B'、C 3 1 5-4-3-2-19 1334.5x 3 4 (I)请你在图中画出△A'B'C': (2)写出点A的坐标， 10.(26-27九年级上北京西城阶段检测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C按顺时针方 向旋转得到△DEC,点B的对应点E恰好落在AC边上，延长DE交AB边于点F. A E (I)证明：AB⊥DF: (2)若BD=10,AE=2,求BC的长 17117 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十八章 旋转 28.1 图形的旋转 课时1 旋转的定义及其性质 ▌课时目标 1. 理解旋转、旋转中心、旋转方向和旋转角的概念，能在图形中指出对应点、对应线段与对应角。 2. 掌握旋转的三条基本性质，能运用性质求角的度数与线段的长度。 3. 经历观察旋转现象、探究性质的过程，能辨析旋转与平移、轴对称的区别，发展空间观念。 ▌课时目录 知识点01：旋转的定义（旋转中心、旋转方向、旋转角） 知识点02：旋转的对应点、对应线段与对应角 知识点03：旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等） 知识点04：旋转的性质（对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角） 知识点05：旋转的性质（旋转前、后的图形全等） 知识点06：旋转与平移、轴对称的辨析 知识点07：利用旋转的性质求角度与线段长 ▌知识点01：旋转的定义（旋转中心、旋转方向、旋转角） 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 旋转由三个要素决定：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）和旋转角。 旋转中心可以在图形上、图形内或图形外，旋转只改变图形位置，不改变图形的形状和大小。 1．（2026·广东佛山·三模）下列运动属于旋转的是（    ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．传输带运输的物品 D．工作中的风力发电机叶片 【答案】D 【详解】解：A．国旗上升的过程是沿竖直方向的平移，不属于旋转，不符合题意； B．在笔直公路上行驶的汽车整体沿水平方向移动，属于平移，不属于旋转，不符合题意； C．传输带运输的物品沿传输方向移动，属于平移，不属于旋转，不符合题意； D．工作中的风力发电机叶片绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合题意． 2．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【答案】C 【详解】解：旋转是图形绕定点转动的图形变换，平移是图形沿直线移动的变换， A：电梯上下运行，属于平移变换，故该选项不合题意； B：推拉窗户，属于平移变换，故该选项不合题意； C：钟表指针绕钟表中心定点转动，属于旋转，故该选项符合题意； D：滑雪板直线滑行，属于平移变换，故该选项不合题意． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察各选项图形，判断是否存在一个基本图案绕某点旋转一定角度后能与自身重合即可． 【详解】解：A. 该图形可以看作由一个菱形绕中心旋转，后得到，符合题意； B、C、D均不能由某个基本图案绕某点旋转得到，不符合题意． 4．（25-26六年级下·四川成都·期中）下面（   ）图形不是通过旋转得到的 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】旋转是绕着一个定点转动，平移是沿某个方向移动．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形可以看作由一个基本三角形绕中心旋转得到，属于旋转现象； B、该图形是由一个基本图形沿直线方向移动得到的，属于平移现象，不是通过旋转得到的； C、该图形可以看作由一个基本部分绕中心旋转得到，属于旋转现象； D、该图形可以看作由一个基本部分绕中心旋转得到，属于旋转现象． ▌知识点02：旋转的对应点、对应线段与对应角 旋转前图形上的点P经过旋转到达点P′，则点P与点P′叫做对应点；对应点连成的线段叫对应线段，对应边所夹的角叫对应角。 确定对应关系时先看旋转中心和旋转方向，再找各顶点旋转后的位置。 易错提醒：对应点必须满足到旋转中心距离相等且与旋转中心连线所成的角等于旋转角，不能只看图形外观相似就判断。 5．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）图中的钟表比标准时间快了10分钟，如果要将它调成标准时间，应该将分针（     ） A．按顺时针方向旋转 B．按顺时针方向旋转 C．按逆时针方向旋转 D．按逆时针方向旋转 【答案】D 【分析】根据分针每分钟转动的角度及时间差确定旋转方向和角度． 【详解】解：钟面上分针走一圈是60分钟，对应的圆心角是， ∴ 分针每分钟转过的角度是， ∵ 钟表快了10分钟， ∴ 分针多走了10分钟，需要将分针逆时针旋转回调， ∴ 旋转的角度为， ∴ 应该将分针按逆时针方向旋转． 6．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绕点A旋转，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即或．因为已知和的度数，所以先计算的度数，即两个角的差．依据旋转角的定义，该差值即为所求旋转角． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是． ∵， ∴． 即旋转角为． 7．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，绕某点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可． 【详解】解：连接、，分别作、的垂直平分线，相交于点G，如下图： ∴旋转中心是图中的点G，坐标为． 8．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转得到，旋转中心是图中的______点（填M或N）． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)N 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）根据网格的特点作的垂直平分线的交点即为． 【详解】（1）略 （2）如图所示， 根据图象可知，是绕旋转中心点N逆时针旋转得到． ▌知识点03：旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等） 性质：对应点到旋转中心的距离相等，即若点P的对应点为P′，旋转中心为O，则OP＝OP′。 应用：由旋转中心到各对应点距离相等，可知旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上。 利用这条性质可以用尺规确定旋转中心的位置，也可以求与旋转中心有关的线段长。 9．（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，在平面内将绕着直角顶点逆时针旋转得到．若，，则线段的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由旋转性质得到对应线段相等，数形结合表示出，代入线段长度计算即可． 【详解】解：在平面内将绕着直角顶点逆时针旋转得到， ， 则． 10．（25-26九年级上·云南怒江·阶段检测）如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（   ） A．9 B．12 C．17 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后对应边相等是解题的关键． 直接利用旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据旋转的性质可得：． 故选：B． 11．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图, 四边形中，，，，则四边形的面积为（　） A．9 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质． 根据已知线段关系，将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．证明C、B、E三点共线，则是等腰直角三角形，四边形面积转化为面积． 【详解】解：∵， ∴将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．    ∴． 根据四边形内角和，可得， ∴． ∴C、B、E三点共线． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∵四边形的面积面积； 故选：D． 12．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，将正方形绕点顺时针旋转一定角度得到正方形（点的对应点分别为点），交于点，连接．求证：． 【答案】 证明：∵正方形绕点顺时针旋转一定角度得到正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用正方形和旋转的性质可得，，进而证明即可求证，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】略 ▌知识点04：旋转的性质（对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角） 性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠POP′＝旋转角（O为旋转中心）。 图形上每一对对应点与旋转中心连线所成的角都相等，都等于同一个旋转角。 求旋转角时，只需找到一对对应点，量出或算出它们与旋转中心连线所成的角即可；注意区分顺时针与逆时针方向。 13．（26-27九年级上·海南·期中）如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（     ） A．30度 B．40度 C．20度 D．90度 【答案】C 【分析】由旋转的性质得，，，，再利用等腰三角形和直角三角形的性质分别求出，，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质得，，，， ，， ， 的度数为20度． 14．（2026·宁夏·中考真题）如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 【答案】95 【分析】根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：绕点顺时针旋转， ，， ， ， ． 15．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，将绕点A逆时针旋转得到，交边于点F，点D恰好落在边上，若，则的度数为________． 【答案】/80度 【分析】由旋转的性质可知，，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则度数为__________． 【答案】14 【详解】解：由旋转可知，又， ． ▌知识点05：旋转的性质（旋转前、后的图形全等） 性质：旋转前、后的图形全等，即对应线段相等、对应角相等。 若△ABC绕点O旋转得到△A′B′C′，则△ABC≌△A′B′C′，AB＝A′B′，∠BAC＝∠B′A′C′。 利用全等可以把要求的线段或角转移到已知图形中，是旋转中计算与证明的重要依据。 17．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，故A选项错误； 与，与是对应线段，则，，故B选项错误； 与是旋转角，，则，即，故C选项正确； 无法判断，的位置关系，故D选项错误． 18．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 19．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)①在图1中，画出线段关于直线对称的线段．连接，线段和直线的关系为______； ②在图1中，将线段AB向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段．连接、，线段和线段的关系为______； (2)在图2中，线段与线段存在旋转变换关系．画出旋转中心O． 【答案】(1)①如图1，线段即为所求的线段． 直线垂直平分线段； ②如图1，线段即为所求的线段；，； (2)如图2，点和点即为所求的旋转中心． 【分析】本题考查了轴对称作图，平移作图，找旋转中心，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据轴对称图形的性质即可得出结果；②根据图形的平移作图，然后由平移的性质即可求解； （2）分别作对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心． 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图，在方格纸（每个小正方形的边长均为1）所在的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，点为坐标原点．把绕原点逆时针旋转，得到，点、、的对应点分别为、、． (1)在图中画出旋转后的，并直接写出点、、的坐标； (2)求的面积； (3)连接、、，判断的形状，并求出它的面积． 【答案】(1)绕原点逆时针旋转，旋转后的如图所示： 、、． (2) (3)是等腰直角三角形． 【分析】（1）要把绕原点逆时针旋转得到，应在方格纸上找到、、旋转后的对应点坐标，再依次连接格点即可，并写出旋转后的对应点、、的坐标； （2）由、，得线段的长度，再由到直线的距离，即可利用三角形面积公式求解的面积； （3）连接、、，则可得，，，由三角形勾股定理逆定理得是等腰直角三角形，再利用即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由、，得， 点到直线（直线）的距离为， ∴； （3）解：如图， 可知，， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． ▌知识点06：旋转与平移、轴对称的辨析 三种变换都是全等变换，变换前后图形的形状、大小不变，只改变位置。 1. 平移：各点沿同一方向移动相同的距离； 2. 轴对称：沿一条直线翻折； 3. 旋转：绕一个定点转动一个角度。 判断变换类型时看关键要素：平移看方向与距离，轴对称看对称轴，旋转看旋转中心与旋转角。 易错提醒：旋转180°后的图形与原图形方向相反，不要与平移混淆。 21．（2025·江苏南京·二模）格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，旋转图形，根据轴对称图形，旋转图形的意义进行判断即可． 【详解】解：如图： ①绕点逆时针旋转90度可得到，故①正确； ②绕某点旋转一定的角度不能得到，故原说法错误； ③与关于直线对称，故③正确． 所以，正确的说法是①③， 故选：C． 22．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向右平移5个单位长度，得到，请画出； (2)与关于直线对称，请画出； (3)将绕点顺时针旋转，得到，请画出． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)如图所示，即为所求； (3) 如图所示，即为所求． 【分析】本题考查了作图-旋转变换、作图-轴对称变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 23．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）如图1，和的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”． (1)在图1的正方形网格中，格点和格点关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴． (2)请在图2中画出绕点C顺时针旋转后得到的格点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据图形的轴对称性质作出直线即可； （2）根据旋转图形性质，找出A、B绕点C顺时针旋转的对应点，就可得到旋转后的图形． 【详解】（1）解：如下图，过正方形的两对应顶点作直线即为所求； （2）解：如下图，以点C为旋转中心，作，且，同理得，连接，即为所求． 24．（24-25七年级下·河南南阳·期末）综合与实践： 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在“两次轴对称变化”主题下设计的问题． 【观察发现】如图1、图2的网格图中与关于直线对称，与关于直线对称． 【发现1】图1中直线，且与的水平距离为4个单位，那么可以看作是向右平移得到的，平移距离为___________个单位长度． 【发现2】图2中直线与相交于O，所夹锐角为，那么可以看作是绕旋转中心___________，顺时针旋转得到的，旋转角的度数为___________； 【操作实践】如图3，直线与垂直，垂足为O，请作出关于直线的轴对称图形． 【发现3】与成___________图形； 【拓展应用】 1．如图4，通过两次轴对称变化使得线段与线段重合，请画出这两条对称轴和第一次轴对称后的对称线段； 2．利用“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解决问题：如图5，在中，，点是内部一定点，，点E、F分别在边AB、AC上，请你在图5中画出使周长最小的点的位置（不写画法），并直接写出周长的最小值____________． 【答案】观察发现： 发现1：8； 发现2：O，； 操作实践：如图，即为所作， 发现3：中心； 拓展应用：1．如图： 2：如图： 6 【分析】本题主要考查了轴对称变换的应用以及等边三角形的判定，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 观察发现：发现1：观察可得出结果； 发现2：连接，，分别作，的垂直平分线交于点O，则旋转中心为点O，旋转角度为； 操作实践：分别作出关于直线的对称点，，再顺次连接即可； 发现3：连接，，，相交于点O，则：与成中心图形； 拓展应用：1．先作线段关于直线l的对称图形得到线段，然后作的垂直平分线，则线段和关于直线对称． 2．过点P分别作关于的对称点．连接，则的周长，当G，E，F，H在同一直线上时，的周长最小值等于的长．再判定是等边三角形，即可得到，即可得到的周长最小值等于6． 【详解】解：观察发现：发现1：平移距离为个单位， 故答案为：8； 发现2：连接，，分别作，的垂直平分线交于点O， 则可以看作是绕旋转中心O，顺时针旋转得到的，旋转角的度数为； 故答案为：O，； 操作实践：略 发现3：连接，，，相交于点O，则：与成中心图形； 故答案为：中心； 拓展应用：1．线段关于直线l的对称图形为线段，线段关于直线的对称图形为． 2．周长最小值为6． 如图5，过点P分别作关于的对称点G、H．连接，则， ∴的周长， ∴当G，E，F，H在同一直线上时，的周长最小值等于的长． 此时，∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值等于6． ▌知识点07：利用旋转的性质求角度与线段长 基本思路：先由旋转确定对应关系，再利用“对应线段相等、对应角相等、夹角等于旋转角”列式求解。 常见模型：旋转后出现等腰三角形（OP＝OP′，OQ＝OQ′），即△OPP′和△OQQ′为等腰三角形，可用等腰三角形性质与内角和求角。 求线段长时，常把分散的线段通过旋转集中到同一三角形中计算。 注意写明旋转中心、方向和角度，推理要有依据。 25．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，点，分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转得到． (1)求证：． (2)若,，求正方形的边长． 【答案】(1)证明：由旋转的性质得，， ，，． ， 三点共线． ，， ， ， 在和中， ， ． (2) 【分析】（1）先由旋转的性质，证明，再根据证明； （2）设正方形边长，则，，在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则，， ， ， ， ， ， 由勾股定理，， ， 解得或（舍去）． 正方形的边长是． 26．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在中，，，可以由绕点顺时针旋转得到（点与点是对应点，点与点是对应点），连接． (1)求的度数是________． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直角三角形的两锐角互余可得，再由旋转的性质可得，，即可得解； （2）由含角直角三角形的性质可得，再用勾股定理依次解直角三角形和即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转得，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， ∴， ∴． 27．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形． (1)如图1，过点作于点，过点作于点，求证：． (2)如图2，连接，，若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵于点，于点， ∴． ∵，， ∴． 又， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由正方形性质与旋转得、，用 证； （2）由旋转得且，先证是等边三角形，再由与求底角． 【详解】（1）略 （2）解：∵正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ∴，，． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 由图2可知，， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查正方形的旋转综合：旋转前后对应边相等、对应角相等；第（1）问利用同角的余角相等构造全等条件；第（2）问关键是发现是等边三角形，且的位置关系由图形确定，再用等腰三角形求底角． 28．（26-27八年级上·浙江宁波·阶段检测）将军饮马问题是一道典型的几何最值问题，下面一起探究相关问题． (1)如图1，点，是直线外的定点，，点P是直线上一动点，连接，，求的最大值． (2)如图2，在等腰中，，，作中点，延长至点，使得，在上取点，使得，求的最大值． (3)如图3，在等腰中，，，点P为动点且，求的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的三边关系求解即可； （2）过点作于点，连接，先求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据三角形的三边关系求解即可； （3）当三点共线时，点一定在线段上，此时，再将绕点逆时针旋转，得到，其中，点的对应点为点，点的对应点为点；过点作于点，则，求出的长，根据求解即可． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知，，当直线延长后与直线交于点时，三点共线，等号成立， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为2． （2）解：如图，过点作于点，连接， ∵在等腰中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 由三角形的三边关系可知，，当三点共线时，等号成立， ∴， ∴的最大值为． （3）解：如图，过点作于点， ∵在等腰中，，， ∴，， ∴在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴当三点共线时，点一定在线段上，此时， 如图，将绕点逆时针旋转，得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点；过点作于点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系可知，，当三点共线时，等号成立， ∴， ∴， ∴的最大值为． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，将绕着直角顶点旋转得到，经过点，，则旋转角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，三角形内角和，求得的度数即可； 【详解】解：，， ， 根据旋转的性质，得，，， ， 设， ， ，，且， ， ， ， ， 解得， 故； 3．（26-27九年级上·新疆·期中）如图，将在平面内绕点顺时针旋转到的位置，，则下列说法正确的是（     ） A．旋转角为 B． C．的度数为 D． 【答案】C 【详解】解：∵旋转， ∴，， ∴ 由已知条件无法求得， 故只有选项C正确． 4．（2026·吉林长春·中考真题）如图，点为正方形的中心，，分别为边，的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（     ） A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点逆时针旋转 【答案】D 【分析】首先证明，连接，交于点O，连接，，得到，，，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，分别为边，的中点， ∴， ∴， ∵点为正方形的中心， ∴连接，交于点O，连接，，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点O是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，， ∴绕点O逆时针旋转得到． 二、填空题 5．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，连接，则的长为_________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求得，再根据旋转性质得到，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 由旋转性质得，，， 在中，， ∴． 6．（2026·江苏宿迁·二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上，连接，则_______°． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出，等于旋转角，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上， ∴ ，， ∴， 在中，根据三角形内角和定理得： ， ∴，解得：． 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，将绕着点C顺时针旋转一定的角度得到，若，，则______． 【答案】 30 【分析】根据旋转的性质可知对应角相等，即，结合图形中角的和差关系即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ，，且， ， ． 8．（2026·湖南株洲·一模）如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，使点的对应点在边上，点的对应点为，则________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针方向旋转得到， ，， 点在边上， ， 在中，， ． 三、解答题 9．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)如图即为所求； (2) 【分析】（1）根据旋转的方式，分别画出点、、的对应点、、，再顺次连接即可得到； （2）结合图形写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：由坐标系可得，点的坐标为． 10．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上，延长交边于点． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：将绕点按顺时针方向旋转得到， ，， ，， ， ， 即． (2)4 【分析】（1）先由旋转性质得到，，结合三角形内角和定理及对顶角相等确定，即可得到，即可得证； （2）先由旋转性质得到得到，，然后根据线段的和差关系求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：将绕点按顺时针方向旋转得到， ，， ， 即， 解得， . / 学科网（北京）股份有限公司 $