28.2.1 中心对称及其性质 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训川练 第二十八章旋转 28.2.1中心对称及其性质 课时目标 理解中心对称的概念，知道中心对称是旋转角为180°的特殊旋转。 2. 掌握中心对称的性质，能作出已知图形关于某点成中心对称的图形。 3. 能运用中心对称的性质进行计算与简单证明，体会由一般到特殊的认识过程。 课时目录 知识点01：中心对称的定义（绕某点旋转180°） 知识点02：中心对称与旋转的关系 知识点03：中心对称的性质 知识点04：成中心对称的两个图形全等 知识点05：作已知图形关于某点成中心对称的图形 知识点06：中心对称的性质在计算与证明中的应用 知识点01：中心对称的定义（绕某点旋转180°） 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关 于这个点对称或中心对称。 这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 1/14 中心对称是对两个图形的位置关系而言的，对称中心是两个图形对称点连线的中点。 1.(26-27九年级上广西期中)如图，若△ABC与△AB'C关于点O成中心对称，则下列结论不成立的 是() A.AB=A'B' B.BO=BO C.AB∥AB D.∠ACB=∠CAB' 2.(25-26七年级下·福建泉州·期末)《哪吒之魔童闹海》创造中国动画电影的神话，推动我国国产动画 电影发展，提升中国文化影响力.如图，对哪吒图片的变换，下列描述正确的是() A.中心对称 B.平移 C.旋转 D.轴对称 3.(25-26八年级下·吉林长春期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,要通过 一次变换使△ABO与△CDO完全重合，下列说法正确的是() A.通过一次平移变换即可实现 B.通过一次轴对称变换即可实现 C.通过一次中心对称变换即可实现 D.上述单一变换都无法实现 4.(25-26七年级下·江苏无锡期末)给出下列4个命题：①平移前后的两个图形中，对应点的连线段一 定相等；②成轴对称的两个图形对应点的连线是对称轴的垂直平分线；③旋转前后的两个图形，对应 点与旋转中心连线所成的角都相等；④成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心.其中， 真命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 知识点02：中心对称与旋转的送系 2/14 中心对称是旋转的特殊情形：旋转角等于180的旋转就是中心对称。 旋转的性质对中心对称都适用：对应点到对称中心距离相等，旋转前后图形全等。 区别在于：一般旋转角可以是任意角度，而中心对称的旋转角固定为180°，此时对应点与 对称中心在同一直线上。 5.(25-26七年级下·江苏南京期中)如图，正六边形BCDEFG中，下列变换错误的是() D A.四边形ABCD可以由四边形ACBG中心对称得到 B.四边形ABCD可以由四边形FGAE平移得到 C.四边形ABCD可以由四边形AFGB旋转得到 D.四边形ABCD可以由四边形AEDC轴对称得到 6.(2026山西大同模拟预测)如图，将△ABC绕点C旋转180°得到△AB'C,点A,B的对应点分别为 ✉，.若点B的坐标为℃20 点C的坐标为(0，)，则点B的坐标为 B B 7.(25-26七年级下江苏南京阶段检测)如图，在网格中，小正方形的边长均为1个单位，点A,B, C,O都在格点上，直线1经过点O. 3/14 (1)画图： ①画△4BC,使△ABC绕点O顺时针旋转90°： △M,G,使MC与△4，C关于直线'对称 ② ③在直线I上找一点P,使PA+PC最小. (2)发现： △4，B,C与△ABG形成 关系（用“轴对称”“旋转对称”“中心对称”填空）. T 8.(25-26八年级上·甘肃武威期末)【情境】嘉淇同学利用几何软件画出如图1所示的箭头，箭头的 顶点均在格点上，维续画出两条直线“力，作出箭头关于直线“对称的箭头乙，再作出箭头关于 T T T 直线对称的箭头了，对应点的连线MM'、MM”分别与对称轴相交于点P、 .P O 图1 图2 图3 【探究】 情形一：当直线a与直线b平行时，如图2. ①帝头可以看作是箭头乙沿者射线MM方向平移而成的因形，平移的距离等于线段一的长度： 4/14 2)试说明：MM”=2PO: 情形二：当直线a与直线b相交于点O时，如图3， T )箭头3可以看作是箭头绕着点 旋转而成的图形，旋转角为一，∠M0M'与2PO 的数量 关系为一 ④【拓展】当直线“与直线垂直时，箭头与箭头”是否关于点0成中心对称：—（填“是”或 b “否”）· 知识点03：中心对称的性质 性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分，即 若P与P关于点O对称，则P、O、P共线且OP=OP'。 推论：对称中心是任意一对对称点连线的中点，可用中点坐标或中点性质进行计算。 反过来，若两个图形的所有对应点连线都交于一点且被该点平分，则这两个图形关于该点 成中心对称。 9. (25-26八年级下·湖南湘西·期中)在平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，EF、GH、MN都 经过对角线的交点，若BC=8,BC边上的高为4，则阴影部分的面积为() A.8 B.32 C.16 D.40 10.(25-26八年级下河北唐山期末)如图所示，△ABC与△AB'C'关于点O成中心对称，则下列结论成 立的是() ①点A与点关于点O对称；②BO=BO:③ACI‖A'C':④∠ABC=∠C'AB 5/14 A.②③ B.①②③ C.①③④ D.①②④ 11.(25-26八年级下甘肃平凉·期末)综合探究 D B 图1 图2 (I)如图1，在ABCD中，AC、BD交于点O,过点O的线段EF交AB于E,交CD于F, ①判断OE和OF的数量关系： 、 并证明。 ②边 S形（填“>”或“=”或“<”）， (2)如图2是一块“L”形的材料，请你作一条直线，使得直线两边的材料的面积相等（保留作图痕 迹，不用证明)· 12.(25-26八年级下四川巴中期末)如图，△AB0与aCDO关于点O成中心对称，点E、F在线段BD 上，且BF=DE,连接AF、CE E (1)求证：四边形AECF是平行四边形： 2)若点F是BE的中点，BA⊥AE,AB=7,AE=12,求四边形AECF的面积. 知识点04：成中心对称的两个图形全等 中心对称是旋转180的变换，所以成中心对称的两个图形全等。 6/14 对应线段相等且平行（或在同一直线上），对应角相等。 应用：由中心对称可得线段相等、角相等，常用于证明线段相等或构造全等三角形。 13.(2026江西上饶三模)如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O,其边长分别是5 和3，则图中阴影部分的面积是() D 5 A.4 16 16 C.4 D.3 △4BG与△MBC A4 =10cm 14.(25-26七年级下山西晋城期末)如图， 于点O成中心对称，已知 BO=9cm AB =7cm ,则△OM 的周长为 cm 15.(25-26八年级下河南新乡期末)如图，四边形ABC0是矩形，点B的坐标为 4,2) 若直线 y=mx-1 把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数解析式是 y A C 16.(25-26七年级下·四川乐山期末)如图，已知△ABC与△A'B'C关于点0成中心对称，若A0=3cm, 则AA'=一· 7/14 知识点05：作已知图形送于某点成中心对称的图形 作图依据：对称点连线经过对称中心且被对称中心平分。 步骤： 连接图形各顶点与对称中心O: 在延长线上截取等长线段，得到各顶点的对称点： 顺次连接各对称点。 提醒：对称点取在对称中心的另一侧，距离与原点到中心距离相等，作图后可用中点检 验。 17.(25-26七年级下福建泉州期末)在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的项点 叫做格点，项点都是格点的三角形叫做格点三角形.请按要求完成： C--J (I)如图，作出△ABC水平向右平移3个单位长度得到的△4BG,再作出△4BC关于点O成中心对称 △A,B2C2 的 回港接1)中的4G,C4,则四边形 AC4C2 的面积= 18.(25-26八年级下河北唐山期末)如图，在平面直角坐标系中， A(-1,4)B(-3,1)C(-1,) 8/14 B -+--1 Q)AMBG与△ABC △4BG,并写出的坐标： B. 关于原点对称，画出 ②4B,C是△MBC绕点C顺时针旋转90° △A,B2C 得到的，画出 19.(25-26九年级上：河北石家庄·期中)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格 纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上. 4 B 4-3-2- 1 2345x 二5 5 (I)画出△ABC关于点O的中心对称图形△ABC: ②)恒出△MBC关于'轴对称的图形 △A,B2C2 △4，B,C的面积为 (3 20.(25-26八年级下·甘肃兰州期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点 上 9/14 y 6 2 6-5-4-3-2-10 3456 2 (1)经过平移， △ABC 的顶点1移到了点4，画出平移后的 ABC ②)以点0为对称中心，画出与△ABC △4，BC2 成中心对称 知识点06：中心对称的性质在计算与证明中的应用 由中心对称可得：对称点连线被对称中心平分，对应线段相等且平行，从而构造平行四边 形或全等三角形。 常用结论：若点O同时是两条线段的中点，则以这四个端点为顶点的四边形是平行四边形 (对角线互相平分)。· 计算中利用“对称中心是对称点连线的中点”列方程，可求线段长或点的位置。 21. (2026~陕西西安·二模)如图，O为口ABCD的对称中心，若△BOC的面积等于5，则口ABCD的面积为 () A.25 B.20 C.15 D.10 22.(2026福建莆田·二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标为(-L,2).若y轴平 分矩形ABCD的面积，则点C到y轴的距离是 10114 23.(25-26九年级下山东聊城期中)如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,E,F分别为 AB,AC上的动点，M为EF的中点，将△AEF绕点M旋转l8O°，点A刚好落在边BC上，则AM的 最小值为一· 24.(25-26八年级下·江苏南京期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，△DEF 和△ABC关于点O对称.连接BF,CE. B 0 )求证：四边形BCEF是平行四边形： 2)已知AC=4,BC=3,求四边形BCEF是菱形时A0的长. 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·河北张家口·期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，若直线I能将口ABCD面积等 分，这样的直线的条数有() D 11/14 A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条 2.(2026陕西西安·一模)如图，在等边△ABC中，D为BC的中点，连接AD,AD=3,△ADB与△FE B关于点B成中心对称，则BF的长为() A.5 B.2V5 C.3 D V3 3.(25-26九年级上浙江金华期末)已知函数=2x+8x-1和=-2(x-+5 图象关于点P对称， 则P的坐标为() A(（1,-2) B c.（-1,2) 4.(25-26八年级下·江西萍乡·期末)如图，在△ABC中，顶点C在第一象限，点A在x轴的负半轴上，点 B(0,4),C(25,4),AB=BC,将△ABC绕点A每次顺时针旋转90°，则第2026次旋转结束时，点B 的坐标为() B A.（4,-4) B.(2,-2) c.（6,2) D.(0,4) 二、填空题 5.(25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测)小明和小辉两家所在的位置关于学校成中心对称.如果小明家 12/14 与学校的距离是4公里，那么他们两家的距离为一公里 6.(25-26七年级下·吉林长春·期末)如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆， 虚线围成的图形是正方形，己知OA=OB=2米，则阴影部分图形的面积和为 平方米 B 7.(25-26九年级上·陕西商洛期中)如图，在等腰三角形ABC中，BD是底边AC的中线，△CEF与 aCBD关于点C成中心对称，连接4B,若4C=4cm,BD=2,5cm则4E的长为一 cm 8.(2026浙江二模)如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点P,△EFD与△APD关于点D成 中心对称.若AC=14,BD=16,则BE=」 F B 三、解答题 9.(25-26八年级下·湖南郴州期末)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸 中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上. 13/14 B (I)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△4B,C: 平移△48G得△4，C,若点4的对应点4的坐标为L,3),则点品的坐标为 B. 一，点9的坐 标为 △A,B,C1 3) 的面积。 10.(2425九年级上内蒙吉呼和浩特期中)如网。抛物线y+加+c与轴交于A-0、B0). 与y轴交于C. B (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线第四象限内图象上的点，求当点P运动到何处时△PBC面积最大，最大面积是多少？ 3)如图，己知线段DE与线段BC关于平面内某点成中心对称，其中DE的两端点刚好一个落在抛物线 上，一个落在对称轴上，直接写出落在对称轴上的点的坐标. 14114 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十八章 旋转 28.2.1 中心对称及其性质 ▌课时目标 1. 理解中心对称的概念，知道中心对称是旋转角为180°的特殊旋转。 2. 掌握中心对称的性质，能作出已知图形关于某点成中心对称的图形。 3. 能运用中心对称的性质进行计算与简单证明，体会由一般到特殊的认识过程。 ▌课时目录 知识点01：中心对称的定义（绕某点旋转180°） 知识点02：中心对称与旋转的关系 知识点03：中心对称的性质 知识点04：成中心对称的两个图形全等 知识点05：作已知图形关于某点成中心对称的图形 知识点06：中心对称的性质在计算与证明中的应用 ▌知识点01：中心对称的定义（绕某点旋转180°） 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。 这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称是对两个图形的位置关系而言的，对称中心是两个图形对称点连线的中点。 1．（26-27九年级上·广西·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）《哪吒之魔童闹海》创造中国动画电影的神话，推动我国国产动画电影发展，提升中国文化影响力．如图，对哪吒图片的变换，下列描述正确的是（     ） A．中心对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称 【答案】D 【详解】解：由图可知，两个哪吒的图片成轴对称. 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，要通过一次变换使与完全重合，下列说法正确的是（     ） A．通过一次平移变换即可实现 B．通过一次轴对称变换即可实现 C．通过一次中心对称变换即可实现 D．上述单一变换都无法实现 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质确定两个三角形的位置关系，再依次判断平移、轴对称、中心对称三种变换能否一次完成重合，选出正确选项． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ 点与点、点与点关于点中心对称， ∴ 绕点旋转（一次中心对称变换）可与完全重合， 平移、一次轴对称变换无法使两个三角形重合， 故正确的是C项． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）给出下列4个命题：①平移前后的两个图形中，对应点的连线段一定相等；②成轴对称的两个图形对应点的连线是对称轴的垂直平分线；③旋转前后的两个图形，对应点与旋转中心连线所成的角都相等；④成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心．其中，真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平移、轴对称、旋转、中心对称的性质，逐个判断四个命题的真假，统计真命题个数即可． 【详解】解：①根据平移的性质，平移前后对应点的连线段平行或共线且长度相等，因此对应点的连线段一定相等，①是真命题； ②成轴对称的两个图形，对称轴是对应点连线的垂直平分线，命题将二者关系颠倒，②是假命题； ③根据旋转的性质，旋转前后所有对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角，因此都相等，③是真命题； ④根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形，对应点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，命题描述正确，④是真命题； 综上，真命题共个． ▌知识点02：中心对称与旋转的关系 中心对称是旋转的特殊情形：旋转角等于180°的旋转就是中心对称。 旋转的性质对中心对称都适用：对应点到对称中心距离相等，旋转前后图形全等。 区别在于：一般旋转角可以是任意角度，而中心对称的旋转角固定为180°，此时对应点与对称中心在同一直线上。 5．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，正六边形中，下列变换错误的是（  ）    A．四边形可以由四边形中心对称得到 B．四边形可以由四边形平移得到 C．四边形可以由四边形旋转得到 D．四边形可以由四边形轴对称得到 【答案】A 【分析】本题以正六边形为载体，结合其被对角线分割为个全等的等边三角形的性质，利用平移、旋转、轴对称、中心对称的定义，逐一分析各选项中四边形的变换是否成立，判断错误的变换． 【详解】解：正六边形被对角线分成6个全等的等边三角形， 各边长相等，各中心角为． 对于选项A： 四边形关于点中心对称，对应点为，，，得到的图形为四边形，而非四边形，故A项说法错误． 对于选项B： 将四边形沿射线方向平移线段的长度， 点，点，点，点，可得到四边形，故B项说法正确． 对于选项C： 将四边形绕点逆时针旋转， 点，点，点，可得到四边形，故C项说法变换正确． 对于选项D： 作过点且垂直于的直线为对称轴，四边形关于该直线轴对称，点，点，点，可得到四边形，故D项说法正确． 6．（2026·山西大同·模拟预测）如图，将绕点旋转得到，点，的对应点分别为，．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】设，根据将绕点旋转得到，可知点、点关于点中心对称，据此即可作答． 【详解】解：设， ∵将绕点旋转得到， ∴点、点关于点中心对称， ∴，， 解得：，， ∴． 7．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在网格中，小正方形的边长均为1个单位，点A，B，C，O都在格点上，直线l经过点O． (1)画图： ①画，使绕点顺时针旋转； ②画，使与关于直线对称； ③在直线上找一点，使最小． (2)发现：与形成__________关系（用“轴对称”“旋转对称”“中心对称”填空）． 【答案】(1) ①如图，即为所求， ； ②如图，即为所求， ③如图，点P即为所求， (2)轴对称 【分析】（1）①根据旋转的性质作图即可； ②根据轴对称的性质作图即可； ③连接交直线l于P即可； （2）根据与的位置判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知：与形成轴对称关系． 8．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）【情境】嘉淇同学利用几何软件画出如图1所示的箭头，箭头的顶点均在格点上，继续画出两条直线，作出箭头关于直线对称的箭头，再作出箭头关于直线对称的箭头，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、． 【探究】 情形一：当直线与直线平行时，如图2． (1)箭头可以看作是箭头沿着射线方向平移而成的图形，平移的距离等于线段_____的长度； (2)试说明：； 情形二：当直线与直线相交于点时，如图3． (3)箭头可以看作是箭头绕着点_____旋转而成的图形，旋转角为_____，与的数量关系为_____； (4)【拓展】当直线与直线垂直时，箭头与箭头是否关于点成中心对称？_____（填“是”或“否”）． 【答案】(1)； (2) 证明：∵箭头、箭头关于直线对称，箭头、箭头关于直线对称， ∴直线垂直平分，直线垂直平分， ∴，， 又，， ∴ (3)O，，； (4)是 【分析】本题考查了平移、轴对称，中心对称等知识，解题的关键是： （1）根据平移和轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质得出直线垂直平分，直线垂直平分，然后根据垂直平分线的性质即可得证； （3）根据旋转和轴对称的性质求解即可； （4）画出符合题意的图形，然后根据中心对称的定义判断即可． 【详解】（1）解：箭头还可以看作是箭头沿着方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度， 故答案为：； （2）略 （3）解：箭头可以看作是箭头绕着点O旋转而成的，旋转角为， ∵箭头、箭头关于直线对称，箭头、箭头关于直线对称， ∴， 又，， ∴， 即与的数量关系为， 故答案为：O，，； （4）解：如图， 箭头与箭头的对称关系是关于点O成中心对称， 故答案为：是． ▌知识点03：中心对称的性质 性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分，即若P与P′关于点O对称，则P、O、P′共线且OP＝OP′。 推论：对称中心是任意一对对称点连线的中点，可用中点坐标或中点性质进行计算。 反过来，若两个图形的所有对应点连线都交于一点且被该点平分，则这两个图形关于该点成中心对称。 9．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的中心对称性得到经过对角线交点的直线平分平行四边形面积，进而求出阴影部分的面积. 【详解】解：， 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心， 根据中心对称的性质：经过对称中心的直线，会把平行四边形分成完全全等（面积相等）的两部分，且关于对称中心对称的两个图形，面积一定相等， 本题中、、都经过对角线的交点（对称中心），因此每一块阴影区域，都存在一块和它关于对称中心中心对称的空白区域，二者面积相等； 由此可推：所有阴影部分的面积之和平行四边形面积的一半， . 10．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点对称，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴符合题意的有①②③． 11．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）综合探究 (1)如图1，在中，、交于点O，过点O的线段交于E，交于F， ①判断和的数量关系：____________________，并证明． ②______（填“＞”或“＝”或“＜”）． (2)如图2是一块“L”形的材料，请你作一条直线m，使得直线m两边的材料的面积相等（保留作图痕迹，不用证明）． 【答案】(1)①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ② (2)如图所示： 先找到两个矩形的中心，然后连接中心直线m即为所求 【分析】（1）①通过证明即可判断，的数量关系； ②利用平行四边形和全等三角形的性质得到，，然后利用等式的性质求解； （2）直接利用矩形的性质结合中心对称图形的性质得出答案． 【详解】（1）解：① ②∵在中， 又由①可知 ∴ ∴ 即； （2）略 12．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点F是的中点，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； (2)42 【分析】（1）首先由中心对称的性质得到，，然后推出，即可得到四边形是平行四边形； （2）取的中点，连接，证明是的中位线，得到，，，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，取的中点，连接， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积． ▌知识点04：成中心对称的两个图形全等 中心对称是旋转180°的变换，所以成中心对称的两个图形全等。 对应线段相等且平行（或在同一直线上），对应角相等。 应用：由中心对称可得线段相等、角相等，常用于证明线段相等或构造全等三角形。 13．（2026·江西上饶·三模）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由正方形和正方形的对称中心都是点O，可得四边形，四边形，四边形，四边形的面积相等，与的面积相等，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O， ∴四边形，四边形，四边形，四边形的面积相等，与的面积相等， ∴阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积的， ∴阴影部分的面积是. 14．（25-26七年级下·山西晋城·期末）如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 【答案】21 【分析】根据中心对称的性质可得，，，即可求出的周长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，，，， ∴，，， ∴． 15．（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，四边形是矩形，点的坐标为．若直线把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数解析式是__________． 【答案】 【分析】矩形是中心对称图形，因为过中心对称图形对称中心的直线会将图形分成面积相等的两部分，所以该直线必过矩形的对称中心．利用矩形对角线互相平分且相等的性质，根据B点坐标计算矩形对角线交点即对称中心的坐标．将对称中心的坐标代入直线解析式，求解得到参数的值，即可得到直线的函数解析式． 【详解】解：∵原点，顶点， ∴的中点坐标为． ∵矩形是中心对称图形，过矩形对称中心（对角线交点）的直线可以把矩形面积分成相等的两部分， ∴ 直线过对称中心． 将坐标代入解析式： ， 解得． ∴直线的函数解析式为． 16．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，已知与关于点成中心对称，若，则=______． 【答案】/6厘米 【分析】根据中心对称的性质可得点是线段的中点，即，进而可得出的长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点对称， ∴， 又， ∴， ∴． ▌知识点05：作已知图形关于某点成中心对称的图形 作图依据：对称点连线经过对称中心且被对称中心平分。 步骤： 1. 连接图形各顶点与对称中心O； 2. 在延长线上截取等长线段，得到各顶点的对称点； 3. 顺次连接各对称点。 提醒：对称点取在对称中心的另一侧，距离与原点到中心距离相等，作图后可用中点检验。 17．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形．请按要求完成： (1)如图，作出水平向右平移个单位长度得到的，再作出关于点成中心对称的； (2)连接（1）中的，，则四边形的面积___________． 【答案】(1)与如图所示： (2) 【分析】（1）根据平移和中心对称的概念进行作图即可； （2）使用割补法计算四边形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图： ． 18．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出，并写出的坐标； (2)是绕点顺时针旋转得到的，画出． 【答案】(1)如图，即为所求， 的坐标为； (2)即为所求， 【分析】（1）根据关于原点对称的图形的性质作图即可，再写出点的坐标 （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 19．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出关于轴对称的图形； (3)的面积为_________． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图，即为所求； (3) 【分析】（1）分别求出关于点的对称点，再顺次连接三点即可； （2）分别求出关于x轴的对称点，再顺次连接三点即可； （3）利用矩形割补法求解即可． 【详解】（1）解：由网格可知，根据点关于原点对称点为，得，描点顺次连接即可； （2）解：根据点关于轴对称点为，得，描点顺次连接即得图形； （3）解： 20．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)经过平移，的顶点移到了点，画出平移后的； (2)以点为对称中心，画出与成中心对称的． 【答案】(1)如图，即为所求作的三角形； (2)如图，即为所求作的三角形； 【分析】（1）先根据点的对应点判断平移的方式，再确定点，的位置，然后连线即可； （2）先根据中心对称的性质确定点，，的坐标，然后描点连线即可． 【详解】（1）解：∵点的对应点，，， ∴把先向右平移个单位，再向上平移个单位得， ∵，， ∴，，即，， 作图略； （2）解：∵，，， ∴，，． 作图略． ▌知识点06：中心对称的性质在计算与证明中的应用 由中心对称可得：对称点连线被对称中心平分，对应线段相等且平行，从而构造平行四边形或全等三角形。 常用结论：若点O同时是两条线段的中点，则以这四个端点为顶点的四边形是平行四边形（对角线互相平分）。 计算中利用“对称中心是对称点连线的中点”列方程，可求线段长或点的位置。 21．（2026·陕西西安·二模）如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由为的对称中心，则点三点共线，三点共线，，，所以，从而即可求出的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵为的对称中心， ∴点三点共线，三点共线，，， ∴， ∴的面积为． 22．（2026·福建莆田·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为．若y轴平分矩形的面积，则点C到y轴的距离是_______． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质可得轴经过矩形对角线的中点，再根据中点坐标公式即可求解． 【详解】解：∵y轴平分矩形的面积，矩形是中心对称图形， ∴轴经过矩形对角线的中点， 设点横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点C到y轴的距离是． 23．（25-26九年级下·山东聊城·期中）如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判定 为直角三角形，由旋转的性质可知点的对应点与点关于点对称，即为的中点，即得，可知当 时最短，即最小，再利用等面积法求出的长即可求解． 【详解】解：， ，， ， 是直角三角形，且， 设旋转后点落在上的点为，如图， 由旋转的性质可知，与关于点中心对称， ∴点与点关于点对称， 为线段的中点， ， 要使最小，则需最小， ∵点在边上 ， ∴当 时，的值最小，此时， 即， 解得 ， 的最小值为． 24．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 【答案】(1) 证明：连接 ∵ 和 关于点 对称， ∴点 与 关于 对称，点与 关于 对称， ∴ ， ，即 四边形 的对角线互相平分， ∴四边形 是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；可得对角线互相平分，即可求证； （2）根据勾股定理先计算的长，再根据菱形的性质可知对角线互相垂直，根据等面积法可计算的长,进而根据勾股定理就可以计算 的长． 【详解】（1）略； （2）解：在 中， ， ， ， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴在 中， ． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，四边形是平行四边形，若直线能将面积等分，这样的直线的条数有（     ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 【答案】D 【详解】解：根据中心对称的性质，过平行四边形中心的直线都可以把平行四边形分成面积相等的两个部分， 所以，这样的直线有无数条． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质和勾股定理求得，再根据中心对称的性质，即可得． 【详解】解：∵等边中，为的中点， ∴，，， ， ∵， ∴， 解得（负值已经舍去）， ∵与关于点成中心对称， ∴． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知函数和的图象关于点P对称，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的变换，求出两个函数的顶点坐标，根据对称性，求出中点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； ∵， ∴顶点坐标为， ∵函数和的图象关于点P对称， ∴和关于点对称， ∴，即； 故选B． 4．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据、坐标求出长，结合及勾股定理求出点坐标；根据旋转角度和次数确定旋转后的位置关系，利用中心对称性质求解. 【详解】解：，， ，轴， ， ； 在中，， ， 点在轴负半轴， ， 每次顺时针旋转， 每旋转次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点的位置相当于绕点顺时针旋转， 点与旋转后的对应点关于点中心对称，设旋转后点的坐标为， 则，， 解得，， 点的坐标为. 二、填空题 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）小明和小辉两家所在的位置关于学校成中心对称．如果小明家与学校的距离是公里，那么他们两家的距离为_______公里． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，可得小明家和小辉家到学校的距离相等，且两家分别在学校的两侧，将两家到学校的距离相加即可得到两家的距离． 【详解】解：∵小明和小辉两家所在位置关于学校成中心对称， ∴小明、小辉两家到学校的距离相等， ∵小明家到学校的距离是公里， ∴他们两家的距离为公里． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆，虚线围成的图形是正方形，已知米，则阴影部分图形的面积和为__________平方米． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质可知阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可． 【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称图形，且米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆， ∴阴影部分的面积为（平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 7．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为_________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，中心对称图形．根据等腰三角形的性质可得，再由中心对称图形的性质可得，，，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在等腰三角形中，∵是底边的中线，， ∴， ∵与关于点 C 成中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为： 8．（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 【答案】25 【分析】利用菱形的性质得到与互相垂直平分，从而求得的长和的长，再由与关于点D成中心对称，得到，从而求得的值，利用勾股定理即可得出的长． 【详解】解：在菱形中，与互相垂直平分， ∴，， 又∵与关于点D成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， 在中，． 三、解答题 9．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出关于原点的中心对称图形； (2)平移得，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为______，点的坐标为______； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； 点的坐标为，点的坐标为； (3)7 【分析】（1）先作出A、B、C关于原点O的对称点，然后顺次连接即可； （2）根据平移的性质解答即可； （3）利用所在的长方形的面积减去其周围的三个三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的面积为． 10．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，抛物线与x轴交于、，与y轴交于C． (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线第四象限内图象上的点，求当点P运动到何处时面积最大，最大面积是多少？ (3)如图，已知线段与线段关于平面内某点成中心对称，其中的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，直接写出落在对称轴上的点的坐标． 【答案】(1) (2)当点P运动到时面积最大，最大面积是 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，面积问题，中心对称等知识点． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过作轴交于，先求出直线解析式为，设，则，，最后根据计算即可； （3）由，得抛物线的对称轴是直线，，分三种情况分别画出图形，利用线段与线段关于某点成中心对称，则对应点连线的中点重合列方程可解得答案． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于， 在中，令得， ∴， 设直线解析式为，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵点P是抛物线第四象限内图象上的点， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时， ∴当点P运动到时面积最大，最大面积是； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ①若线段与线段关于点K成中心对称，C的对应点D在对称轴上，B的对应点在抛物线上，如图： 设，，而，， ∵K是的中点，也是的中点， ∴， 解得， ∴； ②若线段与线段关于点T成中心对称，B的对应点D在对称轴上，C的对应点在抛物线上，如图： 设，，而，， ∵T是的中点，也是的中点， ∴， 解得， ∴； 同理，当在对称轴上，点在抛物线上时或． 综上所述，落在对称轴上的点的坐标为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $