精品解析：广东揭阳第一中学2026-2027学年高一上学期阶段考试（一）数学试卷

揭阳一中107届高一级阶段考试—数学科试题 一、单选题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使方程有实数根”的否定是（　　） A. ，使方程无实数根 B. 不存在实数，使方程无实数根 C. ，方程无实数根 D. 至多有一个实数，使方程有实数根 3. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 4. 设函数则（　　 ） A. —2 B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A. B. C. D. 6. 已知条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式（）的解集为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 所有的素数都是奇数 C. 集合与集合是相同的集合 D. 10. 已知实数，满足，，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. ，，使得 11. 设表示不超过的最大整数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A. ， B. ，若，则 C. ， D. 不等式的解集为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若 ，则实数的值为_____. 13. 已知，则＝________. 14. 如图，菱形的边长为2，且，记菱形位于直线的左侧图形的面积为，则_____，_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合, . （1）若， 求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）已知，，证明：． （2）某工厂分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为元．若每批生产件产品，每件产品每天的仓储费用为元，且每件产品平均仓储时间天，设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元． （i）写出关于的函数解析式． （ii）当为何值时，有最小值？最小值是多少？ 17. 已知 . （1）当时，求xy的最大值； （2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 18. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式． 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 揭阳一中107届高一级阶段考试—数学科试题 一、单选题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集、并集、补集的概念求出. 【详解】，则， 又，则图中阴影部分表示的集合是. 故选：D 2. 命题“，使方程有实数根”的否定是（　　） A. ，使方程无实数根 B. 不存在实数，使方程无实数根 C. ，方程无实数根 D. 至多有一个实数，使方程有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，改变量词，否定结论； 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“”改为“”； 另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”． 故选：C. 3. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：取，满足， 但，故不成立，故A错误； 对于B，若，则，即，可得，所以取时，不成立，故B错误； 对于C，取满足题意，则不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，又，所以，所以，故D正确. 4. 设函数则（　　 ） A. —2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为的定义域为， 所以令，解得，即的定义域为． 又因为，解得，所以的定义域为． 6. 已知条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知条件：或， 条件：， 若是的充分不必要条件，则. 7. 已知关于的不等式（）的解集为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，. 由韦达定理得，.则. 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即，时取等号. 8. 函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为，则恒成立. 当时，满足题意. 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 所有的素数都是奇数 C. 集合与集合是相同的集合 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对选项A，根据子集概念即可判断A正确，对选项B，根据素数概念即可判断B错误，对选项C，分别化简集合即可判断C错误，对选项D，根据空集和子集概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，，所以，故A正确. 对选项B，2是素数，但2不是奇数，故 B错误. 对选项C，，，故C错误. 对选项D，，所以，故D正确. 故选：AD 10. 已知实数，满足，，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. ，，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用整体换元，令，用表示出代数式，结合不等式的性质求解. 【详解】令. ,A不正确. ,B正确. ,C正确. ，考虑极端情况，假设，则.则令，找到了一组满足条件的 存在唯一一组对应的，使得，D正确. 11. 设表示不超过的最大整数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A. ， B. ，若，则 C. ， D. 不等式的解集为或 【答案】BCD 【解析】 【分析】 通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式的解后可得不等式的解集，从而可判断D正确与否. 【详解】对于A，，则，故，故A不成立. 对于B，，则， 故，所以，故B成立. 对于C，设，其中， 则，， 若，则，，故； 若，则，，故，故C成立. 对于D，由不等式可得或， 故或，故D正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若 ，则实数的值为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，利用集合相等的定义，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由集合， 因为，则或，解得或， 当时，集合，满足； 当时，集合，满足， 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或. 13. 已知，则＝________. 【答案】 【解析】 【分析】根据配凑法求解，注意定义域的求解. 【详解】因为，所以， 所以，其中. ∴. 故答案为： 14. 如图，菱形的边长为2，且，记菱形位于直线的左侧图形的面积为，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分情况写出函数解析式，然后求得.讨论的范围，由函数解析式，求得. 【详解】过作轴交轴于，过作轴交轴于， ∴，即，∴. ①当时，如图，， ②当时，如图，， ③当时，如图，， ∴， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴， 故答案为：， 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合, . （1）若， 求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，得到，结合基本的交集、补集的运算，即可求解； （2）由，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，可得且， 所以， 又或，所以或. 【小问2详解】 因为， 因为，则满足，解得，所以实数的取值范围是. 16. （1）已知，，证明：． （2）某工厂分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为元．若每批生产件产品，每件产品每天的仓储费用为元，且每件产品平均仓储时间天，设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元． （i）写出关于的函数解析式． （ii）当为何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】（1）因为，，所以 ， 当且仅当时等号成立，故不等式成立. （2）（i）；（ii）当时，取得最小值. 【解析】 【分析】（1）利用作差法证明即可； （2）（i）计算出平均每件产品的生产准备费用和仓储费用，可得出关于的函数解析式； （ii）利用基本不等式可求得的值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）（i）平均每件产品的生产准备费用为元，仓储费用为（元）， 因此，其中为每批产品的件数，故． （ii）由于，由基本不等式得． 当且仅当，即时等号成立， 所以每批生产件产品时，平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，最小值为元． 17. 已知 . （1）当时，求xy的最大值； （2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）结合已知等式，结合基本不等式进行求解即可； （2）问题转化为解不等式，结合已知等式，利用基本不等式求出，然后解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为，， 所以有，当且仅当时，取等号，即且时，取等号，所以xy的最大值为； （2）因为，所以，而， 所以有： ， 即，当且仅当时，取等号，即且时，取等号， 因此，要想不等式恒成立， 只需成立，即，解得. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了数学运算能力. 18. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）4 （3）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为 【解析】 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得； （3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可. 【小问1详解】 由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． 【小问2详解】 ，， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． 【小问3详解】 由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】（1），集合A是的恰当子集； （2），或，. （3）10 【解析】 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【小问1详解】 若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； 【小问2详解】 是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. 【小问3详解】 若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $