【查漏补缺】2026-2027学年人教版九年级上学期数学期中模拟卷

【查漏补缺】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 2027中考新题型结构 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级第25章~第27章 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．用配方法解方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：移项得， 两边同加9得， 即. 2．下列方程中，是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．未知数最高次数为1，不是一元二次方程． B．含有两个未知数，不是一元二次方程． C．不是整式方程，不是一元二次方程． D．符合一元二次方程的定义． 3．关于的方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 4．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过平移前后抛物线顶点坐标的变化求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，顶点坐标变为． ∴所得抛物线的解析式为． 5．下列与抛物线形状相同的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象，对于二次函数，图象的形状只与的大小有关，据此即可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象的形状只与的大小有关，相同，则它们的形状相同， ∴由选项可知，C选项的与抛物线形状相同． 6．对于抛物线的图象，下列判断正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：A：在中，，函数图象开口向下，故A错误； B：抛物线的顶点坐标是，故B错误； C：对称轴是直线，说法正确，故C正确； D：，函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，随增大而减小，故D错误． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵点、， ∴的中点坐标为：， 反比例函数的图象经过的中点，可得， ． 8．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 9．二次函数与轴交于、两点，且，则（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用根与系数的关系和等式变形处理得到，由此求得的值，注意． 【详解】解：∵二次函数与轴交于、两点， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得， ∴， 解得或， 当时，二次函数为， ∴， ∴二次函数与轴只有一个交点，不符合题意，舍去； 当时，二次函数为， ∴， ∴二次函数与轴有两个交点，符合题意； ∴． 10．若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为；③函数与函数具有“对偶关系”；④若1是函数与函数的“对偶值”，则．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据“对偶关系”的定义，若在，在，、关于轴对称，则横坐标为时，横坐标为，二者纵坐标相等，据此逐一验证每个结论即可，用到一次函数、反比例函数的点坐标特征和一元二次方程根的判别知识。 【详解】解：根据定义，设，则关于轴的对称点为，若两函数具有“对偶关系”，则在图象上，满足，纵坐标为“对偶值”， ①对于，，代入得，， 令，解得， 存在实数解，因此两函数具有“对偶关系”，故①错误； ②由①得，对偶值为，故②正确； ③对于，，代入得，， 令，整理得， ， 方程有实根，存在满足条件的点， 因此两函数具有“对偶关系”，故③正确； ④是“对偶值”， 纵坐标为， 在上，令，得，即， 与关于轴对称， ，将代入得，解得，故④正确； 综上，②③④正确. 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．若是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据分式的加减化简代数式，进而即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴. 12．已知是一元二次方程 的两根，则_________________ 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程 的两根， ∴． 13．若抛物线经过和，则该抛物线的对称轴为直线___________． 【答案】4 【分析】利用二次函数的对称性求解． 【详解】解：∵抛物线经过和， ∴该抛物线的对称轴为直线． 14．当时，函数最大值与最小值之差为______ 【答案】16 【分析】首先将二次函数配方成顶点式，然后得到二次函数开口向下，当时，y取得最大值4，然后得到当时，y取得最小值，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∵二次项系数为 ∴二次函数开口向下 ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 ∴当时，y取得最大值4 ∵，， ∴当时，y取得最小值 ∴ ∴当时，函数最大值与最小值之差为16． 15．二次函数的顶点坐标是___________． 【答案】 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为． 16．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 17．如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性即可判断的取值范围． 【详解】解：反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，即随的增大而增大， ． 18．如图，点A坐标为，点B坐标为，点M是正方形的中心，且点D，M均在反比例函数图象的同一分支上，则a的值为______． 【答案】6 【分析】由题意可得，；如图：过D作y轴，则 ，再结合正方形的性质可证明可得，进而得到，再根据中点坐标求得点M的坐标为，然后根据均在反比例函数图象的同一分支上得到求解即可． 【详解】解：∵点A坐标为，点， ∴，， 如图：过D作y轴，则 ，， ∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是正方形的中心， ∴点M的坐标为， ∵点均在反比例函数图象的同一分支上， ∴故横、纵坐标的乘积相等， ∴， 解得：，， ∵在轴正半轴，，舍去， ． 三、解答题：本题共8小题，共96分。 19．已知反比例函数的图象经过点． (1)求关于的函数解析式； (2)若点在这个图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接把点代入反比例函数即可得出结论； （2）把代入已求出的解析式即可求得n的值． 【详解】（1）解：把代入中， 得， 解得， ∴． （2）解：∵点在反比例函数上， ∴． 20．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 21．生活中处处充满着趣味数学，如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系，其中段可以看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高米，宽1米．其中点、、均在坐标轴上，且轴． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出口点到的距离的长． 【答案】(1) (2)4米 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键． （1）先根据题意求出点B的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出的长，从而求出点C的坐标，进一步求出的长即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴点C的纵坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴． 22．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，关于x的方程有实数根，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）把和代入即可求解； （2）求出抛物线在的函数值范围即可求解． 【详解】（1）解：把和代入得， ，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由抛物线的表达式为，方程可化为， ∵的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴t的取值范围为． 23．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为24元或44元时，厂商每月能获得312万元的利润；当销售单价为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）根据销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意，得即可． （2）根据，当时，构造方程解答即可．根据，构造二次函数，根据二次函数的最值，即可求得． 【详解】（1）解：销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意得： ． 故． （2）解：由（1）可得， 当时，， ∴， 解得：， 根据题意，销售量且售价应高于成本，故且，解得， 答：销售单价应定为24元或44元时，厂商每月能够获得312万元的利润． 由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，L取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为34元/件时，每月的销售利润最大，最大利润是512万元． 24．小颖在解方程时出现了错误，解答过程如下： 解方程： 解：① ② ③ ④ ⑤ ，⑥ (1)小颖解方程的方法是______． (2)小颖的解答过程从第______步开始出错，其错误的原因是______ (3)请你写出此题正确的解题过程． 【答案】(1)配方法 (2)②，等式右边没有除以2 (3)解：， ， ， ， ， ∴，． 【分析】（1）由小颖的解法可得结论； （2）根据配方法的步骤判断即可； （3）利用配方法解决问题． 【详解】（1）解：小颖解方程的方法是：配方法 （2）解：小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2； （3）略 25．如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)顶点为，对称轴为直线 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）由待定系数法，将、代入抛物线表达式解方程组即可得到答案； （2）先将一般式化为顶点式，即可求解对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：抛物线过、， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， ∴顶点为，对称轴为直线． 26．如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是2个单位，连接、、，设点P、Q的运动时间为． (1)当　　　　　时，四边形为菱形； (2)是否存在某一时刻使得．如果存在，请求出值；如果不存在，请说明理由； (3)在运动过程中，沿将翻折，翻折后点D的对应点恰好落在线段上（端点除外）．请求出此时的值． 【答案】(1)； (2)解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； (3) 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （2）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，根据勾股定理列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （3）根据折叠的性质得到，，进而得到，根据等角对等边得到，过点作于，在中，由勾股定理：，求解后舍去不合要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴， 解得， 故当时，四边形为菱形； （2）略 （3）解：如图， ∵沿将翻折，翻折后点D的对应点恰好落在线段上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于， 同（2）可知，． 在中，由勾股定理：， ∴ 解得（此时与重合，是端点，舍去），． 学科网（北京）股份有限公司 $【查漏补缺】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 2027中考新题型结构 （时间：120分钟满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教版九年级第25章~第27章 5.难度系数：0.65。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.用配方法解方程x2-6x+4=0,下列变形正确的是() A.(x-3)}2=5 B.(x-3}=13 C.(x+3)}2=5 D.(x-6)}=32 2.下列方程中，是一元二次方程的是() A.x+2=4 B.x+2y=1 D.x2-3x=0 3.关于x的方程x2-4x-m=0有两个不相等实数根，则实数m的取值范围是() A.m≤4 B.m<4 C.m≥-4 D.m>-4 y=x2 4.将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线解析式为() A,y=(x+2)}2-3 B.y=(x+2)2+3 c.y=(x-2}-3 D.y=(x-2)}2+3 5下列与抛物线=-3r+2x-4 形状相同的抛物线是() A.y=-2x2+1 B y=2x2 Cy=-3x2 D.y=-4x2-1 6.对于抛物线'=-5(-1+3 的图象，下列判断正确的是() （-1,3) A.抛物线开口向上 B.抛物线的顶点坐标是 C.对称轴是直线x=1 D.当x>1时，y随x增大而增大 k 7.如图，在平面直角坐标系中，己知点4-2，)、B3,3),若反比例函数y=x(k≠0)的图象经过4B 的中点，则k的值为() A.1 B.-2 C.3 D.-4 8己知反比例函数y=1-m x，当x>0时，y随x增大而减小，则的取值范围是() A.m>1 B.m<1 C.m≥1 D.m≤1 9.二次函数)=r+2++2与轴交于1(.0)、B(.0)两点，且+号=8，则k=（) 3 B.2 3 3 A.2 C.2或2 D.-2或 10.若函数”的图象上存在点卫，函数”的图象上存在点Q,且P、Q关于y轴对称，则称函数”和”具 乃=2x+3 有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”.下列结论：①函数 与函数 y2=-x+1 不具有“对偶关系”：②西数”=2x+ 与函数为x+1 的“对偶值”为1；③函数 片=2x+3与函数4=具有“对偶关系”：④若1是函数片=c+3与函数步=的“对偶值”，则k=2. 其中正确的是() A.①④ B.②③ C.①③④ D.②③④ 第二部分（非选择题共120分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1,1 11.若，是一元二次方程x2-3x-5=0的两个根，则的值为一· 12.已知a、b是一元二次方程x2+3x-4=0的两根，则a+b= 13.若抛物线经过2，”和6川，则该抛物线的对称轴为直线x= 14.当2≤x≤3时，函数'=--2x+3 大值与最小值之差为 15.二次函数'=-(x-2-3的顶点坐标是 16.若函数y=(k+3)x+ 是反比例函数，则k的值为 17,如果反比例函数y-k+0)在其图像所在的每个象限内均上升，那么k的取值范周是 18.如图，点A坐标为0,2)】 (a,0) ,点B坐标为 O),点M是正方形ABCD的中心，且点D,M均在反比例函 数图象的同一分支上，则a的值为一 M 三、解答题：本题共8小题，共96分。 19.已知反比例函数y=的图象经过点(-3,2) (1)求y关于x的函数解析式： (2)若点 2,n) 在这个图象上，求”的值 20.解方程： 0-2x+1=0 2r--2=0 21.生活中处处充满着趣味数学，如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所 示的平面直角坐标系，其中BC段可以看成是反比例函数y>0)图象的一段，OD为水面，矩形 AOEB为向上攀爬的梯子，每节梯子高0.6米，宽1米.其中点A、E、D均在坐标轴上，且CD⊥x轴. Ay/m x/m (1)求反比例函数的解析式： (2)求出口点C到BE的距离CF的长 2.在平面直角坐标系0中，已知抛物线=+m+”经过点1-和0，-) (1)求抛物线的表达式： (2)当1<x<1时，关于x的方程x2+mx+n-t=0有实数根，直接写出t的取值范围. 23.某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（(万件)与销 售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100 (①)写出每月的利润L(万元)与销售单价x（元)之间的函数关系式： (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最 大利润？最大利润是多少？ 24.小颖在解方程2x2-8x+3=0时出现了错误，解答过程如下： 解方程： 2x2-8x+3=0 解：2x2-8x=-3① x2-4x=-3 ② x2-4x+4=-3+4 ③ x-2=1④ x-2=±1⑤ x=3x2=1 ⑥ (1)小颖解方程的方法是 (2)小颖的解答过程从第步开始出错，其错误的原因是 (3)请你写出此题正确的解题过程 25。如图，抛物线=++C与*销交于48两点，其中点4的坐标为3,0，与'轴交于点C,点 D(-2,-3) 在抛物线上· B (1)求抛物线的表达式： (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标. 26.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=10,点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时， 点O从点B出发向点C运动，运动到点C即停止.点P、Q的速度都是2个单位s,连接PO、AQ、CP, 设点P、Q的运动时间为t/s. B字Q B产Q 备用图 (1)当t= s时，四边形AQCP为菱形： ②)是否存在某一时刻t使得P巴1C.如果存在，请求出t值；如果不存在，请说明理由； 3)在运动过程中，沿PC将△PDC翻折，翻折后点D的对应点D'恰好落在线段PQ上（端点除外）.请求 出此时的t值.