精品解析：广东省深圳市第二高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026年高二上学期10月月考数学试卷 一、单选题 1. 若直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方向向量计算斜率，结合倾斜角与斜率的关系及倾斜角的取值范围求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，根据倾斜角的定义可知. 已知直线的一个方向向量为，则. 又，可得. 因为，解得. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误； 对于B，假设向量共面，则， 即，无解，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故B正确； 对于C，，因此向量共面，故不能构成基底，故C错误； 对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误； 故选：B. 3. 若斜率为的直线过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由直线的点斜式得： 即. 4. 在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直三棱柱顶点建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由空间向量的数量积求得线线所成角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面， 所以且， 所以如图，以为顶点建立空间直角坐标系， 设， 所以， 所以， 所以， 设与所成角为，则. 5. 直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将直线化为，其与， 则这两条平行直线间的距离为：. 6. 平行六面体中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将分解为，通过向量模长与数量积的运算关系求出的长度. 【详解】在平行六面体中，由空间向量线性运算可得 ， 所以 ， 又，，， ， 因此. 7. 已知直线与平行，则a的值为（ ） A. 1 B. ﹣2 C. D. 1或﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，解之即可得解. 【详解】解：因为直线与平行， 所以，解得. 故选：A. 8. 已知直线：.当点到的距离最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出动直线恒过的定点，当直线与该定点和点的连线垂直时，到直线的距离最大，利用两直线垂直的斜率关系求解. 【详解】将直线的方程整理为关于参数的形式： 令，解得，即直线恒过定点， 当直线时，点到直线的距离最大，最大值为， 因为直线的斜率为，直线的斜率为（）， 所以，由两直线垂直的斜率关系得：，化简解得，验证，符合条件. 所以，. 二、多选题 9. 在四棱锥中，底面是正方形，底面，.取线段的中点，作交于点，则（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的运算，逐一验证各选项的正确性. 【详解】设，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则各点坐标为：，中点， 选项A：连接交于，则为中点，是中位线，故， 又平面，平面，因此平面，A正确； 选项B：设在上，，，设， 所以， 所以，由得， 解得，即，显然不是中点，故，B错误； 选项C：由上述计算知：，，， 显然，， 所以，即， 因为，平面，所以平面，C正确； 选项D：，， 所以，所以，D错误. 10. 已知直线， ，不能围成三角形，则的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可知，三条直线至少存在两条直线平行或三条直线相交于一点，分别求的值. 【详解】（1）当时，，，此时不平行且不重合，故一定能围成三角形，舍去； 当时，， 由题意可知：①时，，即，则； ②时，，即，则； ③，即，则方程无实根. 三条直线交于一点，即，由整理得， 所以，即，， 解得或. 所以. 11. 在三棱锥中，，，则（ ） A. B. 当时，平面平面 C. 当平面平面时，直线与平面所成角为 D. 当二面角为时，点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质证明即可；对于B，根据面面角的定义找出对应的平面角求解即可；对于C，根据面面垂直的性质及线面角的定义求解即可；对于D，根据面面角的定义及等体积法求解即可. 【详解】对于A，过点作的垂线，交的延长线于点，连接. 因为，所以，. 又，，所以. 所以，，即，也即. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以，A正确. 对于B，因为，，平面平面， 所以或其补角即为平面与平面的夹角. 因为，所以. 在中，，则，所以，即， 所以平面平面，B正确. 对于C，因为平面平面，平面平面，， 所以平面，则即为直线与平面所成的角. 因为平面，所以. 由A知，，所以是等腰直角三角形，所以. 故当平面平面时，直线与平面所成角为，C错误. 对于D，由B知，即为二面角的平面角，则. 由A知，，所以是等边三角形，则. 点到平面的距离， ， 所以. 在中，， 所以. 同理可得，，所以是等腰三角形. 取中点，连接，则，， . 设点到平面的距离为， 则，所以. 故当二面角为时，点到平面的距离为，D正确. 三、填空题 12. 已知，.若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的充要条件（两向量数量积为0），列方程求解即可. 【详解】根据空间向量垂直的充要条件：若，则. 将、代入得： ， 解得. 13. 若直线过原点，且，两点到的距离相等，则的方程为___________. 【答案】 或 【解析】 【分析】分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式求解参数，排除不符合题意的情况即可得到直线方程. 【详解】当直线的斜率不存在时，其方程为，此时点到的距离为，点到的距离为，二者不相等，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，整理为一般式得， 由点到直线的距离相等，得 ， 由于，两边同乘得，所以，整理得，即，解得或, 可得直线的方程为即，或即 14. 已知，.若过的直线与线段没有公共点，则的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】辅助图形找到满足条件的临界值即可求出答案. 【详解】如图所示： 设直线与直线的倾斜角分别为与，由题可知满足条件的直线在图中阴影部分区域，则直线的倾斜角的取值范围是 . ，，，. 直线的倾斜角的取值范围是. 四、解答题 15. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过和两点的直线； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）先利用斜率公式求出斜率，再根据点斜式公式计算即可得到直线方程. （2）分两种情况讨论，一种截距不为0，另一种截距为0，进而求出直线方程. 【小问1详解】 易知， 由点斜式公式可得到直线方程为：，即. 【小问2详解】 分两种情况： 若直线经过原点，则直线斜率为：， 由点斜式公式可得到直线方程为：，即； 若直线不经过原点，因为直线在两坐标轴上的截距相等， 所以设直线方程为：， 又直线经过点， 所以有，即， 所以直线方程为：，即. 综上可知：直线方程为或. 16. 如图，正方体的棱长为1，为棱上的动点. （1）若，求到平面的距离； （2）若，求与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面的法向量，结合点到平面的距离公式求解； （2）确定点的坐标，求出平面的法向量，利用向量夹角公式求出线面角的正弦值，进而求得余弦值。 【小问1详解】 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 由题意可知， 因为，所以为的中点，则，所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则，所以 又， 所以点到平面的距离为 【小问2详解】 因为，且在棱上，所以为线段上靠近的三等分点，即， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则，所以， 又，设直线与平面所成角为， 则， 因为， 所以， 即与平面所成角的余弦值为 17. 如图，在三棱锥中，底面，点是棱上的动点（不与端点重合），点是线段的中点，点满足.已知是边长为4的正三角形，且. （1）若是的中点，证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的正弦值为，求. 【答案】（1）取中点，靠近的四分之一点，连接，，如图所示， 因为为中点，所以，且. 因为，所以为的四等分点，所以，且， 所以且，故四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2）或 【解析】 【分析】（1）通过构造平行四边形利用线线平行证明线面平行. （2）通过构造空间直角坐标系利用法向量列出面面夹角余弦公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 可知，，，，设， 因为，为靠近的四等分点， 所以，，，即. 因为，，设平面法向量， 满足，令，可得， 又平面法向量， 因为，所以， 因此， 解得或， 所以或. 18. 已知是平行四边形的对角线的交点，且直线的方程为. （1）若四边形为正方形，求直线的方程； （2）已知直线的方程为. （ⅰ）求的坐标； （ⅱ）求四边形的面积. 【答案】（1）或 （2）（ⅰ）；（ⅱ）8 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及直线垂直设出直线方程，结合点到直线的距离等于点到直线的距离求解即可. （2）（ⅰ）联立直线方程求出点坐标，根据中点坐标公式求解即可. （ⅱ）设，，根据中点坐标公式及点在直线上求出，坐标，结合点到直线的距离公式、两点间距离公式及平行四边形面积公式求解即可. 【小问1详解】 直线的方程为，则. 因为四边形为正方形，所以，则， 可设直线的方程为. 因为是正方形的对角线的交点，所以点到直线的距离等于点到直线的距离， 即，整理得，解得或. 经验证，均符合题意. 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 （ⅰ）联立，解得，所以. 因为是平行四边形的对角线的交点，所以点是对角线、的中点. 设，则，解得. 故的坐标为. （ⅱ）设，， 因为点是对角线的中点，所以，，即，， 则，. 因为点在直线上，所以，即，整理得. 因为点在直线上，所以. 联立，解得，即，所以. 点到直线的距离. ， 所以. 故四边形的面积为8. 19. 在正三棱锥中，，与平面所成角的正切值为. （1）求三棱锥的表面积； （2）若三棱锥满足：和关于平面对称，和关于平面对称，和关于平面对称，和关于平面对称. （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）求三棱锥与三棱锥公共部分的体积. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先求出底面正三角形的边长，得到该三棱锥为棱长为6的正四面体，从而求出表面积； （2）（ⅰ）取棱的中点为，连接，， ， 依题意可得是二面角的平面角，在中，由余弦定理求解；（ⅱ）三棱锥 的四个顶点分别被对应的平行面截去一个小三棱锥，且这些小三棱锥互不重叠，因此公共部分等于三棱锥减去四个被截掉的小三棱锥（分别对应被 的四个面截去的四个角）. 【小问1详解】 设底面正的中心为，连接、，正三棱锥中平面，故就是与平面所成的角， 因为与平面所成角的正切值为，，故，得， 在中，，由勾股定理，，即，得，故， 底面正三角形中心是重心，设底面边长为，底面正三角形的高为，则，所以得， 所以， 侧面，，底边，故是边长为 6 的正三角形，从而正三棱锥为棱长为6的正四面体， 所以三棱锥的表面积为； 【小问2详解】 （ⅰ）以底面中心为原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得 ，，，， 由和关于平面对称，得， 由和关于平面对称，设正的中心为，则是的中点， 设，可得，得，所以， 由和关于平面对称，设正的中心为，则是的中点， 设，可得，得，所以， 由和关于平面对称.，设正的中心为，则是的中点， 设，可得，得，所以 取棱的中点为，连接，， ， 依题意可得，，所以是二面角的平面角， ，计算得，，， 在中，由余弦定理得， 所以二面角的余弦值是； (ii) 正四面体的 棱长为 6，体积为 ， 由，，，， 得，，， 又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离是，点到平面的距离是，点到平面的距离是， 由（1），所以点，，到平面的距离都为，且均在平面同侧， 故平面平面，且正四面体被平面截去的小三棱锥的高为， 因为小三棱锥也是正四面体，，所以该小三棱锥的体积为， 同理正四面体被平面、平面、平面截去的小正四面体体积均为， 所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二上学期10月月考数学试卷 一、单选题 1. 若直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 若斜率为的直线过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 平行六面体中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与平行，则a的值为（ ） A. 1 B. ﹣2 C. D. 1或﹣2 8. 已知直线：.当点到的距离最大时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在四棱锥中，底面是正方形，底面，.取线段的中点，作交于点，则（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 10. 已知直线， ，不能围成三角形，则的取值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 在三棱锥中，，，则（ ） A. B. 当时，平面平面 C. 当平面平面时，直线与平面所成角为 D. 当二面角为时，点到平面的距离为 三、填空题 12. 已知，.若，则___________. 13. 若直线过原点，且，两点到的距离相等，则的方程为___________. 14. 已知，.若过的直线与线段没有公共点，则的倾斜角的取值范围是___________. 四、解答题 15. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过和两点的直线； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线. 16. 如图，正方体的棱长为1，为棱上的动点. （1）若，求到平面的距离； （2）若，求与平面所成角的余弦值. 17. 如图，在三棱锥中，底面，点是棱上的动点（不与端点重合），点是线段的中点，点满足.已知是边长为4的正三角形，且. （1）若是的中点，证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的正弦值为，求. 18. 已知是平行四边形的对角线的交点，且直线的方程为. （1）若四边形为正方形，求直线的方程； （2）已知直线的方程为. （ⅰ）求的坐标； （ⅱ）求四边形的面积. 19. 在正三棱锥中，，与平面所成角的正切值为. （1）求三棱锥的表面积； （2）若三棱锥满足：和关于平面对称，和关于平面对称，和关于平面对称，和关于平面对称. （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）求三棱锥与三棱锥公共部分的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $