精品解析：广东江门市 蓬江区 江门第二中学2026-2027学年度第一学期第一阶段综合练习 九年级数学

2026-2027学年度第一学期第一阶段综合练习 九年级数学 满分120分，考试时间120分钟 一、单选题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 下列函数中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A：自变量的最高次是，是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意； 选项B：整理可得：，其中自变量的最高次数是，是二次函数，故B选项符合题意； 选项C：中未限定，当时不是二次函数，故C选项不符合题意； 选项D中：含分式，不是整式函数，不是二次函数，故D选项不符合题意． 3. 二次函数图象的对称轴是（） A. 直线 B. 直线 C. y轴 D. x轴 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴二次函数图象的对称轴是直线． 4. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 随着的增大而减小 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【详解】解：由得，将代入解析式，得，故A正确； 函数图象在第一、三象限，故B正确； 该函数仅在每个象限内随的增大而减小，并非对任意都成立，故C错误； 当时，随的增大而减小，且时，故，D正确． 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数不为与根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 6. 某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题中所给的总共发送短信条，直接列出符合题意的一元二次方程． 【详解】解：设参加培训的有人，每人需向其余人各发一条短信，总短信条数为条，由题意得． 7. 已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算出、、，再比较大小即可． 【详解】解：将各点横坐标代入，得，，， ∴． 8. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 9. 如图，将在平面内绕点旋转到的位置，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，再结合等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】解：由旋转得，， ． 10. 如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点．点为直线上一点，且横坐标为，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设平移后点对应点的纵坐标为，则的取值范围为（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数与坐标轴交点求解，图形的平移规律，线段与抛物线的位置关系，根据一元二次方程根的情况求解一元二次方程的系数． 首先得到直线和抛物线与坐标轴的交点坐标，根据点的坐标和线段的平移规律，分线段向上和向下两种情况讨论，得到线段与抛物线有唯一交点时点对应点的纵坐标的取值范围． 【详解】解：∵点为直线上一点，且横坐标为， ∴点的纵坐标， ∴点的坐标为， ∵直线和抛物线与轴和轴均交于，两点， ∴解方程，得：， 此时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当线段沿轴向上平移时， 当时，抛物线， ∴当线段交抛物线于点时， ∴此时点的坐标由平移到，相当于向上平移了个单位长度， ∴此时点的坐标为点向上平移个单位长度，即此时点的坐标为， ∴当点对应点的纵坐标的取值范围为时，线段与抛物线有唯一交点， 当线段沿轴向下平移时，设线段所在直线的表达式为， ∵当抛物线和直线有唯一交点时， ∴列方程为，即有唯一解时， 此时，解得：， ∴此时线段所在直线的表达式为， ∴此时线段与轴交点坐标为，即， ∴当的取值范围为或时，线段与抛物线有唯一交点． 故选：． 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标规律，横纵坐标均互为原坐标的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，关于原点对称的点的横、纵坐标分别是原横、纵坐标的相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 12. 若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的函数解析式为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律可得答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线的函数解析式为． 13. 已知方程的一个根为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ 将代入原方程得 计算整理得 解得． 14. 如图，把绕点C逆时针旋转得到，若，，则的长为____． 【答案】12 【解析】 【分析】利用旋转的性质，对应边相等且旋转角为，结合已知的长度，可求出的长度，进而可求出的长，因为和是旋转的对应边，所以，即可得到的长度． 【详解】根据旋转的性质得：，，， ∵， ∴； 又∵， ∴． ∵， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】将分别代入反比例函数和一次函数解析式可得，，将所求代数式通分变形后代入计算，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 已知，，当为何值时， 【答案】或 【解析】 【分析】根据列出一元二次方程，整理后因式分解求解即可． 【详解】解：由，得，  移项整理，得， 因式分解，得，  ∴或， ∴或． 17. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）将向右平移个单位长度，得到，在图中画出平移后的； （2）作关于坐标原点成中心对称的； （3）在（1）（2）的条件下，写出的坐标________；的坐标________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如上图，即为所求； （3）； 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由坐标系可得，的坐标为；的坐标为． 18. 已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标． 【答案】抛物线解析式为，抛物线得顶点坐标为 【解析】 【分析】待定系数法求出抛物线的解析式，再化为顶点式，写出顶点坐标即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得：， 所以抛物线解析式为， 而， 所以抛物线的顶点坐标为． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】（1）这三天票房的平均增长率为； （2）扛标旗单价上涨了2元或5元． 【解析】 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 20. 【生活情境】 为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池进行扩建，原池长，宽（如图①）．改造后形成调蓄池（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为的防洪滞洪池（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力． 【建立模型】 设调蓄池1的边扩建长度为，扩建后蓄水面积为，则；设滞洪池的边长为，滞洪面积为，则．两函数图像如图③． 【问题解决】 （1）若滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，则的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为______； （2）当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求的取值范围； （3）在范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应的值． 【答案】（1）；9 （2）或 （3）时，面积差的最大值为 【解析】 【分析】（1）依据函数图像和函数解析式，利用 二次函数的性质解答即可； （2）依据图像，利用数形结合法解答即可； （3）在范围内，求得两个水池面积差的解析式，利用二次函数性质解答即可． 【小问1详解】 解：， ， 抛物线的开口方向向下，当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小， ， 当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，滞洪池的最大调洪容量为； 【小问2详解】 解：由图像得，两函数交于点，， 所以，表示两个水池面积相等的点是，， 联立方程组 解得：，， ，， 由图像知：图像中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值， 当或时调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积； 【小问3详解】 解：在范围内，由图像知滞洪池的滞洪面积大于调蓄池1的蓄水面积， 两个水池面积差， ， 函数有最大值， 当时，函数有最大值，为， 当时，面积差的最大值为． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式； （2）直线交轴于点，用割补法求出的面积； （3）根据函数图象找到不等式的解集． 【小问1详解】 解：反比例函数过， 可得：， 解得：， 反比例解析式为， 将代入， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 一次函数过、， 可得：， ， 一次函数解析式：； 【小问2详解】 解：当时，, 直线交轴于点， ， 答：的面积为； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当或时，变形为， 不等式的解集为或． 五、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22. 在中，，点D在边上，连接，将绕点B逆时针旋转（），得线段． （1）如图1，若，连接，求证：； （2）如图2，若，连接，作的中线，用等式表示线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵将绕点B逆时针旋转得线段， ，， 又， ， ，即， 在和中， ， ≌， ， 又， ； （2）解：，证明如下： 如图，延长使，连接， 是的中线， ， 是的中位线， ， 将绕点B逆时针旋转得线段， ，， ，即， 又， ， ，即， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明≌，再由全等三角形的性质证明即可； （2）延长使，则是的中位线，那么，然后证明≌，则，即可证明； （3）分两种情况讨论，在左侧时，以及在右侧时，利用（2）的辅助线，分类讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：情况一：当在左侧时，设与的交点为G，过B点作于H点． ，， ， 又，， ，， 设，则，则，解得（负值舍）， ， ， ， ∵， ，由（2）知≌， ， ，， ，， ，， ， ， ， ∵是的中位线， ∴， ， ， ， ， ，， 由（2）知； 情况二：当在右侧时，延长使，连接， 同理可得， ∴， 同上有， ∴， 同上可得， ∴，， 则， ， 是中点， ， 综上，或． 23. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． （1）若，求证：； （2）若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求k的值． 【答案】（1）证明：∵点在反比例函数的图象上， ， ， ， 将代入，得， 又， ， ， ，即． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于的性质，结合已知条件推导即可证明结论． （2）①根据点在反比例函数上得到坐标关系，求出交点的坐标后计算和的长度和即可； ②利用全等三角形得到点的坐标，结合点在反比例函数上和三角形面积的条件，逐步推导计算得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：∵，点在上， ， ， ， 如图，交点的坐标为，即， ， ． ②解：如图，过点作，垂足为， 由题意得 ，交点， ，， ∵， ，且， ， 在和中， ， ， 点坐标为 ∵在上， ， 整理得：， ，是等腰直角三角形， ，即， ， 整理得：， ， 将代入， 得，整理得， 联立，得， ∵， ∴， 即， 解得， 代入，得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一阶段综合练习 九年级数学 满分120分，考试时间120分钟 一、单选题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 下列函数中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数图象的对称轴是（） A. 直线 B. 直线 C. y轴 D. x轴 4. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 随着的增大而减小 D. 当时， 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 6. 某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将在平面内绕点旋转到的位置，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点．点为直线上一点，且横坐标为，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设平移后点对应点的纵坐标为，则的取值范围为（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 12. 若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的函数解析式为_____________________． 13. 已知方程的一个根为，则的值为__________． 14. 如图，把绕点C逆时针旋转得到，若，，则的长为____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为________． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 已知，，当为何值时， 17. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）将向右平移个单位长度，得到，在图中画出平移后的； （2）作关于坐标原点成中心对称的； （3）在（1）（2）的条件下，写出的坐标________；的坐标________． 18. 已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 20. 【生活情境】 为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池进行扩建，原池长，宽（如图①）．改造后形成调蓄池（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为的防洪滞洪池（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力． 【建立模型】 设调蓄池1的边扩建长度为，扩建后蓄水面积为，则；设滞洪池的边长为，滞洪面积为，则．两函数图像如图③． 【问题解决】 （1）若滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，则的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为______； （2）当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求的取值范围； （3）在范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应的值． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 五、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22. 在中，，点D在边上，连接，将绕点B逆时针旋转（），得线段． （1）如图1，若，连接，求证：； （2）如图2，若，连接，作的中线，用等式表示线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． （1）若，求证：； （2）若，，过点作直线平行于轴、过点作直线平行于轴，两直线交于点， ①当时，求的值； ②连接，过点作交反比例函数图象于另一点，当时，的面积为8，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $