精品解析：广东深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学　2026-2027学年第一学期 九年级数学学情测试（10月 ）

2026－2027学年第一学期数学学情测试 一、选择题（每题3分，共24分．） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，已知直线，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是矩形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 菱形的对角线相等 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 4. 第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，深圳承办了青年组足球比赛．若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在三角形纸片中，．剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为，高度为，书架长为，则的长（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点O，点E在延长线上，与相交于点F．若，，则菱形的面积为（ ） A. 95 B. 96 C. 97 D. 98 8. 如图，E为正方形中边上的一点，且，，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（ ） A. 8 B. 8 C. 8 D. 12 二、填空题（每题3分，共15分．） 9. 若，则____________． 10. 关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________． 11. 小提琴的设计蕴含着黄金分割的美学智慧．如图，线段表示一把小提琴的长度，点为线段的黄金分割点．若，则的长为______．（结果保留根号） 12. 教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵数的实际高度为______． 13. 在等腰直角三角形中，，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与点B、C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为__________． 三、解答题（共7小题） 14. 选择合适的方法解下列一元二次方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点．（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）仅用无刻度直尺做出的中线，保留作图痕迹． 16. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法．               （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______； （3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 17. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则　　　． 18. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 19. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． （1）判断下列方程一定是“友好方程”有_______个 ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“友好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，存在实数，使得始终在函数的图象上，求出的值； 20. 综合与实践 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图，在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“射影点”． 初步感知 （1）如图，在中，，于点，则点______（填“是”或“不是”）中边上的“射影点”． 尝试探究 （2）如图，已知在四边形中，对角线交于点，，若点是中边上的“射影点”，求证：． 迁移应用 （3）如图，在矩形中，为边上一动点，连接交对角线于点，当点恰好是中边上的“射影点”时． ①求证：点也是中边上的“射影点”． ②若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期数学学情测试 一、选择题（每题3分，共24分．） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是依据一元二次方程的定义，对每个选项进行分析判断． 根据一元二次方程“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程”这一概念，逐一分析选项． 【详解】A、方程中含有和两个未知数，不满足一元二次方程只含有一个未知数的条件，所以该方程不是一元二次方程； B、方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，同时它也是整式方程，符合一元二次方程的定义，所以该方程是一元二次方程； C、对进行化简，移项可得，即，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程； D、方程，当时，方程变为，此时未知数最高次数是1，不是一元二次方程，只有当时，它才是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程． 故选：B． 2. 如图，已知直线，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可 【详解】、解：∵， ∴，即， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得到是解题的关键． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是矩形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 菱形的对角线相等 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形、正方形、菱形的性质与判定，以及平行四边形的判定定理，逐个判断选项即可得到正确结论. 【详解】解：对各选项逐一分析： A选项：∵对角线互相垂直的四边形不能判定为矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，∴A错误，不符合题意； B选项：∵菱形本身对角线互相垂直平分，增加对角线相等的条件后，满足正方形的判定要求，∴对角线相等的菱形是正方形，B正确，符合题意； C选项：∵菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，∴C错误，不符合题意； D选项：∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，只有一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，∴D错误，不符合题意. 4. 第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，深圳承办了青年组足球比赛．若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 5. 在三角形纸片中，．剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题需依据相似三角形的判定定理，对每个选项中涂色三角形与的边、角关系逐一分析，判断是否满足相似条件． 【详解】选项A中， 则． 涂色三角形与： ，； ，． 边的比例：，， 即． 又是与的公共角， 可得， 即选项A中涂色三角形与相似． 选项B中，，则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 但与并非对应夹角，不满足相似判定条件， 故选项B不相似． 选项C中，， 则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 边的比例不相等，且无对应相等的角， 故选项C不相似． 选项D中，， 则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 边的比例不相等，且无对应相等的角， 故选项D不相似． 故选A 【点睛】本题核心是运用相似三角形的判定定理（重点为“两边对应成比例且夹角相等”），通过分析各选项中涂色三角形与的边比例、角的关系，确定相似性．解题关键在于准确识别对应边、对应角，并验证比例与角度条件． 6. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为，高度为，书架长为，则的长（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，根据题意得出，，，证明，根据相似三角形的性质得到，再利用勾股定理求出即可求解，熟练掌握相似三角形的判定和性质并根据比例关系求值是解题的关键． 【详解】解：由题知，，，， ∵∠，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 故选：． 7. 如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点O，点E在延长线上，与相交于点F．若，，则菱形的面积为（ ） A. 95 B. 96 C. 97 D. 98 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点M，连接，由菱形的性质得出，，，，，，得出是的中位线，，由中位线的性质得出，由平行线的性质得出，进而求出，由角的关系以及三角形外角的定义和性质进一步得出，根据等角对等边得出，求出，利用勾股定理求出，，最后根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：取的中点M，连接， ∵四边形是边长为10的菱形， ∴，，，，，， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得到， ∴， ∴菱形ABCD的面积． 8. 如图，E为正方形中边上的一点，且，，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（ ） A. 8 B. 8 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理可求的长，由“”可证，可得，通过证明四边形是平行四边形，可得，由，可得当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为，由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点D作，交于点H，过点E作，过点M作，直线交于点G，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形以及得到最小值为是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分．） 9. 若，则____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题将原分式拆成同分母的两个分式的差，再代入计算． 【详解】解：． 10. 关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的定义和根的情况，掌握一元二次方程的定义和根的个数与判别式的关系是解决此题的关键，根据一元二次方程的条件和根的情况列不等式即可． 【详解】解：根据题意：且， 解得：且， 故答案为：且． 11. 小提琴的设计蕴含着黄金分割的美学智慧．如图，线段表示一把小提琴的长度，点为线段的黄金分割点．若，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割点分成的两线段和原线段之间关系是解决问题的关键，根据黄金分割点的概念得到，即可求解． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点． ， ∴ 故答案为：． 12. 教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵数的实际高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据同一时刻物高与影长成比例求出落在地上的影长对应的树的高度，再加上落在墙上的影长就是树的高度． 【详解】解：因为同一时刻物高与影长成比例， 所以：， 即：， 解得落在地上的影长对应的树的高， 所以树的高度为：． 13. 在等腰直角三角形中，，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与点B、C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为__________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等知识，先证明，得到，然后分当时，当时，两种情况分类讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示， 由题意得：， ∵，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴，即， 如图2所示，当时， ∴， ∴； 如图3所示，当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，当为等腰三角形时，的长为2或． 故答案为：2或． 三、解答题（共7小题） 14. 选择合适的方法解下列一元二次方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （3）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可； （4）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； 【小问1详解】 解： ， ， 解得：； 【小问2详解】 解： ， ， ， ∴； 【小问3详解】 解：， ， 则， ∴； 【小问4详解】 解：， ， ， 则或， 所以． 15. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点．（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）仅用无刻度直尺做出的中线，保留作图痕迹． 【答案】（1） 即为所求： （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】（1）分别找到点A、B、C关于轴对称的对应点，顺次连接即可； （2）根据点的坐标为与点的坐标为，可知与位似比为2，分别找到的对应点，顺次连接即可； （3）利用矩形的性质得到线段的中点，连接即可； 此题考查了位似的作图、轴对称的作图、平行四边形性质的应用，熟练掌握作图方法，找到对应点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 16. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法．               （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______； （3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【答案】（1）11.3 （2）11.2 （3）旗杆的高度约为11.4米 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质， （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可； （3）过点D作，垂足为点H，交于点G，可知四边形，四边形和四边形都是矩形，求得对应边长，进一步证明，结合可求得，即有． 【小问1详解】 解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶11.3； 【小问2详解】 解： 由反射定律可知， 又， ∴， ∴，即， 解得， 则旗杆高度为11.2米 故答案为∶11.2； 【小问3详解】 解：如图，过点D作，垂足为点H，交于点G， 由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 17. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则　　　． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，进而得到，推出，证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，得到，，再利用勾股定理，求出，进而得到，最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ∴在中， ∴， ∵，O为中点， ∴。 18. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低元 【解析】 【分析】（1）根据9月、11月销售量及月平均增长率相同的条件，列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取对应解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元． 19. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． （1）判断下列方程一定是“友好方程”有_______个 ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“友好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，存在实数，使得始终在函数的图象上，求出的值； 【答案】（1）2 （2） ①证明：， ， 此方程一定是“友好方程”； ②的值为1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【小问1详解】 ①，，故符合题意； ②，，故不符合题意； ③，，故符合题意； 故答案为：2； 【小问2详解】 ①略 ②，， ，， 始终在函数的图象上， ， 即， ， ， 即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1． 20. 综合与实践 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图，在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“射影点”． 初步感知 （1）如图，在中，，于点，则点______（填“是”或“不是”）中边上的“射影点”． 尝试探究 （2）如图，已知在四边形中，对角线交于点，，若点是中边上的“射影点”，求证：． 迁移应用 （3）如图，在矩形中，为边上一动点，连接交对角线于点，当点恰好是中边上的“射影点”时． ①求证：点也是中边上的“射影点”． ②若，直接写出的长． 【答案】（1）是 （2）证明见解析 （3）①证明见解析；②或 【解析】 【分析】（）证明，可得，再根据“射影点”的定义即可判断求解； （）根据“射影点”的定义可得 ，又由得到，即得到，即可求证； （）①根据“射影点”的定义可得，又由可得，即得到，进而即可求证；②利用矩形的性质和勾股定理可得，过点作，垂足为，利用三角形的面积得 ，得到 ，设，则， ，由 ，可得，即得，解方程得到或，再利用解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是中边上的“射影点”， 故答案为：是； 【小问2详解】 证明：∵点是中边上的“射影点”， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①证明：∵点是中边上的“射影点”， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴点也是中边上的“射影点”； ②∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 由①知，， 又∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴或， ∴解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $