精品解析：山西省晋城市第一中学校2025-2026学年高一上学期第四次调研考试数学试题

晋城一中高一年级第四次调研考试 数学试题 本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分为150分，考试时间为120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得集合，求函数的定义域得集合，再求即可. 【详解】由得， 函数有意义满足，即， 解得：， 所以， 故选：D 2. 小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 弧长 C. 扇形的周长为 D. 扇形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧度制与角度制的互化判断A；根据弧长公式判断B：根据扇形的周长和面积公式判断C和D. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：扇形的周长为，C正确； 对于D：扇形的面积为，D错误； 故选：D 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过函数值的正负可判断函数的图象. 【详解】因为，故当时，， 而当，，结合各选项中的图象可得C是正确的， 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般通过函数的奇偶性、单调性和函数值的符号等来判断，本题属于基础题. 4. 设函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意化简，即可计算得到结果. 【详解】， ， ， ∵， ∴， 故选：A. 5. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分离常数后整理化简转化为求的最小值，由,利用“乘1法”转换变形后，利用基本不等式可得. 【详解】由正实数，满足，所以，. ， 当且仅当，结合已知求解得当，时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：C. 6. 在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于a的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（ ） A. B. e C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合同构方程的定义可得，构造函数，由单调性可得即可求解. 【详解】对的两边同时取自然对数，得①． 对的两边同时取自然对数，得，即②． 因为方程①②为同构方程，所以，解得． 设，则，所以在上单调递增， 所以方程的解只有一个，所以，所以． 故选:A． 【点睛】关键点点睛：对和两边同时取对数，根据同构方程得以及单调性得. 7. 已知函数的定义域为，且满足，且，如果对任意的、，都有，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，并由可得出函数在上为减函数，再由，可得出，再由函数在上的单调性可得出，解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数、，且. 令，可得，且，解得. 令，则，，. . 设，则，由，得. 所以，函数在上为减函数，由，可得. 所以，即，解得. 因此，不等式的解集为. 故选B. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（ ） A. 最大值 B. 最小值. C. 最小值 D. 最大值 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出函数是上的奇函数且单调递增，将原不等式形为恒成立，再令，判断出为R上奇函数，且单调递增，从而可得不等式恒成立，最后令，将问题转化为恒成立，结合及二次函数的性质，求出的最小值，即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以函数是上的奇函数， 又因为， 因为在R上单调递增，所以在R上单调递减， 所以在R上单调递增， 又因为 ， 所以不等式恒成立， 即不等式恒成立， 令， 则， 所以为R上奇函数， 又因为在R上均单调递增，所以在R上单调递增， 所以不等式恒成立， 即不等式恒成立， 令，即有恒成立， 即，所以恒成立， 所以恒成立， 因为，所以， 所以，当时，等号成立， 所以，所以实数有最大值. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明，我们知道，任何一个正实数N可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（ ） 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000 真数x 11 12 13 14 15 16 17 （近似值） A. 在区间内 B. 若，则 C. 是15位数 D. 若是一个35位正整数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对数运算法则对选项一一判断即可． 【详解】对A    ，令， 所以，A正确； 对B，令， 又因为，所以 则，所以，B正确； 对C，令， 所以，则是16位数， C错； 对D    ，令，，因为是一个35位正整数， 所以，则，即， 所以，D正确； 故选：ABD 10. 已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合图象分析可知，且可判断A；根据对数函数性质结合基本不等式可判断B；根据指数函数性质结合基本不等式可判断C；设，则方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析可判断D. 【详解】令，则， 可知函数的零点即为函数与图象的交点的横坐标， 如图，作出函数的图象， 则， 对于A，由函数有四个零点知，函数与的图象有四个交点， 所以，故A正确； 对于B，因为，即， 且，则， 可得， 即，整理得， 即，解得， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，即， 且，则，， 可得， 整理得， 即，所以， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故C正确； 对于D，方程，即， 令，则，注意到， ①若，则方程无实根，即方程无实根， 故方程无实根； ②若，则方程有个不相等的实根和， 且有个不相等的实根； 有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ③若， 则方程有个不相等的实根， 且无实根； 有个不相等的实根； 或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ④若， 则方程有个不相等的实根， 且无实根；或或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ⑤若，则方程有个不相等的实根， 且无实根；或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； 综上所述：方程最多有个不同的实根，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法： （1）转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解； （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解. 11. 已知函数的定义域为，区间，若存在非零常数，使得对任意，，都有，则称函数是区间上的“衰减函数”.下列说法正确的有（ ） A. 函数是上的“衰减函数” B. 若函数是上的“衰减函数”，则的最大值为1 C. 已知函数为偶函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最大值为 D. 已知函数为奇函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据新定义验证判断A，根据新定义转化为恒成立求得的范围得最大值判断B，作出函数的图象，再向左平移1个单位得的图象，根据新定义，在区间上，的图象在图象的下方，由此分别根据特殊点确定的范围判断CD． 【详解】选项A，定义域是，，时，， ，即，满足，A正确； 选项B，，是上的“衰减函数”，在上是减函数，在上是增函数， ，则， ，即，， 时，恒成立，而，所以，即的最大值是2，B错； 选项C，是偶函数，当时，，作出的大致图象，如图， 把它向左平移1个单位得的图象， 是上的“衰减函数”，则在区间上的图象在图象的下方，原点必须平移到点左侧， 因此，解得，的最大值是，C正确； 选项D，函数为奇函数，且当时，， 作出的大致图象，如图， 把它向左平移1个单位得的图象， 是上的“衰减函数”，则在区间上的图象在图象的下方， 原点平移到点，该点不能在左侧， 图中点所在上的表达式为，在上表达式为, 由得，点横坐标不大于， 因此有，解得，即的最小值是，D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：本题考查生的创新意识，理解新定义并能应用是解题关键，在函数较为复杂的选项CD中，作出函数图象，再进行图象平移，由新定义转化图象的关系得出参数范围． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】若两个函数的图象关于直线对称，那么这两个函数互为反函数，而的反函数为，由题意得，从而求得． 【详解】由于，解得，故它的反函数为. 再由函数的图像与的图像关于直线对称， 可得是函数的反函数，故， 所以． 故答案为． 【点睛】本题主要考查求反函数的步骤和方法，函数与反函数的图像间的关系，属于基础题． 13. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】由，判断函数值的变化情况，作出函数的图象，再确定所在的区间，求出临界点即可求出结果． 【详解】当,时，函数在上递增，在上递减， 所以， 由得到，可得当图象向右平移2个单位时， 最大值变为原来的倍，最大值不断变小， 由得到，可得当图象向左平移2个单位时， 最大值变为原来的2倍，最大值不断变大， 当,时，， 当,时，， 设,，,，， 即， 由，解得或， 根据题意，当时，恒成立， 故答案为：． 14. 设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 幂函数为偶函数，. （1）求的解析式； （2）若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可； （2）由题意得对于恒成立，再分类讨论，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为幂函数为偶函数， ∴，解得或， 当时，，定义域为， ，所以为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为， ，所以为奇函数，不合题意， 综上， 【小问2详解】 因为， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 当时，得恒成立，则； 当时，得， ，当且仅当时等号成立，故， 当时，得， ， 当且仅当时等号成立，故， 综上，. 16. 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间（单位：小时）满足，．经测算，当时，候车厅处于满厅状态，满厅人数5320人，当时，候车人数相对于满厅状态时会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为4120人，记候车厅候车人数为． （1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数； （2）若为了解决旅客的安全饮水问题，需要提供的免费矿泉水瓶数，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少？ 【答案】（1）；4360人 （2）时，需要提供的矿泉水瓶数最少 【解析】 【分析】（1）根据题意求得的值，将的表达式写成分段函数的形式，然后即可得到的值. （2）由题意得到的表达式，然后结合基本不等式即可求得最值. 【小问1详解】 当时，设，，解得． 所以． ， 故当天中午12点时，候车厅候车人数为4360人． 【小问2详解】 ， ①当时，，当且仅当时等号成立； ②当时，； 又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少． 17. 已知为偶函数，为奇函数，且满足．（） （1）求，的解析式； （2）令函数，求函数的值域； （3）存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）拿换，然后利用奇偶性可以得到关于的方程，解方程可得答案； （2）化简的解析式，利用指数函数的值域可得答案； （3）化简，换元，转化成一个一元二次不等式恒成立问题，分离参数可得答案. 【小问1详解】 由，可得，     因为为偶函数，为奇函数，所以， 联立方程组， 解得，． 【小问2详解】 由（1） 　，∴为奇函数 　当时，，， 　因为为奇函数，所以，当时， 　所以，函数的值域为 【小问3详解】 由（1）知，， 　因为，所以，　 可得， 　所以，即，     　设，     则，即， 当时，则，不合题意； 当时，则，设，则只需， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 综上可得，实数的取值范围为． 18. 已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求的值； （3）令，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）1013 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意计算得到，即可求得，由二次函数的性质求得函数在区间上的值域； （2）由题意计算得到，即可求得为定值，然后分组求和得到结果； （3）函数在上的值域，再令，整理函数，令后整理等式得到的表达式，然后利用双勾函数的性质求得的取值范围. 【小问1详解】 ，， ∴， ∴函数是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴函数在区间上单调递增， ∴，即. 【小问2详解】 ， 则， 则， ∴ . 【小问3详解】 ∵函数在上单调递增， ∴当时，， 令，则， 令，则， ∵，当且仅当，即时取等号， ∴函数在上单调递减，在单调递增， ，，且， ∴. 19. 设函数的定义域为，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为．例如，若函数满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为1． （1）求函数，在上的增长系数； （2）若3和4都是函数在上的增长系数，求的取值范围； （3）若函数，在上的增长系数仅为，求的最小值及此时的取值范围． 【答案】（1）在上的增长系数为1；在上的增长系数为2； （2）； （3）的最小值为5；. 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义求解即可； （2）令，根据增长系数的定义得到，根据不等式求解即可； （3）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义得到，进而得到，根据不等式有解且求解即可. 【小问1详解】 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为1； 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为2； 【小问2详解】 ， 因为，令，则， 因为3和4都是函数在上的增长系数， 所以， 所以，即，整理得， 因为，所以，所以； 【小问3详解】 令，易知函数在上单调递增， 又在单调递增， 根据复合函数的单调性知函数在上单调递增， ，， 则， 因为函数在上的增长系数仅为， 所以， 则，即， 故， 由题设可得存在唯一的正整数， 且， 所以，解得，故，即的最小值为5， 此时且，即， 所以的最小值为5，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋城一中高一年级第四次调研考试 数学试题 本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分为150分，考试时间为120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 弧长 C. 扇形的周长为 D. 扇形的面积为 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 设函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于a的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（ ） A. B. e C. D. 1 7. 已知函数的定义域为，且满足，且，如果对任意的、，都有，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（ ） A. 最大值 B. 最小值. C. 最小值 D. 最大值 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明，我们知道，任何一个正实数N可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（ ） 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000 真数x 11 12 13 14 15 16 17 （近似值） A. 在区间内 B. 若，则 C. 是15位数 D. 若是一个35位正整数，则 10. 已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 11. 已知函数的定义域为，区间，若存在非零常数，使得对任意，，都有，则称函数是区间上的“衰减函数”.下列说法正确的有（ ） A. 函数是上的“衰减函数” B. 若函数是上的“衰减函数”，则的最大值为1 C. 已知函数为偶函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最大值为 D. 已知函数为奇函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则___________． 13. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是_____ 14. 设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 幂函数为偶函数，. （1）求的解析式； （2）若对于恒成立，求的取值范围. 16. 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间（单位：小时）满足，．经测算，当时，候车厅处于满厅状态，满厅人数5320人，当时，候车人数相对于满厅状态时会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为4120人，记候车厅候车人数为． （1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数； （2）若为了解决旅客的安全饮水问题，需要提供的免费矿泉水瓶数，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少？ 17. 已知为偶函数，为奇函数，且满足．（） （1）求，的解析式； （2）令函数，求函数的值域； （3）存在，使得不等式成立，求的取值范围． 18. 已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求的值； （3）令，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 19. 设函数的定义域为，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为．例如，若函数满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为1． （1）求函数，在上的增长系数； （2）若3和4都是函数在上的增长系数，求的取值范围； （3）若函数，在上的增长系数仅为，求的最小值及此时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $