6.3 角（第4课时）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第6章　几何图形初步 6.3 角（第4课时） 余角和补角 数学新教材人教版　七年级上册 新知讲授 三角尺中的角度关系 观察 30°与60°的和是90°，45°与45°的和也是90°。这样的两个角有共同的数量关系。 进一步思考 若两个角的和为180°，又能建立什么关系？本课研究两种角的配对与性质。 新知讲授 余角 概念 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角。 理解 互余是两个角之间的关系，不能脱离另一个角只说“某角是余角”。 新知讲授 求一个角的余角 关系式 若α与β互余，则α+β=90°，所以β=90°−α。 举例 35°的余角为55°，20°30′的余角为69°30′。普通正角范围内，有余角的角必须是锐角。 例题讲解 示例 一个角为42°，它的余角是多少？ 答：48°。 两角互余，和为90°。 90°−42°=48°。 两角互余，和为90°。 新知讲授 互余不要求相邻 数量关系 两个角即使不共顶点、不共边，只要度数和为90°，就互为余角。 图形理解 把两个角挪到一起，是帮助观察和计算的方式，不是互余的必要位置条件。 新知讲授 补角 概念 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角。 理解 互补同样是两个角之间的数量关系。两个角不必共顶点或共边。 新知讲授 求一个角的补角 关系式 若α与β互补，则α+β=180°，所以β=180°−α。 举例 锐角的补角是钝角，直角的补角仍是直角，钝角的补角是锐角。 例题讲解 示例 一个角为128°，它的补角是多少？ 答：52°。 互补两角的和为180°。 180°−128°=52°。 互补两角的和为180°。 方法归纳 余角和补角辨析 共同点 ① 都是两个角之间的数量关系。 ② 不要求相邻，不要求共顶点。 区别 ① 余角用90°减，补角用180°减。 ② 同一个锐角的补角比余角大90°。 例题讲解 示例 两个相等的角互为余角，每个角是多少度？ 答：45°。 设每个角为x°，则2x=90。 解得x=45。 设每个角为x°，则2x=90。 例题讲解 示例 两个相等的角互为补角，每个角是多少度？ 答：90°。 设每个角为x°，则2x=180。 解得x=90，所以都是直角。 设每个角为x°，则2x=180。 新知讲授 同角的余角相等 推导 若∠1与∠2、∠3都互余，则∠2=90°−∠1，∠3=90°−∠1。 结论 两式右边相同，所以∠2=∠3。把同一个数从90°中减去，所得结果相同。 新知讲授 余角的性质 概念 同角（等角）的余角相等。 理解 “同角”指同一个角，“等角”指大小相等的两个角。比较两个角时，可以寻找它们共同的余角。 新知讲授 等角的余角也相等 条件 若∠A=∠B，且∠C与∠A互余，∠D与∠B互余。 推理 ∠C=90°−∠A，∠D=90°−∠B。因∠A=∠B，所以∠C=∠D。 新知讲授 补角的性质 概念 同角（等角）的补角相等。 理解 证明时把两个补角分别写成180°减去同一个角或两个相等的角，即可得到相等。 例题讲解 示例 ∠1与∠2互补，∠1与∠3也互补，比较∠2与∠3。 答：∠2=∠3。 两角都是∠1的补角。 同角的补角相等。 两角都是∠1的补角。 例题讲解 例4 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC。图中哪些角互为余角？ O A B C D E 答：∠COD与∠COE互余。 ∠AOC+∠BOC=180°。 ∠COD+∠COE等于这两个角和的一半，即90°。 ∠AOC+∠BOC=180°。 例题讲解 例4 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC。图中哪些角互为余角？ O A B C D E 答：∠COD与∠COE；∠AOD与∠BOE；∠AOD与∠COE；∠COD与∠BOE。 平分线给出∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE。 从左侧相等两角和右侧相等两角中各选一个，其和都是90°。 平分线给出∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE。 例题讲解 例4 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC。图中哪些角互为余角？ O A B C D E 答：∠DOE=90°。 ∠DOE=∠DOC+∠COE。 二者互余，所以两条平分线成直角。 ∠DOE=∠DOC+∠COE。 方法归纳 证明角相等或互余 先找总角 ① 直角提供90°，平角提供180°。 ② 平分线把相应总角除以2。 再用性质 ① 同角或等角的余角相等。 ② 同角或等角的补角相等。 课堂练习 练习 图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ （1） 答：10°与80°；30°与60°。 逐个寻找与已知角相加等于90°的角。 （2） 答：10°与170°；30°与150°；60°与120°；80°与100°。 逐个寻找与已知角相加等于180°的角。 依据题目条件，逐项给出判断和理由。 课堂练习 练习 一个角是70°39′，求它的余角和补角。 （1） 余角 （2） 补角 （1） 答：19°21′。 89°60′−70°39′=19°21′。 （2） 答：109°21′。 179°60′−70°39′=109°21′。 依据题目条件，逐项给出判断和理由。 课堂练习 练习 ∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？ 答：45°。 设∠α=x°，其补角是3x°。 x+3x=180，解得x=45。 依据题目条件，逐项给出判断和理由。 课堂练习 练习 如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？ 答：把一面墙的方向反向延长，在墙外测出与∠AOB互补的角，再用180°减去所测角。 延长OA经过O到C，使A、O、C共线。 在墙外量∠COB，所求∠AOB=180°−∠COB。 依据题目条件，逐项给出判断和理由。 例题讲解 示例 A、O、C共线，OA与OB沿两面墙，墙外可测得∠COB=65°，求墙内∠AOB。 O A C B 答：115°。 ∠AOB与∠COB组成平角。 180°−65°=115°。 ∠AOB与∠COB组成平角。 课堂练习 练习 一个角的补角是150°，这个角的余角是多少度？ 答：60°。 原角=180°−150°=30°。 原角的余角=90°−30°=60°。 依据题目条件，逐项给出判断和理由。 课堂练习 习题 如图，∠AOC=∠BOD=90°。比较∠AOB与∠COD的大小，并说明理由。 O A B C D 答：∠AOB=∠COD。 ∠AOB与∠BOC互余，∠COD与∠BOC也互余。 同角的余角相等。 ∠AOB与∠BOC互余，∠COD与∠BOC也互余。 例题讲解 示例 一个角的补角一定比这个角大吗？ 答：不一定。 原角小于90°时，补角较大。 原角等于90°时相等，大于90°时补角较小。 原角小于90°时，补角较大。 例题讲解 示例 一个锐角和一个钝角一定互补吗？请举例。 答：不一定。例如30°与100°的和为130°。 互补必须满足和为180°。 仅凭一锐一钝不能确定度数和。 互补必须满足和为180°。 课堂总结 余角和补角 余角 两角和为90° 补角 两角和为180° 性质 同角或等角的余角、补角相等 应用 平分、列方程、墙外测角 针对训练 训练 25°与65°、40°与50°、60°与40°三组中，哪些互余？ 答：前两组。 计算每组角的和。 90°、90°、100°，只有和为90°的互余。 计算每组角的和。 针对训练 训练 一个角为137°，它的补角是____。 答：43°。 用180°减去原角。 180°−137°=43°。 用180°减去原角。 针对训练 训练 判断并说明理由。 （1） 互余的两个正角都是锐角。 正确 两角均小于90°。 （2） 互补的两个角必须相邻。 错误 定义只规定度数和。 （3） 两个直角互补。 正确 90°+90°=180°。 （4） 同角的余角相等。 正确 均为90°减同一个角。 互余、互补先看和，性质先找共同角。 针对训练 训练 求48°25′的余角和补角。 答：余角41°35′，补角131°35′。 分别用90°、180°减原角。 都先借1度化为60分再相减。 分别用90°、180°减原角。 针对训练 训练 一个角的余角是它的2倍，求这个角。 答：30°。 设原角为x°，其余角为2x°。 x+2x=90，解得x=30。 设原角为x°，其余角为2x°。 针对训练 训练 一个角的补角比它大40°，求这个角。 答：70°。 设原角x°，补角为(x+40)°。 x+x+40=180，得x=70。 设原角x°，补角为(x+40)°。 针对训练 训练 ∠A=∠B，∠C与∠A互补，∠D与∠B互补，证明∠C=∠D。 答：等角的补角相等。 ∠C=180°−∠A，∠D=180°−∠B。 把∠A=∠B代入，得到两者相等。 ∠C=180°−∠A，∠D=180°−∠B。 针对训练 训练 A、O、B共线，OC在上方，OD、OE分别平分∠AOC与∠BOC，求∠DOE。 O A B C D E 答：90°。 两原角的和为180°。 两半角的和为180°的一半，即90°。 两原角的和为180°。 针对训练 训练 围墙内部不便进入，在墙外测得原夹角的补角为72°30′。原夹角是多少？ 答：107°30′。 先建立互补关系。 180°−72°30′=107°30′。 先建立互补关系。 针对训练 训练 一根斜撑与水平地面的夹角为58°，墙面与地面垂直。斜撑与墙面的较小夹角是多少？ O A B C 答：32°。 墙与地面构成90°，斜撑把它分成两角。 90°−58°=32°。 墙与地面构成90°，斜撑把它分成两角。 方法归纳 本课方法总结 数量关系建模 ① 互余写和为90°，互补写和为180°。 ② 倍数与差的关系可用一元一次方程求解。 图形关系推理 ① 从直角、平角和平分线提取条件。 ② 比较两角时寻找共同的余角或补角。 $