6.3 角 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件系统涵盖角的概念、比较、平分线及余角补角等核心知识，通过图片找角、三角尺操作等导入方式，从静态到动态定义，从度量到叠合比较，构建层层递进的学习支架。 其亮点在于以动态定义培养几何直观（数学眼光），通过叠合法和性质推理训练推理意识（数学思维），结合方位角实例与符号语言强化应用意识（数学语言）。实例剖析与能力训练结合，助力学生理解抽象概念，也为教师提供清晰教学路径。

角 模块一： 角的概念 与线段一样，角也是一种基本的几何图形，你能从下面的图片中找到角的形象吗？ 　　你能总结出角的定义吗？ 顶点 射线 射线 边 边 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ——角的静态定义 公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的边。 用三个大写字母表示： ∠AOB 或∠BOA 或∠O 用一个小写希腊字母加弧线表示: ∠a 用一个数字加弧线表示： ∠1 角的表示方法 角用符号“∠”来表示. 想一想：如图，能把∠a记作∠O 吗？为什么？∠a还可以怎样表示呢？ O C B A 　　不能； 　　理由：唯有在顶点处只有一个角的情况，才可只用顶点的一个字母来表示这个角；否则分不清这个字母究竟表示哪个角． ∠AOB 角：也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． ——角的动态定义 O A B 顶点 射线 O A B 思考：如图，射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？ 继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？ (B) 　　平角：当射线OA绕O点旋转，当终止位置OB与起始位置OA在一条直线上时，形成平角； 　　周角：当射线OA绕O点旋转，当终止位置OB与起始位置OA重合时，形成周角． 　　仔细观察下面的动图，你有什么发现？ 归 纳 1．平角和周角都是“角”，而不是“线”．因此，不能说“一条直线就是平角”，也不能说“一条射线就是周角” ． 2．平角的一半是直角，1直角＝90°，通常在直角的顶点处加上“ ”或“　”标志． 我们常用量角器量角. 度、分、秒是常用的角的度量单位. 角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的. 1周角＝360° 1平角＝180° 1直角＝90° 1° ＝60 ′ 1 ′ ＝60 ′′ 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°； 把1度的角60等分，每一份叫做1分 的角，记作1′； 把１分的角60等分， 每一份叫做1秒的角， 记作1′′ 想一想：借助三角尺，我们能直接画出哪些度数的特殊角？ 45º 45º 90º 90º 30º 60º 想一想：如何借助量角器来度量角的度数呢？ A O B 36° 用量角器度量角的方法: 1．对中——角的顶点对准量角器的中心； 2．重合——角的一边与量角器的零线重合； 3．读数——读出角的另一边所对的度数． 借助量角器 ， 可以画出任何给定度数的角. ∠α 的度数是48度56分37秒， 记作：∠α＝48°56′37 ′′ 角度制：以度 、 分 、 秒为单位的角的度量制 ， 叫做角度制. 弧度制 密位制 除量角器外，工程测量中，还常用经纬仪来测量角的大小 最早明确使用角度制的文字记载于希腊学者托勒密（Ptolemaeus， 约90—168）的 《天文学大成》。托勒密在书中将圆周分为360等份，将１份记为1°，并采用古巴比伦的六十进制，定义出度、分、秒，这样便形成了角度制。 例1：如图，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60º的方向上。同时，在它北偏东40º、南偏西10º、西北(即北偏西45º)方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D。仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线。 在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，如“北偏东30°” “南偏西25°”． 1.判断下面各角的表示方法是否正确. A B C A B C A B C A B C A B C ∠ACB ∠B ∠ABC ∠CAB ∠A （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） × × × √ √ 2. 下面表示∠DEF的图是( ) E D E F （A） E D F （B） D E F （C） D E F （D） C 3．学校里的荷花池在升旗台的南偏东25°方向200米处．下面（ ）图符合这句话的描述。 A． B． C． D． C 4.如图，写出这四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数： 解：(1)30°　(2)0°　(3)120°　(4)90° 5.请你把图中用数字表示的角改为用字母表示的角． 解：∠1＝∠BAC，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∠4＝∠DAC． 定义 静态定义 动态定义 表示方法 方位角 度、分、秒 平角与周角 角度制 角 模块二： 角的比较 　　1．角的定义： 　　静态定义：有___________的___________组成的图形叫做角，这个公共端点是角的_______，这两条射线是角的_________． 　　动态定义：角也可以看作由___________绕着它的___________而形成的图形． 公共端点 两条射线 顶点 两条边 一条射线 端点旋转 　　2．角度制： 　　以_____________为单位的角的度量制，叫做角度制．　　 　　1 周角＝______°，1 平角＝______°，1 直角＝______°， 　　1°＝______′，1′＝______″． 度、分、秒 360 180 60 60 3.如何比较两条线段的大小？ 度量法 叠合法 90 思考1：我们已经知道了比较两条线段长短的方法，那么如何比较两个角的大小呢？ 度量法 30 50 ∠AOB ∠AOB 叠合法 ∠AOB ∠AOB ∠AOB ∠AOB ∠AOB ∠AOB 思考1：我们已经知道了比较两条线段长短的方法，那么如何比较两个角的大小呢？ 叠合法比较两个角的大小 （1）将两个角的顶点及其中一条边重合． （2）使两个角的另一边落在重合一边的同侧． （3）根据两个角的另一边的位置关系确定两个角的大小． 试一试：判断下图中∠ABC 与∠DEF 的大小关系． A C B D F E ∠ABC＝∠DEF 你有什么发现？ 　　角的大小与角的两边画出部分的长度无关，只与角的两边张开的大小有关． 图中共3个角，分别是∠AOB，∠BOC 和∠AOC 思考2：如图所示，图中共有几个角？类比两条线段的和与差，你能结合图说明什么是两个角的和与差吗？ ∠BOC是 ∠AOC与∠AOB的差， 即：∠BOC＝∠AOC－∠AOB. ∠AOC是∠AOB与 ∠BOC的和， 即：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC， ∠AOB是 ∠AOC与∠BOC的差， 即：∠AOB＝∠AOC－∠BOC， 探究：参考下图，借 助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出哪些度数的角？ 15 75 105 120 135 150 165 180 30 45 60 90 规律：这些角都是15角的倍数. 1．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 B 2．将用度、分、秒表示，正确的是（    ） A． B． C． D． C 解： 3．如图，点O在直线AB上，若∠AOD＝150°，∠BOC＝60°，求∠COD的度数． 解：∵∠AOD＝150°，∠BOC＝60°， ∴∠COD＝∠AOD＋∠BOC﹣∠AOB ＝150°＋60°﹣180° ＝30°． 4．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点，则 ． 解：由题意得：， ∵， ， ∴ ． 5．定义：我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”． (1)如图，写出的共边角； (2)与是一组“共边角”，共中，直接写出非公共边的两边所夹的角的度数； 解：（1）的共边角为或； （2）当在的内部时，如图所示： ； 当在的外部时，如图所示： ， 综上所述，非公共边的两边所夹的角的度数为或 角的比较与运算 角的和、差运算 角的比较 度量法 叠合法 模块三： 角的平分线 　　1．角的比较： 　 （1）__________； 　 （2）__________． 　　2．角的和、差： 　　∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和，记作_______________________； 　　∠AOB 是∠AOC 与∠BOC 的差，记作_______________________； 　　类似地，∠AOC－∠AOB＝_______． ∠AOB＝∠AOC－∠BOC ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC 度量法 叠合法 ∠BOC A C B O 3．点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 MB，点 M 叫做线段 AB 的_______． AM＝MB＝AB 中点 类似地，还有线段的三等分点、四等分点等。 AM＝MN＝NB＝ AB AM＝MN＝NP＝PB＝AB 思考1：我们知道，线段的中点把线段分成两条相等的线段。类似地，在下图中，如果∠AOB=∠BOC，那么射线OB把∠ AOC分成两个相等的角。你能梳理射线OB的特证，尝试给射线OB起一个适当的名称吗？ 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。 位于∠AOC的内部（端点O除外） 并且将∠AOC分成两个相等的角 符号语言： ∵OB是∠AOC的平分线 ∴ ∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC (或∠AOB＝∠BOC ＝ ∠AOC) 反之也成立： ∵ ∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC (或∠AOB＝∠BOC＝ ∠AOC) ∴OB是∠AOC的平分线 ∠AOC＝2∠AOB＝2_______ ∠AOB＝∠BOC ＝ _______ OB是∠AOC的平分线 ∠BOC ∠AOC 思考2：我们通过角平分线可以把这个角分成两个相等的角，那么能不能这个角三等分呢？ OB是∠AOC的平分线 OB、OC是∠AOD的三等分线 ∠AOB＝∠BOC ＝ ∠AOC ∠AOB＝∠BOC ＝∠COD ＝ ∠AOD 　　例1：如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD 是∠AOC 的角平分线，求∠BOD 的度数． 　　解：因为∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，　　 　　所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC 　　　　　　　＝90°－60°＝30°． 　　因为 OD 是∠AOC 的角平分线， 　　所以∠DOC＝∠AOC＝×30°＝15°， 　　所以∠BOD＝∠DOC＋∠BOC＝15°＋60°＝75°． A C B O D 例2：把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到分）? 解：360º÷7＝51º+3º÷7 ＝51º+180′÷7 ≈51º26′ 答：每份是51º26′. 分析：度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分。 　角度的四则运算 运算 法则 加法运算 先同级相加，再对分、秒进行化简 减法运算 从低位算起，若同级不够减，则向上一位借1作60 乘法运算 当一个角度与一个正整数相乘时，先用正整数分别与度、分、秒相乘，再把所得的积相加后化简 除法运算 当一个角度与一个正整数相除时，从高位算起，余数乘60化为下一级再运算 1.如图，OP是∠AOB的平分线，则下列说法错误的是（　　） A．∠AOB＝2∠AOP B．∠AOP＝∠AOB C．∠AOB＝∠BOP D．∠AOP＝∠BOP C 2.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB,若∠COB=35°,则∠AOD等于多少度？ A B O D C 解：∵OC是∠DOB的角平分线，且∠COB=35° ∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70° 又∵∠AOB是平角 ∴∠AOD=∠AOB－∠BOD =180°－70° =110° 3.计算311º÷8，结果用度分秒表示。 解：311º÷8=38º+7º÷8 =38º+420′÷8 =38º+52′+4′÷8 =38º+52′+240′′÷8 =38º52′30′′ 4.如图，∠AOB＝90º，OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，若∠EOC＝60º，∠AOC＝___， ∠AOE＝____， ∠EOD＝____． 45º 15º 15º 5．如图，点O在直线上，已知，且射线平分，，求的度数． 解：∵， ∴，即， ∵射线平分， ∴，则， ∵， ∴， ∴． 角的比较与运算 角度的四则运算 角的平分线 定义 表示方法 模块四： 余角和补角 想一想：在一副三角尺中，除了直角，其他两个角的和有什么特点？ 45°+45°=90° 30°+60°=90° 观察：下图中∠1 与∠2的和是多少？∠3 与∠4的和呢？ 1 2 3 4 ∠1＋∠2＝90° ∠3＋∠4＝180° 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角 ，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角。 符号语言： ∵∠1+∠2=90º ∴∠1与∠2互为余角 反之： ∵∠1与∠2互为余角 ∴∠1+∠2=90º 如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角。 符号语言： ∵∠3+∠4=180º ∴∠3与∠4互为补角 反之： ∵∠3与∠4互为补角 ∴∠3+∠4=180º 思考1：∠1与∠2，∠3都互为余角，∠2与∠3的大小有什么关系？ 猜想： ∠2＝∠3 理由如下： ∵∠1与∠2, ∠3都互为余角， ∴∠2＝90º－∠1， ∠3＝90º－∠1， ∴∠2＝∠3. 同角的余角相等. 2 1 3 思考2：∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？ 猜想： ∠2＝∠4 理由如下： ∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余， ∴∠2＝90º－∠1，∠4＝90º－∠3， ∵∠1＝∠3 ∴∠2＝∠4. 等角的余角相等. 2 1 4 3 余角的性质： 同角（等角）的余角相等. 符号语言： ∵∠1+∠2=90º，∠1+∠3=90º ∴∠2=∠3 或 ∵∠1+∠2=90º，∠3+∠4=90º ∠1=∠3 ∴∠2=∠4 2 1 3 2 1 4 3 思考3：类似地，与同一个角互补的两个角的大小有什么关系？ 相等 已知：∠1 与∠2，∠3 都互为补角，求证：∠2 =∠3 2 1 3 证明：∵∠1与∠2, ∠3都互为补角， ∴∠2＝180º－∠1， ∠3＝180º－∠1， ∴∠2＝∠3. 同角的补角相等. 补角的性质： 同角（等角）的补角相等. 符号语言： ∵∠1+∠2=180º，∠1+∠3=180º ∴∠2=∠3 或 ∵∠1+∠2=180º，∠3+∠4=180º ∠1=∠3 ∴∠2=∠4 2 1 3 2 1 4 3 例1：如图，A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？ 分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角。 例2：如图，A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：∵A，O，B在同一直线上, ∴∠AOC和∠BOC互为补角. 又∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC ∴ ∠COD 和∠COE互为余角， 同理， ∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE ，∠COD 和∠BOE 也互为余角. （1）互余、互补都是指两个角的数量关系，与位置无关。 （2）余角、补角是成对出现的，单独的一个角、三个或三个以上的角之间不能说互余或互补。 例如，当∠1＋∠2＋∠3＝90°时，不能说∠1，∠2，∠3 互余。 1.填空 （1）若∠1与∠2互余，则∠1＋∠2=______. （2）∠1=180º－∠2,则∠1与∠2的关系为___________. 90° 互为补角 2.如图，直线AB与CD相交于O点，∠EOB＝90°，则图中∠EOD与∠2的关系是( ) A.互补 B.互余 C.相等 D.无法确定 B 　3.如果一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角． 解：设这个角为x，则它的补角为180°－x， 　　它的余角为90°－x．于是就有 　　180°－x=3（90°－ x）． 　　解得：x=45°． 答：这个角的度数是45°． 4.如图，直线a、b相交，若∠1 = 40°，求 ∠2的度数. 解：由补角的定义， ∠1 = 40°可得 ∠2 = 180°－∠1， = 180°－ 40° = 140°. 1 2 3 4 b a 5.如图，是直线上一点，平分，．若． (1)求的度数；(2)图中互为余角的角有_______对． 解：（1）∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=150°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠COD=∠BOC=75°， ∵∠COE=90°， ∴∠DOE=90°-75°=15°. (2)互为余角的角有： ∠AOC和∠BOE，∠COD 和∠DOE，∠BOD和∠DOE 3 余角和补角 补角 余角 定义 性质 定义 性质 $