6.3 角（第3课时）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第6章　几何图形初步 6.3 角（第3课时） 角的平分线与角度乘除 数学新教材人教版　七年级上册 新知讲授 从线段中点到角平分线 类比线段 线段的中点把一条线段分成两条相等线段，得到一半与二倍的关系。 角的等分 从一个角的顶点作射线，也可以把角分成相等的两部分。等分对象变为角。 新知讲授 等分角的探究 观察 OB在∠AOC内部，并且∠AOB=∠BOC。两部分相等，每一部分是原角的一半。 等式 有，。 O A B C 新知讲授 角的平分线 概念 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。 理解 三个要点：从顶点出发、位于角内、分成两个相等的角。角平分线是一条射线。 新知讲授 角平分线的表示 图形语言 OB是∠AOC的平分线，意味着OB在角内，且两部分∠AOB与∠BOC相等。 数量语言 。计算时把文字条件先改写成等式。 O A B C 例题讲解 示例 OB平分∠AOC，∠AOC=84°，求∠AOB和∠BOC。 O A B C 答：两角均为42°。 平分线将整体分成相等两部分。 84°÷2=42°。 平分线将整体分成相等两部分。 例题讲解 示例 OB平分∠AOC，∠AOB=28°，求∠AOC。 O A B C 答：56°。 另一半∠BOC也等于28°。 整体角为2×28°=56°。 另一半∠BOC也等于28°。 例题讲解 示例 一条射线把角分成30°和40°两部分，它是角平分线吗？ 答：不是。 比较分成的两个角是否相等。 30°不等于40°，不满足平分条件。 比较分成的两个角是否相等。 新知讲授 折纸作角平分线 折叠要求 在半透明纸上画角，让角的两边完全重合，使顶点保持在同一位置。 折痕意义 折痕把两边之间的区域对折为相同两部分。从顶点沿折痕画射线即得平分线。 例题讲解 探究 把∠PQR的两边QP、QR折叠重合，折痕经过Q。为什么沿折痕的射线平分这个角？ 答：折叠后折痕两侧的角重合，所以大小相等。 折痕经过角的顶点。 两边重合保证两部分角相等，满足定义。 折痕经过角的顶点。 方法归纳 平分线条件的转化 从文字到等式 ① “平分”可写成两个小角相等。 ② 每个小角等于整体的一半。 从等式到结论 ① 还要确认射线从顶点出发且在角内。 ② 不能仅凭看起来居中就判定平分。 新知讲授 三等分线 图形特征 从角的顶点出发的两条内部射线，把角分成三个相等的角。 数量关系 若OB、OC为∠AOD的三等分线，则三个小角各为。 O A B C D 例题讲解 示例 OB、OC依次为∠AOD的三等分线，∠AOD=120°，求∠AOC。 O A B C D 答：80°。 每份为120°÷3=40°。 ∠AOC包含两份，所以为80°。 每份为120°÷3=40°。 新知讲授 角度乘法 计算方法 度、分、秒各自乘同一个数，再把满60的部分逐级进位。 例如 。分与秒的进率始终为60。 例题讲解 示例 计算。 答：。 分别乘4，得96°72′。 72′=1°12′，所以结果97°12′。 分别乘4，得96°72′。 新知讲授 角度除法 逐级处理 先除度数，把不能整除的余数化为分后继续除。若仍有余数，可化为秒。 精确程度 题目要求精确到分时，要看分以下的小数或秒数进行四舍五入，不能直接截断。 例题讲解 示例 计算。 答：。 95÷2=47余1，余下1°化成60′。 60′÷2=30′，合写47°30′。 95÷2=47余1，余下1°化成60′。 例题讲解 例3 把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？ 答：约。 360÷7=51余3，余下3°=180′。 180′÷7≈25.714′，四舍五入为26′。 360÷7=51余3，余下3°=180′。 例题讲解 示例 把周角7等分得每份约51°26′，为什么不是51°25′？ 答：余下180′÷7≈25.714′，取最接近的整分为26′。 精确到分需要四舍五入。 保留25分是直接舍去小数，不符合要求。 精确到分需要四舍五入。 例题讲解 示例 每份约51°26′，7份相加为何比360°多2′？ 答：每一份都经过四舍五入，近似误差累积。 51°26′×7=360°2′。 原精确结果的7倍为360°，近似值只作近似使用。 51°26′×7=360°2′。 方法归纳 角度乘除归纳 乘法 ① 度分秒分别相乘。 ② 秒满60进1分，分满60进1度。 除法 ① 整数度的余数化为分继续除。 ② 最后一步再按要求取近似值。 课堂练习 练习 把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份？ （1） 等分成8份 （2） 每份15° （1） 答：45°。 每份圆心角为360°÷8=45°。 （2） 答：24份。 份数为360°÷15°=24。 依据题目条件，逐项给出判断和理由。 课堂练习 练习 O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD=31°28′。求∠AOD的度数。 O A B C D 答：58°32′。 ∠AOC=180°÷2=90°。 D在∠AOC内部，所以∠AOD=90°−31°28′=58°32′。 依据题目条件，逐项给出判断和理由。 课堂练习 练习 计算：（1）21°17′×5；（2）180°÷11（精确到分）。 （1） 答：106°25′。 先得105°85′，进位为106°25′。 （2） 答：约16°22′。 180÷11=16余4，240′÷11≈21.818′，约22′。 依据题目条件，逐项给出判断和理由。 课堂练习 练习 如图，∠COD=35°，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC。求∠AOB的度数。 O A B C D 答：140°。 OD平分∠AOC，所以∠AOC=2×35°=70°。 OC平分∠AOB，所以∠AOB=2×70°=140°。 依据题目条件，逐项给出判断和理由。 例题讲解 示例 OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC。若∠AOB=100°，求∠DOE。 O A B C D E 答：50°。 ∠DOE=∠DOC+∠COE。 它等于∠AOC和∠BOC之和的一半，即100°÷2。 ∠DOE=∠DOC+∠COE。 例题讲解 示例 OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC。∠DOE与∠AOB有何关系？ O A B C D E 答：。 把DOE拆成DOC与COE。 分别用对应大角的一半代替，再合并成AOB的一半。 把DOE拆成DOC与COE。 新知讲授 等分的逆向思考 由角求份数 已知一个周角和每份角度时，用总角度除以每份角度求份数。 由份数求角 已知总角和份数时，用总角除以份数。先弄清未知量是角度还是份数。 课堂练习 习题 一个齿轮有24个齿，每相邻两齿中心线夹角相等，这个夹角是多少度？22个齿时是多少度（精确到分）？ 答：24齿时15°；22齿时约16°22′。 相邻夹角之和为360°。 360°÷24=15°，360°÷22约16°22′。 相邻夹角之和为360°。 例题讲解 示例 一条射线平分直角，所得每个角是多少？将其中一个再平分，所得每个小角是多少？ 答：45°；22°30′。 90°÷2=45°。 45°÷2=22°30′，余1度化成60分后除2。 90°÷2=45°。 数学活动 活动2 仿照步骤画五角星：（1）任意画圆；（2）以圆心为顶点，连续画72°的角，与圆交于五点；（3）连接每隔一点的两个点；（4）擦去多余线。说明画法道理，并思考还有什么画法。 （1） 答：360°÷5=72°，五个点把圆周等分为五份。 连接每隔一点的点，形成对称的五角星。 五个相等圆心角围满一周，连接顺序决定星形。 数学活动 活动2 仿照步骤画五角星：（1）任意画圆；（2）以圆心为顶点，连续画72°的角，与圆交于五点；（3）连接每隔一点的两个点；（4）擦去多余线。说明画法道理，并思考还有什么画法。 （2） 答：可用折纸把纸折成相应五等分的扇形，再沿剪线剪开。 展开后得到五个方向相同规律排列的星角。 五个相等圆心角围满一周，连接顺序决定星形。 数学活动 活动2 类似地能画出六角星吗？通过折纸制作五角星，沿不同的∠α剪开，得到的形状相同吗？哪种更美观？在星形上着色，还能设计什么图案？ （1） 答：把圆周六等分，连接隔一点的三点得到两个三角形，叠成六角星。 相邻圆心角为360°÷6=60°。 角度变化影响形状，方案需用实际图形进行比较。 数学活动 活动2 类似地能画出六角星吗？通过折纸制作五角星，沿不同的∠α剪开，得到的形状相同吗？哪种更美观？在星形上着色，还能设计什么图案？ （2） 答：剪线角度改变尖角和凹入程度，形状通常不同；美观没有唯一答案。各星角按同样规律着色，可形成旋转对称图案。 记录不同剪角及对应图形，用具体结构说明自己的选择。 角度变化影响形状，方案需用实际图形进行比较。 课堂总结 角的平分与乘除 定义 顶点出发，分成两个相等角的射线 关系 一半与二倍 乘除 60进位与余数换单位 精度 最后一步按要求四舍五入 针对训练 训练 角的平分线是一条直线、射线还是线段？ 答：射线。 从角的顶点出发。 沿一个方向延伸，符合射线的特点。 从角的顶点出发。 针对训练 训练 OC平分∠AOB，∠AOB=76°，则∠AOC=____。 答：38°。 一半角等于整体除以2。 76°÷2=38°。 一半角等于整体除以2。 针对训练 训练 判断并说明理由。 （1） 角平分线一定经过顶点。 正确 定义要求从顶点出发。 （2） 看起来居中的射线一定是平分线。 错误 需要两部分相等的条件。 （3） 平角的平分线把平角分成两个直角。 正确 180°÷2=90°。 （4） 。 正确 120′等于2°。 用定义判断几何条件，用60进率检查计算。 针对训练 训练 计算。 答：50°6′。 先得到48°126′。 126′=2°6′，结果50°6′。 先得到48°126′。 针对训练 训练 计算。 答：25°36′。 128÷5=25余3。 余3°=180′，180′÷5=36′。 128÷5=25余3。 针对训练 训练 把平角13等分，每份约多少度（精确到分）？ 答：约13°51′。 180÷13=13余11。 660′÷13≈50.769′，约51′。 180÷13=13余11。 针对训练 训练 OC平分∠AOB，∠AOB=110°。OD在∠AOC内部，∠AOD=20°，求∠DOC。 O A B C D 答：35°。 ∠AOC=55°。 ∠DOC=55°−20°=35°。 ∠AOC=55°。 针对训练 训练 OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，∠AOD=18°，求∠AOB。 O A B C D 答：72°。 ∠AOC=2×18°=36°。 ∠AOB=2×36°=72°。 ∠AOC=2×18°=36°。 针对训练 训练 扇形装饰的圆心角为150°，等分成4块，每块的圆心角是多少？ 答：37°30′。 角度等分，计算150°÷4。 余下2°化为120′，再除以4得30′。 角度等分，计算150°÷4。 针对训练 训练 展示转台一周等距设置11个停靠位置，相邻两个位置的转角是多少（精确到分）？ 答：约32°44′。 相邻转角的总和是一周360°。 360÷11=32余8，480′÷11≈43.636′，约44′。 相邻转角的总和是一周360°。 方法归纳 本课方法总结 平分条件的运用 ① 先写出两小角相等或为整体一半。 ② 连续平分逐层使用二倍关系。 乘除与近似 ① 剩余度数化成分继续计算。 ② 只在最后一步按指定单位取近似值。 $