精品解析：广东佛山市顺德区2026-2027学年九年级上学期第一次学情诊断数学试题

2026学年第一学期九年级第一次学情诊断 数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的学校、姓名、座位号和考号，并用2B铅笔把考号对应的标号涂黑． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 2. 如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意； B、，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不符合题意； C、，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不符合题意； 综上，故选C． 3. 方程配方结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：移项得， 两边同时加，得， 整理得. 4. 若菱形的两条对角线长分别为和，则菱形的周长为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求边长，再计算周长． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为和， ∴对角线互相垂直平分，两条对角线的一半长为和， ∴菱形的边长为， ∴菱形的周长为． 5. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得. 6. 已知代数式的取值如下所示，由表中数据可得，关于的一元二次方程的解是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】将方程变形为，结合表格数据求解． 【详解】解：∵， ∴. 由表格数据得，当时，；当时，， ∴方程的解为，． 7. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，与相交于点，则为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形和等边三角形性质证，求出，再利用三角形外角性质求解.  【详解】解：四边形是正方形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， 是的外角， . 8. 固态电池被视为下一代动力电池的核心方向．假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵初始能量密度为，每轮平均增长率为， ∴第一轮迭代后能量密度为， ∴第二轮迭代后能量密度为， 又∵两轮迭代后能量密度为， ∴可列方程为. 9. 如图，在矩形中，与交于点，，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形对角线互相平分且相等得出，结合判定为等边三角形，求出长，再利用勾股定理求解. 【详解】解：四边形是矩形. ∴，，. ∴. ∵. ∴是等边三角形. ∴. ∴. 在中，.  10. 如图，在正方形中，，分别是边，上的点，且．与交于点，连接，若，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过证明得出，结合已知角度关系推导出为等腰三角形且，利用相似三角形性质求出与的数量关系，进而计算比值. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∵， ∴. 二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，则有即可求解．此题考查比例的性质，解题关键在于掌握，间的比例关系． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 已知方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，m的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】将x=1代入方程中，得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可求出m的值． 【详解】解：∵方程x2－3x＋m＝0的一个根是1， ∴将x=1代入方程中得到：1²-3×1+m=0， 解得：m=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程方程解得概念，方程的解就是将解代入方程中，等号两边相等即可． 13. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，，则的长为________． 【答案】 8 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴． 14. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____． 【答案】x（x﹣1）=21 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程． 【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x﹣1）=21， 故答案为x（x﹣1）=21． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 15. 如图，在菱形中，，，连接．点是边的中点，连接交于点．点在边上，且．连接，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形性质和求出对角线的长，通过求出和的长，结合已知条件求出，最后作高利用角性质求面积. 【详解】解：连接交于点， 四边形是菱形，， ，，，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， 是的中点， ， ， ， ， ，， ， ，解得， 四边形是菱形， ，平分， ， 过点作于点， 在中，， . 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程：． 【答案】 ，. 【解析】 【详解】解： ∵ ，，  ∴   ∴   ∴ ， 17. 如图，矩形花坛的宽，长．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形．若矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽度相等，求纵向小路的宽度与横向小路的宽度的比值． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似多边形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵相对两条小路的宽度相等， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ， ， ， ∴小路的宽度x与y的比值为． 18. 如图，四边形是平行四边形，点在边上，且． （1）尺规作图：作的平分线交延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接．证明：四边形是菱形． 【答案】（1）如图，为所求作； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作出图形即可； （2）先证明，再证明四边形是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 年一款名为“哇库库（）”的玩偶，凭借其软萌毛绒质感与搞怪、叛逆小野孩气质融合一体的造型，在一众常规“萌系”玩偶中脱颖而出，其平价毛绒盲盒与展会限量大娃拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买哇库库盲盒进行销售．该老板以元/个的成本购进一批哇库库盲盒，现按元/个进行销售，平均每天可销售个．在降价幅度不超过元的情况下，若每个降价元，则平均每天可多售出个． （1）如果平均每天要盈利元，那么每个盲盒的售价应定为多少元？ （2）平均每天盈利可以达到元吗？若可以，求出每个盲盒的售价；若不可以，请说明理由． 【答案】（1） 每个盲盒的售价应定为元 （2） 不可以 设每个盲盒降价元，则单个利润为元，日销售量为个， 若平均每天盈利为元，可列方程. 整理得. ∵， ∴该方程无实数根，即平均每天盈利不能达到元. 【解析】 【分析】（1）根据“单个利润×日销售量=日总利润”的等量关系列一元二次方程，结合降价幅度不超过元的条件舍去不符合题意的解； （2）假设日盈利可达元，列一元二次方程后通过根的判别式判断方程无实数根，从而得出结论. 【小问1详解】 解： 设每个盲盒降价元，单个利润为元，日销售量为个， 根据题意，得 ，  解得，， ∵降价幅度不超过元，即， ∴不符合题意，舍去，  （元）， 答：每个盲盒的售价应定为元. 【小问2详解】 略 20. 换元法是中学数学中重要的解题方法，其核心思想是“化繁为简”，通过引入新变量（元）替换原式中的复杂部分，将复杂问题转化为熟悉的基本题型．例如，解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化成，解得，．当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用换元法解方程：． 【答案】 原方程的解为，. 【解析】 【分析】观察方程左侧两个因式的公共部分，将其设为新变量可将高次方程转化为一元二次方程，求解后回代得到原方程的实数根. 【详解】解： 设， 则原方程化为， 整理得， 解得，， 当时，， 即， 解得，； 当时，， 即， ∵ ， ∴ 此方程无实数根， 综上所述，原方程的解为，. 21. 综合与实践 在矩形纸片中，，，点是边上异于点的一个动点，连接，将矩形纸片沿折叠，顶点落在纸片内的点． （1）【初步感知】如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：； （2）【深入探究】如图2，当点在对角线上时，求的长； （3）【拓展提升】如图3，点在边上，且．点在移动过程中，请直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：连接， ∵矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）2.8 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据矩形和折叠的性质可得出，，结合线段中点的定义可得出，根据等边对等角得出，则，然后根据等角对等边即可得证； （2）根据勾股定理求出，根据折叠得出，即， 设，交点为F，则，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，即可求解； （3）连接，根据矩形的性质和勾股定理可求出，根据折叠的性质得出，则在以B为圆心，6为半径的圆上运动，故当在线段上时，最小，最小值为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在矩形中，，， ∴， ∵折叠，且点在对角线上， ∴，即， 设，交点为F，则， 则， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， 在矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴在以B为圆心，6为半径的圆上运动， ∴当在线段上时，最小，最小值为． 五．解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，方程的两个根为，，则________，________； （2）求证：方程必有两个不相等的实数根； （3）当时，方程的两个根记为，，求的值． 【答案】（1）， （2）证明：， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （3）6 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系求解即可； （2）求出，从而得证； （3）根据方程根的定义可得出，，根据根与系数的关系，得，然后整体代入计算即可. 【小问1详解】 解：当时，原方程为， 根据根与系数的关系，得，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，原方程为， ∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， ∴ 23. 如图，正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，的平分线交于点，交延长线于点． （1）若，求的度数； （2）猜想，与的数量关系，并说明理由； （3）若，求的面积最大值． 【答案】（1） （2）解：，理由： 连接， ∵旋转， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质、正方形的性质可求出，根据角平分线的定义求出，最后根据角的和差关系求解即可； （2）仿照（1），，导角求出，证明，得出，，在中，根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； （3）由（2）可得，连接交于O，连接，过O作于H，连接，当G、O、H三点共线时，最大，最大值为，即可求解． 【小问1详解】 解∶∵旋转， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知：， ∴， 连接交于O，连接，过O作于H，连接 ∵正方形中，， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴当G、O、H三点共线时，最大，最大值为， ∴的最大面积为， 又， ∴的最大面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级第一次学情诊断 数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的学校、姓名、座位号和考号，并用2B铅笔把考号对应的标号涂黑． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程配方结果正确的是( ) A. B. C. D. 4. 若菱形的两条对角线长分别为和，则菱形的周长为( ) A. B. C. D. 5. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是( ) A. B. C. D. 6. 已知代数式的取值如下所示，由表中数据可得，关于的一元二次方程的解是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，与相交于点，则为( ) A. B. C. D. 8. 固态电池被视为下一代动力电池的核心方向．假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为( ) A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，与交于点，，，则的长为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，分别是边，上的点，且．与交于点，连接，若，则的值为( ) A. B. C. D. 二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则的值为______． 12. 已知方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，m的值是______． 13. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，，则的长为________． 14. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____． 15. 如图，在菱形中，，，连接．点是边的中点，连接交于点．点在边上，且．连接，则的面积为________． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程：． 17. 如图，矩形花坛的宽，长．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形．若矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽度相等，求纵向小路的宽度与横向小路的宽度的比值． 18. 如图，四边形是平行四边形，点在边上，且． （1）尺规作图：作的平分线交延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接．证明：四边形是菱形． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 年一款名为“哇库库（）”的玩偶，凭借其软萌毛绒质感与搞怪、叛逆小野孩气质融合一体的造型，在一众常规“萌系”玩偶中脱颖而出，其平价毛绒盲盒与展会限量大娃拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买哇库库盲盒进行销售．该老板以元/个的成本购进一批哇库库盲盒，现按元/个进行销售，平均每天可销售个．在降价幅度不超过元的情况下，若每个降价元，则平均每天可多售出个． （1）如果平均每天要盈利元，那么每个盲盒的售价应定为多少元？ （2）平均每天盈利可以达到元吗？若可以，求出每个盲盒的售价；若不可以，请说明理由． 20. 换元法是中学数学中重要的解题方法，其核心思想是“化繁为简”，通过引入新变量（元）替换原式中的复杂部分，将复杂问题转化为熟悉的基本题型．例如，解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化成，解得，．当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用换元法解方程：． 21. 综合与实践 在矩形纸片中，，，点是边上异于点的一个动点，连接，将矩形纸片沿折叠，顶点落在纸片内的点． （1）【初步感知】如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：； （2）【深入探究】如图2，当点在对角线上时，求的长； （3）【拓展提升】如图3，点在边上，且．点在移动过程中，请直接写出的最小值． 五．解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，方程的两个根为，，则________，________； （2）求证：方程必有两个不相等的实数根； （3）当时，方程的两个根记为，，求的值． 23. 如图，正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，的平分线交于点，交延长线于点． （1）若，求的度数； （2）猜想，与的数量关系，并说明理由； （3）若，求的面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $