5.3 实际问题与一元一次方程（第3课时）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第5章　一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程（第3课时） 表格信息与整数条件 数学新教材人教版　七年级上册 新知讲授 从表格发现规则 表格的信息 每一行记录同一对象的多个数量，每一列记录同一类数量。读表先明确行列含义，再选择有用数据。 方程的任务 有些表格没有直接写出计分规则，可以根据总积分与胜负场数反求规则，再用规则作推理判断。 例题讲解 示例 某项比赛胜一场2分、负一场1分。一队胜5场、负3场，得到多少分？ 答：13分。 胜场积分为。 负场积分为3，总分。 新知讲授 寻找表格中的特殊行 全负的一行 如果某队没有胜场，全部积分都来自负场。用总积分除以负场数，便可确定负一场的得分。 进一步设元 确定负场得分后，可设胜一场得分，利用任何一行有胜场的数据列方程，随后用其他行检查。 例题讲解 探究2 某次篮球联赛积分见表。（1）胜、负一场各积多少分？（2）用代数式表示总积分与胜、负场数的数量关系。（3）某队胜场总积分能等于负场总积分吗？ 队名 场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 （1） 答：胜一场2分，负一场1分。 钢铁队14场全负，得到14分，所以负一场1分。 设胜一场分，由前进队得，解得。 例题讲解 探究2 某次篮球联赛积分见表。（1）胜、负一场各积多少分？（2）用代数式表示总积分与胜、负场数的数量关系。（3）某队胜场总积分能等于负场总积分吗？ 队名 场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 （2） 答：胜场时，总积分为。 负场为，积分为。 例题讲解 探究2 某次篮球联赛积分见表。（1）胜、负一场各积多少分？（2）用代数式表示总积分与胜、负场数的数量关系。（3）某队胜场总积分能等于负场总积分吗？ 队名 场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 （3） 答：不能。 列，解得。 胜场数必须为整数，这个解不符合实际。 新知讲授 保持不变的总场数 一个未知量 总共14场，设胜场，负场数自动确定为。这样只需一个未知数即可表示两种比赛结果。 取值限制 必须为整数，并且不能小于0或大于14。代数式虽然能代入许多有理数，但比赛场数不能任意取值。 例题讲解 示例 篮球联赛胜一场2分、负一场1分。光明队9胜5负，卫星队4胜10负，分别得到多少分？ 答：光明队23分，卫星队18分。 。 ，都与表格相符。 例题讲解 示例 篮球联赛每队14场，胜2分、负1分。某队总积分22分，胜负场数各多少？ 答：胜8场，负6场。 列。 解得，负场数为。 例题讲解 示例 篮球联赛每队14场，胜2分、负1分。总积分可能为13分或29分吗？ 答：都不可能，最低14分，最高28分。 全负得14分，全胜得28分。 13小于最低分，29大于最高分。 新知讲授 方程解与实际答案 数学层面 列出的方程可能有分数解，这说明某个数在数学上使等式成立，解方程过程本身可能没有错。 实际层面 当未知数是胜场数或活动次数时，只能取非负整数。若解不符合这个条件，应判断所设情况不能发生。 新知辨析 辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 14场比赛的胜场数可以为。 错误 场数必须是整数。 （2） 方程有解，实际问题就一定有符合条件的答案。 错误 还要检查实际范围。 （3） 不败表示没有负场。 正确 结果只可能是胜或平。 （4） 已知总场数，可用总数减胜场表示其他场数。 正确 胜场与其他场数之和等于总场数。 检查计数是否为整数，并核对它是否超过总数。 方法归纳 表格推理的路线 确定规则 ① 先找全胜、全负等特殊行。 ② 再设一个未知数，用另一行列方程。 检查结论 ① 把规则代入其他行核对。 ② 实际场数需为整数且不超过总场数。 课堂练习 练习1（1） 在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队9场比赛保持不败。（1）如果这支球队9场比赛得到的积分是21分，你能算出这9场比赛中的胜场数和平场数吗？（2）这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 答：（1）胜6场，平3场。 不败说明负场为0。设胜场，则平场。 列，解得，平3场。 课堂练习 练习1（2） 在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队9场比赛保持不败。（1）如果这支球队9场比赛得到的积分是21分，你能算出这9场比赛中的胜场数和平场数吗？（2）这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 答：（2）不能相等。 若胜场积分等于平场积分，则，解得。 胜场数必须是整数，所以该情况不可能发生。 例题讲解 示例 足球比赛胜3分、平1分，某队8场不败。其胜场积分能等于平场积分吗？ 答：能，胜2场、平6场。 列，解得。 胜场积分6分、平场积分6分，均符合实际。 课堂练习 练习2：分析 下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同。请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入表中。 年级 活动总时间/h 文艺组次数 科技组次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 待求 待求 答：文艺组每次2小时，科技组每次1.5小时。 七、八年级科技次数相同，文艺相差1次，总时间相差2小时。 八年级文艺共6小时，余下4.5小时为科技3次，每次1.5小时。 课堂练习 练习2：解答 下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同。请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入表中。 年级 活动总时间/h 文艺组次数 科技组次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 待求 待求 答：九年级文艺组2次，科技组2次。 文艺每次2小时，科技每次1.5小时。 若文艺为次，科技次数为。 依次检查，只有时科技次数为整数2。 新知讲授 用差相等消去相同部分 比较两行 两行都有3次科技活动，这部分时间完全相同。总时间相减后，剩下的是多出来1次文艺活动的时间。 保持单位一致 得到每次文艺活动2小时后，再减去文艺总时间，才能求科技活动每次的时间。活动次数与小时数不能直接相加。 例题讲解 示例 文艺活动每次2小时，科技每次1.5小时，总时间7小时。为什么文艺次数只需检查0、1、2、3？ 答：4次文艺已需8小时，超过总时间。 次数必须为非负整数。 文艺部分不能超过7小时，所以最多3次。 课堂练习 习题13 学校组织知识竞赛，共20道选择题，各题分值相同，每题必答。表中给出5人得分。（1）同学F得76分，他答对了几道题？（2）同学G说他得80分，可能吗？为什么？ 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 答：（1）答对16题，答错4题。 A全对得100分，所以每对一题5分。B错一题得94分，所以错一题扣1分。 设答对题，列，解得。 课堂练习 习题13 学校组织知识竞赛，共20道选择题，各题分值相同，每题必答。表中给出5人得分。（1）同学F得76分，他答对了几道题？（2）同学G说他得80分，可能吗？为什么？ 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 答：（2）不可能。 列，解得。 答对题数必须是整数，不能等于。 新知讲授 得分变化的含义 改错一题 原来错一题扣1分，改成答对后得5分，总分增加6分，而不是只增加5分。 代数式验证 总分。答对题数增加1，总分恰好增加6，和逐题分析一致。 例题讲解 示例 20道题，每对一题5分、每错一题扣1分，每题必答。得分68分可能吗？ 答：不可能。 列，得。 答对题数不是整数。 例题讲解 示例 20道题，每对一题5分、每错一题扣1分，每题必答。至少算出得分70分时的答对、答错题数。 答：答对15题，答错5题。 列，得。 检验：。 例题讲解 示例 甲班参加阅读3次、实验2次共8小时；乙班参加阅读2次、实验2次共6小时。每次阅读和每次实验分别用多少小时？ 答：每次阅读2小时，每次实验1小时。 两班相差1次阅读，共相差2小时。 乙班2次阅读用4小时，余下2小时分给2次实验。 例题讲解 示例 每次阅读2小时，每次实验1小时。丙班共活动7小时，且两种活动都参加，实验次数为奇数。列出可能的次数组合。 答：阅读1次实验5次；阅读2次实验3次；阅读3次实验1次。 设阅读次，实验次。 两种都参加，所以，逐一计算。 新知讲授 表格与方程相互验证 表格到方程 先把各列的关系写成代数式，用有代表性的数据行确定未知规则。读出单位与共同条件能减少设元错误。 方程回到表格 将结果代入其他行，检查每一行是否吻合。最后还要根据人数、次数、场数等限制判断结论是否可行。 方法归纳 本阶段归纳 表格数据的利用 ① 特殊行确定单项规则。 ② 相同部分相减可找出一次活动的时间。 推理判断的结论 ① 方程解符合整数与范围条件才可采用。 ② 不符合时应明确回答“不能发生”。 课堂总结 表格信息与整数条件 读表 明确行列、单位和共同条件。 设元 总场数减已设部分表示另一类。 列式 按规则累加积分或时间。 求解 用方程确定未知量。 检验 次数、场数须为整数且在范围内。 针对训练 训练 某足球队10场不败，设胜场，平场数为：A. ；B. ；C. 。 答：B。 不败说明负场为0。 胜场与平场之和为10。 读清比赛结果的类别，再使用总场数。 针对训练 训练 篮球队共12场，胜2分、负1分，胜场时总积分为多少？ 答：。 负场为。 总分。 把各类场数乘相应分值后相加。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 场数必须是非负整数。 正确 比赛场次不能为负数或分数。 （2） 总共12场，胜场数可为13。 错误 不能超过总场数。 （3） 方程求得分数时应一律四舍五入。 错误 应检查题设是否可行，不能随意改解。 （4） 计分规则可以用多行数据验证。 正确 同一规则应符合各行。 检查计数是否为整数，并核对它是否超过总数。 针对训练 训练 共12场，胜2分、负1分，总得20分。胜负各几场？ 答：胜8场，负4场。 设胜场，则负场。 列。 解得。 胜场多得的1分可以在化简后的方程中体现。 针对训练 训练 某队10场不败，胜3分、平1分，总得22分。胜平各几场？ 答：胜6场，平4场。 设胜场，则平场。 列。 得，所以。 不败时只需表示胜和平两种场数。 针对训练 训练 共10场不败，胜3分、平1分。胜场积分能等于平场积分吗？ 答：不能。 设胜场，则平场。 列。 解得，胜场数必须为整数，所以不能相等。 拒绝不符合实际的解，并说明原因。 针对训练 训练 某队0胜8负积8分，另一队5胜3负积18分。胜、负各积多少分？ 答：胜3分，负1分。 全负一行说明负一场1分。 设胜一场分，，得。 从全负记录先确定一个已知分值。 针对训练 训练 甲班音乐4次、科学3次共11小时；乙班音乐3次、科学3次共9小时。音乐、科学每次分别多长？ 答：音乐2小时，科学1小时。 相差1次音乐，时间差2小时。 乙班音乐占6小时，科学3次共3小时。 两行相同的活动部分相减后消失。 针对训练 训练 15道必答题，对一题得4分，错一题扣1分。某同学得45分，他答对、答错各多少题？ 答：答对12题，答错3题。 设答对题，则答错题。 列。 解得，再求。 错题扣分用负贡献，所有题都需计入。 针对训练 训练 一次绘画课2小时，一次科技课1.5小时，本月共安排8.5小时，两类课都安排。若绘画有2次，科技有几次？ 答：科技3次。 绘画占小时。 设科技次，，得。 先扣除已知活动时间，再求未知次数。 方法归纳 表格推理的方法 从特殊信息入手 ① 全胜或全负行帮助确定规则。 ② 相同部分相减得到变化部分。 以实际意义收尾 ① 把结果代回其他数据行。 ② 整数条件不满足时，明确判定不可能。 $