5.3 实际问题与一元一次方程 第3课时（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元一次方程”中的球赛积分表问题，通过篮球联赛积分表情境导入，先回顾利润计算等实际问题，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于强化图表信息提取与数学建模，通过分析积分表培养抽象能力（数学眼光），列方程推理胜场负场积分发展推理意识（数学思维），用代数式表示积分关系强化模型意识（数学语言）。实例丰富如判断胜场积分能否等于负场积分，提升学生问题解决能力，为教师提供结构化教学流程。

实际问题 与一元一次方程 第 3 节 第5章 第3课时 球赛积分表问题 一元一次方程 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 能够根据图表信息问题中的数量关系列方程解决问题，从而培养学生数学建模能力，分析问题、解决问题的能力. 会阅读、理解表格,并从表格中提取关键信息；通过对实际问题的探究,认识到生活中数据信息传递形式的多样性. 掌握解决“球赛积分表问题”的一般思路,并会根据方程的解的情况对实际问题作出判断. 能够阅读和理解表格中的信息，提取有用信息 重点 如何根据题意从图表中获取有用的信息并列方程解决问题． 难点 重 难 点 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 实际问题 数学问题 （一元一次方程） 实际问题的解 数学问题的解 (一元一次方程的解) 寻找等量关系 抽象 解方程 解释 用框图表示 知识回顾 我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．   小熊 钥匙扣 套装 进价 13 3   售价 16 4   购买意向占比 (1)出售一份套装可获得的利润是______元； (2)为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？ 解： ． ∴出售一份套装可获得的利润是2元． 知识回顾 练一练 2 售价的 利润=实际售价-进价 (2)为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？ （2）解：设设销售总份数为x件， =3， =1， 由题意得：3， 解得：， ∴单独买小熊：（个）， 单独买钥匙扣：（个）， 买套装：（套）， ∴至少定制小熊：（个）， 定制钥匙扣：（个）． 答：至少定制小熊195个，定制钥匙扣165个． 知识回顾 练一练 表格内容要仔细阅读，找到相关量的具体数值 创设情境 你们知道篮球比赛胜一场积多少分，负一场积多少分吗? 某次篮球联赛积分 这张表里每个球队的积分是怎么算的？ 很多同学都喜欢打篮球 我们今天就来讨论与球赛积分有关的问题. 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 （1）胜一场和负一场各积多少分？ （2）用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系. （3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 新知讲授 探究点 球赛积分表问题 探 究 某次篮球联赛积分情况，根据表格内容解决如下问题 某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 认真阅读每个队的比赛得分情况，看一看每队的胜、平、负的场次 探 究 新知讲授 探究点 球赛积分表问题 （1）胜一场和负一场各积多少分？ 某次篮球联赛积分 ►一共比赛多少场？有没有全胜的队？有没有全负的队？ 一共比赛14场 总场次 没有全胜的队 胜负情况 钢铁队一场没赢 钢铁队得14分 负一场积1分 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 探 究 新知讲授 探究点 球赛积分表问题 （1）胜一场和负一场各积多少分？ 某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 ►负一场积1分，那么胜一场积多少分？ 每队的胜场数 + 负场数 = 这个队比赛场次 每队胜场总积分 + 负场总积分 = 这个队的总积分 每队胜场总积分 = 胜 1 场得分×胜场数 每队负场总积分 = 1×负场数 观察积分表可知， 胜 1 场得分 未知数 探 究 新知讲授 探究点 球赛积分表问题 （1）胜一场和负一场各积多少分？ 某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 解: 设胜一场积 x 分， 10x + 1×4 ＝ 24 解得 x ＝ 2 所以胜一场积 2 分， 负一场积 1 分. ►负一场积1分，那么胜一场积多少分？ 每队的积分方式相同，可以用前进队的得分情况为依据列方程计算 依题意，得 探 究 新知讲授 探究点 球赛积分表问题 （1）胜一场和负一场各积多少分？ 某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 ►负一场积1分，那么胜一场积多少分？ 请用其他队得分验证结论 胜一场积 2 分，负一场积 1 分. 10×2+4×1=24（分） 9×2+5×1=23（分） 7×2+7×1=21（分） 4×2+10×1=18（分） 结论： 胜一场积 2 分，负一场积 1 分. 探 究 新知讲授 探究点 球赛积分表问题 某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 总积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 （2）用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系. 胜场 负场 比赛场次 场次 14 得分 m 14-m 若一支球队胜 m 场 2m 14-m 2m +(14-m) 胜场总积分 + 负场总积分 = 总积分 积分计算方法 总积分 2m +(14-m) 14 m 14-m m + 14 = m + 14 探 究 新知讲授 探究点 球赛积分表问题 某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 总积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 （3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 14 m 14-m m + 14 解：设一支球队胜了 y 场， 则负了 (14-y) 场，依题意，得： 2y = 14-y 解得 y = 试着列方程求出胜场数 y能取分数吗？ 探 究 新知讲授 探究点 球赛积分表问题 某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 总积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 ► y 表示什么量？它可以不取整数吗?由此得到什么结论? y 表示比赛场次，因为比赛场次的数必须是整数，不能为分数, 所以y = 不合实际，由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分. （3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 14 m 14-m m + 14 这个问题说明: 利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断. 探 究 新知讲授 探究点2 球赛积分的合理性判断 解决球赛积分问题,常用的等量关系有哪些? 某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数； 某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分. 注意： (1) 并不是每种比赛都按胜、平、负情况积分，有的只按胜、平两种情况积分，所以解题时一定要认真理解比赛的积分规则. (2) 比赛中的积分与胜、负场数有关，同时也与比赛积分规则有关，需先弄清“胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分”. 1.解决有关图表的问题时，首先要根据表格中给出的相关信息，找出数量间的关系，然后再运用数学知识解决问题. 2.用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义． 归 纳 新知讲授 探究点2 球赛积分的合理性判断 解决图表问题方法总结 典例评析 探究点2 球赛积分的合理性判断 例1:某次篮球联赛共有十支队伍参赛,部分积分表如下: 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 18 14 4 32 B 18 11 7 29 C 18 9 9 27 根据表格提供的信息,你能求出胜一场、负一场各积多少分吗? 胜场得分+负场得分 =　　 　　, 这个队的总积分 观察C队的得分,可知 根据实际经验可得，m＞n 所以 m=2，n=1， 把m=2，n=1代入A、B队验证 14×2+1×4=32 所以胜一场积 2 分，负一场积 1 分. 等量关系 解：设胜一场积m分，负一场积n分， 9m+9n=27 m+n=3 等式两边同时除以9得： 因为m与n都是正整数， 所以m=2，n=1或m=1，n=2 11×2+1×7=27 A队得分满足 B队得分满足 例2.近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空： 每答对一道题得______分， 每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． （1）解：根据参赛者E的得分情况可知： 每答对一道题得： 分； 根据参赛者A的得分情况可知： 每答错一道题得：分； （2）解：设参赛者答对了道题，由题意得： 解得：， 答：参赛者答对了道题 新知讲授 探究点2 球赛积分的合理性判断 例2近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空： 每答对一道题得______分， 每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． （3）解：参赛者不可能得分，理由： 假设他得了分，设他答对道题， 根据题意得： ， 解得， 不是正整数，所以假设不成立， 故参赛者不可能得分． 新知讲授 探究点2 球赛积分的合理性判断 例2.某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次． (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． （2）解：由题意得 ， 解得：． （1）解：由题意得： (分)， 答：珍珍第一局的得分为6分； 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 典例评析 同时同地背向而行 甲 乙 ②同时同地背向而行： v甲t + v乙t=s 环形跑道长s m， 经过t s，甲、乙第一次相遇 例3.甲、乙两人在一条 400米长的环形路道上竞走，甲的速度为 120米 分，乙的速度为 80米/分． (1)两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人第一次相遇？ (2)两人同时同地反向出发，在第一次相遇前，经过多少时间两人相距40 米？ 典例评析 解：（1）设经过分钟两人第一次相遇， 根据题意得： ， 解得 ：， 答：经2 分钟两人第一次相遇； 例3.甲、乙两人在一条 400米长的环形路道上竞走，甲的速度为 120米 分，乙的速度为 80米/分． (1)两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人第一次相遇？ (2)两人同时同地反向出发，在第一次相遇前，经过多少时间两人相距40 米？ （2）设在第一次相遇前，经过分钟两人相距 米，根据题意得： 或 ， 解得或， 答：在第一次相遇前，经过 分钟或 分钟两人相距40 米． 典例评析 在第一次相遇前两人相距40 米 分析 起跑点 起跑点 40 米 40 米 新知巩固 1. 在足球联赛中，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场 得 0 分. 某队 9 场比赛保持不败. （1）如果这支球队 9 场比赛得到的积分是 21 分，你能算出这 9 场比赛中的胜场数和平场数吗？ （1）解：设这 9 场比赛中的胜场数为 x. 根据题意，得 3x + 9-x = 21. 解得 x = 6. 所以 9-x = 3. 答：这 9 场比赛中的胜场数为 6，平场数为 3. （2）这支球队 9 场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ （2）解：设这 9 场比赛中的胜场数为y. 根据题意，得 3y = 9 - y. 解得 y = （不合题意，舍去）. 因此，这支球队 9 场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分. 教材P137页 新知巩固 2.下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同. 年级 课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表. 2 2 教材P137页 解：设文艺小组每次活动时间为x分钟， 因为七年级与八年级科技小组活动次数相等， 七八年级课外小组活动总时间差 =七八年级文艺小组活动时间差 由题意可得：4x-3x=12.5-10.5 解得：x=2 设七年级科技活动每次y小时，由题意可得： 4×2+3y=12.5 解得y= 设九年级文艺活动次数m次，科技小组活动次数n次 2m+1.5n=7 所以4m+3n=14 即：3n=14-4m 所以14-4m是3的倍数 因为m、n是正整数 所以符合条件的值为：m=2，n=2 1.某年全国足球的前11轮比赛中，一支球队保持连续不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队胜　　场． A．11 B．8 C．7 D．6 检测反馈 D 解：设该队胜场，则平场， 根据题意得：， 解得：， 即该队胜6场， 2.在一次美化校园活动中，七年级先安排22人去拔草，15人去植树，后又增派20人去支援他们，增援后植树人数是拔草人数的一半，求支援拔草和植树的人分别有多少人？若设支援拔草的有人，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． B 3.如图，一个酒瓶的容积为500 mL，瓶子内还装有一些黄酒.当瓶子正放时，瓶内黄酒的高度为12 cm，倒放时，空余部分的高度为8 cm，则瓶子的底面积为 cm2.(1 mL＝1 cm3) 25　 第5题图 检测反馈 4.比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打了20场比赛，负了6场，共积32分，那么该队胜多少场？若设该队胜场，则可列方程为 ． 5.郑逸是学校的篮球明星,在一场篮球比赛中,他一人得了23分,如果他投进的2分球比3分球多4个,那么他一共投进了　　　　个2分球.  5 检测反馈 6.暑假里,《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛,比赛规定,胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分,勇士队参加了12场比赛,共得22分,已知这个队只输了2场,那么此队胜几场?平几场? 胜场数 + 负场数 + 平场数 = 12 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分 = 22 设未知数， 列方程解答 解: 设勇士队胜了 x 场，则平场数为：12-2- x =10- x 根据题意，得： 3 x+2×0 + 1× (10-x) = 22， 解得 x = 6. 平场数：10- x = 4. 答: 该队胜了 6 场,平4场. 检测反馈 7.某次知识竞赛共20道题,每答对一题得8分,答错或不答要扣3分.某选手在这次竞赛中共得116分,那么他答对几道题? 答对一题得 8 答错一题或不答扣 3 共得分 116 解：设他答对了 x 道题，则答错一题或不答 (20- x) 道题. 根据题意，得 8x -(20 - x)×3 = 116， 解得 x =16 . 答：他答对了 16 道题. 1.孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”------《三国志》．某动物保护区按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位再将象牵出，然后往船上抬入30块等重的条形石，并在船上留4个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入2块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置．已知每个搬运工体重为，则每块条形石的重量为 ，大象的重量为 ． 拓展提升 解：设每块条形石的重量为，每个搬运工体重为 因为第一次装船是30块等重的条形石和4个搬运工，搬运重量： 第二次装船是32块等重的条形石和1个搬运工，搬运重量： 又因为两次水位都到达标记的位置，所以两次搬运重量相等 ， 解得， 所以每块条形石的重量为， 所以大象的重量为： ． 拓展提升 2.（2025·广东深圳·模拟预测）如图，吉姆同学在某月的月历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么这四个数是 ．某月有个星期日，它们的日期之和是，则这个月中最后一个星期日是 号． 解：设正方形的方框内的四个数分别为，，，， 由题意得，， 解得， ∴四个数分别为，，，， 设个星期日对应的数分别为，，，，， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个月中最后一个星期日是号， ，，， 5. (2026•武汉期末)某校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了五位参赛者的得分情况.根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 15 14 ？ 答错题数 0 1 5 6 ？ 得分 100 94 70 64 ？ (1)每答对一题得 分，每答错一题得 分； 5　 －1　 (2)参赛者E同学说他得了82分，则他答对了多少道题？ 解：设参赛者E答对了x道题， 则答错了(20－x)道题. 由题意得5x－(20－x)＝82. 解得x＝17. 答：他答对了17道题. 真题感知 真题感知 2.（2025·黑龙江佳木斯·二模）开放性问题 某校九年级共有300名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少30人． (1)设女生人数为x人，用含x的代数式表示全校学生人数； (2)若该校计划组织一次户外活动，要求男生和女生分别分组，且每组人数相同．已知男生每组不超过15人，女生每组不超过12人，求分组方案中每组人数最多是多少？此时男生、女生各分多少组？ （1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人， 全校人数为人； （2）解：∵， 解得， ∴男生人数为人， 设每组人数为m人， ∵和的最大公约数为， ∴每组人数最多为人， 此时男生分19组，女生分11组． 课堂小结 1.球赛积分问题 两个等量关系:比赛总场数=胜场+平场+负场; 胜场得分+平场得分+负场得分=总积分(或各分量之和=总量). 2.解决有关图表信息问题方法 解题的突破口——特殊数据 一般解法: (1)识图表; (2)用图表; (3)建模型. 3.解方程检验的意义. 用方程解决实际问题时，要注意检验方程的解是否正确，且符合问题的实际意义． 课后练习 习题 5.3 课本p137页 7. 下表中记录了一次实验中时间和温度的数据，假设温度的变化是均匀的. （1）实验进行 21 min 时的温度是多少？ 时间/min 0 5 10 15 20 25 温度/℃ 10 25 40 55 70 85 解：（1）由题意可知，实验开始 21 min 时的温度是 （2）实验进行多长时间的温度是 34 ℃？ （2）解：设实验开始 x min 后的温度是 34 ℃. 答：实验进行 8 min 的温度是 34 ℃. 根据题意，得 10 + x ＝ 34. 解得 x ＝ 8. 课后练习 习题 5.3 课本p137页 9. 李明和刘伟分别从 A，B 两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发 24 min 后两人相遇，相遇时李明比刘伟多行进 4.8 km，相遇后 6 min 李明到达 B 地. 两人每小时分别行进多少千米？相遇后经过多长时间刘伟到达 A地？ 解:设刘伟的行进速度是 x km/h，则李明的行进速度是(x + 12) km/h. 根据题意，得 0.4(x+x+12) ＝0.5(x + 12). 解得 x＝ 4. 所以 x + 12＝16，0.4×16÷4＝ 1.6 (h). 答:刘伟的行进速度是 4 km/h，李明的行进速度是 16 km/h，相遇后经过 1.6 h 刘伟到达 A 地. 课后练习 习题 5.3 课本p137页 13.（古代问题）希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结了婚；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了.” 根据以上信息，请你算出: （1）丢番图的寿命； （2）丢番图开始当爸爸时的年龄； （3）儿子死时丢番图的年龄. 解：如图，设丢番图的寿命为 x 岁. （1）根据题意，得 . 解得 x＝ 84. 答：丢番图的寿命是 84 岁. 课后练习 习题 5.3 课本p137页 13.（古代问题）希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结了婚；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了.” 根据以上信息，请你算出: （1）丢番图的寿命； （2）丢番图开始当爸爸时的年龄； （3）儿子死时丢番图的年龄. 答：丢番图开始当爸爸时的年龄是 38 岁. （2）由（1）知， 所以 x＝ 84. （3）儿子死时丢番图的年龄是： 84－4 ＝ 80（岁）. 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $