5.1 方程（第1课时）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第5章　一元一次方程 5.1 方程（第1课时） 从算式到方程 数学新教材人教版　七年级上册 新知讲授 从已知数量寻找未知数量 情境 买同一种笔时，总价、单价和支数之间满足确定关系。已知其中两个量，常能求出第三个量。 问题 当未知量同时出现在几个条件中时，可以先用字母表示它，再把条件写成相等关系。 例题讲解 示例 每支笔3元，买若干支共付18元。设买了支，怎样表示总价并写出等式？ 答：。 单价乘支数得到总价，含未知数的总价是。 它与已知总价18元表示同一个量。 例题讲解 问题1 用买3个大水杯的钱，恰好能买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？设大水杯单价为元，列出方程。 答：。 小水杯的单价为元。 3个大水杯总价等于4个小水杯总价。 新知讲授 设未知数的含义 明确对象 “设元”没有说明表示哪个价格。应写成“设大水杯的单价为元”，把对象和单位说完整。 表示相关量 小水杯单价比大水杯少5元，因此用表示。代数式要与实际数量一一对应。 例题讲解 示例 用买3个大水杯的钱恰好能买4个小水杯，大水杯比小水杯每个贵5元。若设小水杯单价为元，列出方程。 答：。 大水杯单价为元。 相等关系仍是两种购买方案的总价相等。 例题讲解 问题2 一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，面积是，长和宽的比为。这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？设长为毫米，列出方程。 答：。 宽为毫米，面积为平方毫米。 长方形面积与已知面积相等。 新知讲授 方程 定义 像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程（equation）。 辨认关键 方程中必须含有未知数，并且它本身是等式。例如是方程，只是代数式。 新知讲授 等式与方程 共同点 等式用等号表示左右两边的数量关系。方程也使用等号，例如。 区别 只含已知数，是等式。含有未知数，同时也是等式，所以是方程。 新知辨析 辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 是方程。 错误 它含有字母，但没有等号。 （2） 是方程。 错误 这是等式，但不含未知数。 （3） 是方程。 正确 它是含有未知数的等式。 （4） 是方程。 错误 它表示大小关系，不是等式。 先检查等式与未知数，再核对整式条件及次数。 新知讲授 方程中的未知数 字母的作用 未知数是尚未确定的量。常用、等字母表示，也可以选择其他字母，但同一字母的意义必须始终一致。 条件的作用 列方程时把题目中的相等关系保留下来。方程的左右两边应表示可比较、单位相同的数量。 新知讲授 方程一词的来历 我国古代 我国古代数学著作《九章算术》中有“方程”章，讨论了由几个一次方程组成的问题。 近代译名 19世纪50年代，李善兰翻译外国数学著作时，开始把表示含有未知数等式的 equation 译为“方程”。 新知讲授 从算式到方程 算式的思路 算术方法通常安排一连串计算，从已知数量出发得到未知量。算式中只包含已经知道的数。 方程的思路 方程允许先用字母表示未知量，把相等关系写出来。列方程时可以先不求出这个未知量。 例题讲解 例1（1） 根据下列问题，设未知数并列出方程：某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ 答：。 设全体学生数为，女生数为，男生数为。 女生人数减男生人数等于80。 新知讲授 部分与整体 百分比的标准量 “女生占全体学生数的52%”以全体人数为标准。如果全体人数为，女生人数就是。 剩余部分 男生占比是。两部分人数相加等于全体人数，不能把男生人数误写成。 例题讲解 示例 某校女生占52%，比男生多80人。设全校有人。小华列，错误在哪里？ 答：男生数应为，正确方程为。 表示全体人数，不能用它代替男生人数。 先写两部分人数，再表达相差80人。 例题讲解 例1（2） 根据下列问题，设未知数并列出方程：一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是，求正方形绿地的边长。 答：，也可写。 设原边长为米，扩大后宽为米、长为米。 扩大后的面积等于原正方形面积加新增长方形面积。 新知讲授 图形中的相等关系 乘积表示面积 用长乘宽可得。每一个因式都要对应图形的一条边，不能把面积直接写成。 分割表示面积 将图形分为原正方形与新增长方形，可得。两种表示方式描述的是同一块绿地。 例题讲解 示例 长方形的长比宽多3 cm，周长为30 cm。设宽为 cm，列出方程。 答：。 长为厘米。 周长是两条长与两条宽的和。 方法归纳 列方程的数量关系 和差关系 ① 总量等于各部分量之和。 ② 多出的量等于较大量减较小量。 乘积关系 ① 总价等于单价乘数量。 ② 面积等于相应边长的乘积。 课堂练习 练习1 根据问题设未知数并列出方程：甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元。用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？ 答：。 设甲种买支，则乙种买支。 两种铅笔的钱数之和等于23元。 课堂练习 练习2 根据问题设未知数并列出方程：有两条电线，第一条长90 m，第二条长40 m。要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等。求截下的那段电线的长度（两条电线接头部分的长度忽略不计）。 答：。 设截下米，第一条剩米。 第二条增加米后为米，两长度相等。 新知讲授 转移中的数量变化 一减一增 从第一条电线截下米，第一条减去，第二条加上。两条线的总长度保持不变。 相等关系 题目要求最后长度相等，比较的应是变化后的和，而不是原来的长度。 课堂练习 练习3 根据问题设未知数并列出方程：某圆环形状的工件如图，它的面积是，外沿大圆的半径是10 cm，内沿小圆的半径是多少厘米？ 答：。 设内圆半径为厘米。 圆环面积等于外圆面积减内圆面积。 例题讲解 示例 设圆环内半径为厘米。有人列。这个式子能表示圆环面积吗？ 答：不能。正确关系是。 是两半径之差，不是一个面积为圆环面积的圆半径。 先分别求大圆与小圆面积，再相减。 课堂练习 习题5.1第5题 某校七年级（1）班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3，这个班有男生多少人？设未知数并列方程。 答：。 设男生有人，女生有人。 男生与女生人数相加等于48。 课堂练习 习题5.1第6题 把10000元奖学金按照两种奖项奖给20名学生，其中一等奖每人800元，二等奖每人400元。获得一等奖的学生有多少人？设未知数并列方程。 答：。 设一等奖有人，二等奖有人。 两等奖学金之和为10000元。 例题讲解 示例 一个数的3倍比这个数的一半多15。设这个数为，列出方程。 答：。 较大量是这个数的3倍，较小量是这个数的一半。 “多15”表示两者的差为15。 新知讲授 列方程结果的检查 意义检查 读出方程左右两边分别代表什么。若两边单位不同，或某个式子没有对应的实际数量，需要重新检查。 条件检查 检查所有题设条件是否已经使用。只需列方程的问题，应保留未知数和相等关系，不要求提前求解。 方法归纳 本阶段归纳 设一个量表示相关量 ① 写清未知数的对象与单位。 ② 总量已知时，用“总量减已设部分”表示另一部分。 依据条件列等式 ① 将题意中的相等关系先用文字表达。 ② 把对应的数量代入，再检查两边含义。 课堂总结 从算式到方程 概念 含有未知数的等式叫作方程。 设元 写清未知量的对象和单位。 表示 用同一字母表示相关数量。 列式 依据相等关系列出等式。 检查 两边意义、单位和条件一致。 针对训练 训练 下列式子是方程的是：A. ；B. ；C. ；D. 。 答：C。 C是含有未知数的等式。 A没有等号，B没有未知数，D不是等式。 方程同时具备“含未知数”和“等式”两个条件。 针对训练 训练 甲有本书，乙比甲多6本，两人共有30本。乙有多少本？可列什么方程？ 答：乙有本，。 先根据多6本表示乙。 再用两人书本数的和表示30。 先表达相关量，再使用总量条件。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 每千克8元，买千克，总价是元。 正确 单价乘数量等于总价。 （2） 共30人，男生人，女生是人。 错误 女生应为人。 （3） 边长厘米的正方形面积是平方厘米。 错误 面积为，表示周长。 （4） 两数差为7，可用较大数减较小数等于7表示。 正确 数量顺序与“差”的意义一致。 把说法中的数量写成代数式，核对总量、单位和运算关系。 针对训练 训练 第一组植树棵，第二组植树数是第一组的2倍，两组共植树45棵。列方程。 答：。 第二组植树数为。 两组数量相加为总量45。 倍数关系确定代数式，总量关系确定等号。 针对训练 训练 一批图书共本，其中故事书占40%，其余是科普书，共72本。列方程。 答：。 科普书占整批图书的60%。 科普书数量等于72本。 百分比要与对应的整体相乘。 针对训练 训练 甲桶有50 L水，乙桶有30 L水。倒出 L从甲桶移入乙桶后两桶水量相同。小明列，请改正。 答：。 甲桶减少升。 乙桶接收这部分水，应增加升。 转移一份量时，接受方的数量增加。 针对训练 训练 长方形的长是宽的2倍，面积为72平方厘米。设宽为厘米，列方程。 答：。 长为厘米。 长乘宽等于已知面积。 不要把面积公式误用成周长公式。 针对训练 训练 苹果每千克比梨贵2元，买3 kg苹果的钱与买4 kg梨的钱相同。分别设梨、苹果的单价，列出两个方程。 答：；。 设梨价元/千克，苹果价为。 设苹果价元/千克，梨价为。 改变所设未知量，原有相等关系仍不变。 针对训练 训练 某班购买成人票与学生票共30张，成人票每张20元，学生票每张12元，共花440元。设成人票张，列方程。 答：。 学生票有张。 两类票款相加为440元。 已知总张数，另一类张数用减法表示。 针对训练 训练 一块长方形花坛原长8 m、宽 m，把宽增加2 m后，面积变为56平方米。设未知数并列方程。 答：。 原宽为米，扩大后的宽为米。 扩大后长仍为8米，面积为。 对应变化后的长、宽，括号表示整体宽度。 方法归纳 列方程的两种基本思路 直接寻找相等关系 ① 相等的总价可写成两个乘积相等。 ② 相差问题用较大量减较小量。 一个未知量连接多个条件 ① 总量已知时，用总量减去已设部分。 ② 用倍数或百分比表示其他量。 $