3.2 代数式的值（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第3章　代数式 3.2 代数式的值（第2课时） 利用公式与代数式求值 数学新教材人教版　七年级上册 情境引入 公式把一类数量关系统一起来 熟悉的公式 路程公式把路程、速度、时间联系起来。已知速度与时间，可以代入公式求路程；公式中的字母各有确定含义。 几何中的公式 长方形面积、三角形面积、圆的面积以及长方体体积，也都能用含字母的式子表达。本课先由图形确定公式，再代入具体数值计算。 情境引入 示例 长方形面积公式S=ab中，a=8 cm、b=5 cm，求S，并说明a、b与S各表示什么。 答： cm²；a、b表示长与宽，S表示面积。 代入。 长度相乘得到面积，结果单位为平方厘米。 情境引入 组合图形先看组成 整体与部分 有些跑道由直道和弯道组成，有些材料是在大图形中挖去小图形。先识别每一部分，才能决定最终是把它们相加还是相减。 本课路线 读图辨认尺寸→用基本公式列出各部分→组合为所求量→代入求值。不能只见某个数字就套一个熟悉公式，而忽略图形整体。 新知讲授 长度、面积与体积的单位 不同数量 周长的单位是cm、m等长度单位；面积使用cm²、m²；体积使用cm³、m³。单位是检验所列式子是否表达正确量的一条线索。 先统一单位 同一道面积或体积计算中，所有长度应先用相同单位。若一条边用米、另一条边用厘米，直接相乘会使结果无法按预想单位解释。 新知讲授 圆的半径与直径 周长 圆的周长可写成或，其中d=2r。已知直径时不能再把它当半径乘2，否则会把周长多算一倍。 面积 圆面积为，需要半径。若给直径，应先除以2再平方。平方作用于半径整体，不是只把2或π平方。 新知讲授 两段半圆弧合成一个圆 弧长组成 跑道两端为直径相同的半圆，两段弯道的弧长合起来等于一个圆的周长，直径仍为原来的b，所以弯道合长为πb。 不计内部直径 半圆的直径是直道与弯道衔接处的尺寸，不属于最外侧跑道的弧长。求跑道周长时，不能额外把两条直径再加进去。 新知讲授 挖去部分用面积相减 关系 三角尺的面积=外部三角形面积−内部圆孔面积。两个面积采用相同的面积单位，才能直接相减。 条件 需要确认孔完全位于三角形内，且题目所给a、b对应三角形的一组底和高。不能把任意两条边直接作为底高相乘。 新知讲授 圆环的两个半径 面积关系 外圆半径R、内圆半径r，圆环面积为。实际图形要求R>r>0，外圆面积一定大于内圆面积。 避免混淆 R−r表示环的厚度，不是圆环本身的半径，所以不能代替圆环面积。应分别求两个完整圆的面积。 新知讲授 立体体积按底面积乘高 长方体 长a、宽b、高b的纸箱，体积为。重复的b出现两次，因此写平方；不能写成2ab。 空心圆柱 钢管材料体积=外圆柱体积−内空心圆柱体积，也可用圆环横截面积乘管长。两种方法描述的是同一段实际材料。 新知讲授 近似值怎样处理 按题设取π 题目规定π取3.14时，按3.14参与计算。若还要求结果取整数，应先完成整体计算，再进行四舍五入。 保留精度 中间步骤随意取整可能改变最后结果。长度或面积求出的数值，应和题目规定的精确度及单位一并写出，体现计算的实际意义。 例题讲解 例 3 学校操场最内侧跑道由两段长为a的直道和两段直径为b的半圆弯道组成。（1）表示跑道周长；（2）a=67.3 m、b=52.6 m时求周长，π取3.14，结果取整数。 答：（1）周长为。 两段直道合长2a。 两段半圆弧合成直径b的一个圆，弯道合长πb。 例题讲解 例 3 学校操场最内侧跑道由两段长为a的直道和两段直径为b的半圆弯道组成。（1）表示跑道周长；（2）a=67.3 m、b=52.6 m时求周长，π取3.14，结果取整数。 答：（2）周长约300 m。 代入。 得 m，取整数约300 m。 例题讲解 例 4 三角尺外部为底b、高a的直角三角形，内部有半径r的圆孔。用代数式表示面积S；当a=10 cm、b=17.3 cm、r=2 cm时求面积，π取3.14。 答：。 外部三角形面积为。 减去圆孔面积，得到材料实际占有的面积。 例题讲解 例 4 三角尺外部为底b、高a的直角三角形，内部有半径r的圆孔。用代数式表示面积S；当a=10 cm、b=17.3 cm、r=2 cm时求面积，π取3.14。 答： cm²。 三角形面积 cm²。 圆孔面积 cm²。 相减 cm²。 例题讲解 示例 圆孔直径为6 cm，π取3.14，圆孔面积是多少？有人算，错在哪里？ 答：面积28.26 cm²；应先用半径3 cm。 半径 cm。 面积 cm²。 例题讲解 示例 长方形长1.2 m、宽50 cm，面积是多少平方米？ 答：0.6 m²。 50 cm=0.5 m。 m²。 方法归纳 公式应用的结构与数值 结构层面 ① 辨认公式中的字母对应哪个尺寸。 ② 组合图形判断相加、相减或底面积乘高。 数值层面 ① 统一长度单位后代入。 ② 保留中间精度，按题目要求处理最终结果。 课堂练习 练习 1 回答下列问题： （1） a、b分别为平行四边形的底与高，表示面积S；a=2 cm、b=3 cm时求面积。 （2） a、b为梯形上底与下底，h为高，表示面积S；a=2 cm、b=4 cm、h=5 cm时求面积。 （1） 答：；6 cm²。 面积=底×高，。 （2） 答：；15 cm²。 先底和，再乘高除2，。 课堂练习 练习 2 长方体纸箱长a、宽与高都是b，用代数式表示体积V；当a=60 cm、b=40 cm时求体积。 答：；96000 cm³。 长×宽×高=。 cm³。 课堂练习 练习 3 圆环外半径R、内半径r，用代数式表示面积；当R=15 cm、r=10 cm时求面积，π取3.14。 答：；392.5 cm²。 外圆面积减内圆面积。 。 课堂练习 巩固 已知圆锥体积，r为底面半径、h为高。当r=15 cm、h=16 cm时求体积，π取3.14。 答：3768 cm³。 代入。 先平方225，再相乘并除3，得3768。 课堂练习 巩固 钢管外半径R、内半径r、长度a，用代数式表示材料体积V；当R=30 mm、r=15 mm、a=120 mm时求V，π取3.14。 答：。 横截面为圆环，面积为。 将圆环横截面沿长度a延伸，体积为底面积乘长。 课堂练习 巩固 钢管外半径R、内半径r、长度a，用代数式表示材料体积V；当R=30 mm、r=15 mm、a=120 mm时求V，π取3.14。 答：254340 mm³。 横截面积 mm²。 体积 mm³。 课堂练习 巩固 A、B两地相距s km，甲乙分别以a km/h、b km/h从A到B，甲用时较少。（1）表示甲比乙少用的时间；（2）s=180、a=72、b=60时求值并说明意义。 答：（1） h。 甲、乙时间分别为和。 少用时间=乙所用时间−甲所用时间。 课堂练习 巩固 A、B两地相距s km，甲乙分别以a km/h、b km/h从A到B，甲用时较少。（1）表示甲比乙少用的时间；（2）s=180、a=72、b=60时求值并说明意义。 答：（2）0.5 h，即甲比乙少用30分钟。 乙用时 h，甲用时 h。 时间差 h，换算为30分钟。 课堂练习 示例 半径5 cm的圆，π取3.14，分别求周长与面积。 答：周长31.4 cm；面积78.5 cm²。 周长。 面积。 课堂练习 示例 三角形某条底边长8 cm，对应高6 cm，另有一边长10 cm。面积应怎样计算？ 答：24 cm²。 使用相互对应的底8与高6。 cm²，不能把8与10直接当底高。 课堂练习 示例 一个矩形板面积80 cm²，挖去圆孔面积12 cm²，剩余面积有人算92 cm²。用图形意义判断并改正。 答：结果应为68 cm²。 挖去材料后面积应小于原面积。 ，92表示错误地做了加法。 课堂练习 示例 半径4 cm，π取3.14。半圆弧长与整个半圆图形周长分别是多少？ 答：弧长12.56 cm；图形周长20.56 cm。 弧长是整圆周长的一半：。 完整半圆边界还含直径8 cm，所以再加8。 课堂总结 用公式计算实际数量 读图 明确底、高、半径、直径及各字母含义。 列式 调用基本公式，组合图形按组成加减。 代入 统一单位，保持公式结构和乘方范围。 计算 遵循运算顺序，中间不过早近似。 解释 写出面积或体积单位，按条件检查大小。 针对训练 训练 圆的直径为d，面积公式正确的是：A.；B.；C.。 答：B。 半径为直径的一半。 面积公式要求用半径平方。 先把题目尺寸转换为公式中的量。 针对训练 训练 长方体长a、宽b、高b，其体积为____；a=5、b=2时体积为____。 答：；20。 b在宽与高两个位置出现。 。 两个相同乘数对应平方，不是乘2。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 两个同直径半圆弧合起来等于一个圆周长。 正确 两段弧恰为整圆。 （2） 圆环面积为。 错误 应为外圆面积减内圆面积。 （3） 面积结果应写平方单位。 正确 它计量平面的大小。 （4） 求跑道周长必须把半圆直径也加进去。 错误 内部直径不是跑道的外边界。 公式应对应实际边界或实际占有部分。 针对训练 训练 梯形上底3 cm、下底7 cm、高4 cm，求面积。 答：20 cm²。 公式。 。 先计算两底的和。 针对训练 训练 圆环外半径5 cm、内半径3 cm，π取3.14，求面积。 O 外半径5 cm，内半径3 cm 答：50.24 cm²。 面积。 。 先分别平方，再相减，不能先减半径。 针对训练 训练 长方体长2 m、宽50 cm、高30 cm，体积是多少立方米？ 答：0.3 m³。 宽0.5 m，高0.3 m。 。 先统一所有长度单位。 针对训练 训练 半径2 cm的孔，有人写面积为。应怎样改正？ 答：应为 cm²。 面积需要半径的平方。 原式漏掉平方，计算结构与单位都不匹配。 先识别求的是面积还是长度。 针对训练 训练 跑道两段直道各40.2 m，两端半圆直径30.5 m，π取3.14。周长取整数是多少米？ 答：176 m。 周长 m。 最终四舍五入到个位为176 m。 先完成直道与弯道之和，再取整。 针对训练 训练 一块长12 cm、宽8 cm的矩形纸板，中间挖去半径2 cm的圆孔，π取3.14。剩余纸板面积多少？ A B C D O 12 cm 8 cm 答：83.44 cm²。 矩形面积 cm²。 圆孔面积12.56 cm²，剩余。 先求原面积与孔面积，再相减。 针对训练 训练 长方体蓄水池长4 m、宽3 m，池内水深0.8 m。水量多少立方米？若又注入1.2 m³，水深增加多少米？ 答：水量9.6 m³；水深增加0.1 m。 原水量 m³。 底面积12 m²，增加水深 m。 新增体积除以固定底面积，得到增加的水深。 方法归纳 公式应用的两种核验 结构与单位核验 ① 每个字母对应明确的图形尺寸。 ② 周长、面积、体积的公式和单位保持一致。 数值与情境核验 ① 先统一单位，再依次代入计算。 ② 挖去后变小、增加后变大，最终再按要求取近似值。 $