第三章 代数式 数学活动 拼图小游戏与密码中的数学（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

数学活动 　拼图小游戏 与密码中的数学 第3章 代数式 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 通过拼图小游戏，观察、分析图形变化规律，归纳出相应的数学表达式，培养数学抽象和逻辑推理素养. 在密码数学问题中，理解密文与明文的转换规则，运用数学运算进行密码破译，提升数学运算和数据分析素养. 经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，增强应用数学知识解决实际问题的意识，发展数学建模素养. 1.找出拼图中图形数量与所需火柴棍数量、小正方形数量的变化规律，并能用含字母的式子表示. 2.理解密文与明文的转换规则，准确进行密码的破译和设计. 重点 1.从拼图的具体图形中抽象出通用的数学规律. 2.设计合理且具有创新性的明文与密文转换规则. 难点 重 难 点 知识回顾 1. 下列用数学式子表示数量关系不正确的是（　　） A．a与b的差的2倍，表示为 B．x的2倍与y的的和，表示为 C．比x的倍大5的数，表示为 D．比x的3倍小6的数，表示为3x－6 A 解： A、a与b的差的2倍，表示为：2（a-b），A符合题意； B、x的2倍与y的的和，表示为，B不符合题意； C、比x的倍大5的数，表示为，C不符合题意； D、比x的3倍小6的数，表示为3x-6，D不符合题意； 2．用a，b分别表示两个一位正整数，在这两个数之间添上两个零就构成一个四位数，且a在b的左边，则该四位数可表示为（　　） A．a+100+b B．1000a+b C．100a+b D．10a+b 3．（2023七上·青秀月考）如图，则图中阴影部分的面积为　 　． 解： 图中阴影部分的面积为 . 知识回顾 B 解：根据各个数位上的数字所代表的意义，用由题意可得： 1000×a+100×0+10×0+1×b， 该四位数可以表示为：1000a+b， . 创设情境 同学们，数学世界充满了奇妙的规律.在生活中，我们常常能遇到一些看似简单却蕴含着数学奥秘的问题 第一个图案由4个基础图形组成 第n（n是正整数）个图案由 个基础图形组成 (1) (2) (3) 创设情境 现代社会是信息时代，生活中经常为银行卡设置密码，为各种APP登录设置密码 你知道如何设置密码更安全吗？ 为了保密，那些神秘的密码又是如何设置的? 今天，我们就一起通过两个有趣的活动来探索数学中的规律，并学会运用这些规律解决问题. 新知讲授 探究点1 拼图小游戏 用长度相同的火柴棍拼一排三角形需要多少根小火柴棍 活动课题1 活动任务单 ： （1）2个三角形并排拼在一起需要 根 （2）3个三角形并排拼在一起需要 根 5 7 7=5+2 5=3+2 新知讲授 探究点1 拼图小游戏 用长度相同的火柴棍拼一排三角形需要多少根小火柴棍 活动课题1 活动任务单 ： （3）4个三角形并排拼在一起需要 根 （4）在1个三角形上每多加一个三角形需要加 根 9 •••••• 2 思考 新知讲授 探究点1 拼图小游戏 （5）n个三角形并排拼在一起需要 根 （6）还可以列其他形式的代数式表示吗？ •••••• 3+2（n-1） 1＋n×2＝（2n＋1）（根）火柴棍. 1 +2 +2 +2 +2 •••••• +•••••• +2 +2 有n个三角形 典例分析 探究点1 拼图小游戏 例1、如图所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第（n－1）个正方形多几个小正方形？ …… 第 1 个正方形 第 2 个正方形 第 3 个正方形 4个小正方形 8个小正方形 16个小正方形 典例分析 探究点1 拼图小游戏 例1、如图所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第（n－1）个正方形多几个小正方形？ …… 第 1 个正方形 第 2 个正方形 第 3 个正方形 问题分析 25个小正方形 增加小正方形个数： 2×2+1 增加小正方形个数： 2×3+1 第 4 个正方形 增加小正方形个数： 2×4+1 典例分析 探究点1 拼图小游戏 例1、如图所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第（n－1）个正方形多几个小正方形？ 第 5个正方形 问题分析 第n个大正方形需要小正方形的个数：（n＋1）2， 第（n－1）个大正方形需要小正方形的个数：n2， 所以（n＋1）2－n2＝2n＋1. 增加小正方形个数： 2×5+1=11 第 4 个正方形 典例分析 探究点1 拼图小游戏 例1、如图所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第（n－1）个正方形多几个小正方形？ …… 第 1 个正方形 第 2 个正方形 第 3 个正方形 问题分析 第几个大正方形 小正方形总数 比上一个多几个 写成算式 第1个 — — 第2个 第3个 第（n－1）个 第n个 4 = 2² 16 = 4² 9 − 4 = 5 16 − 9 = 7 5=2×2+1 7=2×3+1 n2 （n＋1）2 n2-（n-1）2 2×（n-1）+1 （n＋1）2-n2 2×n+1 新知讲授 探究点1 拼图小游戏 解：观察图形可知：第1个正方形需要4个小正方形，4＝22， 第2个正方形需要9个小正方形，9＝32， 第3个正方形需要16个小正方形，16＝42， 所以第4个正方形需要小正方形的个数为（4＋1）2＝25（个）； 第5个正方形需要小正方形的个数为（5＋1）2＝36（个）；……， 第n个大正方形需要小正方形的个数：（n＋1）2， 第（n－1）个大正方形需要小正方形的个数：n2， 所以（n＋1）2－n2＝2n＋1. 答：按照这样的方法拼成的第n个正方形比第（n－1）个正方形多（2n＋1）个小正方形. 例1、如图所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第（n－1）个正方形多几个小正方形？ 新知讲授 探究点1 拼图小游戏 归纳小结：在找图形规律的问题中，我们要仔细观察图形数量的变化情况，通过对比相邻图形之间的差异，尝试用数字和字母来表示这种变化规律，从而得出通用的表达式. 用代数式表示规律时，首先从简单的情况入手，找出图形变化与序数(数字)之间的关系，并用特殊情况验证这一变化规律，从而得出答案． 新知讲授 探究点2 密码中的数学 你知道摩斯密码吗? A . _              M _ _            Y _ . _ _   B _ . . .          N _ .             Z _ _ . .   C _ . _ .         O _ _ _          1 . _ _ _ _    D _ . .           P . _ _ .          2 . . _ _ _    E .                Q _ _ . _        3 . . . _ _    F . . _ .          R . _ .           4 . . . . _    G _ _ .          S . . .              5 . . . . .    H . . . .          T _                 6 _ . . . .    I . .               U . . _            7 _ _ . . .    J . _ _ _        V . . . _           8 _ _ _ . .    K _ . _          W . _ _          9 _ _ _ _ .    L . _ . .          X _ . . _         0 _ _ _ _ _ 摩斯密码对照表 新知讲授 探究点2 密码中的数学 新知讲授 探究点2 密码中的数学 什么是密码学? 编制密码，就是把大家都能看懂的明文，变成只有自己人能看懂的密文；破译密码，就是反过来，把密文还原回明文。 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科。 它与数学有着密切的关系 ——每一种密码背后，都是一套数学规则。 研究怎么给信息"上锁"和"开锁"的学问 大家看这把钥匙——在密码学里，"钥匙"不是真的金属钥匙，而是一套数学规则。谁掌握了规则，谁就能加密和解密。 新知讲授 探究点2 密码中的数学 活动课题2 破译密码L dp d vwxghqw L dp d vwxghqw 破译它的“钥匙” 活动过程： x－3 （1）探寻“钥匙”（x－33）的秘密 x－3 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 假设密码中字母x表示的是英语字母表中对应字母x，那么（x－3）作什么变换还是某种计算才能找到真正对应的字母？ 一起来试试吧 x－3 新知讲授 探究点2 密码中的数学 L d p d v w x g h q w i a m a s t u d n e t I am a student 猜想 “x－3”的含义是先在字母表中找到字母再看这个字母前面第三个字母 试一试 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 新知讲授 探究点2 密码中的数学 （2）探寻“钥匙”（x－33）的对应关系，将“密文” 转化为“明文” 活动过程： x－3 L dp d vwxghqw I am a student 变化规律 把一个字母换成字母表中从它向前３位的字母，并且 a 又接在 z 的后面，使 26 个字母排成圈 x－3 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 为了保密，许多情况下都要采用密码，这时就需要有破译密码的“钥匙”.上面的例子中，如果写和读密码的双方事先约定了作为“钥匙”的式子x－3的含义，那么他们就可以用一种保密方式通信了. （3）和同伴不妨也利用数学式子来制定一种类似的“钥匙”，并互相合作，通过游戏试试如何进行保密通信. 新知讲授 探究点2 密码中的数学 活动过程： 将 26 个英文字母 a，b，c，…，z 依次对应自然数 1，2，3，…，26. 当密文中的数 x 为奇数时，明文对应的序号为 x + 1； 当密文中的数 x 为偶数时，明文对应的序号为. 请将密文破译成用英文字母表示的明文. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18 20 21 22 23 24 25 26 对于密文“26 2 19 7”，给出密文与明文之间的关系如下： 新知讲授 探究点2 密码中的数学 当密文中的数 x 为奇数时，明文对应的序号为 x + 1； 当密文中的数 x 为偶数时，明文对应的序号为. 根据密文与明文之间的关系，密文“26 2 19 7”对应的字母序号是多少？ 讨论 26 偶数 明文对应的序号为 2 偶数 明文对应的序号为 19 奇数 明文对应的序号为 x + 1=19+1=20 7 奇数 明文对应的序号为 x + 1=7+1=8 密文“26 2 19 7” 序号“13 1 20 8” 新知讲授 探究点2 密码中的数学 根据字母表字母与序号对应关系，字母序号“13 1 20 8”对应的字母是多少？ 讨论 密文“26 2 19 7” 序号“13 1 20 8” a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18 20 21 22 23 24 25 26 13 1 20 8 m a t h 密文破译成用英文字母表示的明文： 26 2 19 7 m a t h 英语单词math 探究点2 密码中的数学 解：钥匙为：x＋1，英语字母表中字母是按以下顺序排列的：abcdefghijklmnopqrstuvwxyz， 如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈， x＋1可以代表“把一个字母换成字母表中从它向后移动1位的字母”，按这个规律就有： 例1、如果x表示英语字母表中字母的序号，钥匙为：x＋1，密文“ktbjx”转化为明文是什么意思？ 典例评析 ktbjx→lucky. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 归纳小结：密码问题的关键在于理解给定的密文与明文转换规则，然后按照规则进行准确的计算和转换.在设计规则时，要确保规则合理且具有一定的保密性和可操作性. 新知巩固 6. 礼堂第 1 排有 a 个座位，后面每排都比前一排多 1 个 座位. （1）第 2 排有多少个座位？第 3 排呢？用代数式表示 第 n 排的座位数. 解： （1）第 2 排有(a + 1)个座位， 第 3 排有(a + 2)个座位， 第 n 排有 (a+n-1) 个座位. （2）当 a = 20 时，计算第 19 排的座位数. （2）当 a = 20，n = 19 时， a + n-1 = 20 + 19-1 = 38. 因此，第 19 排有 38 个座位. 复习题 课本p86页 3 检测反馈 1. a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 解：∵a，，，，…， ∴第n个单项式前面的数字因数是1； ∵第1个、第2个、第3个、第4个字母a的指分别是1、2、3、4，…， ∴第n个式子是． ∴第100个式子是． 检测反馈 2.，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 解:第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ……第6个图形有： （个）正方形， B 检测反馈 4.是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第675个图中三角形的个数是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 解：第1个图案有4个三角形，即， 第2个图案有7个三角形，即， 第3个图案有10个三角形，即， …， 按此规律摆下去，第n个图案有个三角形， 则第674个图案中三角形的个数为：（个）． D 5．（2024·重庆市模拟）如图是由大小相同的“△”按照一定的规律排列组成的，第①个图中有3个“△”，第②个图中有8个“△”，第③个图中有15个“△”，…，依据规律，第⑥个图中“△”的个数为（　　） 解：∵第①个图中“△”的个数为：， 第②个图中“△”的个数为：， 第③个图中“△”的个数为：，…， ∴第n个图中“△”的个数为：， ∴第⑥个图中“△”的个数为：． 检测反馈 A．24 B．35 C．36 D．48 D 1. 在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”． 例如：， ，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 拓展提升 解：，故说法①正确． 若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确． 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是 ； ； ； ． 当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是 ； ； ．共有7种情况； 有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意． 拓展提升 1. 在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”． 例如：， ，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 C 拓展提升 拓展提升 2.下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系： ，4，，16，，64，……① 0，7，，21，，71，……② 根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ； 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ． 解：第一行数的规律为， ∴第①行数的第10个数为； 第二行数的规律为， ∴第①行数的第2023个数为， 第②行数的第2023个数为， 1024 ∴ 真题感知 1.四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D； ③杯底直径d；④杯沿高a． 【分析】本题考查的是列代数式， 解：由题意可得：， ； 总高度H=杯子底部到杯沿底边的高h＋n个杯子的杯沿高 2．（2024九下·舒城期中）如图，用“8字砖”铺设地面，1块地砖有2个正方形，2块地砖拼得5个正方形，3块地砖拼得8个正方形，…，照此规律拼下去． （1）请用含n的代数式表示n块地砖拼得的正方形的个数为____________个； （2）求当n=20时，拼得的正方形的个数； （3）若m块地砖拼得的正方形的个数是170，求m的值． 真题感知 3n-1 解：（2）当n=20时 3n-1=3×20-1=59 （3）由题意得：3m-1==170 解得： m=57 课堂小结 小结 知识要点 思想方法 拼图规律：火柴棍的根数与三角形、正方形 的边长关系 密码数学：密文与明文转换规则及应用 归纳推理：从图形或数字中归纳规律 数学建模：将实际问题转化为数学模型 解：（1） （2）当 a = 6，b = 2 时， 7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 a. （1）根据图中数据，用含 a，b 的代数式表示阴影部分的面积 S； （2）当 a = 6，b = 2 时，求阴影部分的面积. 课后练习 复习题 课本p87页 3 8.如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第 n 个图形需要多少枚棋子？ 第 1 个 第 2 个 第 3 个 …… 解：摆第 n 个图形需要 4n 枚棋子. 课后练习 复习题 课本p87页 3 第 1 个需要 4枚 4=4×1 第 2 个8个枚： 8=4×2 第 3 个12个枚： 12=4×3 9. 冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上熔化的冰糖液制作而成. （1）若每根竹签穿 5 个山楂，穿 n 串冰糖葫芦需要多少个山楂？需要的山楂总数与冰糖葫芦的串数成什么比例关系？ 解： （1）穿 n 串冰糖葫芦需要 5n 个山楂. 成正比例关系. （2）若用 200 个山楂穿了 b 串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是多少？每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数成什么比例关系？ （2）每串冰糖葫芦的山楂个数是. 成反比例关系. （3）若有 a 个山楂，按每串冰糖葫芦的山楂个数相等的规定，穿了 b 串冰糖葫芦，还剩余 c 个山楂，则每串冰糖葫芦的山楂个数是多少？当 a = 130，b = 16，c = 2 时，求每串冰糖葫芦的山楂个数. （3）每串冰糖葫芦的山楂个数是 . 当 a = 130，b = 16，c = 2 时， = =8. 因此，每串冰糖葫芦的山楂个数为 8 . 课后练习 复习题 课本p87页 3 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $