3.1 列代数式表示数量关系（第3课时）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第3章　代数式 3.1 列代数式表示数量关系（第3课时） 反比例关系的认识与应用 数学新教材人教版　七年级上册 情境引入 工作量、效率和时间 已有关系 机器人每秒识别5 m²，工作t秒识别5t m²。效率不变时，工作量与时间的比值始终为5，两者成正比例关系。 新的条件 如果固定总工作量，提高每天完成的数量，就能减少所需天数。此时需要寻找的不是固定比值，而是两个变化量之间的另一种不变量。 情境引入 问题 某赛场计划造雪260000 m³。每天造雪5000、5200、6500 m³时，分别需要多少天？ 每天造雪量/m³ 5000 5200 6500 造雪天数 52 50 40 答：分别52、50、40天。 天数=造雪总量÷每天造雪量。 ，，。 情境引入 问题 造雪总量260000 m³，三组记录是每天5000 m³用52天、每天5200 m³用50天、每天6500 m³用40天。两种量怎样变化，它们有什么共同关系？ 答：每天造雪量越大，所需天数越少；每组乘积均为260000。 。 共同乘积就是固定的造雪总量。 新知讲授 什么是反比例关系 定义 像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。 关键 不仅要观察“一增一减”，还必须确认两者的乘积一定。造雪量与天数的固定乘积来自总任务保持不变。 新知讲授 用字母写出不变量 教材表示 如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy=k来表示。 等价写法 也可写成，其中x不能为0。这里用式子记录乘积不变，不需要先知道每一组具体数值。 新知讲授 找准哪两个量在变化 识别量 造雪问题中的三个量是总量、每天造雪量、天数。固定的是总量，相关变化的是每天造雪量和天数，它们的乘积才等于固定总量。 写出关系 先写“每天造雪量×天数=总量”，再代入固定总量。若总量本身也在变化，不能直接得出前两个量成反比例的结论。 新知讲授 只是一增一减还不够 反例 两种商品总费用为100元，一种费用x元、另一种y元，则x+y=100。x增大时y减小，但不表示xy固定。 数值说明 例如时积1600；时积2100。乘积不同，所以两个费用不成反比例关系。 新知讲授 正比例与反比例怎样区分 比值一定 当时，保持不变，对应正比例关系。例如固定单价下，总价与数量。 乘积一定 当时，乘积300不变，对应反比例关系。例如固定体积的水，底面积与水高。应看不变量，不能仅凭一个词判断。 新知讲授 倍数怎样相互变化 固定乘积 若xy=k且两量为正，x变为原来的2倍，为保持同一个乘积，y应变为原来的一半。x变为3倍，y应变为三分之一。 解释 总任务不变，每天完成量加倍，完成天数减半。先说明乘积固定，再作倍数推理；没有这个条件就不能直接套用。 新知讲授 实际取值还受情境限制 量的意义 装箱数、天数、人数等数量通常为正；装箱数、袋数还常要求是整数。反比例式表达总关系，具体选择仍需符合实际条件。 例子 若总共120件产品平均装箱，每箱装x件、共y箱，则xy=120。不能选每箱0件，也不能把箱数取成与情境不符的负数。 新知讲授 判断要说明理由 三步判断 找出两个相关联的量；写出它们的数量关系；说明乘积是否为同一个非零定值。仅写“成反比例”缺少关键依据。 表达模板 “因为……×……=固定的……，乘积一定，所以……与……成反比例关系。”若不是，应说明固定的是和、比值，或根本没有固定量。 例题讲解 例 5 四个圆柱形容器内部底面积分别为10、20、30、60 cm²，分别注入300 cm³的水。（1）水高各多少厘米？（2）以x表示底面积，y表示水高，写出关系并判断比例关系。 答：（1）分别为30、15、10、5 cm。 圆柱水体积=底面积×水高。 各水高依次为、、、。 例题讲解 例 5 四个圆柱形容器内部底面积分别为10、20、30、60 cm²，分别注入300 cm³的水。（1）水高各多少厘米？（2）以x表示底面积，y表示水高，写出关系并判断比例关系。 答：（2），也可写；y与x成反比例。 水体积300 cm³保持不变。 底面积乘水高恒等于300，符合反比例的定义。 例题讲解 示例 x与y成反比例，已知x=6时y=8，写出它们的关系，并求x=12时的y。 答：；此时y=4。 固定乘积。 ，x加倍而y减半。 例题讲解 示例 三组对应数为(2,12)、(3,8)、(6,4)，它们可否符合某个反比例关系？若第四组x=8，y应为多少？ 答：符合，第四组y=3。 前三组乘积均为24。 若按这一关系继续，。 例题讲解 示例 三组记录为(2,9)、(3,6)、(6,4)，能否都符合一个反比例关系？ 答：不能。 前两组乘积18，第三组乘积24。 仅观察x变大、y变小不能判断成反比例。 方法归纳 反比例的识别与应用 识别关系 ① 确定相关联的两个量及保持不变的条件。 ② 写出乘积并确认它为非零定值。 利用关系 ① 用已知一组对应值求固定乘积。 ② 用总量除以一个量，求另一个量并检查实际意义。 课堂练习 练习 1 如果汽车行驶的路程一定，平均速度与时间是否成反比例关系？为什么？ 答：成反比例关系。 平均速度×时间=行驶路程。 路程为固定的非零量，所以两者乘积一定。 课堂练习 练习 2 判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由。 （1） 一批水果质量一定，平均分装，装箱数与每箱质量。 成反比例。 装箱数×每箱质量=固定的总质量。 （2） 长方体体积一定，底面积与高。 成反比例。 底面积×高=固定的体积。 （3） 购买荧光笔和中性笔的总费用一定，两种笔的费用。 不成反比例。 固定的是两种费用的和，不是乘积。 课堂练习 练习 3 运输公司每天运输的吨数依次为500、250、100、50，对应天数为1、2、5、10。（1）货物共多少吨？（2）天数怎样随每天吨数变化？（3）用t表示天数、a表示每天吨数，写关系并判断比例。 每天吨数 500 250 100 50 天数 1 2 5 10 答：（1）500吨；（2）每天运得越多，所需天数越少。 四组乘积。 总量不变，工作效率增加，所需时间相应减少。 课堂练习 练习 3 运输公司每天运输的吨数依次为500、250、100、50，对应天数为1、2、5、10。（1）货物共多少吨？（2）天数怎样随每天吨数变化？（3）用t表示天数、a表示每天吨数，写关系并判断比例。 答：（3），即；t与a成反比例。 a与t的乘积是固定总量500。 运输情境要求a>0、t>0。 课堂练习 巩固 判断下列两种量是否成反比例关系，并说明理由。 （1） 200人按每排人数相等排列，每排人数与排数。 成反比例。 每排人数×排数=200。 （2） 三角形面积6 cm²，一边的长与这边上的高。 成反比例。 底×高=两倍面积=12。 （3） 每小时制作120朵小红花，制作朵数与时间。 不成反比例，成正比例。 朵数÷时间=120，比值一定。 课堂练习 巩固 一批水果糖平均分袋，每袋颗数10、12、18、20、24，对应袋数360、300、200、180、150。（1）共有多少颗？（2）袋数怎样随每袋颗数变化？（3）用n表示袋数、m表示每袋颗数，写关系并判断比例。 每袋颗数 10 12 18 20 24 总袋数 360 300 200 180 150 答：（1）3600颗；（2）每袋装得越多，总袋数越少。 任取一组：。 其余四组乘积也为3600，说明同一批糖总颗数不变。 课堂练习 巩固 一批水果糖平均分袋，每袋颗数10、12、18、20、24，对应袋数360、300、200、180、150。（1）共有多少颗？（2）袋数怎样随每袋颗数变化？（3）用n表示袋数、m表示每袋颗数，写关系并判断比例。 答：（3），n与m成反比例关系。 总颗数=每袋颗数×袋数。 m、n都须为正整数，且相乘等于3600。 课堂练习 巩固 甲、乙、丙读同一本书，丙读的天数最长。甲用14天，每天18页；乙用21天；丙用x天。（1）乙、丙每天读多少页，天数与每天页数有什么关系？（2）两星期内阅读t天，各读多少页、剩多少页？已读与剩余成反比例吗？ 答：（1）乙每天12页，丙每天页；天数与每天页数成反比例。 全书页。 乙；每天页数×天数=252。 课堂练习 巩固 甲、乙、丙读同一本书，丙读的天数最长。甲用14天，每天18页；乙用21天；丙用x天。（1）乙、丙每天读多少页，天数与每天页数有什么关系？（2）两星期内阅读t天，各读多少页、剩多少页？已读与剩余成反比例吗？ 答：（2）已读为18t、12t、页；剩余为、、页；不成反比例。 各自已读页数=每天页数×t。 已读页数与剩余页数的和固定为252，乘积不固定。 课堂练习 示例 周长为20 cm的长方形，长与宽成反比例吗？面积为20 cm²的长方形，长与宽呢？ 答：前者不成反比例，后者成反比例。 周长固定说明长+宽=10。 面积固定说明长×宽=20。 课堂练习 示例 三角形面积为15 cm²，底为b cm，高为h cm。写出bh的值，并判断b与h的关系。 答：，b与h成反比例。 面积。 因此底与高的乘积恒为30，不能误写成15。 课堂练习 示例 固定一批货物，原计划每天运60吨，新计划每天运180吨。新计划所需天数是原计划的几分之几？ 答：三分之一。 每天运输量变为原来的3倍。 总量固定，天数变为原来的。 课堂总结 反比例关系 定义 两个相关量的乘积为非零定值。 表示 或，k≠0。 判断 写出乘积并说明固定条件。 区别 正比例看比值；反比例看乘积；固定和不够。 应用 用一组值求固定乘积，再求另一组量。 针对训练 训练 下列关系中表示反比例的是：A.；B.；C.；D.。 答：C。 C的两个量乘积为非零定值24。 A固定和，B固定比值，D固定差。 用“乘积一定”作判断标准。 针对训练 训练 x与y成反比例，x=5时y=12，则xy=____；x=15时y=____。 答：60；4。 固定乘积。 。 先确定不变量，再求缺失值。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 一个量变大另一个变小，就一定成反比例。 错误 还需乘积一定。 （2） 面积一定的长方形，长与宽成反比例。 正确 长与宽的积就是面积。 （3） 总价一定，单价与数量成反比例。 正确 单价×数量=固定总价。 （4） 和为10的两个数成反比例。 错误 固定和不能保证固定积。 用关系式给理由，不只描述趋势。 针对训练 训练 两量成反比例，已知一组为(4,18)，另一组为(9,y)，求y。 答：。 乘积。 。 每组对应值的乘积必须相同。 针对训练 训练 每支笔3元，买x支花y元。有人认为买越多花越多，因此成反比例，正确吗？ 答：不正确，成正比例。 ，比值。 乘积xy并不固定。 正比例与反比例分别对应固定比与固定积。 针对训练 训练 两个正量成反比例，第一个量减为原来的一半，第二个量怎样变？ 答：变为原来的2倍。 两者乘积应保持不变。 一量乘，另一量应乘2。 用乘积不变解释反向倍数。 针对训练 训练 甲每天做20件用6天，乙每天做30件用5天。仅凭这两组数据，效率与天数能否看成同一反比例关系？ 答：不能。 总量分别为120件和150件。 固定总任务这一条件不满足。 先检查两组数据是否对应同一个固定总量。 针对训练 训练 三角形面积24 cm²，底为x cm、高为y cm。写关系；底为8 cm时高多少？ 答：；高6 cm。 底×高=两倍面积。 。 三角形面积含二分之一，乘积是面积的两倍。 针对训练 训练 180本书平均装箱，每箱装x本，共y箱。写出关系；每箱15本时需要多少箱？ 答：；12箱。 总本数=每箱本数×箱数。 。 箱数与每箱本数都应为正整数。 针对训练 训练 用240元购买同一种材料，单价p元/kg，购买m kg。写关系；单价从12元/kg变为16元/kg后，数量从多少变为多少？ 答：；由20 kg变为15 kg。 预算不变，两量乘积固定。 ，。 同一预算下用总价除以单价求数量。 方法归纳 判断与求值分两步 识别不变量 ① 先写真实数量关系。 ② 乘积为同一非零定值，才可判断反比例。 利用不变量 ① 从已知一组对应值求乘积。 ② 求另一量或比较倍数，最后检查单位与取值。 $