3.1 列代数式表示数量关系（第1课时）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第3章　代数式 3.1 列代数式表示数量关系（第1课时） 代数式的概念、书写与意义 数学新教材人教版　七年级上册 情境引入 机器人识别范围怎样表示 已知条件 一种苹果采摘机器人每秒可以识别5 m²范围内的苹果。10秒可以识别 m²，60秒可以识别 m²。 推广问题 如果工作时间为t秒，应写成，简记为。字母表示不同的数，把同一种数量关系推广到一类问题。 情境引入 探究 机器人每秒识别5 m²范围内的苹果，识别n m²范围内的苹果需要多少秒？ 答：秒。 时间=工作量÷工作效率。 用n代替工作量，得到。 情境引入 探究 机器人有m个机械手（m>1），每个机械手平均8秒采摘一个苹果；工人平均5秒采摘一个苹果。同时工作1小时，机器人比工人多采摘多少个？ 答：个。 1小时=3600秒，一个机械手采摘个。 机器人共450m个，工人个；两者之差为450m−720。 新知讲授 从具体的数到表示数的字母 一般性 算式与分别回答某个具体时间的工作量；在同一关系下可以表示不同时间对应的工作量。 含义先行 同一个字母在同一道题里应保持相同含义。t表示工作时间时，其单位应明确为秒；换单位后，工作效率也要同步换算。 新知讲授 什么是代数式 定义 它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式（algebraic expression）。 对应实例 这里的“它们”指、、、、、等。每个式子表达运算关系，通常不含表示相等或大小比较的关系符号。 新知讲授 单独的数或字母也算代数式 原话 单独的一个数或字母也是代数式，例如，5，t都是代数式。 辨认 −3、、x都是代数式，不能因为没有明显运算符号就排除它们。是等式，等号两边的和5才分别是代数式。 新知讲授 字母与数字相乘的书写 教材约定 在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将数放在字母前，乘号写作“·”或省略不写。例如，可以写成或。 注意 可写为，但不能省略乘号写成34。数字与字母的写法规范，是为了避免与普通整数混淆。 新知讲授 除法写成分数形式 写法 写成，写成。分数线同时表示除法和上下两个整体，分母不能等于0。 整体保护 写成，分母是整个积ab；它与不同。书写时确保分子、分母的范围清楚。 新知讲授 相同字母相乘用幂表示 已学乘方 ，。表示2乘a，表示a乘a，数字2所在的位置不同，含义也不同。 几何联系 边长为a的正方形周长为4a、面积为；棱长为a的正方体体积为。不要用同一个式子同时代替长度、面积和体积。 新知讲授 带单位的式子怎样写 只有一项 长方形面积可写成 m²，水的体积可写成 m³。单位说明这个代数式表达哪一种量。 含加减 “2n−10件”通常写成件，使单位对应整个数量。括号表示整体，不意味着其中字母必须取某个固定的数。 例题讲解 例 1 回答下列问题： （1） 苹果原价为p元/kg，按九折优惠出售，售价是多少？ （2） 长方形长0.9 m，宽p m，面积是多少？ （3） 产品前年产量为n件，去年比前年产量的2倍少10件，去年产量是多少？ （4） 长方体水池底面的长、宽均为a m，高h m，池内水占容积的三分之一，水的体积是多少？ （1） 答：元/kg。 九折表示原价的90%，。 （2） 答： m²。 面积=长×宽。 例题讲解 例 1 回答下列问题： （1） 苹果原价为p元/kg，按九折优惠出售，售价是多少？ （2） 长方形长0.9 m，宽p m，面积是多少？ （3） 产品前年产量为n件，去年比前年产量的2倍少10件，去年产量是多少？ （4） 长方体水池底面的长、宽均为a m，高h m，池内水占容积的三分之一，水的体积是多少？ （3） 答：件。 先表示2倍为2n，再减去10。 （4） 答： m³。 水池容积为，再取三分之一。 新知讲授 同一代数式可以有不同情境 相同式子 在例1中，0.9p既表示售价，又表示长方形面积。它们的运算结构相同，都是0.9与p相乘，但p的实际含义与单位不同。 再举一例 若速度为0.9 m/s，运动p秒，路程也为0.9p m。使用代数式时，不能只给出符号，还要结合题意说明它代表的量。 例题讲解 例 2 说出下列代数式的意义： （1） （2） （3） （4） （1） 答：a的2倍与3的和。 先做乘法2a，再与3相加。 （2） 答：a与3的和的2倍。 先求和a+3，再乘2。 例题讲解 例 2 说出下列代数式的意义： （1） （2） （3） （4） （3） 答：c除以a、b的积的商。 分母ab是整体。 （4） 答：x的平方、x的2倍与8的和。 三个部分分别为、2x、8。 例题讲解 示例 说出与的意义，比较区别。 答：前者是a与2的差的3倍；后者是a的3倍与2的差。 括号决定先求差还是先乘3。 读式子时，以最后一步运算为主线组织语言。 例题讲解 示例 说出与的意义。 答：前者是x与2的和除以3的商；后者是x与的和。 第一式整个x+2都被3除。 第二式只有2与3先作除法。 方法归纳 认识与阅读代数式 书写规范 ① 数与字母相乘，数在前，乘号可省。 ② 除法写分数，同字母相乘用幂。 说明意义 ① 先找到最后一步运算，逐层说出参与运算的整体。 ② 结合情境说明字母、代数式及单位各代表什么。 课堂练习 练习 1 回答下列问题： （1） 每包书10册，6包书有多少册，n包书有多少册？ （2） 王芳今年m岁，她去年多少岁，6年后多少岁？ （3） 将p kg糖平均装入n个袋中，每袋多少kg？ （4） 棱长为a的正方体体积是什么？ （1） 答：60册；10n册。 总册数=每包册数×包数。 （2） 答：岁；岁。 去年比今年少1岁，6年后多6岁。 课堂练习 练习 1 回答下列问题： （1） 每包书10册，6包书有多少册，n包书有多少册？ （2） 王芳今年m岁，她去年多少岁，6年后多少岁？ （3） 将p kg糖平均装入n个袋中，每袋多少kg？ （4） 棱长为a的正方体体积是什么？ （3） 答： kg。 每袋质量=总质量÷袋数，n为正整数。 （4） 答：。 体积为三个相同棱长相乘。 课堂练习 练习 2 说出下列代数式的意义： （1） （2） （3） （4） （1） 答：a的2倍与c的3倍的和。 两个乘积最后相加。 （2） 答：m与n的差的3倍。 先作差，再乘3。 课堂练习 练习 2 说出下列代数式的意义： （1） （2） （3） （4） （3） 答：a的平方与1的和。 先平方，再加1。 （4） 答：a的3倍除以b的5倍的商。 分子3a与分母5b分别作为整体。 课堂练习 练习 3 代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举例说明。 答：例如：100元买x支单价2元的笔后的余款；100 L水每分钟流出2 L，x分钟后的余水。 两个情境都是初始量100减去2x。 分别说明x表示数量或时间，并保证实际剩余量不为负。 课堂练习 巩固 说出下列代数式的意义： （1） （2） （3） （4） （1） 答：x的3倍与6的和。 最后一步为相加。 （2） 答：m与2的差的5倍。 括号中的差为整体。 课堂练习 巩固 说出下列代数式的意义： （1） （2） （3） （4） （3） 答：a的平方与b的平方的和。 分别平方后相加。 （4） 答：n与1的和除以n与1的差所得的商。 分母n−1不能为0。 课堂练习 示例 将、、规范书写，并解释为什么不能写成78。 答：、、；78表示七十八。 省略乘号适用于能明确辨认乘积的字母式。 两个具体数字直接并写会改变数值。 新知讲授 阅读：字母为什么重要 从个别到一般 数字1与字母X的对话提示：描述两个具体数相加，而可以表示不同两数的和；字母使表达更具有一般性。 表达规律 表示加法交换律，不只针对某一组数字。这里的字母仍表示数，运算必须遵守已经学过的法则，不能把字母当作装饰。 课堂练习 示例 给设计两个不同的实际意义，并说明a的单位。 答：边长a cm的正方形周长4a cm；单价a元的4本书总价4a元。 两个情境都是4个相同数量相加。 a的含义和单位不同，但代数式结构相同。 课堂练习 示例 解释与为何不能看作同一个代数式。 答：前者是2与a相乘，后者是a与a相乘。 当a表示边长，2a可表示两条边的总长度。 可表示正方形面积，运算关系和单位均不同。 课堂总结 代数式的认识与意义 含义 数与表示数的字母通过运算连接成式子。 特例 单独一个数或字母也是代数式。 书写 乘号可简写；除法用分数；相同乘数用幂。 阅读 先找最后一步运算，再说明各整体。 情境 解释字母、式子和单位，同式可表示不同数量。 针对训练 训练 下列哪个是代数式？A.；B.；C.；D.。 答：C。 C用运算连接数和字母。 其余含等号或比较符号，表达的是关系。 区分运算式与等式、不等式。 针对训练 训练 ；；。 答：；；。 数字放在字母前。 除法写分数，相同字母相乘写平方。 三种简写分别对应乘法、除法与乘方。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 单独的0是代数式。 正确 单独的数也是代数式。 （2） 表示3与a的和。 错误 它表示3与a的积。 （3） 表示a的2倍。 错误 它表示两个a相乘。 （4） 同一代数式可表示不同情境中的数量。 正确 字母的实际含义可随题意变化。 先把省略的运算符号补回去理解。 针对训练 训练 说出的意义。 答：x的2倍与5的和除以4所得的商。 分子2x+5为整体。 最后一步为整个分子除以4。 分数线上下各自作为一个整体。 针对训练 训练 说出与的不同意义。 答：a的5倍与2的差；a与2的差的5倍。 第一式先乘5再减2。 第二式先减2再乘5。 关注括号是否改变最后一步运算。 针对训练 训练 “a除以b与c的和”应写成吗？ 答：不应；应写为。 除数是整个b+c。 分数线把b+c共同放在分母。 确定除数整体后再画分数线。 针对训练 训练 单价0.8元的铅笔买p支，总价为0.8p元。再举一个0.8p的不同含义。 答：如速度0.8 m/s，运动p秒，路程为0.8p m。 结构都为一个固定量乘p。 说明p的单位后，式子的实际意义才清楚。 保持运算关系，改变字母代表的实际量。 针对训练 训练 有m kg大米，取走7 kg，剩余质量应怎样写？ 答： kg。 剩余=原有−取走。 用括号使kg对应整个差。 单位跟随整个数量，不只跟随最后一个数字。 针对训练 训练 一张参观票售价a元，5名学生各买1张，另付固定讲解费20元。总费用用代数式怎样表示？ 答：元。 门票总价为5a元。 再加讲解费20元。 先求同类数量总价，再加固定费用。 针对训练 训练 一个长方形花圃长6 m、宽b m，用代数式表示面积和周长。 答：面积6b m²；周长 m。 面积=长×宽。 周长=两倍的长宽之和。 面积与周长对应不同运算关系及单位。 方法归纳 把代数式读懂写清 规范书写 ① 数写字母前，乘号在适当情况下省略。 ② 分数线、括号、指数明确运算范围。 解释意义 ① 从最后一步向内说明各部分。 ② 联系实际数量，说明字母与单位的含义。 $