3.1 列代数式表示数量关系（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第3章　代数式 3.1 列代数式表示数量关系（第2课时） 根据数量关系列代数式 数学新教材人教版　七年级上册 情境引入 探究 用代数式表示a、b两数的和与差的积。 答：。 两数的和为a+b，两数的差为a−b。 最后将两个整体相乘，每个整体用括号保护。 情境引入 把长句分成几个数量 语言结构 “a与b的和的3倍”可先分成“和”a+b与“3倍”两个层次，得到。不要逐字依次写符号而忽略整体。 基本路线 先找题目要求的量，再找构成它的几个部分，用已知的和、差、积、商关系连接。最后回读代数式，检查是否与原话一致。 情境引入 示例 “比a的2倍大1的数”与“比a大1的数的2倍”，分别怎样表示？ 答：与。 前者先求2a，再加1。 后者先求a+1，再乘2。 新知讲授 差与商有明确先后 差的约定 a、b两数的差，以及a与b的差，通常指a−b。“a除以b”表示，“a除b”则表示。 检查办法 用一句完整关系式说出被减数和减数、被除数和除数。减法与除法不能随意交换位置，交换后一般会改变含义。 新知讲授 比某量多与少 原量识别 “比a的3倍少5”中的比较基准是3a，所以写成3a−5；“a比某数少5”则说明某数为a+5。先找谁是原量。 层级标记 可先写中文关系：所求量=比较基准±变化量，再替换成字母与数。这样能避免看到“少”字就一律写减法。 新知讲授 总量、单价与数量 购物关系 总价=单价×数量。不同商品要分别计算总价后相加，例如2个面包和3瓶饮料，分别为2a与3b，再合计。 单位一致 单价用元/件、数量用件，总价才是元。若一个量的单位为千克而另一个为克，应先统一单位，再写出有明确意义的式子。 新知讲授 百分数对应的量 增长与折扣 “原量的1.1倍”直接写1.1x；“比原量增加10%”先写，同样表示1.1x。注意题目要总量还是增加量。 利息关系 本课按题设给定条件使用利息=本金×年利率×存期。所列式子表达教材中的简化模型，不把本金与利息混为一项。 新知讲授 行程中的时间关系 基本关系 路程=速度×时间，因此时间=路程÷速度。若速度由v增加到v+3，整个v+3都是新的速度，应完整放在分母。 早到时间 早到=原来所需时间−加速后所需时间。先分别求出两段时间表达式，再作差，不能把速度差直接当作时间差。 例题讲解 例 3 用代数式表示： （1） 购买2个单价a元的面包和3瓶单价b元的饮料，所需钱数是多少？ （2） 把a元钱存入银行，存期3年，年利率2.75%，到期利息是多少元？ （3） 商品进价x元，先按进价1.1倍标价，后降价80元出售，现在售价是多少？ （1） 答：元。 面包总价2a，饮料总价3b，总价相加。 （2） 答：元。 按题意：。 例题讲解 例 3 用代数式表示： （1） 购买2个单价a元的面包和3瓶单价b元的饮料，所需钱数是多少？ （2） 把a元钱存入银行，存期3年，年利率2.75%，到期利息是多少元？ （3） 商品进价x元，先按进价1.1倍标价，后降价80元出售，现在售价是多少？ （3） 答：元。 先求标价1.1x，再减降价额80。 例题讲解 例 4 甲、乙两地公路全长240 km，汽车从甲地开往乙地，速度v km/h。（1）需要行驶多少小时？（2）速度增加3 km/h后，需要多少小时，可以早到多少小时？ 答：（1）原来需要 h。 时间=路程÷速度。 把240与v代入数量关系，v>0。 例题讲解 例 4 甲、乙两地公路全长240 km，汽车从甲地开往乙地，速度v km/h。（1）需要行驶多少小时？（2）速度增加3 km/h后，需要多少小时，可以早到多少小时？ 答：（2）需要 h；早到 h。 新速度为v+3，整体放分母。 原来时间减新时间，得到早到时间。 例题讲解 示例 用代数式表示“a的相反数与b的一半的差”。 答：。 a的相反数是−a，b的一半是。 前一整体减后一整体，按题目顺序连接。 例题讲解 示例 一件商品原价x元，降价15%。降价额和现价分别怎样表示？ 答：降价额元；现价元。 降价额=原价×15%。 现价=原价−降价额，占原价85%。 例题讲解 示例 一个边长a cm的正方形中挖去一个边长b cm的正方形，剩余面积怎样表示？ 答： cm²。 先分别求大、小正方形面积。 剩余=原面积−挖去面积，不能用边长之差的平方代替。 例题讲解 示例 长方形长a m、宽b cm，用平方米表示它的面积。 答： m²。 宽b cm相当于 m。 面积。 方法归纳 列式的两次检查 关系检查 ① 先写所求量与已知量的中文关系。 ② 分层列式，整体运算用括号或分数线保护。 表达检查 ① 差与商按规定顺序写。 ② 核对单位、字母含义及符合实际的取值条件。 课堂练习 练习 1 用代数式表示： （1） 比a的2倍大1的数。 （2） a的相反数与b的一半的差。 （3） a的平方除以b的商。 （1） 答：。 比较基准为2a，再加1。 （2） 答：。 先写−a与b/2，再按顺序作差。 课堂练习 练习 1 用代数式表示： （1） 比a的2倍大1的数。 （2） a的相反数与b的一半的差。 （3） a的平方除以b的商。 （3） 答：。 分子为平方，分母b不为0。 课堂练习 练习 2 某种商品每袋4.8元，一个月内销售了m袋，用代数式表示这个月内销售这种商品的收入。 答：元。 收入=每袋价格×销售袋数。 m表示销售数量，应为非负整数。 课堂练习 练习 3 两块棉田，一块面积m hm²，平均每公顷产棉花a kg；另一块面积n hm²，平均每公顷产棉花b kg。用代数式表示总产量。（1 hm²=10000 m²。） 答： kg。 第一块产量am kg，第二块产量bn kg。 两个部分同为千克，可直接相加。 课堂练习 练习 4 在大正方形铁皮中挖去小正方形铁皮，大正方形边长a mm，小正方形边长b mm，用代数式表示剩余铁皮的面积。 答： mm²。 大、小正方形的面积分别为与。 剩余面积为两个面积之差，实际要求a>b>0。 课堂练习 巩固 回答下列问题： （1） 棱长为a的正方体表面积。 （2） 华罗庚纪念馆目前累计接待a万人，预计每年平均接待b万人，c年后累计接待多少万人？ （3） 银行一年定期利率1.5%，存a元，一年利息与本息和各多少元？ （4） 甲乙两地相距s km，原计划骑车用t h，改乘公交车提前1 h到达，公交车速度是多少？ （1） 答：。 六个面均为面积的正方形。 （2） 答：万人。 新增人数bc，再加原有人数a。 课堂练习 巩固 回答下列问题： （1） 棱长为a的正方体表面积。 （2） 华罗庚纪念馆目前累计接待a万人，预计每年平均接待b万人，c年后累计接待多少万人？ （3） 银行一年定期利率1.5%，存a元，一年利息与本息和各多少元？ （4） 甲乙两地相距s km，原计划骑车用t h，改乘公交车提前1 h到达，公交车速度是多少？ （3） 答：元；元。 利息是本金的1.5%，本息和还要加本金。 （4） 答： km/h。 新时间为t−1，应整体作分母，t>1。 课堂练习 探究 观察5，10，15，20，25，…。（1）它可能按什么规律排列？（2）按该规律，用代数式表示第n个数。 答：每个数依次增加5；第n个数可表示为5n。 前五项依次为至。 按此规律，第n个数为5n，n为正整数。 课堂练习 探究 回答下列问题： （1） 设n表示任意整数，用含n的式子表示任意一个偶数及任意一个奇数。 （2） 三位数个位为a，十位为b，百位为c，表示这个三位数。 （1） 答：偶数2n；奇数2n+1。 偶数是2的整数倍，奇数比某偶数多1。 （2） 答：。 每个数字乘其数位的计数单位，再相加。 课堂练习 活动 用火柴棍拼一排相邻三角形，每增加一个三角形与前一个共用一边。含2、3、4个三角形各需要多少根？含n个需要多少根？ 答：5、7、9根；根。 第一个三角形用3根，之后每个增加2根。 共根，也可按上下两排与端边数得2n+1根。 课堂练习 活动 用相同小正方形拼大正方形，第1个用4个，第2个用9个，第3个用16个。第n个比第n−1个多几个小正方形？ 答：个。 第n个每边n+1个，第n−1个每边n个。 新增一行n+1个，再加一列n个，共2n+1个。 课堂练习 探究 3支球队进行单循环比赛，每两队比赛一场，总共多少场？4支、5支、n支球队呢？ 答：3场、6场、10场；场。 每队要与其余n−1队比赛，共先数得n(n−1)次。 每场被两队各数一次，所以除以2。 课堂总结 列代数式表达数量关系 起点 明确所求量及每个字母的含义。 关系 总量、差、倍数、面积、时间等基本关系。 层次 先表达局部数量，再组成整体。 顺序 减法、除法的先后不可交换。 检查 回读含义，核对括号、分母与单位。 针对训练 训练 “a与b的差的平方”应表示为：A.；B.；C.；D.。 答：B。 先求差a−b。 再对整个差平方，必须加括号。 把“差”作为一个整体。 针对训练 训练 原价p元，打八折，现价为多少元？优惠了多少元？ 答：元；元。 现价为原价80%。 优惠占原价20%。 区分现价和减少额。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） a与b的差是a−b。 正确 按题目给定次序。 （2） 比3a少2的数为2−3a。 错误 比较基准是3a，应为3a−2。 （3） a除以b与c的和为a/(b+c)。 正确 整个和作除数。 （4） 边长差为a−b，面积差一定为。 错误 正方形面积差为。 先确定被减数、除数与所求量。 针对训练 训练 用代数式表示“x的平方与5的和的3倍”。 答：。 先构成和。 再把整个和乘3。 从内层数量逐步搭建外层运算。 针对训练 训练 有a L饮料，倒出其四分之一后，剩余多少升？ 答： L，也可写 L。 倒出量为。 剩余为原量减倒出量。 “其四分之一”的基准是全部a。 针对训练 训练 路程为s，时间比t少2，有人写速度为。怎样改正？ 答：，且t>2。 新时间为整个t−2。 速度=路程÷新时间。 把时间的完整表达式放在分母。 针对训练 训练 四位数的千位为a、百位为b、十位为c、个位为d，用代数式表示。 答：。 每个数字乘对应数位单位。 四项相加，a不能为0。 数字与它所在数位对应的数值不同。 针对训练 训练 一排正方形共用相邻边，第1个需4根小棒，每增加1个需3根，n个共需多少根？ 答：根。 第1个4根，其余n−1个各增加3根。 也可按三排长度加端边直接得3n+1。 先数初始部分与重复增加部分。 针对训练 训练 带100元购买a张单价6元的车票和b张单价4元的车票，剩余多少钱？ 答：元。 两类车票支出分别6a与4b元。 剩余=100−两类支出，实际总支出不超过100元。 分别求两种费用，再从总钱数扣除。 针对训练 训练 一项印刷任务共p页，已完成20页，接下来每分钟印v页，剩余任务需要多少分钟？ 答：分钟。 剩余工作量为p−20页。 时间=剩余工作量÷效率，v>0。 先扣除已经完成的工作量。 方法归纳 从语言到式子的两种方法 分层表达 ① 先找“和、差、积、商、倍数”的内部整体。 ② 按真实运算次序加括号或画分数线。 数量模型 ① 总价=单价×数量，时间=路程÷速度。 ② 先统一单位，再核查式子与实际问题是否一致。 $