河北衡水市第十五中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027八年级上学期数学 一、选择题（每小题3分，共36分） 1．嘉嘉不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块，她将第4块带去商店，就能配一块与原来相同的三角形玻璃，她依据的是 ( ) 1题 3题 5题 A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2．下列分式是最简分式的 ( ) A. B. C. D. 3．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=( ) A.90° B. 120° C. 135° D. 150° 4．已知a>1, ，则P、Q、R的大小关系是 ( ) A. B. P>Q>R C. D. P>R>Q 5．如图， ∠ABC=∠DCB，添加下列条件，不能判定ΔABC≅ΔDCB的是 ( ) A. AB=CD B. AC=DB C. ∠A=∠D D. ∠ABE=∠DCE 6．若，则 ( ) A. m=4 n= -4 B. m=3, n=1 C. m=5, n=1 D. m=4, n=1 7．如图， AB=7cm AC=5cm, ，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t(s) （当点P运动结束时，点Q运动随之结束）.当点P,Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求相应的x,t的值，其答案为：丽丽的答案： x=2,t=1；轩轩的答案；笑笑的答案： t=1，则下列说法正确的是 ( ) 7题图 A.只有丽丽的答案正确 B.轩轩和笑笑的答案合在一起才完整 C.丽丽与轩轩的答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整 8如图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容． 下列说法正确的是 ( ) A.代表ASA B.代表∠DCA C．★代表对应边 D.代表110° 9．已知关于x的方程无解，则a的值是 ( ) A.2 B.1 C.-1 D.不存在 10．如图，有一张三角形纸片ABC，已知，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是( ) A. B. C. D. 10题图 11．已知关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组 的解集为y≥6，则所有满足条件的整数a的值之和是 ( ) A.25 B. 28 C. 30 D.33 12如图，在ΔAOB和ΔCOD中， OA=OB, OC=OD, OA<OC .连接AC、BD交于点M，连接OM.下列结论： ① ② AC=BD；③OM平分AOD；④MO平分AMD 其中正确的结论个数有 ( ) 个. A.4 B. 3 C.2 D.1 二、填空题（13-15每小题3分，16题4分，共13分） 13.．已知，则的值是 14．如图，在RtΔABC中， AB=BC，D为线段BC上一动点，连结AD，将AD绕点A 顺时针旋转90°至AE,CE交直线AB于点F，若BC=10,CD=8 则AF= 15．在ΔABC中，AD 是BC 边上的中线，AB=3,AC=2，若AD的长为整数，AD的长 16．已知： , AC=BC，过点A作AD⊥l，垂足为D，过点B做BE⊥l，垂足为E. (1）如图1，线段DE,AD,BE之间的数量关系是 ; （2）如图2， BE=7 AD=3，则阴影部分的面积 图2 图1 三、解答题（17-24题共71分） 17.(7分）有甲乙两名采购员去同一家饲料公司分别购买两次饲料，两次购买饲料价格分别为m元／ 千克和n元／千克，且m≠n，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． （1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？（用字母m、n表示） （2）通过计算说明谁的购货方式更合算？ 18.(8分）王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用字母A代替了原题目的一部分： （1）求代数式A，并将其化简： （2）当.A=5时，求x的值. 19.(9分）证明：角平分线上的点到角两边的距离相等 （1）按下列步骤证明上述命题（根据所画图形，用数学语言补全内容，并写出证明过程） 已知：如图AD平分∠BAC,O为AD上任意一点，OE① AB,OF⊥AC, 求证： ② = ③ 证明： （2）写出以上命题的逆命题④ N （3）如图，若∠MON=∠EOF,AM=6, AN=10，则ME= ⑤ , ，四边形AMON 面积＝⑥ 20.(8分）某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种25%，就可以提前10小时完成播种任务． （1）求原计划每小时播种多少万平方米？ （2）若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？ 21.(8分）如图，点E在ΔABC的边AC上，且∠ABE=∠C, AF平分∠BAE交BE于F, FD//BC交AC于点D. （1）求证： ΔABF≅ΔADF; （2）若BE=7 AB=8, AE=5，求△EFD的周长. 22.(8分）发现：(1） (2) (3) 尝试：直接写出第n个式子 ;（用含n的代数式表示） 论证：请证明你在“尝试”中猜想的等式成立； 应用：请利用上述规律解方程： 23.(12分）(1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，，E、F分别是BC、CD 上的点，且EF=BE+FD，探究图中BAE、FAD、EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE.连接AG，先证明ΔABE≅ΔADG，再证明ΔAEF≅ΔAGF，可得出结论，他的结论应是 ; （2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中， .E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形ABCD中， ，若点E在CB的延长线上，点F在 CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程， 图1 图2 图3 24. (11分） 如何设计水果的购进方案 素材1 某水果店计划用9600元购进“左优红”和“晨香”两种葡萄进行销售，已知“左优红”的进价比“晨香”高4元／千克，用1800元能购进的“左优红”和用1200元能购进的“晨香”一样多. 素材2 根据该水果店所定的售价，每千克“左优红”葡萄的利润是每千克“晨香”葡萄利润的1.25倍，同样获得120元的利润，需要出售的“晨香”葡萄比需要出售的“左优红”葡萄多3千克． 问题解决 任务1 确定进价：求两种葡萄每千克的进价； 任务2 确定利润：求两种葡萄每千克的利润； 任务3 确定购进方案：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄多少千克？ 参考答案与解析 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 答案速查：1-C 2-A 3-C 4-D 5-B 6-B 7-C 8-D 9-B 10-C 11-B 12-B 第1题 答案：C 解析：第 4 块玻璃完整地保留了原三角形的两个角以及这两个角的夹边，根据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”（ASA），即可唯一确定原三角形，从而配出相同玻璃。故选 C。 第2题 答案：A 第3题 答案：C 解析：在正方形网格中，把 ∠1 与 ∠2 通过全等（或旋转）拼到一个直角处，可证 ∠1 与 ∠2 互余的补角关系，最终得 ∠1+∠2=135°。故选 C。 第4题 答案：D 第5题 答案：B 解析：已知 ∠ABC=∠DCB，公共边 BC=CB。A 添 AB=CD 构成 SAS；C 添 ∠A=∠D 构成 AAS；D 添 ∠ABE=∠DCE 可推得 ∠ACB=∠DBC 构成 ASA，均可判定。而 B 添 AC=DB 时，AC、BC 是两边，∠ABC 是其中一边的对角，构成“边边角”(SSA)，不能判定全等。故选 B。 第6题 答案：B 第7题 答案：C 第8题 答案：D 解析：△ABC≌△ADC 用三边相等，▲代表 SSS(非 ASA，A错)；∠BAC=∠DAC=25°，■代表 ∠DAC(非 ∠DCA，B错)；★代表对应角(非对应边，C错)；∠BCA=125°，∠BCD=360°-2×125°=110°，即※代表 110°(D对)。故选 D。 第9题 答案：B 第10题 答案：C 解析：剪开线需把等腰三角形分成能完全重合的两块。沿顶角平分线、底边中线(高线)或过底边等分对称线剪可全等；方案 C 的剪法所分两块对应边角不满足全等条件，可能得不到全等三角形。故选 C。 第11题 答案：B 第12题 答案：B 解析：由 OA=OB、OC=OD 且 ∠AOC=∠BOD 得 △AOC≌△BOD，故 AC=BD(②对)；两对应边夹角 ∠AMB=∠AOB=36°(①对)；由全等可证 O 在 ∠AMD 的平分线上，即 MO 平分 ∠AMD(④对)；但无法推出 OM 平分 ∠AOD(③错)。正确结论 3 个。故选 B。 二、填空题（13—15 每小题 3 分，16 题 4 分，共 13 分） 13. 答案：1/4 14. 答案：AF = 6 15. 答案：1 或 2 解析：倍长中线 AD 到 E，连 BE，可证 △ADC≌△EDB，得 BE=AC=2。在 △ABE 中由三边关系 |AB-BE|<AE<AB+BE，即 1<2AD<5，解得 0.5<AD<2.5。AD 为整数，故 AD=1 或 2。 16. 答案：(1) DE = AD + BE；(2) 20 解析：(1) 一线三垂直模型中可证 △ACD≌△CBE，得 CD=BE、AD=CE，故 DE=CD+CE=AD+BE。 (2) 图 2 中 D、E 在直角顶点同侧，此时 DE=BE-AD=7-3=4。阴影(梯形 ADEB)面积=½×(AD+BE)×DE=½×(3+7)×4=20。 三、解答题（17—24 题，共 71 分） 17.（7 分） 解：(1) 甲两次各买 1000 千克，平均单价 元/千克。 乙两次各花 800 元，分别买 800/m、800/n 千克，平均单价元/千克。 (2) 作差：甲 - 乙 因为 m≠n 且 m、n>0，所以 (m-n)²>0、2(m+n)>0，即甲 - 乙>0，甲的平均单价高于乙。故乙的购货方式更合算。 18.（8 分） 解：（1）由题意得：； （2） 当时，，去分母，得， 解这个整式方程，得，经检验，是原分式方程的解， 故当时，． 19.（9 分） ① ②OE ③ OF ④ 到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ⑤ 4 ⑥32 20.（8 分） 解：（1）设原计划每小时播种万平方米，则实际每小时播种万平方米， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划每小时播种8万平方米； （2）设甲播种机要播种小时，则乙播种机要播种小时， 根据题意得：，解得：， 的最小值为20． 答：甲播种机至少要播种20小时． 21.（8 分） 解：(1) 证明：因为 AF 平分 ∠BAE，所以 ∠BAF=∠DAF。又 FD∥BC，所以 ∠ADF=∠C； 已知 ∠ABE=∠C，故 ∠ADF=∠ABE，即 ∠ABF=∠ADF。在 △ABF 与 △ADF 中，∠BAF=∠DAF、∠ABF=∠ADF、AF=AF(公共边)， 所以 △ABF≌△ADF(AAS)。 (2) 由(1)得 AD=AB=8、DF=BF。又 AE=5，故 DE=AD-AE=8-5=3。 △EFD 周长 = EF+FD+DE = EF+BF+DE = BE+DE = 7+3 = 10。 22.（8 分） 尝试：； 论证：右边  左边， ； 应用：， ， ， ， ， ，， 。 经检验：当  时， 或 ，。 23.（12 分） (1)  理由：如图1，延长  到点 ，使 ，连接 。 在  和  中， ， ， ， 在  和  中， ， 。 (2) 结论仍然成立，即 。 理由：如图2，延长  到点 ，使 ，连接 。 ， ， 在  和  中， ， ， ， 在  和 中， ， 。 (3) 。 证明：如图3，在  延长线上取一点 ，使得 ，连接。 ， ， 在  和  中， ， ， ， 在  和 中， ， ， ， ， ， 即 ， 。 24.（11 分） 任务1：设“左优红”葡萄的进价为  元/千克，则“晨香”葡萄的进价为  元/千克。 由题意列分式方程得，， 整理得，， 解得 ， 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，则 。 答：“左优红”葡萄的进价为 12 元/千克，“晨香”葡萄的进价为 8 元/千克。 任务2：设“晨香”葡萄的利润为 元/千克，则“左优红”葡萄的利润为 元/千克。 由题意列分式方程得，， 解得 ， 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，则 。 答：“左优红”葡萄的利润为 10 元/千克，“晨香”葡萄的利润为 8 元/千克。 任务3：设购进“左优红”葡萄 千克，购进“晨香”葡萄 千克， 由题意列二元一次方程得， ， ， 若要使利润不低于 9000 元，则 ， 即得一元一次不等式，， 整理得，， 解得 ，  的最大值为 300。 答：若要使总利润不低于 9000 元，则最多能购进“左优红”葡萄 300 千克。 学科网（北京）股份有限公司 $