1.2 有理数及其大小比较（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第1章　有理数 1.2 有理数及其大小比较（第2课时） 数轴 数学新教材人教版　七年级上册 情境引入 示例 以汽车站为基准，站东3 m处与站西3 m处的位置能只用3表示吗？ 答：不能，还需要区分方向。 可规定东为正，用+3与−3表示。 基准位置用0表示。 表示位置需要基准、方向和距离。 情境引入 示例 一条东西向马路旁有汽车站。站东3 m、7.5 m处分别有柳树、交通标志杆；站西3 m、4.8 m处分别有槐树、电线杆。怎样用数表示它们的位置？ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 汽车站 柳树 标志杆 槐树 电线杆 答：以车站为0，向东为正，分别用3、7.5、−3、−4.8表示。 用同一单位长度表示1 m。 正负号区分东西，数值表达距车站的远近。 所有位置共用同一个基准与单位。 引入归纳 示例 在表示位置的直线上，若没有约定0的位置，−3表示的位置还能唯一确定吗？ 答：不能。 −3的位置依赖基准点0。 平移基准点后，相同记录所指的实际位置会改变。 数轴的原点不可缺少。 新知讲授 数轴上的原点 约定 在直线上任取一个点表示数，这个点叫作原点（origin）； 作用 原点对应0，是其他数定位的基准。画数轴时，要把0标在原点下方，不能只画一条带刻度的直线。 新知讲授 数轴的方向 约定 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； 表示 箭头表示正方向。水平方向通常向右为正，负数表示在原点左侧的点。 新知讲授 数轴的单位长度 约定 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示；从原点向左，用类似方法依次表示。 注意 同一条数轴的单位长度必须统一。刻度数字增加1，相邻刻度之间的距离也应相等。 新知讲授 数轴的定义 定义 像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴（number axis）。 三要素检查 画完后检查0、箭头和均匀刻度。缺少其中任一项，都不能完整表达数轴的含义。 新知讲授 正半轴和负半轴 名称 原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴。 原点 原点不属于正半轴，也不属于负半轴。不要把0归入正数或负数。 例题讲解 示例 一幅图有0和向右箭头，但标出的0、1、2、3相邻间距分别为1格、2格、1格。它是合格的数轴吗？ 答：不是，单位长度不统一。 相邻整数相差1，应间隔同样长度。 要把相邻整数的刻度画成等距。 刻度等距必须与数值间隔相对应。 例题讲解 示例 在数轴上表示−3、0、2。 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 −3 0 2 答：在原点左侧3个单位，0在原点，2在右侧2个单位。 先定原点与正方向。 按单位长度在指定方向定位。 方向由符号决定，距离由单位数决定。 例题讲解 示例 在数轴上表示与。 -3 -2 -1 0 1 2 3 1/2 −1.5 答：在0与1中间；在−1与−2中间。 0.5是半个单位长度。 −1.5在负半轴，距原点1.5个单位长度。 先定位相邻整数，再细分单位长度。 新知讲授 正数a对应的点 正方向 一般地，设是一个正数，则数轴上表示数的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是个单位长度； 负方向 表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是个单位长度。 方法归纳 在数轴上定位 画出数轴 ① 画直线，标原点0与正方向箭头。 ② 选合适单位长度，标均匀刻度。 表示一个数 ① 先按正负确定原点左侧或右侧。 ② 再数单位长度，分数、小数需要细分。 例题讲解 例 2 画出数轴，并在数轴上表示下列各数：。 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 3 −4 4 0.5 0 −5/2 −1 答：各点如图。 先标出整数−4、−1、0、3、4。 再标出−5/2=−2.5与0.5两个半单位位置。 保留每一个给定数，不要漏掉0。 例题讲解 变式 若一小格表示0.5个单位长度，点在原点右侧6小格处，它表示什么数？ 答：3。 每小格0.5，6格表示3个单位长度。 在正方向，所以表示正3。 小格数不一定等于单位长度数。 例题讲解 变式 某数轴上0与2之间分成4小格。原点左侧3小格的点表示什么数？ 答：−1.5。 每格为2÷4=0.5。 左侧3格对应负的1.5。 读图先确定每小格代表多少。 例题讲解 示例 画数轴时，小林只标出−2、−1、1、2而没有标0。这样的图怎样补充？ 答：在−1与1的中点标出原点0，并检查正方向箭头。 原点是数轴三要素之一。 −1与1之间包含0，不能把它们画为相邻整数刻度。 原点及其标签要清楚。 阶段归纳 数与点的关系 每个有理数都可表示 正数在正半轴，负数在负半轴，0在原点。分数和小数也有确定的位置。 同一个数同一个位置 与表示同一个数，对应同一个点，不能标在两个不同位置。 例题讲解 示例 在同一条数轴上，能不能用两个不同的点表示数2？为什么？ 答：不能。 从确定的原点出发，向正方向移动2个单位，位置已经唯一确定。 同一条数轴的原点、方向、单位长度保持一致。 每个有理数在数轴上有确定的位置。 方法归纳 从图形读数 确定刻度尺度 ① 找到已知刻度数，算清每小格表示的单位长度。 ② 再从原点数格数，并结合方向读数。 检查是否一致 ① 数值相等时，位置应相同。 ② 相邻整数之间距离相同，正、负两侧使用同一尺度。 课堂练习 练习 如图，写出数轴上点表示的数。 答：，，，，。 先观察原点和每个整数刻度。 D位于2与3的中点。 点名与数值逐一对应。 课堂练习 练习 画出数轴，并在数轴上表示下列有理数：。 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 −5 3.5 −7/2 −1/2 3/2 5 9/2 答：表示如图。 −7/2=−3.5，−1/2=−0.5。 3/2=1.5，9/2=4.5，其余按数值定位。 先将分数看作整数与半单位的位置。 课堂练习 练习 在数轴上，表示−2与4的点之间（包括这两个点）有______个点表示的数是整数，它们分别是______，其中负整数有______个。 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 −2 4 答：7；−2、−1、0、1、2、3、4；2。 从−2到4按顺序列出整数。 “包括这两个点”说明−2、4都计入；负整数是−2、−1。 注意是否包含端点。 课堂练习 练习 在数轴上，点A表示的数是−3，从点A出发，沿数轴向某一方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是多少？ -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 A B₁ B₂ 答：1或−7。 向右4个单位到1。 向左4个单位到−7。 “某一方向”要考虑向左和向右两种情况。 课堂练习 练习 数轴上表示−2与3的两点相距几个单位长度？ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 A B 答：5个单位长度。 从−2到0为2个单位，从0到3为3个单位。 合起来为5个单位。 距离描述长度，不能写成负数。 课堂练习 练习 数轴上与原点距离为2个单位长度的点分别表示什么数？ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 −2 2 答：2和−2。 原点右侧2个单位对应2。 原点左侧2个单位对应−2。 只给距离时，别漏掉另一侧。 练习归纳 数轴题归纳 画图与读图 画图先确定三要素，读图先确定刻度。数轴把数与位置联系起来。 分类讨论 距离只说明远近，不说明方向。“某一方向”“距原点若干单位”等条件常有左右两种可能。 课堂总结 数轴 三要素 原点、正方向、单位长度。 数的位置 正数在正半轴，负数在负半轴，0在原点。 读图与作图 先看尺度，再按方向和单位长度定位。 注意 分数需细分，方向不明时考虑两侧。 针对训练 训练 数轴必须规定的三个要素是（　）。A.原点、终点、长度　B.原点、正方向、单位长度　C.正数、负数、0　D.直线、线段、射线 答：B。 三要素决定数在直线上的位置。 数轴没有固定终点。 按数轴定义检查。 针对训练 训练 在数轴上，原点左侧5个单位长度的点表示______，右侧4个单位长度的点表示______。 答：−5，4。 左侧对应负数。 右侧对应正数。 方向与长度结合判断。 针对训练 训练 判断下列说法。 （1） 0对应原点。 正确 这是原点的规定。 （2） 负数不能在数轴上表示。 错误 负数在负半轴。 （3） 同一条数轴每个单位长度必须相同。 正确 单位长度应统一。 用三要素说明理由。 针对训练 训练 数轴上与分别在哪两个相邻整数之间？ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 −3/2 2.5 答：在−2与−1之间；2.5在2与3之间。 −3/2=−1.5。 两数都在对应整数刻度的中点。 分数先看单位长度份数。 针对训练 训练 某数轴上1个单位长度分成5小格。原点右侧7小格的点表示什么数？ 答：1.4。 1小格表示0.2。 7个小格表示1.4个单位，方向为正。 先确定每格对应的数值。 针对训练 训练 数轴上表示和的点是否重合？为什么？ 答：重合。 3/4=0.75。 同一个数对应数轴上同一个点。 相等的数对应同一点。 针对训练 训练 数轴上−3与2之间，不包括这两个端点，表示整数的点有哪些？ 答：−2、−1、0、1，共4个。 先列出区间内整数。 题目不包括端点，所以删去−3和2。 看清包含或不包含端点。 针对训练 训练 点A表示2，向某一方向移动3个单位到B。B可以表示什么数？ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 A B₁ B₂ 答：5或−1。 向右到5。 向左到−1。 未限定方向，应分类讨论。 针对训练 训练 小明在0的右侧依次标1、−2、3，刻度间距相等。他的图错在哪里？ 答：−2应在原点左侧，右侧第二个整数刻度应为2。 正半轴对应正数。 数值与位置必须符合统一的正方向。 将符号与位置对应。 针对训练 训练 沿东西道路，以校门为原点，向东为正，每单位表示100 m。书店在数轴的−3处，体育馆在+2处，分别在校门的什么方向、多远？ 答：书店在西侧300 m；体育馆在东侧200 m。 符号判断东西方向。 单位数分别乘100 m得到实际距离。 将单位长度换回实际长度。 针对训练 训练 机器人在直线上A点，A表示−1。它先向右移动4个单位到B，再向左移动2个单位到C。请画出A、B、C并说明B、C表示的数。 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 A B C 答：B表示3，C表示1。 从−1向右数4格到3。 再从3向左数2格到1。 以每一步的出发点继续定位。 方法归纳 本课方法总结 数与点相互对应 ① 先明确原点、方向和单位长度，再定位或读数。 ② 分数、小数先确定相邻整数，再细分单位。 位置关系分类讨论 ① 按方向移动时，从当前起点数单位长度。 ② 方向未确定时分别考虑左右；统计点数时注意端点。 $