精品解析：河南辉县市第一初级中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026～2027学年九年级阶段性素质评定数学学科试卷 一、选择题（30分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：D． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减、乘除法则及其性质判断即可． 【详解】解：对于A，，错误，不符合题意； 对于B，与不是同类二次根式，不能合并，错误，不符合题意； 对于C，，正确，符合题意； 对于D，，错误，不符合题意． 3. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查二次根式化简．先把化简，再根据同类二次根式的定义得到，从而可确定m的值． 【详解】解：∵，最简二次根式与可以合并， ∴和是同类二次根式， ， 解得：． 故选D． 4. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 等式成立需满足各二次根式的被开方数非负， ∴ 且， 解得． 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由算术平方根与绝对值的非负性列方程求a，b的值，再代入分式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 解得，， ． 6. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，利用配方法对变形即可得到答案，熟记配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【详解】解：用配方法解一元二次方程时， 得到，则，即， 故选：A． 7. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 8. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式结合二次项系数非0，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围． 【详解】方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 故选． 【点睛】本题考查了根的判别式，根据根的判别式结合二次项系数非0找出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 9. 若，则的值为（ ） A. 2或 B. 或6 C. 6 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可． 【详解】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 故选：D． 10. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是（　　） A. x2+12＝（x+0.68）2 B. x2+（x+0.68）2＝12 C. x2+1002＝（x+68）2 D. x2+（x+68）2＝1002 【答案】D 【解析】 【分析】1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸，设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，利用勾股定理及门的对角线长1丈（100寸），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解. 【详解】解：1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸. 设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸， 依题意得：x2+（x+68）2＝1002. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、由实际问题抽象出一元二次方程，准确计算是解题的关键． 二、填空题（15分） 11. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可知要说明“”是错误的，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴要说明“”是错误的，则， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 13. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， ，得：或者， 又∵， ∴， 综上：． 14. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，得到含的等式，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 整理得， ． 15. 已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，结合两根之差为2的条件，得到关于的表达式，代入所求代数式后配方求最大值． 【详解】解：设方程的两根分别为，， 由根与系数的关系得，， ∵ 两根之差为， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 整理得， 将代入，得， 配方得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此的最大值为． 三、解答题（75分） 16. 计算 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）方程无实数根 【解析】 【分析】（1）先化为一般式，再用因式分解法求解即可； （2）针对不易使用因式分解、配方法的一元二次方程，先通过其判别式判断有无实数根，若有实数根再利用公式法求解． 【小问1详解】 解： ， 即或者， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 方程的判别式为：， ∴方程无实数根． 18. 按要求解题： （1）已知，，求代数式的值． （2）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】（1）39； （2）2． 【解析】 【分析】（1）根据a，b的值先求出，的值，再对代数式进行变形即可； （2）化简二次根式，根据数轴化简绝对值，再合并同类项． 【小问1详解】 解：，， ，， ； 【小问2详解】 解：观察数轴可知：，，， 原式 19. 先化简，再求值：，其中a是方程的一个根． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式=1-， =， =， =， 解方程， 得， ∵， ∴， 此时原式=． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】（1） 证明：， 该方程总有两个实数根； （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）先解方程得出，，再分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 解得：，， 方程的一个根是另一个根的3倍， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 21. 代数推理【观察思考】 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… （1）①写出第四个等式：________； ②如果n为正整数，用含n的式子表示第n个等式：________． 【规律证明】 （2）证明②中的等式成立． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②（为正整数）. （2）证明：左边， ∵为正整数， ∴， ∴左边右边， ∴等式成立； （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ． 22. 如图，用一段80米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个1米的门通往中间长方形，中间的长方形有一个1米的门通往外面，墙的最大可用长度为50米． （1）如果羊圈的总面积为345平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为480平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）边AB的长为15米； （2）羊圈的总面积不能为480平方米．理由如下： 设边的长为x，依题意得： 整理得： ∴此方程无解，故羊圈的总面积不能为480平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． （1）设边AB的长为x，则米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案． 【小问1详解】 设边的长为x，依题意得： 整理得： 解得：，， 当时，，不合题意 答：边的长为15米； 【小问2详解】 略 23. 项目式学习 农家乐的扩建与经营 素材一 如今短视频平台、旅游让农家乐“出圈”，为了进一步提升顾客体验，某经营户打算将自家农家乐现有的矩形就餐区域，扩建成如图所示更大的正方形区域．目前这个矩形就餐区的面积为120平方米，扩建时，他将矩形的其中一边增加5米，另一边增加3米，这样改造后就能形成一个正方形的就餐区域． 素材二 改造前的顾客的平均等待时间为25分钟，就餐区域改造完成后，通过优化叫号系统，两个星期后的平均等待时间缩短至16分钟． 素材三 经营户推出特色餐饮品鉴活动．通过市场调查，发现当收费标准为80元/人时，平均每天可接待顾客60人．收费标准每降低5元，平均每天可多接待10人． （1）扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ （2）求平均每星期等待时间降低的百分率是多少？ （3）如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到6000元，并且从为顾客让利的角度出发，收费标准应确定为多少元/人？ 【答案】（1）扩建后正方形就餐区域的边长为15米 （2）平均每星期等待时间降低的百分率是 （3）收费标准应定为50元/人 【解析】 【分析】（1）设扩建后正方形就餐区域的边长为x米，根据题意，得，然后进行求解即可； （2）设平均每星期等待时间降低的百分率是y，由题意得：，然后进行求解即可； （3）设收费标准降低了a元/人，根据题意，得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设扩建后正方形就餐区域的边长为x米， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：扩建后正方形就餐区域的边长为15米． 【小问2详解】 解：设平均每星期等待时间降低的百分率是y，由题意得： ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：平均每星期等待时间降低的百分率是． 【小问3详解】 解：设收费标准降低了a元/人， 根据题意，得， 解得，， ∵要从为顾客让利的角度出发， ∴，收费标准应为（元/人）， 答：收费标准应定为50元/人． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年九年级阶段性素质评定数学学科试卷 一、选择题（30分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 11 4. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A. B. C. 且 D. 且 9. 若，则的值为（ ） A. 2或 B. 或6 C. 6 D. 2 10. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是（　　） A. x2+12＝（x+0.68）2 B. x2+（x+0.68）2＝12 C. x2+1002＝（x+68）2 D. x2+（x+68）2＝1002 二、填空题（15分） 11. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是________ 12. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____． 13. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 14. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为________． 15. 已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为________． 三、解答题（75分） 16. 计算 （1） （2）． 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 按要求解题： （1）已知，，求代数式的值． （2）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 19. 先化简，再求值：，其中a是方程的一个根． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 21. 代数推理【观察思考】 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… （1）①写出第四个等式：________； ②如果n为正整数，用含n的式子表示第n个等式：________． 【规律证明】 （2）证明②中的等式成立． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 22. 如图，用一段80米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个1米的门通往中间长方形，中间的长方形有一个1米的门通往外面，墙的最大可用长度为50米． （1）如果羊圈的总面积为345平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为480平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 23. 项目式学习 农家乐的扩建与经营 素材一 如今短视频平台、旅游让农家乐“出圈”，为了进一步提升顾客体验，某经营户打算将自家农家乐现有的矩形就餐区域，扩建成如图所示更大的正方形区域．目前这个矩形就餐区的面积为120平方米，扩建时，他将矩形的其中一边增加5米，另一边增加3米，这样改造后就能形成一个正方形的就餐区域． 素材二 改造前的顾客的平均等待时间为25分钟，就餐区域改造完成后，通过优化叫号系统，两个星期后的平均等待时间缩短至16分钟． 素材三 经营户推出特色餐饮品鉴活动．通过市场调查，发现当收费标准为80元/人时，平均每天可接待顾客60人．收费标准每降低5元，平均每天可多接待10人． （1）扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ （2）求平均每星期等待时间降低的百分率是多少？ （3）如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到6000元，并且从为顾客让利的角度出发，收费标准应确定为多少元/人？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $