精品解析：江苏省宿迁中学、马陵中学2026-2027学年高二上学期第一次学业质量检测数学试卷

2026-2027学年度高二年级第一次学业质量检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 2. 直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 3. 已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（ ） A. 8m B. 7m C. 7.5m D. 6.5m 7. 已知圆，圆，其中.若两圆外切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3） B. 过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为 C. 经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0 D. 直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8 10. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，、，点满足.设点的轨迹为，则下列说法正确的是（ ） A. 轨迹的方程为 B. 若，则的最小值为 C. 当轨迹上恰有三个不同的点到直线的距离为3时， D. 在上不存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是____________． 13. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为________. 14. 若实数：满足，，则的最大值为_____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 16. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线的方程． 17. 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 18. 已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1与直线m：3x﹣y+6＝0，动直线l过定点A（0，1）． （1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、． （Ⅰ）当切线PA的长度为时，求点的坐标； （Ⅱ）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高二年级第一次学业质量检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直的公式求解即可. 【详解】因为：，：垂直， 所以， 解得或， 将，代入方程，均满足题意， 所以当或时，. 故选：. 2. 直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 设直线的斜率为，则直线方程为，令，可得，解不等式即可得答案； 【详解】设直线的斜率为k，则直线方程为， 令，得直线l在x轴上的截距为， 则，解得或. 故选：D. 3. 已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可. 【详解】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件， 故选C. 【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题 4. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 5. 设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可. 【详解】当时，方程变为，其倾斜角为， 当时，由直线方程可得斜率，且， ，即，又，， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C. 6. 某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（ ） A. 8m B. 7m C. 7.5m D. 6.5m 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，求解圆的方程，再将坐标代入求解即可. 【详解】由题意可得，，圆拱的跨度，拱高，所以， 如图，以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， 设圆心，半径为，所以圆：， ，，， 所以，解得，， 所以圆：， 将代入，因为，解得， 所以. 故选：B. 7. 已知圆，圆，其中.若两圆外切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆外切得到，变换为点与形成直线的斜率，根据直线和圆相切结合图像得到答案. 【详解】圆和圆外切， 则，整理得到， 表示圆的点与形成直线的斜率， 设直线方程为，即， 当直线与圆相切时，，解得或. 根据图像知： 故选：A. 8. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点的轨迹为圆，设为弦的中点，再由向量的加法运算和圆与圆的位置关系可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标为， 直线恒过点，直线恒过点， 因为，所以，则，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆，的中点为，， 故点的轨迹为圆，但是去掉点，其中， 若点为弦的中点，位置关系如图： ，连接，由，易知， 故点在以为圆心，半径为1的圆上， ，直线为， 联立与得或（舍去）， 又点为圆上的点，， 此时. 故选：D 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3） B. 过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为 C. 经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0 D. 直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8 【答案】ACD 【解析】 【分析】 通过对称性判断A；两点式方程的体积判断B；截距式方程判断C，三角形的面积判断D； 【详解】点（2，0）与（﹣1，3）的中点（，） 满足直线y＝x+1，并且两点的斜率为﹣1， 所以点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3）， 所以A正确； 当x1≠x2，y1≠y2时，过（x1，y1），（x2，y2）， 两点的直线方程为，所以B不正确； 经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程 为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0，所以正确； 直线x﹣y﹣4＝0，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：8，所以D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线方程的求法，直线的位置关系的判断，是基本知识的考查. 10. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求出点A，B的坐标，可判断选项A的正误；判断两条直线的位置关系可判断选项B的正误；根据基本不等式链可判断选项C，D的正误. 【详解】由，得． 因为，所以，得． 由，得． 因为，所以，得． 所以，A正确． 由直线：和直线：，知． 所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误． 因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，、，点满足.设点的轨迹为，则下列说法正确的是（ ） A. 轨迹的方程为 B. 若，则的最小值为 C. 当轨迹上恰有三个不同的点到直线的距离为3时， D. 在上不存在点，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义与方程结合直线与圆的位置关系、三角形面积最大值的计算对选项逐个分析. 【详解】设，P不与A、B重合， 由、，有，， ，即，化简得， 所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示， 对于A：由曲线的方程为，所以A正确； 对于B：设，可得， 由题意可知，直线与圆有公共点，则， 解得，故的最小值为，所以B正确； 对于C：圆上恰有三个不同的点到直线距离为， 需圆心到直线距离（且， 圆心到直线的距离：时，直线， 圆上到距离为3的点有三个（相切1个，相交2个）， 故也满足，所以C错误； 对于D：设，由得， 化简得，因为， 所以上不存在点，使得，所以D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】直线恒过点，曲线表示以为圆心、1为半径的上半圆，求出直线与圆相切时的斜率和直线过点的斜率，从而可求出答案. 【详解】对于直线，令可得， 所以直线恒过定点， 由得，即， 即曲线表示以为圆心为半径的上半圆， 设直线与半圆相切与点，则，解得，或（舍去）， 当直线过点时，， 若直线与曲线恰有两个交点， 则实数的取值范围是， 故答案为：. 13. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故答案为： 14. 若实数：满足，，则的最大值为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件结构特征，转化为单位圆上两点到定直线距离和的关系，再根据圆的几何性质求最值. 【详解】因为，， 所以在单位圆上， 且因为， 所以， 因为,其中为AB中点. 又因为,所以,即的最大值为 【点睛】本题考查向量数列积、点到直线距离公式、以及圆的性质，考查综合分析转化求解能力，属难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）证明：直线的方程可化为，故无论取何值，直线总过定点． （2） （3）的最小值为4，直线l的方程为 【解析】 【分析】（1）直线方程化为，可以得出直线总过定点； （2）考虑直线的斜率及在轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直线的方程为，且恒过点， 则直线在轴上的截距为， 要使直线不经过第四象限，则 ，解得， 故的取值范围是． 【小问3详解】 依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， 所以 ，． 又且，． 故， 当且仅当，即时取等号． 故的最小值为4，此时直线l的方程为． 16. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，则，代入，求解即可； （2）设直线的方程为：，在直线取点，利用点到直线的距离等于点到直线的距离，求解即可. 【小问1详解】 解：由题意可知点在直线上， 所以设， 所以中点， 又因为点在直线上， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 设直线的方程为：， 又因为， 所以直线的方程为：， 又因为的角平分线所在的直线方程为， 在直线取点， 则点到直线的距离等于点到直线的距离， 即有，整理得， 解得：或， 当时，所求方程即为直线的方程， 所以， 所以直线的方程为： . 17. 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）； （ⅱ）设， 由根与系数的关系：， 所以. 即直线OA，OB斜率之和为定值. 【解析】 【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a， 又圆C与直线相切， 所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：. （2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：， 因为有两个交点， 所以，即k的取值范围是. （ⅱ）略 18. 已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1与直线m：3x﹣y+6＝0，动直线l过定点A（0，1）． （1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）y＝1或；（2）是，-5. 【解析】 【分析】（1）由题意可得直线的斜率存在，所以设直线l的方程为，然后利用点到直线的距离公式可得求出的值，从而可求出切线方程， （2）设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0），将直线方程与圆方程联立方程组消去y，解方程可求出点的坐标，再将两直线方程联立可求出点的坐标，从而可表示出 ，化简可得结论 【详解】解：（1）1°当直线l的斜率不存在时， l的方程为x＝0，与圆C不相切； 2°当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为，即， ∴，解得或， ∴直线l的方程为y＝1或； （2）由题意可知直线l的斜率存在， 设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0）， 由消去y得，（1+k2）x2﹣（6﹣2k）x+9＝0， ∴， ∴，∴， 由得，， ∴，∴， ∴， ∴为定值． 19. 已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、． （Ⅰ）当切线PA的长度为时，求点的坐标； （Ⅱ）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求线段长度的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）AB有最小值 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）求点的坐标，需列出两个独立条件,根据解方程组解：由点是直线：上的一动点，得，由切线PA的长度为得，解得（Ⅱ）设P（2b,b），先确定圆的方程：因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，其方程为：，再按b整理：由解得或，所以圆过定点（Ⅲ）先确定直线方程，这可利用两圆公共弦性质解得：由圆方程为及 圆：，相减消去x,y平方项得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为：，相交弦长即： ，当时，AB有最小值 试题解析：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，设P（2b,b）， 因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°, 所以MP＝，解得 所以4分 （Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径， 其方程为： 即 由， 7分 解得或，所以圆过定点9分 （Ⅲ）因为圆方程为 即① 圆：，即② ②－①得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为： 11分 点M到直线AB的距离13分 相交弦长即： 当时，AB有最小值16分 考点：圆的切线长，圆的方程，两圆的公共弦方程 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $