精品解析：江苏南京市第十三中学、第九中学等校2026-2027学年高二上学期10月学情调研数学试题

2025级高二10月学情调研 数 学 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以. 2. 若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ） A. 6 B. 9 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【详解】根据方差的性质，若，则. 3. 已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形弧长求底面半径，再代入圆锥的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 则，解得，所以该圆锥的表面积为. 故选：C 4. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 5. 甲、乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，每场比赛乙队获胜的概率是. 所以乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为. 6. 已知，，则等于（ ） 　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的和差公式得到，再利用诱导公式即可得解. 【详解】因为 ， 所以， 而. 故选：C. 7. 一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据光线反射的性质将光线从到经过的路程转化为的长度，然后利用勾股定理计算即可. 【详解】 设为点关于轴对称的对称点，则， 根据光线反射的性质可得光线从到经过的路程等于， 圆的方程可整理为，所以圆心，半径， 所以，. 8. 如图，在中，，，，，分别是，上的点，且，，连接，，交点为，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：设，，以为基底，利用平面向量基本定理，以及向量的夹角公式即可求解； 方法二：建立平面直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】因为，，， 所以，所以． 法一：设，， 因为点C，D，E共线，故存在实数λ，使得，即， 所以．① 因为点B，D，F共线，故存在实数μ，使得，即， 所以．② 由①②和平面向量的基本定理可知，解得，， 所以，， 所以，，， 所以． 法二：以C为原点，AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 如图，由题意易得，，因为E为AB中点， 所以，，易知轴，故BF的方程为①， 设直线CE的方程为， 把E点坐标代入得直线CE的方程为②， 由①②得D的坐标为， ， ， 所以，，， ． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 某中学高二（2）班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示．在班级里随机选一人，事件“选到男生”，事件“选到女生” ，事件“选到团员” ，则（ ） 团员 非团员 合计 男生 15 10 25 女生 12 8 20 合计 27 18 45 A. B. C. 事件B与事件C互斥 D. 事件A与事件C相互独立 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，全班共45人，女生共20人， 所以，故A正确. 对于B，的含义为选到男生且不是团员，共有10人， 所以，故B正确. 对于C，的含义为选到女生并且是团员，二者可以同时发生， 所以事件B与事件C不互斥，故C错误. 对于D，， ，， 所以，所以事件A与事件C相互独立，故D正确. 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 圆C被x轴截得的弦长为 C. 圆C与圆相交 D. 圆C上的点到直线l的最大距离为13 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，对直线的方程整理得， ，得，故直线恒过定点，A选项正确； 对于B，令，得，得或， 故圆被轴所截得的弦长为，B选项正确； 对于C，圆的圆心坐标，半径， 圆的圆心坐标，半径， 两圆圆心距，两圆内含，C选项错误； 对于D，直线恒过定点， 圆心C到直线l的最大距离为线段， 故圆C上的点到直线l的最大距离为，D选项错误. 11. 在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积不变 C. 的最小值为 D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A；，由底面积和高判断体积验证选项B；转化为点和点到点的距离之和，计算验证选项C；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D. 【详解】连接，如图所示， 直三棱柱中，， 为正方形，， ，平面，平面，， 平面，，平面， 平面，，A选项正确； 由直三棱柱的结构特征，，故三棱锥的体积为定值，B选项正确； 设，，， ， ， ，其几何意义是点和点到点的距离之和，最小值为点到点的距离，为，C选项错误； 当是的中点时，，，， ， ，， ，设点到平面的距离为，由， 得，， 直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径，点到平面的距离为， 则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，通过构造直角三角形求半径. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知向量，，若与共线，则__________． 【答案】-2 【解析】 【详解】由题意知，， 解得. 13. 已知两平行直线与之间的距离是，则__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据两直线平行求出，根据两平行线之间的距离求出，进而得到. 【详解】直线即，则，解得， 又，解得或，又，所以， 所以. 14. 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，侧面 为正三角形，，则四棱锥体积的最大值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】与交于点，连接，先证明平面，得，，将分别用的三角函数表示，接着表示出的面积，进而求出四棱锥体积的表示式，借助于余弦函数与二次函数的性质即可求得其最大值. 【详解】设菱形 的对角线与交于点，连接， 因为是菱形，所以， 因 ，平面， 则平面，因平面，则， 设，依题意，，因，则， ，在中，， 在中，因，则， ， 则的面积为， 于是四棱锥体积为 ， 因，则，， 故当时，. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 根据条件求值 （1）若直线和直线平行，求m的值； （2）已知直线，直线，且，求m的值． 【答案】（1）. （2）或. 【解析】 【小问1详解】 因为直线和直线平行， 则，解得或， 经检验时两条直线重合舍去，所以． 【小问2详解】 因为直线与直线垂直， 所以，即，解得或. 16. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多40辆． （1）求a，b的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率． 【答案】（1），． （2）85分． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，结合两组车辆数量差建立方程组，联立求出； （2）A等车是前 30%，对应求第 70 百分位数，先分段累加频率定位区间，再用百分位数公式算出分数线； （3）先分层抽样确定两组抽取数量，列举全部基本事件，统计符合条件事件数，用古典概型计算概率. 【小问1详解】 由直方图的数据得①， 由评分在的快递车比内的多40辆，得 ，解得②， 联立①②，解得，． 【小问2详解】 达到前30%时的分数线，等价于求第70百分位数．从低分段累计频率： ， 第70百分位数落在区间， 设分数线为x，则， 解得，估计A等车的分数线为85分． 【小问3详解】 分层抽样：评分超过80分的车辆组80辆，组20辆=100辆． 按比例抽取5辆：组：辆，组：辆． 编号：将组4辆车记为，，，；组1辆车记为． 列举所有等可能基本事件（5选2，无序）： 用列表法穷举： — √ √ √ √ — — √ √ √ — — — √ √ — — — — √ 共10种等可能基本事件， 找出“两车评分均不超过90分”的事件（即两车都来自组，不含）： ，，，，，共6种， 两车评分均不超过90分的概率：． 17. 已知圆C的圆心C在直线上，且圆C与直线相切于点. （1）求圆C的方程； （2）过点的直线l与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求直线l方程； （3）已知点，若圆C上存在点P满足，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）通过圆心在直线上设坐标，结合切线垂直半径求圆心，进而得圆的方程； （2）分析直角三角形的性质，利用圆心到直线的距离公式求直线方程； （3）将向量积转化为直线与圆的位置关系，进而求参数范围. 【小问1详解】 设圆心，由垂直直线， 得，解得，故. 半径，圆的方程为. 【小问2详解】 为直角三角形，且，故直角在，斜边, 所以圆心到直线的距离为. 斜率存在时，设直线，即， 由，解得，直线为； 斜率不存在时，直线到圆心的距离为，符合条件. 故直线的方程为或. 【小问3详解】 设，，， 则. 由圆的方程得， 代入得，即. 设，直线与圆有交点，故，解得. 由，得，，所以. 18. 如图，在三棱锥中，，，，．是的中点，是的中点，． （1）求证：平面； （2）若是的中点，在上，平面． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明：因，，则, 又因是的中点，则,且, 在中，，则, 又因是的中点，则, 因，则由可得, 因平面，故平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用条件分别证明，，再由线面垂直的判定定理即可得证； （2）（ⅰ）利用线面平行的性质先证得，结合条件推得是的中点，即得；（ⅱ）取的中点，连接，证明平面，作于点，连接，证明即二面角的平面角，借助于题设条件求解即得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因平面，在上，则平面， 因平面平面，则， 又因是的中点，则是的中点，故； （ⅱ）取的中点，连接，因是的中点，则，且， 在平面中，作于点，连接. 由（1）得平面，则平面，因面，则， 因平面，则平面， 又平面，则，故即二面角的平面角. 连接，易得， 因平面，平面，则，则， 故，又， 由可得， 在中，由等面积可得， 故在中，， 则，即二面角的正切值为. 19. 如图，若内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角．某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）若，求． （2）已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， （ⅰ）若，，求b； （ⅱ）若的周长为6，试把表示为b的函数，并求的值域． 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）， 【解析】 【分析】（1）根据以及布洛卡点的性质可得，代入即可. （2）在和中应用正弦定理得到方程组，两边相乘即可得到，代入即可. （3）由题意可得，利用向量的数量积公式和余弦定理得到， 结合基本不等式和三角形边的关系，求出，单调递减，从而求出的值域. 【小问1详解】 在中，， 因为P点为布洛卡点，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 由，则， 在中，， 在中，由正弦定理得， 即，解得①， 在中，由正弦定理得，， 即，解得②， 联立①②得，即． 在中，由正弦定理有， 与两边相乘： ，得， 所以，解得． （3）由题意知，， 则 ， 所以， 又因为，（当且仅当时，等号成立），解得， 又由三角形边的关系知，则，即， ，整理得，解得，即， 而时，单调递减，，， 所以的值域为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二10月学情调研 数 学 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ） A. 6 B. 9 C. 16 D. 18 3. 已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则等于（ ） 　　 A. B. C. D. 7. 一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，，分别是，上的点，且，，连接，，交点为，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 某中学高二（2）班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示．在班级里随机选一人，事件“选到男生”，事件“选到女生” ，事件“选到团员” ，则（ ） 团员 非团员 合计 男生 15 10 25 女生 12 8 20 合计 27 18 45 A. B. C. 事件B与事件C互斥 D. 事件A与事件C相互独立 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 圆C被x轴截得的弦长为 C. 圆C与圆相交 D. 圆C上的点到直线l的最大距离为13 11. 在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积不变 C. 的最小值为 D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知向量，，若与共线，则__________． 13. 已知两平行直线与之间的距离是，则__________． 14. 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，侧面 为正三角形，，则四棱锥体积的最大值为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 根据条件求值 （1）若直线和直线平行，求m的值； （2）已知直线，直线，且，求m的值． 16. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多40辆． （1）求a，b的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率． 17. 已知圆C的圆心C在直线上，且圆C与直线相切于点. （1）求圆C的方程； （2）过点的直线l与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求直线l方程； （3）已知点，若圆C上存在点P满足，求实数的取值范围. 18. 如图，在三棱锥中，，，，．是的中点，是的中点，． （1）求证：平面； （2）若是的中点，在上，平面． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求二面角的正切值． 19. 如图，若内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角．某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）若，求． （2）已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， （ⅰ）若，，求b； （ⅱ）若的周长为6，试把表示为b的函数，并求的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $