精品解析：江苏省泗阳中学2025-2026学年高二上学期第一次学情调研数学试卷

2025-2026学年第一学期第一次学情调研 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为 A. B. C. D. 3. 已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 5. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆,过点P（2，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，以为圆心，FO（O为坐标原点）为半径作圆F.直线与圆交于M，N两点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，若为正三角形，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则 B. 若过点的直线的斜率是2，则 C. 两平行直线与之间的距离为，则或 D. 直线关于直线对称的直线为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过5 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知点，到直线的距离相等，则实数的值为_______ 13. 已知是直线上的两点，若，且，则直线的一般式方程为________. 14. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为_________，的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，已知直线和. （1）若，求的值及与之间的距离； （2）若，过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程. 16. 已知两直线， （1）求直线和的交点的坐标； （2）若过点作圆的切线有两条，求的取值范围； （3）若直线与，不能构成三角形，求实数的值. 17. 已知的顶点，边上的高所在直线为：，边上的中线所在直线为：，为的中点. （1）求点的坐标； （2）求过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程. 18. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. （1）求外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 19. 已知，，点满足. （1）求点P的轨迹方程C； （2）过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点. ①若，求直线l的方程； ②若，，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第一次学情调研 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，即可得答案. 【详解】设直线的的倾斜角为，且， 直线的斜率，所以， 故选：C 2. 已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直关系求出直线斜率为 ，再由点斜式写出直线． 【详解】由直线与直线垂直，可知直线斜率为，再由点斜式可知直线为： 即. 故选A. 【点睛】本题考查两直线垂直，属于基础题． 3. 已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，结合圆心到直线距离与半径的大小关系进行判断即可. 【详解】∵点是圆内不同于原点的一点， ， ∵圆心到直线的距离， 故直线和圆相离. 故选：C 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】结合两圆的圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解． 【详解】圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 则， 由于，即， 故圆与圆的位置关系为相交． 故选：D． 5. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 6. 已知圆,过点P（2，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】记圆心为 ，由相交弦长 和圆的半径 及圆心 到过 的直线的距离 之间的勾股关系，求出弦长的最小值即可. 【详解】由题意，圆的方程可化为 ，圆心坐标为 ，半径 ， 设圆心到直线的距离为 ，则过 的直线与圆的相交弦长 ， 当直线与 所在直线垂直时， 最大，此时，当 最大时， 最小， 所以最小的弦长 . 故选：D. 7. 若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【详解】由得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点，  当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 8. 已知点，以为圆心，FO（O为坐标原点）为半径作圆F.直线与圆交于M，N两点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，若为正三角形，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆的方程为，则，由为正三角形可知点到直线的距离与半径的比是3：2，建立与等量关系，再利用基本不等式求得最小值. 【详解】设圆的方程为，其中 则, 设原点到直线的距离为， ∵为正三角形，∴，且 ， 则 设， 即，， 由，得， 所以，当且仅当时等号成立； 所以的最小值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则 B. 若过点的直线的斜率是2，则 C. 两平行直线与之间的距离为，则或 D. 直线关于直线对称的直线为 【答案】CD 【解析】 【分析】由直线方程求出截距，建立方程求得，判断A选项；由斜率公式建立方程求得，判断B选项；由平行线的性质得到，再由平行线间距离公式建立方程求得，判断C选项；先求得直线与对称轴的交点坐标，然后在直线上取一点，通过对称轴求得对称点坐标，由这两个点求得对称直线方程，判断D选项. 【详解】令，则，令，则，则，即，A选项错误； 由题意可知，直线斜率存在，，即，B选项错误； 因为两直线平行，所以，两直线的距离，所以或，C选项正确； 联立直线方程，解得，即直线与直线交于点，在直线上取点，则点关于对称的点坐标为， 设直线关于直线对称的直线为，则，∴， 即直线关于直线对称的直线为，D选项正确. 故选：CD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与圆相交列不等式，进而得到点与圆位置关系，判断A；根据直线与圆的相交，确定最长弦长为直径，判断B；根据点到直线的距离公式，结合圆的半径，判断C；根据圆的特征以及切线的定义，判断D. 【详解】对于A项，由题意可得，所以，从而点在圆的外部，故A项正确； 对于B项，直线恒过定点，， 点在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B项错； 对于C项，圆心到直线的距离为，如图，直线与圆相交， ，与平行，且与直线的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足，故C项错误； 对于D项，过点作圆：的切线只有一条，则点在圆上， 又，故切线的斜率为， 所以切线方程为，即，故D项正确. 故选：AD. 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过5 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】曲线, 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于A：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B：曲线由4个半圆组成，其周长为，故B正确； 对于C：由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C错误； 对于D：到直线的距离， 而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知点，到直线的距离相等，则实数的值为_______ 【答案】或 【解析】 【分析】利用点到直线的距离求解. 【详解】因为点，到直线的距离相等， 所以， 解得或， 故答案为：或 13. 已知是直线上的两点，若，且，则直线的一般式方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式以及直线方程代入化简，解出k，得到斜截式，再化为一般式即可. 【详解】由两点间的距离公式得， 由于A，B在直线上，则，， 代入化简得 ， 所以 ，解得 ， 所以直线 的斜截式方程为： 或， 化成一般式为：或， 故答案为：或. 14. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为_________，的最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，则与有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，得到不等式，求出的最小值为；变形得到式子几何意义为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，得到，数形结合得到过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时，此时取得最大值，设直线为，与圆方程联立，根据根的判别式为0求出，从而得到切点坐标，代入求出最大值. 【详解】设，故，的几何意义为直线与轴交点的纵坐标， 且直线与有公共点， 其中是圆心为，半径为的圆， 故，解得， 故的最小值为； ， 可以看作上的点到直线的距离 与它到点的距离比值的2倍， 圆心到的距离为， 故直线与相交，且圆心在直线上方， 过点作⊥直线于点， 则，故， 当过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时， 此时取得最大值， 故取到最大值， 设直线为， 联立与得 ， 由得， 结合图形可知， 将代入中得， 解得， 将代入中得，故切点坐标为， 代入中得， 故的最大值为. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：变形得到，转化为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，进一步转化为，数形结合得到最值 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，已知直线和. （1）若，求的值及与之间的距离； （2）若，过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两直线平行斜率相等可得，再由两平行线间的距离公式计算可得结果； （2）由可得点是线段的中点,求得点坐标并利用直线的点斜式方程可得直线的方程. 【小问1详解】 直线的斜率， 因为，所以直线的斜率存在，设为，且. 即，所以，解得. 将代入直线得，即， 所以与之间的距离为. 【小问2详解】 若，则， 由可知，点是线段的中点， 设，所以点关于的对称点， 因为点在直线上， 把点代入方程，即， 解得， 所以， 可得直线斜率，所以直线的方程为，即， 所以直线的方程为. 16. 已知两直线， （1）求直线和的交点的坐标； （2）若过点作圆的切线有两条，求的取值范围； （3）若直线与，不能构成三角形，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立直线方程，解方程组，即得答案； （2）根据点在圆外可得不等式，即求得答案； （3）讨论直线与，不能构成三角形的情况即为或或过点P，由此可求得a的值. 【小问1详解】 联立方程组， 即直线和的交点的坐标； 【小问2详解】 由题意知点在圆外，，； 【小问3详解】 若直线与，不能构成三角形， 则或或过点P， 当时，则，满足题意； 当时，，满足题意； 当过点P时，， 故实数的值为. 17. 已知的顶点，边上的高所在直线为：，边上的中线所在直线为：，为的中点. （1）求点的坐标； （2）求过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由直线的方程可得它的斜率，可得直线的斜率，可得直线的方程，因为是和的中线的交点，联立两条直线求出点的坐标，进而求出，的中点的坐标； （2）分直线过原点和不过原点两种情况讨论，设直线的方程，将的坐标代入求出参数的值，进而求出直线的方程. 【小问1详解】 解：因为，而直线：的斜率为， 所以直线的斜率为，即直线的方程为：， 即， 所以点在直线与边上的中线的交点， ，解得，， 所以顶点的坐标， 而为线段的中点，所以， 即的坐标； 【小问2详解】 解：当直线经过原点时，设直线的方程为， 将的坐标代入可得，解得， 这时直线的方程为； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 将代入可得， 解得， 这时直线的方程为， 综上所述：直线的方程为或. 18. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. （1）求外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 【答案】（1） （2）或 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可得圆的方程； （2）根据直线方程，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，进而可得直线方程； （3）由，可得当时面积最大，即此时为等腰直角三角形，进而可得圆心到直线的距离，根据点到直线距离公式可得解. 【小问1详解】 设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即； 【小问2详解】 由（1）得圆心，半径， 又，可知圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即； 综上，直线方程为或. 【小问3详解】 由在圆外， 则在中，，， 又， 则当，即时，取得最大值为， 此时为等腰直角三角形， 即圆心到直线的距离， 即， 解得. 19. 已知，，点满足. （1）求点P的轨迹方程C； （2）过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点. ①若，求直线l的方程； ②若，，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②是定值， 【解析】 【分析】（1）设动点坐标，由条件建立等式，整理后得到动点的轨迹方程； （2）设直线方程后联立曲线方程，整理得关于的一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理得到交点横坐标与参数的关系. ①由条件建立方程，结合为韦达定理的结果，求得斜率，即求得直线方程. ②分别求出向量，由条件建立方程组，解得，即可表示出，结合韦达定理化简求值，即可得出结论. 【小问1详解】 设，因为，所以， 化简得点P的轨迹方程C：. 【小问2详解】 因为过点的直线与y轴有交点，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，由， 消去y得，， 设，， 则，. ，， ①因为，所以，所以，即， 由得， 代入，得， 解得此时直线方程： ②， 则，，，， 因为，， 所以，解得， 为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $