精品解析：重庆市第一中学校2026-2027学年八年级上学期 10月学情自测数学试题

一中2028届八上第一次月考 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，最小的实数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适宜采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全市中学生的睡眠情况 B. 调查一批芯片散热片的耐高温性能 C. 调查八年级某班秋季运动会报名情况 D. 调查一批新能源汽车电池的续航情况 3. 下列几组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 若关于、的方程是二元一次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，且线段，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或8 6. 估计的值应在（ ）． A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7. 某实践小组成员们用甲、乙两个恒温电热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度更快，一段时间内，水温与加热时间之间近似满足一次函数关系．根据记录的数据，画函数图像如图．下列说法错误的是（ ）． A. 甲、乙两个水壶加热前水的温度都是 B. 乙壶的升温速度为 C. 在的范围内，当甲、乙两个水壶水温相差时，的值为或 D. 甲壶加热时，水温为 8. 如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点．…．按这样的运动规律．点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中，，点是边上的中点，点，分别为线段，上的点，且满足，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中为自然数，，，⋯，为整数，且，．下列说法： ①当时，若一次函数的图象与轴交于负半轴，则满足条件的整式有且只有1个； ②时，满足条件的整式，其有6个； ③当，时，满足条件的整式共有20个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 64的算术平方根是______． 12. 有五张正面分别标有数字，0，，2，8的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将五张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，以其正面数字作为的值，则点在第二象限的概率是________． 13. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 14. 已知一次函数的图象过点，，，则，，的大小关系为________（用符号连接） 15. 已知关于、的二元一次方程组的解满足，则________． 16. 如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，且，直线：与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一动点，则的最小值为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为，为边上一点．将沿翻折得到，点的对应点在四边形内部，连接．若，则点的坐标为________． 18. 一个四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字之和与百位上的数字与个位上的数字之和的积等于121，则称这个数为“对称数”．例如，对于四位数8536，，是“对称数”，则最小的“对称数”为________；一个“对称数”，记，，若，则满足条件的的值为________． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题、第20题各8分，第21题-第25题各10分，第26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 19. 计算、解方程组： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为引导学生树立节约粮食意识，喜迎10月16日世界粮食日，重庆某中学拟在初二年级开展粮食安全科普线上知识竞赛．活动之前，学生处随机对初二同学进行了调查，在以下四个选项中选择一项你最希望开展的活动形式：A手抄报比赛；B演讲比赛；C文艺汇演；D知识竞答，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次调查的初二学生人数为________，扇形统计图中选项C对应的圆心角度数是________． （2）请在图中补全条形统计图； （3）该中学初二年级共有1600名学生，估计该年级最希望开展的活动形式是D的学生人数是多少？ 22. 综合与实践 某数学学习小组在学习了勾股定理后发现，很多问题可以结合方程进行求解，该学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【问题提出】 如图，在中，，，，是的角平分线．他们猜想与之间存在以下数量关系：． 【动手操作】用尺规完成基本作图：过点作的垂线，交于点． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法和结论）； （2）请帮助该学习小组通过列方程计算的方法，完成以上猜想的证明． 23. 如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． （1）求的长度（结果保留根号）； （2）该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 24. 列方程（组）解下列问题： 某乡镇农产品展销店售卖A款土蜂蜜与B款菌菇干货．已知卖出1罐A款土蜂蜜和1袋B款菌菇的总销售额为65元；卖出5罐A款土蜂蜜和2袋B款菌菇的总销售额为250元． （1）求每罐A款土蜂蜜、每袋B款菌菇的售价分别为多少元？ （2）该展销店在8月份共销售A款土蜂蜜2000罐，B款菌菇3000袋．由于B款菌菇采摘成本上涨，从9月1日起，每袋B款菌菇的售价增加，A款蜂蜜的售价保持不变．统计9月的销量和销售额发现：A款蜂蜜的销量在8月的基础上降低，B款菌菇的销量在8月的基础上增加，这两款产品的总销售额在8月的基础上增加，求的值． 25. 如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：分别与轴、轴交于点、，并与直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）如图2，将直线向下平移，使得平移后的直线经过点，并与轴交于点，求四边形的面积； （3）若点为直线上一动点，且使得为等腰三角形，请直接写出点的横坐标． 26. 已知为直角三角形，，点为平面内一点． （1）如图1，点在的延长线上，且，连接．过点作于点，交边于点，连接．若，求的度数； （2）如图2，点在的下方，连接，．点为边上方一点，且满足，，连接并延长到点，连接．若，求证：； （3）如图3，，点为的角平分线与边的交点，点、点分别为线段、线段上的动点，且满足．当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一中2028届八上第一次月考 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，最小的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先排除非负数，再比较负数的绝对值大小确定最小值即可． 【详解】解：∵负数小于0， ∴ 排除B选项， ∵，，，， ∴ ，即最小值为． 2. 下列调查中，适宜采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全市中学生的睡眠情况 B. 调查一批芯片散热片的耐高温性能 C. 调查八年级某班秋季运动会报名情况 D. 调查一批新能源汽车电池的续航情况 【答案】C 【解析】 【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A．全市中学生数量多，调查范围广，不适宜全面调查； B．调查芯片散热片耐高温性能、具有破坏性，不适宜全面调查； C．八年级某班人数少，调查范围小，易于实施，适宜全面调查； D．新能源汽车电池续航情况均具有破坏性，不适宜全面调查． 3. 下列几组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个三角形中，两小边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项，∵， ∴不能构成直角三角形； B选项，∵， ∴能构成直角三角形； C选项，∵， ∴此时不能构成三角形，故不能构成直角三角形； D选项，， ∴不能构成直角三角形． 4. 若关于、的方程是二元一次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 方程是二元一次方程， ∴ ， 即且， ∴ . 5. 已知点，，且线段，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或8 【答案】C 【解析】 【分析】观察到两点纵坐标相同，将线段长度转化为横坐标差的绝对值，列方程求解． 【详解】解：∵点与的纵坐标相等， ∴线段的长度为两点横坐标差的绝对值， 即， 整理得， ∴或， 解得或． 6. 估计的值应在（ ）． A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二次根式混合运算法则化简，再估算结果的取值范围即可． 【详解】解：． ∵，． ∴． ∴． ∴． 7. 某实践小组成员们用甲、乙两个恒温电热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度更快，一段时间内，水温与加热时间之间近似满足一次函数关系．根据记录的数据，画函数图像如图．下列说法错误的是（ ）． A. 甲、乙两个水壶加热前水的温度都是 B. 乙壶的升温速度为 C. 在的范围内，当甲、乙两个水壶水温相差时，的值为或 D. 甲壶加热时，水温为 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像求出甲、乙两壶水温y与时间x的函数解析式，再结合函数图像特征逐项判断即可． 【详解】解：设甲壶水温 与时间x的函数关系式为，乙壶水温与时间x的函数关系式为 ，由图像可知，两直线均过点，则 ，甲壶图像过点代入得，解得，故；乙壶图像过点代入得 ，解得，故 ； A．当时，，说法正确，不符合题意； B．乙壶升温速度为，说法正确，不符合题意； C.甲壶水温达到所需时间为；当时，，解得：；当 时，甲壶水温保持，乙壶继续升温 令，解得，综上的值为或，说法错误，符合题意； D．当时，，说法正确，不符合题意． 8. 如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点．…．按这样的运动规律．点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察点的坐标变化，发现纵坐标每5次循环一次，横坐标每5次增加3，根据是的倍数确定点的纵坐标，结合选项即可求解． 【详解】解：由题意知，这些点每5个点循环一次，纵坐标依次为，横坐标每次循环增加3， ∵， 与的纵坐标相同，即为，横坐标为， ∴点的坐标是， 9. 如图，在等腰中，，点是边上的中点，点，分别为线段，上的点，且满足，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图：过点E作于点M，利用等腰直角三角形性质及勾股定理求出的长，设，在中利用勾股定理列方程求x，易得，，；根据同角的余角相等以及等腰三角形的性质可得；如图：延长交于G，易得点M和点G重合，即；如图：连接，设，则，；根据列方程求得b的值即可． 【详解】解：如图：过点E作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 在中，， 设，则 ， ∵点是边上的中点， ∴， 在中，， 在中，， ∴，解得， ∴，，， ∵在中，，点是边上的中点， ∴，， ∵，， ∴， 如图：延长交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点M和点G重合，即， 如图：连接，设，则，， ∵， ∴， ， 整理得：， 两边平方得：， 整理得：，解得：， ∴． 10. 已知整式：，其中为自然数，，，⋯，为整数，且，．下列说法： ①当时，若一次函数的图象与轴交于负半轴，则满足条件的整式有且只有1个； ②时，满足条件的整式，其有6个； ③当，时，满足条件的整式共有20个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式系数的乘积为且系数为整数，可知所有系数均为（为非负整数），且负系数个数为偶数． 结合系数非降的条件，分情况枚举验证三个说法即可． 【详解】解：验证说法① 当时，，其中为整数，，且． 一次函数图象与轴交于负半轴，即时函数值为负，故常数项． 由，得，即均为负整数． 乘积为2的负整数对满足的只有，对应整式，共1个． 故说法①正确． ### 验证说法② 当时，，其中为整数，，且． 乘积为正，故负系数个数为0或2： - 负系数个数为0（全正）： 正整数非降三元组乘积为4的有：，共2组． - 负系数个数为2（前两个为负，第三个为正）： 设（，正整数），则． 枚举得： 时，，对应，即三元组； 时，，对应，即三元组． 共4组． 合计个，故说法②正确． ### 验证说法③ 当且时，分别计算的符合条件的整式个数： - 时，，满足的整数对有，共2个； - 时，，由②知共6个，均满足； - 时，，，，负系数个数为0,2,4： 1． 全正：非降四元组乘积为8且的有，共2组（因排除）； 2． 4个负系数：对应绝对值非增四元组乘积为8，共3组，即，均满足； 3． 2个负系数（前两个负，后两个正）：设（），则，． 按的可能值枚举： - ：，，对应，共2组； - ：，，对应，共2组； - ：，，对应，共2组； - ：（因排除），，对应，共1组； 合计组． 时共个． 总计个，故说法③正确． 综上，①②③均正确． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 64的算术平方根是______． 【答案】8 【解析】 【详解】解：的算术平方根是． 12. 有五张正面分别标有数字，0，，2，8的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将五张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，以其正面数字作为的值，则点在第二象限的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据第二象限点的坐标特征，本题横坐标已经满足第二象限要求，只需找出满足的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵第二象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标大于，已知点为，横坐标，已经满足条件， ∴只要，点就在第二象限， ∵总共有种等可能的的取值结果，其中满足的结果有，，，共种， ∴所求概率． 13. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：， ，， 且， 故答案为：且． 14. 已知一次函数的图象过点，，，则，，的大小关系为________（用符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】先判断一次函数的增减性，再比较三个点横坐标的大小，根据增减性推导纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ∵， ∴， ∴随的增大而减小， ∵三个点的横坐标分别为，，，且满足， ∴对应纵坐标的大小关系为． 15. 已知关于、的二元一次方程组的解满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程组两个方程作差，得到关于的表达式，再结合已知条件求解． 【详解】解： 得 整理得 ∵ ∴ 解得． 16. 如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，且，直线：与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点B的坐标为，得出，再求出点坐标为，点坐标为，从而得出，过点O作于点D，延长，取点E，使，连接，交于点，连接，，根据等腰三角形的性质得出，根据中点坐标公式得出：，，根据线段垂直平分线的性质得出，从而得出，根据两点之间线段最短，得出当点P在点处时，最小，即最小，且最小值为的长，根据两点间距离公式求出结果即可． 【详解】解：把代入得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴点坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线：， 把代入得：， ∴点坐标为， ∴， ∴， 过点O作于点D，延长，取点E，使，连接，交于点，连接，，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴根据中点坐标公式可得：， ∵， ∴点D为的中点， ∴根据中点坐标公式可得：， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点P在点处时，最小，即最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， 即的最小值为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为，为边上一点．将沿翻折得到，点的对应点在四边形内部，连接．若，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠知垂直平分，结合判定是直角三角形；用“平行线间的距离处处相等”与全等说明过的中点，从而求出；再用勾股定理与面积法求出、，最后求出点的坐标． 【详解】解：沿翻折得到，如图，设与交于点， 垂直平分，即，，且，． ，， ，即，是直角三角形． 点在直线上， 点到直线的距离等于平行线与之间的距离，即． 点是的中点， ； 又， 是点到直线的距离， 点与点到直线的距离相等． 过作直线的垂线，垂足为， 则，，， ， ， 即点是的中点， ． 在中，． ， 由得 ， ． 在中，． 设点的坐标为（，），则． ， ， ， ， ． 点的坐标为． 18. 一个四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字之和与百位上的数字与个位上的数字之和的积等于121，则称这个数为“对称数”．例如，对于四位数8536，，是“对称数”，则最小的“对称数”为________；一个“对称数”，记，，若，则满足条件的的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据定义得，结合是数位数字（，），可得只能，，再按要求分别计算即可． 【详解】解：∵ ，两个数位数字的和最大为 ∴ 只能，，即，． 要使四位自然数最小，优先让千位最小． 当时，，不符合是一位数的要求，舍去； 当时，，符合要求，接下来优先让百位最小； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，因此最小的“对称数”为． ∵ ， ∴ ， 将、代入得： ， 化简得：，配方得：， ∵ 平方为非负数，为整数 ∴ ，，得， ∴，，故，验证符合所有条件． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题、第20题各8分，第21题-第25题各10分，第26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 19. 计算、解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，原式的值为． 【解析】 【分析】展开整式后合并同类项化简，根据非负数的性质求出，的值，再代入，的值计算结果． 【详解】解： ， 由，且，， 得，， 解得，， 将，代入得：原式． 21. 为引导学生树立节约粮食意识，喜迎10月16日世界粮食日，重庆某中学拟在初二年级开展粮食安全科普线上知识竞赛．活动之前，学生处随机对初二同学进行了调查，在以下四个选项中选择一项你最希望开展的活动形式：A手抄报比赛；B演讲比赛；C文艺汇演；D知识竞答，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次调查的初二学生人数为________，扇形统计图中选项C对应的圆心角度数是________． （2）请在图中补全条形统计图； （3）该中学初二年级共有1600名学生，估计该年级最希望开展的活动形式是D的学生人数是多少？ 【答案】（1）200， （2） （3）160人 【解析】 【分析】（1）用A选项的人数除以所占的比例求出总人数，用360度乘以C选项人数所占的比例求出圆心角的度数； （2）求出B选项的人数，补全条形图即可； （3）用样本估计总体的思想进行求解即可. 【小问1详解】 解：参与此次调查的初二学生人数为； ； 【小问2详解】 解：B选项的人数为； 略 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计该年级最希望开展的活动形式是D的学生人数是160人. 22. 综合与实践 某数学学习小组在学习了勾股定理后发现，很多问题可以结合方程进行求解，该学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【问题提出】 如图，在中，，，，是的角平分线．他们猜想与之间存在以下数量关系：． 【动手操作】用尺规完成基本作图：过点作的垂线，交于点． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法和结论）； （2）请帮助该学习小组通过列方程计算的方法，完成以上猜想的证明． 【答案】（1）如图，点即为所求． （2）证明：，，， ， 根据基本作图，得， 是的角平分线，，即， ， ， ∴， ∴， ∴， 设， ， 根据勾股定理，得， ，解得， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂线的基本作图解答即可 （2）利用勾股定理，构造方程，解答证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． （1）求的长度（结果保留根号）； （2）该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点B作构造直角三角形，由南偏西得到，利用含直角三角形的性质求出，再用勾股定理算出垂线段，接着算出，最后在中再次使用勾股定理求出； （2）以基站B为圆心、为通信半径，分别在行进路线上找出和这个圆相交的有效路段：全程在范围内，上截取，在上利用勾股算出交点E到A的距离，把三段有效路程相加，再根据“速度总路程时间”计算速度． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：如图，设， ， ， 该智能巡检机器人的行驶速度为． 24. 列方程（组）解下列问题： 某乡镇农产品展销店售卖A款土蜂蜜与B款菌菇干货．已知卖出1罐A款土蜂蜜和1袋B款菌菇的总销售额为65元；卖出5罐A款土蜂蜜和2袋B款菌菇的总销售额为250元． （1）求每罐A款土蜂蜜、每袋B款菌菇的售价分别为多少元？ （2）该展销店在8月份共销售A款土蜂蜜2000罐，B款菌菇3000袋．由于B款菌菇采摘成本上涨，从9月1日起，每袋B款菌菇的售价增加，A款蜂蜜的售价保持不变．统计9月的销量和销售额发现：A款蜂蜜的销量在8月的基础上降低，B款菌菇的销量在8月的基础上增加，这两款产品的总销售额在8月的基础上增加，求的值． 【答案】（1） 每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元 （2） 的值为16 【解析】 【分析】（1）根据两组总销售额的等量关系，设未知数列二元一次方程组求解； （2）分别表示9月两款产品的销售额，结合总销售额的增长比例列方程求解． 【小问1详解】 解：设每罐A款土蜂蜜售价为元，每袋B款菌菇售价为元， 根据题意，得 解得 答：每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元； 【小问2详解】 解：8月总销售额为（元）， 9月A款蜂蜜销量为罐，B款菌菇销量为袋，B款菌菇售价为元/袋， 根据题意，得 化简得 解得 答：的值为16． 25. 如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：分别与轴、轴交于点、，并与直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）如图2，将直线向下平移，使得平移后的直线经过点，并与轴交于点，求四边形的面积； （3）若点为直线上一动点，且使得为等腰三角形，请直接写出点的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出平移后的直线的解析式，进而求出点的坐标，连接，分割法求出四边形的面积即可； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：把点，点代入函数解析式，得： ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵分别与轴、轴交于点、， ∴当时，，当时，， ∴， 联立，解得， ∴， 设平移后直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， ∴当时，， ∴， 连接， ； 【小问3详解】 解：由（2）知：， ∴， 设， ∵， ∴，， 当为等腰三角形时，分3种情况： ①，则，即， 当时，两点重合，不符合题意， ∴， ∴， ∴； ②当时，，解得； ③当时，，解得； 综上：点的横坐标为或或. 26. 已知为直角三角形，，点为平面内一点． （1）如图1，点在的延长线上，且，连接．过点作于点，交边于点，连接．若，求的度数； （2）如图2，点在的下方，连接，．点为边上方一点，且满足，，连接并延长到点，连接．若，求证：； （3）如图3，，点为的角平分线与边的交点，点、点分别为线段、线段上的动点，且满足．当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，连接， ， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 点、点、点在同一条直线上， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）先在直角中求出，利用得到等腰算出底角，再通过证明得到，接着用证明得到平分，最后结合，用直角三角形两锐角互余求出； （2）将绕点B顺时针旋转，使与重合得到，由推导出，先用证，再结合角度条件证，从而证得； （3）取中点M，利用、证明，推出是等腰直角三角形，把转化为，依据两点之间线段最短找到取最小值的位置，求出此时与的长，最后用三角形面积公式算出的面积． 【小问1详解】 解：在中，，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取点为的中点，连接、、、，设，过点作，垂足为， ，， ，，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， ， ， 当点、、在同一条直线上时，取最小值，此时， 当点、、在同一条直线上时，设，则， ，， ，， ，， ， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， 或， ， ，即， ， ， 如图，过点作，垂足为， 平分， ， 设，则， ， ， ， ， ， 当取得最小值时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $