第三章 函数的概念与性质单元专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第三章 函数的概念与性质 题型1 已知函数值求自变量或参数 题型2 具体函数的定义域 题型3 抽象函数的定义域 题型4 复合函数的定义域 题型5 判别式法求最值 题型6 根据分段函数的值域（最值）求参数 题型7 复合函数的单调性 题型8 函数不等式恒成立问题 题型9 函数不等式能成立（有解）问题 题型10 分段函数的单调性 题型11 抽象函数的奇偶性 题型12 由幂函数的单调性求参数 题型13 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 题型14 幂函数图象过定点问题 题型15 判断五种常见幂函数的奇偶性 【题型1 已知函数值求自变量或参数】 1．已知函数． (1)若，求的值，并求方程的解； (2)若关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 2．（多选）已知函数，且满足，则下列结论正确的是（ ） A． B．实数的取值范围为 C． D．实数的取值范围为 3．已知函数，且，则（   ） A．－4或4 B．1 C．4 D．－1或1 【题型2 具体函数的定义域】 4．（1）求函数的定义域（用区间表示）； （2）函数的定义域为，求实数的取值范围． 5．（多选）若函数的定义域为，对，，都有成立，则可能的解析式有（   ） A． B． C． D． 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数与函数为同一函数 B．若函数，则函数的定义域为 C．若，则 D．若函数，其值域为，则这样的函数有4个 【题型3 抽象函数的定义域】 7．（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．函数是减函数 B．已知函数，则函数 C．已知，则 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 8．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【题型4 复合函数的定义域】 10．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 11．若函数的定义域为，则函数的定义域是________． 12．已知函数的定义域为，则的定义域为____________． 【题型5 判别式法求最值】 13．已知，且，则的取值范围是___________. 14．设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________. 15．函数的值域是______. 【题型6 根据分段函数的值域（最值）求参数】 16．已知则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 17．已知函数，若当时，，则的最大值是_____________． 18．（多选）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【题型7 复合函数的单调性】 19．函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 20．函数的增区间是______． 21．已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【题型8 函数不等式恒成立问题】 22．已知命题，命题．命题：函数和函数，若对任意的，总存在，使得成立. (1)写出命题p的否定，并判断当时命题p否定的真假（直接判断，无需说明理由）； (2)若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围． (3)若命题为真命题，求实数的取值范围． 23．已知函数的定义域为，且对任意，都有；并且当时，． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)若，求方程的解． (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 24．设． (1)若，恒成立，求实数的取值范围； (2)若，恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，解关于的不等式． 【题型9 函数不等式能成立（有解）问题】 25．已知定义在上的函数满足． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并利用单调性定义证明； (3)任意，对任意，，都有，求实数的取值范围． 26．已知函数 ，．若 ，都 ，使 成立，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．若，使得成立，则实数的取值范围是________. 【题型10 分段函数的单调性】 28．若函数是增函数，则实数的取值范围是_________. 29．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型11 抽象函数的奇偶性】 31．已知函数的定义域为，且满足，，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．是奇函数 D． 32．已知是定义在上的函数，且，，若，则（     ） A．2 B．0 C． D．4 33．已知函数的定义域为，且，，则下列选项错误的是（     ） A． B． C．是偶函数 D．的一个周期为4 【题型12 由幂函数的单调性求参数】 34．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 35．已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 36．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 【题型13 判断与幂函数相关的复合函数的单调性】 37．已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 38．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，的最小值为0 B．当时，的定义域为 C．当时，为减函数 D．时，在上的最大值为1 39．函数的单调递增区间是（    ） A．（） B． C． D． 【题型14 幂函数图象过定点问题】 40．已知关于x的幂函数 (1)求证：幂函数在第一象限内一定有图像. (2)命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同；判断命题m是命题n的什么条件并说明理由. (3)求证：除原点外，幂函数的图像一定与坐标轴无交点. 41．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 42．解关于的不等式：． 【题型15 判断五种常见幂函数的奇偶性】 43．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．令函数，则不等式的解集为 D．若函数，，，则 44．已知、，且满足，则_____． 45．（多选）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第三章 函数的概念与性质 题型1 已知函数值求自变量或参数 题型2 具体函数的定义域 题型3 抽象函数的定义域 题型4 复合函数的定义域 题型5 判别式法求最值 题型6 根据分段函数的值域（最值）求参数 题型7 复合函数的单调性 题型8 函数不等式恒成立问题 题型9 函数不等式能成立（有解）问题 题型10 分段函数的单调性 题型11 抽象函数的奇偶性 题型12 由幂函数的单调性求参数 题型13 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 题型14 幂函数图象过定点问题 题型15 判断五种常见幂函数的奇偶性 【题型1 已知函数值求自变量或参数】 1．已知函数． (1)若，求的值，并求方程的解； (2)若关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为 【分析】（1）分析可知的对称轴为，即可求得，进而代入解方程即可； （2）分析可知和是方程的根，可得，代入分类讨论两根大小解不等式. 【详解】（1）因为，可知的对称轴为， 且的对称轴为， 即，解得， 令，解得， 所以方程的解为. （2）因为解集是， 可知和是方程的根， 则，解得，即， 由，整理可得， 令，解得或， 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为 2．（多选）已知函数，且满足，则下列结论正确的是（ ） A． B．实数的取值范围为 C． D．实数的取值范围为 【答案】ABC 【分析】根据构造方程组可求得，判断A、C，根据求的范围，判断B、D. 【详解】由已知，得， 解得，则，故知选项A，C正确. 又因，即得，即实数的取值范围是，故知选项B正确，选项D错误. 故选：ABC. 3．已知函数，且，则（   ） A．－4或4 B．1 C．4 D．－1或1 【答案】D 【分析】分和两种情况求解即可. 【详解】解：根据题意，当，，则. 当，，则. 综上所述，或1. 故选：D. 【题型2 具体函数的定义域】 4．（1）求函数的定义域（用区间表示）； （2）函数的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据分式、根式及指数幂的性质求定义域即可； （2）问题转化为在实数集上恒成立，分类讨论研究恒成立即可. 【详解】（1）由题意有， 解得或或． 故函数的定义域为． （2）因为的定义域为，所以在实数集上恒成立． 若时，要使恒成立，则有且， 即，解得； 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以，即实数的取值范围. 5．（多选）若函数的定义域为，对，，都有成立，则可能的解析式有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数定义域和题中关系式两个方面逐项验证即可. 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且，符合题意，故A正确； 对于选项B：因为，， 两者不恒相等，故B错误； 对于选项C：因为的定义域为，不合题意，故C错误； 对于选项D：因为的定义域为， 且，符合题意，故D正确； 故选：AD. 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数与函数为同一函数 B．若函数，则函数的定义域为 C．若，则 D．若函数，其值域为，则这样的函数有4个 【答案】BC 【分析】根据函数的定义域、同一函数的判断，函数值的计算以及函数个数的确定，然后对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 它们不是同一个函数，错误. 对于选项，函数，函数，函数定义域为，解得，正确. 对于选项，，故令，解得，把代入，得，正确. 对于选项，函数，其值域为， ，解得， ，解得 ，解得 则函数的定义域是由， 因此这样的函数有个，错误. 故选：. 【题型3 抽象函数的定义域】 7．（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．函数是减函数 B．已知函数，则函数 C．已知，则 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【分析】对于A：根据反比例函数的单调性判断；对于B：利用换元法求函数的解析式；对于C：代入求值进行判断；对于D：利用抽象函数求定义域的方法进行求解. 【详解】对于A：函数在，上是减函数，故A选项错误； 对于B：设，则， 所以， 所以，故B正确； 对于C：，所以， 所以，故C错误； 对于D：因为函数的定义域为， 所以，所以，所以函数的定义域为， 故D选项正确； 故选：BD 8．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数定义域的求法,即可求得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，即函数的定义域为， 因此在函数中，，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【答案】 【分析】由的定义域为，得到中，解出的范围就是所求的函数的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以对于，有， 则对于，有，解得，则的定义域为. 故答案为： 【题型4 复合函数的定义域】 10．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】在中，，则， 所以函数中，解得. 11．若函数的定义域为，则函数的定义域是________． 【答案】 【分析】根据函数的定义域为，可知函数的自变量取值范围为，故对于函数，须满足. 【详解】函数的定义域是，对于函数有， 解得，所以函数的定义域是． 故答案为：. 12．已知函数的定义域为，则的定义域为____________． 【答案】 【分析】根据的定义域，求得的取值范围，由此求得的取值范围，也即求得函数的定义域. 【详解】由于函数的定义域为， 所以，即， 由于在定义域上递增， 所以， 解得. 所以函数的定义域为. 故答案为： 【题型5 判别式法求最值】 13．已知，且，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】首先根据题意得到，根据得到，再解不等式即可. 【详解】因为，所以. 又因为， 所以，解得. 故答案为：. 14．设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________. 【答案】2 【解析】化简得到，根据和得到，解得答案. 【详解】，则，则， 即，，故， ，即，即， . 故答案为：2. 15．函数的值域是______. 【答案】 【分析】将函数分母配方后，利用换元，整理成关于的方程，由求函数的值域转化为根据方程有实根求参问题，借助于判别式，求解不等式即得函数的值域. 【详解】因的定义域为， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 【题型6 根据分段函数的值域（最值）求参数】 16．已知则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的值域，利用换元法求解，的值域即可. 【详解】由题意知，， 当时，是单调递减的一次函数，，取值范围是， 当时，是单调递增的一次函数，取值范围是, 所以的值域为. 令，设，则，， 得， 当时，；当时，的取值范围是， 所以的取值范围是，即的值域为. 故选：B 17．已知函数，若当时，，则的最大值是_____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，按和两种情况求出不等式的解集的并集即可求解. 【详解】当时，由，得，解得，因此； 当时，由，得，解得，因此， 因此等价于，依题意，， 所以的最大值为. 故答案为： 18．（多选）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出函数在的值域，可知函数在上的值域包含，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，即函数在的值域为， 由于函数的值域为， 则函数在上的值域包含， 所以，，解得， 故选：AB. 【题型7 复合函数的单调性】 19．函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 20．函数的增区间是______． 【答案】 【分析】由偶次根式有意义,可得定义域为,再根据复合函数的同增异减法则可得. 【详解】函数是由函数复合而成的， 在其定义域上为增函数， 要求函数的增区间即求函数的增区间， 由于函数的增区间为， 又由函数的定义域为, 故函数的增区间是. 故答案为：． 21．已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性，结合函数的定义域即可求解. 【详解】由题意可得解得． 故答案为： 【题型8 函数不等式恒成立问题】 22．已知命题，命题．命题：函数和函数，若对任意的，总存在，使得成立. (1)写出命题p的否定，并判断当时命题p否定的真假（直接判断，无需说明理由）； (2)若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围． (3)若命题为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)命题的否定为，当时为真命题； (2)实数的取值范围是； (3)实数的取值范围是. 【分析】(1)依据全称命题的否定规则写出，代入直接判断真假；(2)分别求解命题为真、命题为假时的范围，取交集得到结果；(3)先求两个函数在给定区间的值域，结合全称与存在量词的逻辑关系列不等式求解的范围. 【详解】（1）全称命题的否定为特称命题，将全称量词替换为存在量词并否定结论，得：；当时，取，，故为真命题. （2）由题意可知为真命题，为假命题，①若为真，则对任意，恒成立，当时，的最小值为，故；②若为假，则一元二次方程无实根，判别式，解得，取两者的交集，得实数a的取值范围是. （3）函数，，该二次函数开口向上，对称轴为，因此在区间上单调递增， 时，取得最小值为，时，取得最大值为，故的值域为， 函数，,该一次函数斜率为，在区间上单调递减, 时，取得最大值为,时，取得最小值为，故的值域为， 命题“对任意的，总存在，使得成立”，因此只需保证的最小值小于的最小值，即可满足所有情况，所以，得. 23．已知函数的定义域为，且对任意，都有；并且当时，． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)若，求方程的解． (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在中令， 得，解得. 判断：在上单调递增． 证明：任取，则．在中取， 得，于是． 因为，由已知“时”得，所以． 故在上单调递增． (2) (3) 【分析】（1）在中令，计算得解；利用定义法结合已知条件求解； （2）由及求出，利用已知求出，利用单调性得到的等式，计算得解； （3）由在上单调递增得到，解出对任意恒成立，令．利用基本不等式求出a的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由及，． 又， 因为的定义域为，所以且，即． 于是原方程化为． 由（1）知在上严格单调递增， 故是一一对应（不同自变量对应不同函数值）， 从而，即，解得或． 由知舍去，故原方程的解为． （3）由（1）知在上单调递增， 所以 （此时，定义域条件自动满足）， 于是原题等价于对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为，所以对任意恒成立． 令． 由基本不等式，当且仅当时取等号，且， 故在上的最小值为． 所以，即实数a的取值范围为. 24．设． (1)若，恒成立，求实数的取值范围； (2)若，恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3)当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为． 【分析】（1）分离参数，将不等式恒成立转化为在上恒成立，再结合构造函数，确定函数的最值，即可得解. （2）将看作关于的一次函数，即可将原问题转化为一次函数恒成立，结合一次函数性质即可求解. （3）将化为，即，对m分类讨论，即可求得答案. 【详解】（1）要使在上恒成立， 即，， 因为当时，， 则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为． （2）设， 则是关于的一次函数，且一次项系数为， ，恒成立，等价于恒成立， 即等价于，解得， 故实数的取值范围为． （3）由化简得，即， 当时，，解得． 当时，对于不等式，解得， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 综上所述：当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为． 【题型9 函数不等式能成立（有解）问题】 25．已知定义在上的函数满足． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并利用单调性定义证明； (3)任意，对任意，，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在单调递减，证明如下： 任意，设， ， 由，得，， ，且， ， 则，得， 则在单调递减． (3) 【分析】（1）根据解方程组法求解析式即可； （2）任意，设，计算，可得，根据单调性定义即可证明； （3）由（2）可知在上单调递减，同理可证在上单调递增，根据函数的单调性可得，，根据恒成立问题可得，所以，使得，再根据恒成立问题可得，求出最大值即可求解. 【详解】（1），得， 两式相加，得，得． （2）略 （3）由（2）可知在上单调递减，同理可证在上单调递增， ， ，， 任意，，都有， ， 所以，使得，， ，， 由在上单调递增可知， . 26．已知函数 ，．若 ，都 ，使 成立，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为，结合对勾函数单调性可确定，通过对二次函数对称轴位置的讨论可得的单调性，从而确定，由此构造不等式求得结果. 【详解】 ，都 ，使 成立，； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 当时，； 又的对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， ， ，解得：， ； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， ， ，解得：，或， ； ③当，即时，在上单调递减， ， ，解得：， . 综上所述：的取值范围为. 27．若，使得成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式在区间上成立转化为求函数的最值问题，然后利用函数单调性求最值即可. 【详解】若，使得成立， 等价于，使得上成立， 设函数，所以问题转化为， 因为对勾函数在上单调递增，所以，所以. 故实数的取值范围是. 【题型10 分段函数的单调性】 28．若函数是增函数，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】因为函数是增函数， 所以函数在范围内是单调递增， 范围内也要保持单调递增，则， 还需要在处保持单增，即，可得， 所以的取值范围是. 29．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数在上单调递增的性质，需满足各分段区间内函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，分类讨论段函数的单调性求解的取值范围. 【详解】分段函数在上单调递增，需同时满足以下条件： 当时，一次函数单调递增，故斜率，解得； 当时，函数单调递增，分两类讨论： ① 当即时，函数在上单调递增， 满足在上单调递增的要求； ② 当即时，对勾函数的单调递增区间为， 故需，平方得，解得，结合得， 分段点处，需满足左段函数极限值不大于右段函数值，即， 化简得，解得。 将上述条件取交集，得的取值范围为. 30．若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 【题型11 抽象函数的奇偶性】 31．已知函数的定义域为，且满足，，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】B 【分析】对于A，令，即可判断；对于B，求出，再令，即可判断；对于C，令，取，即可判断；对于D，先证明，再取，取，即可判断. 【详解】对于A，令，则，解得，故A正确； 对于B，令，则，得， 令，则， 又，所以，故B错误； 对于C，令，取，则， 即，又， 故不恒为0，所以， 且定义域为，定义域关于原点对称， 所以函数为奇函数，故C正确； 对于D，令取，，得， 则， 令取，取，得， 所以，则，故D正确. 32．已知是定义在上的函数，且，，若，则（     ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】A 【分析】根据题意可得函数的周期为且为偶函数，再求得，，据此可得． 【详解】，， 又，则， ，即函数的周期为， ，即函数为偶函数， 由可得，，又，可得， ，则， ． 33．已知函数的定义域为，且，，则下列选项错误的是（     ） A． B． C．是偶函数 D．的一个周期为4 【答案】D 【分析】通过对给定函数恒等式赋特殊值求解函数值、判断奇偶性和周期，选出错误选项. 【详解】对于A：令，代入恒等式，得，代入，解得，A正确； 对于B：令代入恒等式，得，代入，解得； 再令代入，得，解得，B正确； 对于C：令代入恒等式，得，整理得对任意成立， 故是偶函数，C正确； 对于项D：令代入恒等式，得，代入已知值解得， 若周期为4，则，二者矛盾，故周期不为4，D错误. 【题型12 由幂函数的单调性求参数】 34．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 35．已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得； （2）先将不等式转化为，再分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，因此. （2）由（1）知，所以， 所以不等式转化为，即. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 36．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义、奇偶性与单调性，确定的值，即得函数的解析式； （2）利用（1）的函数的奇偶性与单调性将不等式化为，两边取平方后求解一元二次不等式即得. 【详解】（1）因为是幂函数，且在上单调递增， 则且，由解得， 又，所以或3. 又是偶函数，则是偶数， 将或3分别代入，可得或6， 故或； （2）由（1），偶函数在上单调递增， 则由可得，故有， 两边取平方，整理得，解得或， 所以原不等式的解集是. 【题型13 判断与幂函数相关的复合函数的单调性】 37．已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件可判断函数是的增函数，且为奇函数；利用函数的奇偶性单调性解不等式即可. 【详解】依题意，函数的定义域为； 因为，所以函数是奇函数； 因为，所以； 根据解析式及幂函数的单调性知函数在上单调递增； 所以，解得；故实数的取值范围是； 故选：A. 38．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，的最小值为0 B．当时，的定义域为 C．当时，为减函数 D．时，在上的最大值为1 【答案】AD 【分析】对于A，当时，根据二次函数的性质，即可判断的最小值；对于B，当时，根据函数的特征，即可求得定义域；对于C，当时，结合函数的定义域，即可判断的单调性；对于D，当时，，，根据在上的单调性，即可求得的最大值. 【详解】对于A，当时，，，所以，当时，有最小值为，故A正确； 对于B，当时，，所以，解得，所以定义域为，故B错误； 对于C，当时，，，所以在和上单调递减，故C错误； 对于D，当时，，，因为在上单调递减，所以当时，有最大值为，故D正确； 故选：AD. 39．函数的单调递增区间是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法单调性可求出函数的递增区间. 【详解】令， 则， 所以的定义域为 而抛物线，的开口向下， 故在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增, 的单调递增区间为. 故选：C. 【题型14 幂函数图象过定点问题】 40．已知关于x的幂函数 (1)求证：幂函数在第一象限内一定有图像. (2)命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同；判断命题m是命题n的什么条件并说明理由. (3)求证：除原点外，幂函数的图像一定与坐标轴无交点. 【答案】(1) 对于幂函数，当时，无论取何值（），都有意义. 例如当时，， 当时，，当时，等，在时都有对应的值. 所以幂函数在第一象限内一定有图像. (2)必要不充分条件，理由如下： 若两个幂函数相同，设这两个幂函数为和，它们的图像完全重合，有无数个公共点， 当然也满足有三个公共点（这是一种特殊情况包含在其中），所以. 反之，若两个幂函数有三个公共点，例如和， 它们有三个公共点，，，但这两个幂函数并不相同，所以. 综上，命题是命题的必要不充分条件. (3) 对于幂函数，当时，，当时，； 当时，无意义（除时，但），所以幂函数图像过原点. 对于轴上除原点外的点，即且， 对于幂函数，当时，除（且）外，要么为要么无意义， 所以除原点外幂函数图像与轴无交点. 对于轴上的点，令，当时，若，无解； 若，；若，无解，所以除原点外幂函数图像与轴无交点. 【分析】（1）对于幂函数，根据幂函数的定义和性质来分析其在第一象限的图像情况. （2）要判断命题是命题的什么条件，需要根据幂函数的性质以及公共点的情况进行分析. （3）证明幂函数除原点外与坐标轴无交点，要考虑幂函数的表达式以及坐标轴上点的坐标特点. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 41．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 【答案】C 【分析】根据幂函数的图象性质分别判断每个选项即可. 【详解】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误； 对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B错误； 对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在上单调递增；当时，，定义域为，且在上单调递增，选项C正确； 对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即，所以，选项D错误； 故选：C. 42．解关于的不等式：． 【答案】 【分析】由已知可得，根据幂函数的图象即可求解. 【详解】因为，所以， 画出，的图象如图， 由图知解集为. 【题型15 判断五种常见幂函数的奇偶性】 43．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．令函数，则不等式的解集为 D．若函数，，，则 【答案】ABD 【分析】求出幂函数解析式，由幂函数性质可判断AB；判断为偶函数且上为增函数，从而可将函数不等式转化为，故可求函数不等式的解，从而判断C，利用作差法结合基本不等式判断D. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为幂函数 的图象经过点，所以，解得，即， 对于A，函数的定义域为，故A正确； 对于B，因为，且的定义域为， 故为偶函数，故B正确； 对于C，，故为偶函数， 因为在上为增函数，而在上为增函数， 故在上为增函数，而即为， 故，故即的解集为，故C错误； 对于D， ， 而 ， 因为，，故， 当且仅当等号成立，故， 故，即， 当且仅当等号成立，故D成立. 44．已知、，且满足，则_____． 【答案】 【分析】构造函数，分析该函数的单调性与奇偶性，由已知等式可得出，结合函数的单调性可得出的值. 【详解】构造函数，该函数的定义域为，且， 对任意的，，则， 故函数为奇函数， 因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数， 由奇函数的性质可知，函数在上为增函数， 故函数在上为增函数， 由可得， 所以，故，整理可得. 故答案为：. 45．（多选）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 【答案】BC 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】若，，定义域为， 其图象上存在点，而点(4,2)关于直线对称点不在其图象上，，故不关于直线对称，故A错误. 若，，可知是开口向上的二次函数，对称轴为， 又，是偶函数，，在上单调递增，故B正确. 若，，可知的定义域为， 又，在上单调递减，故C正确. 若，，则 ， 故只有当时才有，故D错误. 故选：BC. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $