第07讲 第三章 函数的概念与性质 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第07讲 第三章 函数的概念与性质 章末题型大总结 题型01函数的定义域 【典例1】（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）若函数的定义域为，则实数可以是（   ） A．0 B．3 C．6 D．8 【变式1】（25-26高一上·河北衡水·期中）函数的定义域为________． 【变式2】（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）已知的定义域为，则的定义域为_________. 【变式3】（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 题型02求函数的值域 【典例1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为_____. 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【变式3】求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）． 题型03求函数解析式 【典例1】（2025高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【典例2】（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期中）求下列函数的解析式 (1)已知是二次函数，且满足． (2)已知． 【变式1】（25-26高一上·湖南·期中）（1）已知函数满足对于任意的，都有，求； （2）已知是一次函数，且，求的解析式. 【变式2】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）（1）已知为二次函数，且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知（），求的解析式. 【变式3】（25-26高一上·广西百色·阶段检测）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数对于任意的都有，求的解析式． 题型04分段函数 【典例1】（25-26高一上·河南·期末）设函数，若，则（    ） A．0或3 B．2或4 C．0或4 D．3或4 【典例2】（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数    (1)在答题卡中相应的位置画出的图象； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，则等于（   ） A． B． C．3 D．6 【变式2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05函数图象 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【典例2】（25-26高一上·浙江·阶段检测）给定函数，，． (1)在图一的直角坐标系中画出函数，的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解； (3)，用表示，中的较大者，记. 例如，当时，.  请在图二中画出函数的图象并求其解析式. 【变式1】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）记，则函数的最小值是_____ ． 【变式2】（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； 【变式3】（25-26高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象： (1)； (2)； 题型06函数单调性 【典例1】（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·四川泸州·期末）已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 题型07函数奇偶性 【典例1】（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·吉林长春·期末）已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【变式2】（26-27高三上·山东临沂·期末）函数是奇函数．若函数，则___________． 【变式3】（23-24高一上·海南海口·阶段检测）若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 题型08单调性和奇偶性综合 【典例1】（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 【典例2】（25-26高二下·河北·期末）已知函数是定义在上的偶函数，其中、且． (1)求函数的解析式及值域； (2)若，实数满足，求实数的取值范围． 【变式1】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． (1)求，； (2)证明：是偶函数； (3)若在上单调递减，求不等式的解集． 【变式2】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【变式3】（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知函数的表达式为． (1)若，解关于的不等式； (2)若是上的奇函数，求的值； (3)若，用函数单调性的定义证明函数在上是严格减函数． 题型09函数模型 【典例1】（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 【典例2】（25-26高一上·河北承德·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完． (1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； (2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式1】（25-26高一上·江西新余·期末）新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）： (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 【变式2】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间满足，乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示. （万元） 4 9 16 25 （万元） 26 34 42 50 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为与的函数模型？（不需要说明理由） (2)请根据表格数据求出所选模型的函数解析式； (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 【变式3】（25-26高一上·重庆·期中）如图，我校钱学森礼堂将进行维修升级，需要在礼堂外围建一个面积为的矩形围挡封闭施工，要求矩形围挡的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面使用铁皮修建新墙，与旧墙平行的那面新铁皮墙上，需预留5m宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为24元／m，新铁皮墙的造价为40元／m，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)写出关于的表达式； (2)当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 题型10抽象函数问题 【典例1】（多选）（25-26高一上·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 【典例2】（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【变式1】（多选）（25-26高一下·湖南·期末）已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 【变式2】（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数满足，．则________． 【变式3】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 第三章 函数的概念与性质 章末题型大总结 题型01函数的定义域 【典例1】（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 【典例2】（多选）（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）若函数的定义域为，则实数可以是（   ） A．0 B．3 C．6 D．8 【答案】ABC 【分析】根据题意，转化为对任意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】函数的定义域为， 则对任意，恒成立， 当时，显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，则满足，解得， 综上可得：实数取值范围是，结合选项，可得ABC符合题意. 故选：ABC. 【变式1】（25-26高一上·河北衡水·期中）函数的定义域为________． 【答案】 【分析】根据题意有，解出即可. 【详解】由题可得，解得且， 的定义域为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）已知的定义域为，则的定义域为_________. 【答案】 【分析】根据复合函数定义域的求法求函数定义域. 【详解】由题意得：. 所以所求函数的定义域为：. 故答案为： 【变式3】（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 题型02求函数的值域 【典例1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的值域，再要注意，进而可以求解． 【详解】解：令， 当时，，又， 所以，，即 所以， 故选：D． 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． 【变式1】（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为_____. 【答案】 【分析】利用换元法，转化为二次函数在给定区间上求值域即可. 【详解】令，则， 所以，， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数化为，利用基本不等式即可求解； （2）将函数化为，先求出的范围即可求出函数的值域. 【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 【变式3】求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）利用基本不等式可求得函数的值域； （2）利用不等式的基本性质可求得函数的值域； （3）将函数解析式变形为，利用不等式的基本性质可求得该函数的值域. 【详解】（1），则，， 当且仅当时，等号成立，所以，函数为值域为； （2），，可得，， 所以，函数的值域为； （3），，则，， . 所以，函数的值域为. 【点睛】本题考查函数值域的求解，考查基本不等式和不等式基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 题型03求函数解析式 【典例1】（2025高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【详解】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 【典例2】（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期中）求下列函数的解析式 (1)已知是二次函数，且满足． (2)已知． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由可求得的值，由可得出关于的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）设，代入化简可得函数的解析式； 【详解】（1）设，因为，所以， 因为， 又，所以，解得， 所以； （2）令，则，， 代入有， 所以. 【变式1】（25-26高一上·湖南·期中）（1）已知函数满足对于任意的，都有，求； （2）已知是一次函数，且，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入计算得解； （2）由是一次函数，设，代入已知等式计算得解. 【详解】（1）令，得，解得. （2）因为是一次函数，所以设， 由，可得， 化简可得， 所以解得，，故. 【变式2】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）（1）已知为二次函数，且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知（），求的解析式. 【答案】（1）；（2），；（3），. 【分析】（1）已知函数类型，设，，代入已知条件可求的值. （2）利用换元法求函数的解析式，注意自变量的取值范围. （3）用代替，构造函数方程，解方程组可得的解析式. 【详解】（1）由题意，可设，. 由. 由， 所以. 所以. （2）设，则且. 所以，. 所以，. （3）因为①. 用代替，可得②. ①②得：，. 【变式3】（25-26高一上·广西百色·阶段检测）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数对于任意的都有，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）构造方程，解方程组求出函数解析式即可. 【详解】（1）因为是一次函数，所以设， 由，可得， 化简可得，所以，解得， 故的解析式为． （2）因为对于任意的都有， 将替换为，得， 由， 消去，可得． 题型04分段函数 【典例1】（25-26高一上·河南·期末）设函数，若，则（    ） A．0或3 B．2或4 C．0或4 D．3或4 【答案】C 【分析】由得，分，，三种情况求得或，代入分段函数计算即可求解. 【详解】因为函数， 若，则，解得， 当时，， 若，则，解得； 当时，， 若，则，解得或（舍去）； 当时，， 若，则，此时无解， 综上，实数或， 当时，，当时，， 所以或. 故选：C 【典例2】（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数    (1)在答题卡中相应的位置画出的图象； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)    (2) 【分析】（1）根据二次函数的图象及分段函数画出图象； （2）根据端点值和单调性，再结合图象分析求解范围即可. 【详解】（1）画出的图像，如图所示.    （2），，. 因为在上的值域为， 所以结合图象可得，即的取值范围为. 【变式1】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，则等于（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】应用分段函数计算函数值即可. 【详解】因为函数， 则. 故选：A. 【变式2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 【变式3】（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的值域求得的正确答案. 【详解】当时，； 当时，， 要使的值域为，则需， 解得，所以的取值范围是. 故选：A 题型05函数图象 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 【典例2】（25-26高一上·浙江·阶段检测）给定函数，，． (1)在图一的直角坐标系中画出函数，的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解； (3)，用表示，中的较大者，记. 例如，当时，.  请在图二中画出函数的图象并求其解析式. 【答案】(1)图象见解析 (2)或 (3)图象见详解； 【分析】（1）根据函数，的解析式即可作出图象； （2）结合图象即可求得不等式解集； （3）根据（1）中的图象可得函数的图象并求其解析式. 【详解】（1）画出函数，的图象如图： （2）观察图象，可得不等式的解为或. （3）结合（1）可用图象法表示如图： 由可得或， 故. 【变式1】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）记，则函数的最小值是_____ ． 【答案】 【分析】利用函数的定义画出图像即可得到最值. 【详解】在平面直角坐标系中绘制出函数与函数， 令，解得或. 由函数的定义，结合两函数图象，可知，， 由图可知，函数的最小值为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； 【答案】(1)  ，最大值为 (2)或 【分析】（1）由解析式即可画出图象，由图即可得最大值； （2）分、及讨论即可得. 【详解】（1）根据分段函数的解析式， 画出函数的图象如图：    由图可得，当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 【变式3】（25-26高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合反比例函数图象，及图象的平移变换即可作出图象； （2）写出函数的分段形式，结合二次函数图象，及图象的翻折变换即可作出图象； 【详解】（1）由， 其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 所以的图象如下图所示： （2）由， 所以的图象如下图所示： 题型06函数单调性 【典例1】（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 【典例2】（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 【变式1】（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 【变式2】（25-26高一下·四川泸州·期末）已知函数对任意满足，若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数对称性和单调性，将函数不等式转化为一元二次不等式，进而求解. 【详解】因为，所以关于轴对称， 因为，， 所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 由， 可得 即或， 解得. 【变式3】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 【答案】(1) (2)在上单调递增， 证明如下：因为， 设， 则， 因为，所以，， 则， 所以在上单调递增 【分析】（1）根据 是幂函数得 ，再根据 是偶函数，且在 上单调递增得 为正偶数，从而求解出 解析式. （2）求出 解析式后根据单调性定义证明函数 的单调性. 【详解】（1）∵幂函数（k∈Z）是偶函数，且在上单调递增， ，且为正偶数，则，故. （2）略. 题型07函数奇偶性 【典例1】（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 【典例2】（25-26高二下·吉林长春·期末）已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为幂函数，所以，即， 因式分解得：，解得：或， 为偶函数，所以，， 因为，所以在单调递增，所以，，即得. 【变式1】（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 【变式2】（26-27高三上·山东临沂·期末）函数是奇函数．若函数，则___________． 【答案】28 【分析】由函数奇偶性建立等式，代入，求得，代入，求得. 【详解】由题意可知，所以. 因为，且，所以， 所以. 【变式3】（23-24高一上·海南海口·阶段检测）若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 【答案】 （符合题意任写一个即可） 8 【分析】由对任意，有，得函数是奇函数，从而写出符合要求的一个解析式，从而得到是奇函数，并求得其在上的最大值与最小值的和，进而得到的值. 【详解】因为对任意，有， 所以令，得，所以； 令，得，所以，即， 所以函数为奇函数. 若，则，， 所以，符合要求. 所以符合要求的一个解析式可以是. 此时，， 令，则的定义域为，且， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称. 记在上的最大值为与最小值为，则. 所以函数在上的最大值与最小值的和. 题型08单调性和奇偶性综合 【典例1】（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【详解】（1）因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得． 又，则， 即，． （2）由（1）知． ，且， ． 因为，所以，，． 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数． 所以，即， 则有解得， 即不等式的解集为． 【典例2】（25-26高二下·河北·期末）已知函数是定义在上的偶函数，其中、且． (1)求函数的解析式及值域； (2)若，实数满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)，值域为 (2) 【分析】（1）由，求得，，并代回，用偶函数的性质检验其正确性；再结合二次函数 的值域求得函数的值域； （2）写出的解析式，判断其奇偶性及单调性，再利用奇偶性及单调性求解不等式. 【详解】（1）由题意知，即，解得，， 当，时，， 此时定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以是偶函数， 所以． 因为，所以，所以， 所以函数的值域为． （2）由题意知，. 因为， 所以是偶函数， 当时，， 显然当时，， 所以在上单调递增， 所以函数在上单调递减. 所以， 所以，解得． 故实数的取值范围是． 【变式1】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． (1)求，； (2)证明：是偶函数； (3)若在上单调递减，求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)令，则， 即对任意的，，所以是偶函数． (3) 【详解】（1）令，则，又，所以． 令，则，即， 又，所以． （2）略 （3）由(2)知， 因为在上单调递减，，， 所以由，得，解得， 即不等式的解集为． 【变式2】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 【变式3】（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知函数的表达式为． (1)若，解关于的不等式； (2)若是上的奇函数，求的值； (3)若，用函数单调性的定义证明函数在上是严格减函数． 【答案】(1) (2) (3) 当时，， 设，且. 展开分子： 因为，且， 所以，，， 所以， 所以， 所以. 因此，函数在上是严格减函数. 【分析】(1)用分式不等式法则计算即可； (2)由计算，再代入验证即可； (3)利用函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）当时，， 则不等式可化为. 因为恒成立， 得到. 即. 因式分解得， 不等式的解集为. （2）因为是上的奇函数，所以 将代入，解得， 当时，，其定义域为关于原点对称， 且， 满足奇函数的定义，因此. （3）略 题型09函数模型 【典例1】（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 【答案】 【分析】根据题意建立楼房每平方米的平均综合费用的函数关系，利用基本不等式求解即可. 【详解】设楼房每平方米的平均综合费用为元，依题意得：，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值（元） 故答案为： 【典例2】（25-26高一上·河北承德·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完． (1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； (2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元 【分析】（1）由题意，确定总收入为，再结合成本即可求解； （2）由（1）分段计算最值即可求解. 【详解】（1）由题意，总收入为（万元）． 当时，； 当时，． 所以2026年的利润 （2）当时，，当时，利润最大，最大为万元． 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，最大为25万元． 因为，所以年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元． 【变式1】（25-26高一上·江西新余·期末）新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）： (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)30千台，最大利润是6560万元 【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售额-固定成本-可变成本的公式，分两种情况讨论，即可求解； （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及利用函数的单调性可求得分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解． 【详解】（1）销售额为万元， 当时， ， 当时，， 所以； （2）当时，， 当时，万元， 当时，单调递减， 所以时，万元. 综上，当2025年年产量为30千台时，企业所获利润最大，最大利润是6560万元. 【变式2】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间满足，乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示. （万元） 4 9 16 25 （万元） 26 34 42 50 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为与的函数模型？（不需要说明理由） (2)请根据表格数据求出所选模型的函数解析式； (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 【答案】(1)选用； (2)； (3)甲、乙两种产品的研发投入分别为36（万元），64（万元）. 【分析】（1）将表中前两个点的函数值分别代入函数表达式中求解系数，再利用后两个点的函数值验证即可. （2）直接代入前两个值求解表达式系数即可. （3）设乙产品的研发投入为x万元，列出总利润和x的关系，结合利用换元法转化为一元二次函数即可求解. 【详解】（1）若选，代入，得， 代入，得，联立解得， 而当时，，不符合表格中数据； 若选，代入，得， 代入，得，联立解得， 而当时，，当时，，符合题意， 所以更适宜作为函数模型. （2）由（1）知，在中，， 所以函数表达式为. （3）设乙产品的研发投入为x万元（），则甲产品的研发投入为万元， 总利润 ，当且仅当，即时取等号， 则甲产品的研发投入为（万元）， 所以甲、乙两种产品的研发投入分别为36（万元），64（万元），可使总利润最大. 【变式3】（25-26高一上·重庆·期中）如图，我校钱学森礼堂将进行维修升级，需要在礼堂外围建一个面积为的矩形围挡封闭施工，要求矩形围挡的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面使用铁皮修建新墙，与旧墙平行的那面新铁皮墙上，需预留5m宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为24元／m，新铁皮墙的造价为40元／m，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)写出关于的表达式； (2)当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 【答案】(1)； (2)当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元. 【分析】（1）根据给定条件，求出新铁皮墙的总长度，再求出表达式. （2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）依题意，垂直于旧墙的新铁皮墙的长度为， 建造新铁皮墙的总长度为，则， 所以关于的表达式为. （2）由（1）得，当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元 题型10抽象函数问题 【典例1】（多选）（25-26高一上·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断C，结合单调性结合特例判断B，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. 【典例2】（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）略 （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 【变式1】（多选）（25-26高一下·湖南·期末）已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】利用赋值法判断A；令，可得，即可判断B；根据题意结合函数单调性的定义判断C；分析可得，结合单调性运算求解即可. 【详解】因为，， 对于选项A：令，得，解得，故A错误 对于选项B：令，得，即， 可知为奇函数，所以，故B正确； 对于选项C：任取，则，可得， 则， 即，可知在定义域上单调递减，故C错误； 对于选项D：因为， 令，得，即，可得， 因为， 因为在定义域上单调递减， 则，即，即， 所以不等式的解集为，故D正确. 【变式2】（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数满足，．则________． 【答案】110 【分析】利用赋值法，先求得，再求得，最后用累加法求得. 【详解】函数满足，， 令，得. 令，得， 即. 所以， ， ， …… ， 累加得，， 所以. 【变式3】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； (3) 【分析】（1）由赋值法求解； （2）由函数单调性的定义求解； （3）由二次不等式恒成立求解． 【详解】（1）令，可得，结合知； （2）略 （3）令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $