专题05圆的对称性、圆周角期中复习讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题05圆的对称性、圆周角期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解圆的旋转不变性与轴对称性，掌握垂径定理及其推论，能运用定理完成简单的几何证明与相关计算。 2.掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系定理，能够实现三者之间的等量转化。 3.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，运用定理进行角度计算与几何推理。 4.能够区分圆心角与圆周角，规范几何语言书写，解决圆中角度类基础几何问题。 ✵高频题型梳理 题型1.利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型2.利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型3.求圆弧的度数 题型4.利用垂径定理求值 题型5.利用垂径定理求平行弦问题 题型6.利用垂径定理求同心圆问题 题型7.利用垂径定理求解其他问题 题型8.垂径定理的推论 题型9.垂径定理的实际应用 题型10.圆周角的概念辨析及简单运算 题型11.圆周角定理 题型12.同弧或等弧所对的圆周角相等 题型13.半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型14.90度的圆周角所对的弦是直径 题型15.已知圆内接四边形求角度 题型16.求四边形外接圆的直径 题型17.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、圆的对称性 1.轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，因此圆有无数条对称轴。 任意一条直径所在的直线都能将圆分成两个能够完全重合的半圆。 2.中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是圆的对称中心。将圆绕着圆心旋转任意一个角度，旋转后的图形都能与原图形完全重合， 知识点二、垂径定理及其推论 1.弦心距：圆心到弦的垂线段的长度，叫做弦心距。 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 3.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.推论关键前提:推论中必须注明“弦不是直径”，因为圆中任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，因此被平分的弦为直径时，推论不成立。 知识点三、圆心角、弧、弦之间的关系 ●本节所有圆心角、弧、弦的等量关系定理，只在同圆或等圆中成立，半径不等的不同圆不适用该定理。 1.核心定理内容:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2.定理推论（知一推二） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.定理核心作用：该定理实现了圆中圆心角、弧、弦三类几何量的互相转化，是证明圆中弧相等、弦相等、圆心角相等的重要依据。 知识点四、圆周角 1.圆周角定义:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角。如下图， ∠ABC是圆周角. 2.圆周角判定条件（缺一不可） ① 角的顶点必须在圆上；② 角的两条边必须与圆相交。 3.圆周角与圆心角的区别 对比维度 圆心角 圆周角 顶点位置 角的顶点在圆心 角的顶点在圆上 定义 顶点在圆心，两边与圆相交的角 顶点在圆上，两边都与圆相交的角 判定 顶点在圆心，两边为半径 顶点在圆上，且两边与圆相交 弧角对应 一个圆心角对应唯一一段弧 同一段弧对应无数个等度数圆周角 角度关系 同弧所对圆心角是圆周角的2倍 同弧所对圆周角是圆心角的 知识点五、圆周角定理及其推论 1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 即在下图中，∠ABC=∠AOC 2.定理解读:在圆中，同一条弧可以对应无数个圆周角，这些圆周角的度数全部相等，且始终等于该弧对应圆心角度数的一半。 3.圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；（即∠DBE=∠DAE=∠DCE） 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 4.基础几何结论:一条弧只对应唯一的圆心角，但对应无数个相等的圆周角；利用直径所对的圆周角为直角，可快速构造直角三角形，是圆中最基础、最常用的几何模型。 知识点六、圆内接多边形 1.圆内接多边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。 2.圆内接四边形性质：（1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。 ✵典例精讲 题型1.利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A． B．若则 C． D． 【答案】D 【分析】连接，由作法得，则根据圆周角、弧、弦的关系可对A进行判断；当时，为等边三角形，则，于是根据圆周角、弧、弦的关系可对B进行判断；根据圆周角定理直接对C进行判断；根据两点之间线段最短可对D进行判断． 【详解】解：连接， 由作法得， ， 所以A正确； ， 当时，为等边三角形， ， ， 所以B正确； ， ， ， 所以C正确； ， ， 所以D错误． 2．如图，在中，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据在同一个圆中，相等的弧所对的弦相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点． (1)求的度数； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据三线合一得到，再根据等弧所对圆心角相等得到，推出，即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 题型2.利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．如图，在中，若，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】取的中点，根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用三角形三边的关系得，即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 2．如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为_______． 【答案】8 【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长． 【详解】解：∵C是的中点， ∴，而， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， 所以四边形的周长等于8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键． 3．如图，点A，B，C，D在上，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据两个等弧同时加上同一段弧后两弧仍然相等，再通过同弧所对的弦相等，即可证明． 【详解】略 题型3.求圆弧的度数 1．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 2．在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理逆定理求出圆心角的度数，再分劣弧和优弧两种情况计算弧的度数． 【详解】解：根据题意画出图形，如下图所示， ，， ， ， 由勾股定理逆定理，可得是直角三角形，． 一条弦对应两条弧，弧的度数等于它所对圆心角的度数， 当弦对劣弧时，劣弧的度数为；当弦对优弧时，优弧的度数为， 该弦所对的弧的度数为或． 3．在等边中，，以A为圆心，2为半径画的．    (1)【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明） (2)【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由． (3)【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ． 【答案】(1) (2)存在，理由： ∵是等边三角形， ∴，． ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得，然后利用等式的性质可得答案； （2）先证明，然后根据证明即可求解； （3）分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况求解即可． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）略； （3）当顺时针旋转时，如图，作于H，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 由（2）得：， ∴； 当逆时针旋转时，如图，作于H，    同理可求． 综上可知，的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 题型4.利用垂径定理求值 1．如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由垂径定理结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 是的直径，且， ， 由垂径定理可得，且， 在中，由勾股定理可得． 2．在中，弦，，则的半径为___________． 【答案】 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到直角三角形，再结合等腰三角形和含角的直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵ ，都是的半径， ∴ ， ∵ ，， ∴ 由垂径定理得， ∵ ，， ∴ ， 在中，， ∴． 3．如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴, ∴ 即， ∴ (2) 【分析】（1）根据垂径定理和弧的中点得出相等的弧，然后根据相等的弧所对的弦相等，得出结论； （2）连接，利用垂径定理求出相关线段的长度，利用半径表示出相关线段的长度，再根据勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 题型5.利用垂径定理求平行弦问题 1．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 2．在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 【答案】14或2 【分析】分弦与在圆心O的异侧和同侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当弦与在圆心O的异侧时，如图1所示， 过O作， ∵， ∴， 根据题意得：， 此时两平行弦间的距离； 当弦与在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得： ， 综上，两平行弦间的距离等于14或2． 3．如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 【答案】1 【分析】过点O作于点F，交于点E，根据垂径定理，勾股定理，求得，根据距离的意义，求解即可． 【详解】解：过点O作于点F，交于点E， ， ， ， ，， ， 连接， ， ， ， 故这两条平行弦之间的距离为1． 题型6.利用垂径定理求同心圆问题 1．如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（    ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 【答案】C 【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，根据∠COD＝∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE＋BE＞AB可得2CD＞AB． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB， 又∵∠COD＝∠AOB， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD， ∴CD＝AE＝BE， ∵在△ABE中，AE＋BE＞AB， ∴2CD＞AB， 故选：C． 【点睛】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据∠AOB＝2∠COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键． 2．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 题型7.利用垂径定理求解其他问题 1．如图，⊙是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为，，，连接，，，若，的周长为21，则的长为（   ） A．8 B．2 C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为21， ∴即， ∴， 故选：D． 2．如图，为的弦，半径交于点，且为的中点，连接、、，若，则__________．    【答案】 【分析】连接，可求，可证，从而可求，即可求解． 【详解】解：如图，连接，   ， ， 为的中点， ， ， ， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了圆的基本概念的理解，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关的性质是解题的关键． 3．已知：如图，线段与相交于点，且．求证：． 【答案】 证明：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，垂径定理，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．利用三线合一可得，利用垂径定理可得，两式相减即可证明． 【详解】略． 题型8.垂径定理的推论 1．下列判断中，正确的是（     ） A．平分弦的直线垂直于弦 B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【答案】C 【分析】抓住直线需过圆心这一核心前提，逐一判断各选项正误. 【详解】解：A、任意过弦中点的直线都可平分弦，不一定垂直于弦，错误； B、平分弦的直线不一定过圆心，不一定平分弦所对的两条弧，错误； C、弦的垂直平分线经过圆心，必平分弦所对的两条弧，正确； D、平分一条弧的直线不一定过圆心，不一定平分这条弧所对的弦，错误. 2．如图，在中，弦的长为8，连接，是弦的中点，经过圆心且交于点，若的半径为5，则的长为_______． 【答案】8 【分析】先根据垂径定理推论可知，然后结合圆的半径和勾股定理求得，进而可求得的长． 【详解】解 ：∵是弦的中点，经过圆心，， ∴，， ∵的半径为5， ∴， 在中，， ∴． 3．如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，则的半径为_______． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【详解】（1）证明：， ， 即， ． （2）解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， ∵，， ， ∵ 是中线，即， ∴过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 题型9.垂径定理的实际应用 1．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．8米 C．10米 D．20米 【答案】C 【分析】设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为10米． 2．如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为___________． 【答案】 【分析】根据直径求出半径，利用垂径定理确定半径与弦垂直，构建直角三角形，结合勾股定理求解弦长的一半，进而得出弦长． 【详解】解：设圆心为，连接， 球形部分的直径为， 半径， 为瓶内液体的最大深度， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故截面圆中弦的长为． 3．小浩在学习了圆的有关性质后，为验证自己的学习成果，打算只用一张矩形纸条和刻度尺测量家中的碗口直径．如图，将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．求碗口的直径（忽略碗壁厚度）． 【答案】 【分析】过点作于点，的延长线交于点，连接，．先根据垂径定理求解，然后设，再对和运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，的延长线交于点，连接，． ，， ， ，． 设， ． ， ， ， 解得，即， ， 碗口的直径为． 题型10.圆周角的概念辨析及简单运算 1．下列图形中的角是圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角， 只有选项C符合题意． 2．如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3．判断下列各图中的是不是圆周角，并说明理由． (1) 【答案】(1)角的边与圆没有两个交点，不是圆周角，不符合圆周角定义． (2)角的顶点不在圆上，不是圆周角，不符合圆周角定义． (3)角的顶点在圆上，角的两边与圆相交，是圆周角，符合圆周角定义． (4)角的顶点不在圆上，不是圆周角，不符合圆周角定义． 【分析】根据圆周角的定义作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 题型11.圆周角定理 1．如图，已知中，若，则度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 2．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 【答案】 【分析】先由圆周角定理求出圆心角，再算出，最后利用等腰三角形性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故． 3．如图，线段是的直径，弦，，求和的度数． 【答案】，的度数是 【详解】解：连接，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据圆周角定理可得， ∵线段是的直径，弦， ∴， ∵的度数等于， ∴的度数为． 题型12.同弧或等弧所对的圆周角相等 1．如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧对等角和对顶角相等推出和的度数，最后根据内角和定理即可求出度数． 【详解】解：由图可知，，， ，， ，， ． 2．如图，是的直径，半径弦，为垂足，连接，．若，则的度数是________． 【答案】 【分析】由垂径定理可得，从而可得，再由圆周角定理即可得出结果． 【详解】解：∵半径弦，为垂足， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，是圆的直径， ， ； (2)6 【分析】（1）利用垂径定理可得，即可解答； （2）连接，根据勾股定理求出，然后利用垂径定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型13.半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 2．如图，是的直径，点C在圆上，，则________． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，再由直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵是的直径，点C在圆上， ∴， ∵， ∴． 3．如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵B为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由垂直关系得出，再由B为的中点得出，从而得到，故； （2）证明，利用勾股定理求出的长，由 结合可得出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵B为的中点，， ∴， ∴． ∵，由（1）知， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴． 题型14.90度的圆周角所对的弦是直径 1．用直角尺检查某圆弧形工件，根据下列检查的结果，能判断该工件一定是半圆的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过的圆周角所对的弦是直径进行分析，得到结论． 【详解】解：∵的圆周角所对的弦是直径， ∴该圆弧对应的弦为圆的直径，故该工件一定是半圆， 故观察各选项，B选项符合题意． 2．如图，在四边形中，，若，则______． 【答案】 【分析】根据的圆周角所对的弦是直径，得到点、在以为直径的同一个圆上，再利用同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴、、、四点共圆， ∵， ∴． 3．（1）如图1，在中，，，取的中点D，连接． ①的值是 ； ②在的延长线上截取，连接，将绕点C顺时针旋转，如图2，当点A，D，E在同一直线上时，求的长． （2）如图3，在中，，，，将绕点C逆时针旋转角α至，连接，． ①若，求的长； ②若，设的最大值为m，最小值为n，求的值． 【答案】（1）①；②；（2）①；②3 【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求，的长，即可求解； ②由勾股定理可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解； （2）①由勾股定理可求的长，由可证，可得； ②由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由点B在以点C为圆心，长为半径的圆上，则当点B在的延长线上时，有最大值，当点B在的延长线上时，有最小值，即可求m，n的长，即可求解． 【详解】解：（1）①过点D作于H， ∵，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，过点C作于F， ∵，，点F是的中点， ∴，， ∴， ∴； （2）①如图3，在的左侧以C为直角顶点作等腰直角，连接， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕着点C逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图4，过点C作于H， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转角α至， ∴点B在以点C为圆心，长为半径的圆上， 当点B在的延长线上时，有最大值， ∴的最大值为， 当点B在的延长线上时，有最小值， ∴的最小值为， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型15.已知圆内接四边形求角度 1．在圆内接四边形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴． 2．在圆中，一条弦的长等于其半径长，则这条弦所对的圆周角的度数为________ 【答案】或 【分析】首先根据题意画出图形，由某个圆的弦长等于它的半径，是等边三角形，即可求得的度数，又由圆周角定理与圆的内接四边形的性质，求得答案． 【详解】解：如图，设这条弦为， 根据题意得：， 是等边三角形， ， ， ， 即这条弦所对的圆周角的度数为：或． 3．如图，四边形内接于，平分，延长交的延长线于点．若，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】证明即可． 【详解】略 题型16.求四边形外接圆的直径 1．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 2．在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则=________． 【答案】5 【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D四点共圆，推出点C在上，然后利用勾股定理可得，于是得到结论． 【详解】解：∵如图，在四边形ABCD中，， ∴点A，B，C，D四点共圆， ∵是的外接圆， ∴点C在上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 3．已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 【答案】(1) 证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)6 (3)4 【分析】（1）如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，再证明得到，由此即可证明结论； （2）延长到M使得，证明，得到，进而证明是等边三角形，则； （3）先证明四点共圆，则当为直径时，最大，设圆心为O，连接，过点O作于M，在中求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：延长到M使得， 由（1）可得， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴当为直径时，最大， 设圆心为O，连接，过点O作于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，是的直径，，，，则的半径为（   ） A．4 B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等；掌握圆的基本性质是解题的关键． 由圆的基本性质得，由直径所对的圆周角是直角和勾股定理得，即可求解． 【详解】解：， ， ， 是的直径， ， ， ， 则的半径为， 故选：B． 2．如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设半圆的半径为，则，圆心到点的距离，利用勾股定理列方程，解方程求半径，求的长度． 【详解】解：设半圆的半径为，则，圆心到点的距离， ， ， 连接， ， ∴是直角三角形， 根据勾股定理： ， 代入已知，得： ， 解得，， ， ∴． 故答案为：B． 3．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 4．如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵于点． ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∵四边形内接于， ∴． 二、填空题 5．如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 6．内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____ ． 【答案】4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 7．如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 【答案】 5 【分析】连接并延长交于点，连接，设的半径为，在中，由勾股定理列式计算求得半径的长；在和中，利用垂径定理和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 设的半径为，则 ，， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得① ， 在中，由勾股定理得② ， 得 ， 解得， ∴， ∴． 8．如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为_____．      【答案】1.5 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，相似三角形的判定和性质．过A作于点F，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得的长，再由，可得，根据勾股定理可得的长，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过A作于点F，    ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：1.5． 三、解答题 9．如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为，求水面上涨了多少米． 【答案】(1)桥拱的半径为50米； (2)水面上涨的高度为10米． 【分析】（1）设圆的半径是r米，根据求解； （2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】（1）解：设圆的半径是r米， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； （2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 10．如图，在中，弦的中点为点，连接、，并分别延长它们与相交于点、． (1)若，求的大小． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据垂径定理可知，得到，进而求出，根据圆周角定理计算即可； （2）由题意可知，设的半径为，则，在中，由勾股定理求出，在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵弦的中点为点，是过圆心的线段， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， 根据圆周角定理可知； （2）解：∵是中点，， ∴， 设的半径为，则， 已知，而， 因此． 在中，由勾股定理， 代入得： 解得， 因此直径． ∵是的直径， ∴． 在中，． 11．如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：，理由如下： 过点分别作，，垂足分别为、， ，， 和是直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， ，， ， ． 【分析】（1）过点分别作，，则可知，且，则可证得，可得出． （2）由，可得，再根据垂径定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 12．如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：， ， 又∵， 为等边三角形， ， ． (2)． 【分析】（1）证明，则可证明为等边三角形，得到，据此可证明结论； （2）延长，交于点，可证明，则平分，由三线合一定理得到，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：延长，交于点， 由（1）得， ∵， ∴， ∴平分， ， ∴， 同理可得， 在中，， ，即的半径为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05圆的对称性、圆周角期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解圆的旋转不变性与轴对称性，掌握垂径定理及其推论，能运用定理完成简单的几何证明与相关计算。 2.掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系定理，能够实现三者之间的等量转化。 3.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，运用定理进行角度计算与几何推理。 4.能够区分圆心角与圆周角，规范几何语言书写，解决圆中角度类基础几何问题。 ✵高频题型梳理 题型1.利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型2.利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型3.求圆弧的度数 题型4.利用垂径定理求值 题型5.利用垂径定理求平行弦问题 题型6.利用垂径定理求同心圆问题 题型7.利用垂径定理求解其他问题 题型8.垂径定理的推论 题型9.垂径定理的实际应用 题型10.圆周角的概念辨析及简单运算 题型11.圆周角定理 题型12.同弧或等弧所对的圆周角相等 题型13.半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型14.90度的圆周角所对的弦是直径 题型15.已知圆内接四边形求角度 题型16.求四边形外接圆的直径 题型17.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、圆的对称性 1.轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，因此圆有无数条对称轴。 任意一条直径所在的直线都能将圆分成两个能够完全重合的半圆。 2.中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是圆的对称中心。将圆绕着圆心旋转任意一个角度，旋转后的图形都能与原图形完全重合， 知识点二、垂径定理及其推论 1.弦心距：圆心到弦的垂线段的长度，叫做弦心距。 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 3.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.推论关键前提:推论中必须注明“弦不是直径”，因为圆中任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，因此被平分的弦为直径时，推论不成立。 知识点三、圆心角、弧、弦之间的关系 ●本节所有圆心角、弧、弦的等量关系定理，只在同圆或等圆中成立，半径不等的不同圆不适用该定理。 1.核心定理内容:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2.定理推论（知一推二） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.定理核心作用：该定理实现了圆中圆心角、弧、弦三类几何量的互相转化，是证明圆中弧相等、弦相等、圆心角相等的重要依据。 知识点四、圆周角 1.圆周角定义:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角。如下图， ∠ABC是圆周角. 2.圆周角判定条件（缺一不可） ① 角的顶点必须在圆上；② 角的两条边必须与圆相交。 3.圆周角与圆心角的区别 对比维度 圆心角 圆周角 顶点位置 角的顶点在圆心 角的顶点在圆上 定义 顶点在圆心，两边与圆相交的角 顶点在圆上，两边都与圆相交的角 判定 顶点在圆心，两边为半径 顶点在圆上，且两边与圆相交 弧角对应 一个圆心角对应唯一一段弧 同一段弧对应无数个等度数圆周角 角度关系 同弧所对圆心角是圆周角的2倍 同弧所对圆周角是圆心角的 知识点五、圆周角定理及其推论 1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 即在下图中，∠ABC=∠AOC 2.定理解读:在圆中，同一条弧可以对应无数个圆周角，这些圆周角的度数全部相等，且始终等于该弧对应圆心角度数的一半。 3.圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；（即∠DBE=∠DAE=∠DCE） 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 4.基础几何结论:一条弧只对应唯一的圆心角，但对应无数个相等的圆周角；利用直径所对的圆周角为直角，可快速构造直角三角形，是圆中最基础、最常用的几何模型。 知识点六、圆内接多边形 1.圆内接多边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。 2.圆内接四边形性质：（1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。 ✵典例精讲 题型1.利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A． B．若则 C． D． 2．如图，在中，若，，则的长为_____． 3．如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点． (1)求的度数； (2)若，求的值； 题型2.利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．如图，在中，若，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 2．如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为_______． 3．如图，点A，B，C，D在上，，求证：． 题型3.求圆弧的度数 1．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 2．在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 3．在等边中，，以A为圆心，2为半径画的．    (1)【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明） (2)【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由． (3)【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ． 题型4.利用垂径定理求值 1．如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．在中，弦，，则的半径为___________． 3．如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 题型5.利用垂径定理求平行弦问题 1．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 3．如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 题型6.利用垂径定理求同心圆问题 1．如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（    ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 2．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 3．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 题型7.利用垂径定理求解其他问题 1．如图，⊙是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为，，，连接，，，若，的周长为21，则的长为（   ） A．8 B．2 C．3.5 D．4 2．如图，为的弦，半径交于点，且为的中点，连接、、，若，则__________．    3．已知：如图，线段与相交于点，且．求证：． 题型8.垂径定理的推论 1．下列判断中，正确的是（     ） A．平分弦的直线垂直于弦 B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 2．如图，在中，弦的长为8，连接，是弦的中点，经过圆心且交于点，若的半径为5，则的长为_______． 3．如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，则的半径为_______． 题型9.垂径定理的实际应用 1．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．8米 C．10米 D．20米 2．如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为___________． 3．小浩在学习了圆的有关性质后，为验证自己的学习成果，打算只用一张矩形纸条和刻度尺测量家中的碗口直径．如图，将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．求碗口的直径（忽略碗壁厚度）． 题型10.圆周角的概念辨析及简单运算 1．下列图形中的角是圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    3．判断下列各图中的是不是圆周角，并说明理由． (1) 题型11.圆周角定理 1．如图，已知中，若，则度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 3．如图，线段是的直径，弦，，求和的度数． 题型12.同弧或等弧所对的圆周角相等 1．如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（     ）    A． B． C． D． 2．如图，是的直径，半径弦，为垂足，连接，．若，则的度数是________． 3．如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型13.半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点C在圆上，，则________． 3．如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型14.90度的圆周角所对的弦是直径 1．用直角尺检查某圆弧形工件，根据下列检查的结果，能判断该工件一定是半圆的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，若，则______． 3．（1）如图1，在中，，，取的中点D，连接． ①的值是 ； ②在的延长线上截取，连接，将绕点C顺时针旋转，如图2，当点A，D，E在同一直线上时，求的长． （2）如图3，在中，，，，将绕点C逆时针旋转角α至，连接，． ①若，求的长； ②若，设的最大值为m，最小值为n，求的值． 题型15.已知圆内接四边形求角度 1．在圆内接四边形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．在圆中，一条弦的长等于其半径长，则这条弦所对的圆周角的度数为________ 3．如图，四边形内接于，平分，延长交的延长线于点．若，求证：． 题型16.求四边形外接圆的直径 1．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 2．在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则=________． 3．已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，是的直径，，，，则的半径为（   ） A．4 B．5 C． D．10 2．如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 3．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 6．内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____ ． 7．如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 8．如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为_____．      三、解答题 9．如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为，求水面上涨了多少米． 10．如图，在中，弦的中点为点，连接、，并分别延长它们与相交于点、． (1)若，求的大小． (2)若，求的长． 11．如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： (1)； (2)． 12．如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $