立体几何初步专项训练-2027届高三数学一轮复习

高中数学人教A版必修二立体几何初步 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D C A B C ABD AB 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】由题可知，圆锥的底面半径和高均为1，即，又， 由圆锥侧面积公式可得：. 2．B 【详解】正四棱台体积公式： ，其中为棱台的高，、​分别为上下底面积. 上底面边长为2，故； 下底面边长为4，故. 正四棱台的上下底面均为正方形，上下底面对角线长分别为​、. 侧棱、高、上下底面对角线一半的差值构成直角三角形：上下底对角线一半的差为， 侧棱长为​，由勾股定理得：. 代入体积公式得. 3．A 【分析】在上任取一点并作平面，则就是直线与平面所成的角．先证明，通过解直角、，求出直线与平面所成角. 【详解】在上任取一点并作平面，垂足为， 则就是直线与平面所成的角． 过点在平面内作，在平面内作，垂足分别为、，    因为平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 因为，即， 又因为，，所以，所以， 因为，，，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 又因为，则，则，， 设，则， 在直角中，，，则， 在直角中，，，则， 即直线与平面所成角为． 4．D 【详解】逐个分析四个结论： ①平面平面 在正方体中，因为，平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面，所以平面. 平面，平面，，所以平面平面，正确. ②平面平面 在正方体中，因为，，平面，， 所以平面. 因为平面，所以平面平面，正确. ③ 在正方体中，，，平面，， 所以平面，平面，所以，正确. ④平面平面 在正方体中，因为，，平面，， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 是平面和平面的交线，，平面， 所以平面， 平面，所以平面平面，正确. 综上，①②③④4个结论均正确. 5．C 【分析】取的中点，分别求得，从而得到为三棱锥外接球的球心，由此求得三棱锥外接球的体积. 【详解】取的中点，连接， 由，，得， 所以. 由，得， 所以. 所以为三棱锥外接球的球心，为半径， 所以三棱锥外接球的体积为. 6．A 【分析】根据正四棱台及其内切球的性质，结合题给上、下底面面积之比以及内切球半径，结合截面即可求解. 【详解】如图，根据正四棱台的性质可知，上底面与下底面均为正方形， 则，即， 设，，则， 取，为上下底面中心，取E，F为，中点，连接，，，， 则， 根据内切球的性质，球心O为中点，记H为球与平面的切点，则． 所以，，， 因为，，， 所以≌，所以， 同理≌，， 所以，分别为，的角平分线，即． 因为，，， 所以． 连接，，则，G为A在底面的投影， 则G位于上，，四边形为矩形， 因为，， 则， 所以，． 7．B 【分析】利用勾股定理逆定理判断和均为直角三角形，公共斜边即为外接球直径，代入球的体积公式计算即可. 【详解】在中，，，，则， 故为直角三角形，且为斜边. 同理可得，为直角三角形，且为斜边. 取中点，连接，. 在中，；在中，， 所以，即为外接球球心，外接球半径. 故三棱锥的外接球的体积为 . 8．C 【分析】根据题意可推得平面，根据体积最大值求出三棱锥的高，利用直角三角形的勾股定理计算即得. 【详解】如图，因，，则的面积为， 要使三棱锥的体积取得最大值，需使平面，设直线交平面于点，连接， 则即三棱锥的高，由三棱锥体积公式解得， 在中，由余弦定理，，即， 再由正弦定理，，解得，设球的半径为，则， 在中，，解得，故球的表面积为. 9．ABD 【详解】A：如果直线平行于平面，那么与平面内的直线可能平行，但也可能是异面直线，故错误； B：由线面垂直的性质定理，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故错误； C：过直线作一个平面，使其与平面相交于直线， 因为，所以，又，所以， 因为，根据面面垂直的判定定理，可得，故正确； D：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线才垂直于另一个平面，并不是面内的任意一条直线都垂直于另一个面，故错误. 10．AB 【详解】对于A，由，得存在过的平面，则，由，得，因此，A正确； 对于B，由，，得，B正确； 对于C，，当时，满足，此时不成立，C错误； 对于D，当，，得或相交，D错误. 11．ABD 【分析】由平面，得到，可判定A正确；证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，可判定B正确；把异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，利用余弦定理，可判定C不正确；由平面，得到即为与平面所成角，在直角中，可判定D正确. 【详解】对于A，在圆锥中，可得平面， 因为平面，所以，所以A正确； 对于B，因为为底面的直径，点在上，可得， 因为分别为的中点，可得，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面，所以B正确； 对于C，由选项B知：， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 在直角中，，可得， 在直角中，，且，可得， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成的角为，所以C不正确； 对于D，因为平面，所以即为直线与平面所成角， 因为点分别为的中点，可得， 在直角中，可得， 所以，即与平面所成角的正弦值为，所以D正确. 12．1 【分析】由题意判断出截面为菱形，借助正方体可以知道正四面体的对边垂直，进而确定截面为正方形. 【详解】由题意得分别为中平行于的中位线， 分别为中平行于的中位线， 则，所以截面为菱形， 如图，将正四面体放置在正方体中，分别是相对的两个正方形的对角线，，则. 四边形为边长为1的正方形，面积为1. 13． 【详解】分别取的外心，为线段的中点，连接，则点为球心， 因为，，则在中由正弦定理得，， 则， 因为，所以，则在中， 则该球的表面积为 14． 【分析】将平面沿翻折至与平面同一平面，结合平面几何性质运算求解即可. 【详解】将平面沿翻折至与平面同一平面，如图所示： 则，即四边形为正方形， 可得，所以最小值为. 15．(1)因为为正方形，所以， 又，且，平面， 所以平面， 因为直三棱柱，所以，所以平面. (2)取中点G，连接，如图所示， 因为E、G分别为的中点，所以， 则平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 则，则，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为D为棱上的点，所以平面， 所以． 【分析】（1）根据条件，可得，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即可得证； （2）如图作出辅助线，根据线面垂直的性质定理，可证，根据三角形全等，可证，根据线面垂直的判定及性质定理，可证平面，结合线面的位置关系，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 16．(1) (2) 【分析】（1）求出的长度，用等面积法求点E到直线的距离； （2）使用等体积法换底求三棱锥的体积. 【详解】（1）连接，因为平面平面，所以, 所以, 又,所以，, 故,， ， 设点E到直线的距离为，则 （2） . 17．证明：∵正三棱柱，∴平面平面， ∵为正三角形，为中点，∴， 又平面平面，∴平面， 又平面，∴， ∵，，∴，， ∴，，， ∴，∴， 又，平面，平面，故平面. 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，进而可得，再根据勾股定理求长度，进而证明，即可证明平面． 【详解】略． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由线段比例关系，根据平行线分线段成比例定理，可得； （2）利用面面垂直的性质定理证明平面，作出二面角的平面角，在直角三角形中计算该角的正切值，从而得到二面角大小； （3）由，得到（或其补角）为异面直线与所成角，利用余弦定理求出的表达式，代入异面直线夹角的余弦公式建立关于的方程，解方程求得的值. 【详解】（1），理由如下： 在中，， 故翻折后，直线与的位置关系为； （2）过D点作于点G，连接， 因为平面平面，平面平面， 平面，，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在中，，，， 所以， 在中，， 所以， 即二面角的大小为； （3）因为，所以（或其补角）是异面直线与所成的角， 因为，所以， 又，， 所以 ， 所以．即， 解得. 19．(1)因为分别为的中点，由三角形中位线定理得,因为底面是菱形，所以，, 又已知，由得 所以菱形是正方形,因为底面，底面 ，所以 又，且， 平面，所以 结合，所以 (2)(i)由（1）知，且已知，所以，因为底面是菱形，且，所以四边形是正方形， 在平面内，因为，所以是直角三角形， 已知，在中，， 因为是的中点，所以，且平分，即， 在中，已知，，， 由余弦定理得： 所以， 在中，已知，，， 由余弦定理得： 所以， 在中，因为，所以， 所以 在中，因为， 所以由勾股定理逆定理得， 因为平面，平面 ，平面 ， 所以，， 所以是二面角的平面角， 因为，即，所以平面平面. （ii）. 【分析】（1）利用中位线定理得，结合已知条件推出，从而证明底面是正方形，再证平面，由平行关系得证； （2）（i）先由已知垂直关系推导出底面为正方形，并在 中利用余弦定理证得；结合（1）的平面得到且，利用线面垂直证明面面垂直； (ii)利用（1）的线面垂直关系，证明点是点在平面上的射影，确定为的射影三角形；分别计算这两个三角形的面积，利用面积射影定理求出二面角的余弦值，进而求得正切值. 【详解】（1）略. （2）（i）略； (ii)由（i）知 平面，所以, 在中，，，, 因为平面，所以平面平面，且交线为, 在平面内，过点作于点, 因为平面，平面,所以，所以点与点重合, 所以平面, 所以是在平面上的射影, 设二面角的大小为，由面积射影定理得, 在中，，，, 取中点，连接，则,, , 所以, 因为为锐角，所以,所以. 所以二面角 的正切值为. 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修二立体几何初步 一、单选题 1．某圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 2．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．空间中从点出发的三条射线、、满足，，则直线与平面所成角为（     ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，正方体，，E为上任一点，有四个结论： ①平面平面，②平面平面， ③，④平面平面． 其中正确结论的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积为（     ） A． B． C． D． 6．已知正四棱台中，上底面与下底面的面积之比为，且其内切球的半径为2，则的长度为（ ）． A． B． C．2 D．3 7．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的体积是（     ） A． B． C． D． 8．已知三棱锥的四个顶点都在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，为两条直线，，为两个平面，则下列结论中错误的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．如图所示，在圆锥中，，的直径，点在上，且，点为的中点，则（    ） A． B．平面 C．异面直线与所成的角为 D．与平面所成角的正弦值为 三、填空题 12．一棱长为2的正四面体被一个平面所截得到的截面如图所示，其中点，，，分别是，，，的中点，则截面的面积为______. 13．已知直三棱柱的顶点均在球面上，，，，则该球的表面积为__________． 14．如图，直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则最小值为______． 四、解答题 15．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：平面； (2)证明：； 16．如图，在长方体中，，，点E在上，且． (1)求点E到直线的距离； (2)求三棱锥的体积． 17．如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点．若，求证：平面； 18．如图1，正的边长为，是边上的高，，分别是和边上的点，且满足，现将沿翻折，使平面平面，如图2． (1)试判断翻折后直线与的位置关系，无需说明理由； (2)求二面角的大小； (3)若异面直线与所成角的余弦值为，求的值． 19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，，，分别为线段，的中点，且. (1)证明：平面. (2)已知，分别为线段，上的点，且，. （i）证明：平面平面. （ii）求二面角的正切值. 学科网（北京）股份有限公司 $