精品解析：广东深圳市桂园中学、坪山实验等校2026-2027学年上学期九年级10月阶段性素养检测数学试题

初三年级10月阶段性素养检测--数学试题 本试卷共6页，20小题，满分100分，考试用时90分钟． 注意事项：1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题：（本题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故选：C． 2. 如图，菱形的对角线相交于点O，且，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出直角三角形以及线段之间的关系，然后用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 由勾股定理得， ∴． 3. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】待求式为两根之和与两根之积的组合形式，利用一元二次方程根与系数的关系求解更简便． 【详解】解：由根与系数的关系得，， ∴． 4. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 5. 如图，矩形中，E点在上，且平分，若，，则面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】过点作的垂线，利用角平分线的性质定理得出垂线段长度等于，进而计算三角形面积． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ，即， 平分，，， ， ． 6. 如图，正方形边长为1，在对角线上取点E，使，过E点作交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形的性质得出边长以及直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度，判定是等腰直角三角形，再利用勾股定理进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得， ∴． 7. 如图，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形，探究方程是否存在常数根，先把绕点顺时针旋转得到，此时，再证明，此时．即，故，则知方程：的常数根为，若正方形的关联方程是，则正方形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，正方形的关联方程存在常数根，可得，即得，，，设正方形的边长为，有，解得正方形的边长为，正方形的面积为． 【详解】解：由题意知，正方形的关联方程存在常数根， ， 解得， 正方形的关联方程是， ，，， 设正方形的边长为， 在中，， ， 解得或（舍去）， 正方形的边长为， 正方形的面积为． 8. 如图，，为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，列出比例式，即可得到答案． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示： ∵， ∴ ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 二、填空题：（每小题3分，共15分．） 9. 若，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】已知，有意义说明，对等式移项变形即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵ 是分式，有意义， ∴ ， 等式两边同时除以，可得 ， 化简后得 ． 10. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义． 把代入关于的一元二次方程得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入关于的一元二次方程得， ， 解得：， 故答案为： ． 11. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形对角线互相平分且相等得出，结合等腰三角形性质求出，再在直角三角形中利用两锐角互余求解． 【详解】解： ∵四边形是矩形 ∴  ∴  ∵  ∴  ∵  ∴  ∴． 12. 某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是_____． 【答案】20% 【解析】 【详解】设每次降价的百分率为x． 150×（1-x）2=96 x=20%或180%（180%不符合题意，舍去）， 故答案是：20％． 13. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形性质得出，，，，求出，证求出长，再证求出长，最后由得出结果．  【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：（本题共7小题，共61分．） 14. 下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得……第一步 移项，合并同类项，得……第二步 系数化为1，得……第三步 回答下列问题： （1）小明的解法从第_________步开始出现错误； （2）写出一元二次方程正确的解法． 【答案】（1）一 （2） 解：， ， ， ， ∴ 或 ， ∴ ，． 【解析】 【分析】（1）依据等式性质，除数不能为0，判断错误步骤； （2）利用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：∵的值可以为0，小明第一步在方程两边同时除以时，违背了除数不能为0的条件， ∴该操作会丢失方程的根， ∴解法从第一步开始出现错误． 【小问2详解】 略 15. 如图，在由边长为的小正方形组成的的网格中，有，，，四个格点．连结,,，另有与交于点． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）证明：由格点可知，在和中， ， ， ，． ， ， ， ． 在和中， ，， ； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据格点关系，先利用证明，从而推出，再结合证得； （2）根据格点关系，在和中，利用勾股定理算出，的长，设，则，，由相似三角形的性质得到，代入解得的长，从而得到的长，再根据线段关系推出的长，最后计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，，， ， 同理，在中，． 设，则， ， 在中，， ， ， 代入得， 整理得， ， 解得（舍去），． ，． ， ． 16. 如图，在矩形中，为矩形的一条对角线． （1）请用直尺和圆规完成以下作图：分别在、上取点、，使，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接、，当，时，求四边形的周长． 【答案】（1）如图，点、即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，交于点，点、即为所求； （2）连接、，设与相交于点，根据线段垂直平分线的性质得，，，，再根据矩形的性质得，根据平行线的性质得出，依据全等三角形的判定和性质得出，根据菱形的判定即可得出结论，由勾股定理求出，设，结合勾股定理列出方程，求出的值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接、，设与相交于点， ∵是的垂直平分线， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，，， 由勾股定理得：， 设， ∴四边形的周长为：，， 在中，， 即， 解得：， ∴四边形的周长为：． 17. 如图，将两张宽度相同的矩形纸条交叉叠放．小明发现重叠部分（四边形）是菱形，并进行如下所示的推理． 如图，过点A分别作的垂线，垂足分别为点E，F，则． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． （1）小芳认为小明的推理不严谨，她认为应在“”和“四边形是菱形”之间作补充，下列说法正确的是_________． A．应补充， B．小明的推理严谨，不必补充 C．应补充： D．应补充： （2）若，，连接，求的长． 【答案】（1）A （2） 【解析】 【分析】（1）首先回忆菱形的判定定理，已知四边形是平行四边形，要判定其为菱形需证明一组邻边相等；因为分别是平行四边形两组对边上的高，所以可通过平行四边形面积公式建立邻边与高的关系，结合推导邻边相等． （2）首先由菱形性质得到，结合，可求出的长度，的度数；由求出的度数，由，根据同旁内角关系求出度数，即可求出的度数，进而判断的形状；根据与的关系即得结果． 【小问1详解】 解：菱形的判定要求“一组邻边相等的平行四边形是菱形”， 小明仅知道平行四边形的两组高，没有直接推导得出邻边相等的结论，推理不严谨． 根据平行四边形的面积计算方法，，结合已知，可推出，得到一组邻边相等，才能判定平行四边形是菱形．说法A正确． 选项B认为推理严谨是错误的， 选项C是菱形的性质而非判定条件， 选项D是矩形的对角线特征， 因此选A． 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是菱形， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 同理，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 18. 坪山聚龙公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入达到元？ 【答案】（1）米 （2）元或元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）根据道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （2）设日租金上涨元，则日租金收入，据此列出方程，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， ∴（舍去），， 故道路的宽为米． 【小问2详解】 解：设日租金上涨元，则日租金收入， 故， 整理得， 即， ∴，， ∴日租金上涨（元）或（元） 故当每个摊位的日租金上涨元或元时，美食节的日租金收入达到元． 19. 在一元二次方程求根公式出现之前，人们利用“图解法”求解一元二次方程．如图，欧几里得的《几何原本》中这样记载，形如的方程的图解法；以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 小明同学积极思考其中的原理，并做出如下分析： 在中，，，则， ，当时，即， 代入中，则有， 故得到验证．的长就是所求方程的正根． （1）①若，，则图中线段的长为_________； ②利用以上方法解关于x的一元二次方程，若构造后的图形满足，则求出的值； （2）如图，利用以上方法解一元二次方程时，过点作矩形，使得点，，分别落在，，上，则求出的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）①将，代入方程中，按照“图解法”的思路将其置于中，即可求出的长；②由方程得到，，按照“图解法”的思路将其置于中，求出的表达式，再结合列出方程解得的值； （2）先利用“图解法”解方程，得到的长，再过点作交于点，利用三角形的面积公式求出的长，结合矩形的性质，通过证明和求得，的长，进而求出． 【小问1详解】 解：①当，时，在中，，， ， ． ②在方程中，，， 将其置于中，得，， ， ． ， ， 整理得， 解得或， ， ． 【小问2详解】 解：在方程中，，， 将其置于中，得，， ， ． 如图，过点作交于点， 在中，是边上的高， ， ， ． 在中，， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， 解得，． ． 四边形是矩形， ，即， ， 又， ， ， 解得． ． 20. 【定义】从一顶点B引出一条经过对边中点D的射线，并将此射线作为对称轴将一侧的翻折得到．连接，则根据等腰三角形和三角形内角和可知，即，这样的射线称为内对称射线． 【应用】 （1）如图1，平行四边形中，当时，另有，，点E是中点，射线为内对称射线，将沿射线翻折，使点A落在点F处，连接，则的长为_________； （2）如图2，矩形中，，，点E为边上一点（不与端点重合），连接，F为上中点，射线为内对称射线，将沿射线翻折得到，当点E在上移动时，探究发现，当点G落在上时，则求的长； （3）如图3，菱形中，点E为射线（不与A点重合）上一动点，连接，点F为中点，射线为内对称射线，将沿射线翻折得到，连接．又已知，，若，则求的长． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，交于G，由勾股定理求出．由翻折性质得垂直平分，根据题干内对称射线的结论，得，由，求出．在中，由勾股定理即可求出的长度． （2）设，射线交于H，连接，由内对称射线定义，得．由勾股定理求出，由翻折知，垂直平分，可得，得，，可得，得，得，得，建立方程解得，即得结果． （3）连接，延长交于H，过B作于J，设，，求出，由翻折性质证明是等边三角形，得，得，得，可得，当点在线段上，可得，推导出，由，，运用勾股定理推出．得，解得，当点在的延长线上，同理，可得，可得，得，解得． 【小问1详解】 解：连接，交于G， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得斜边． 由翻折性质得垂直平分， ∵是中点，根据题干内对称射线的结论，得， ∵， 又， ∴， ∴． 在中，， 由勾股定理得． 【小问2详解】 设，射线交于H，连接， ∵是中点，由内对称射线定义，得． ∴当落在上时，， ∵在矩形中，，，， ∴， 由翻折知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：连接，延长交于H，过B作于J，设，， 则， ∵F是的中点， ∴， 由翻折知，平分，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∴． ∴，解得或（舍去）， 当点在的延长线上时， 同理，， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级10月阶段性素养检测--数学试题 本试卷共6页，20小题，满分100分，考试用时90分钟． 注意事项：1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题：（本题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，菱形的对角线相交于点O，且，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 3. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 5. 如图，矩形中，E点在上，且平分，若，，则面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 15 D. 20 6. 如图，正方形边长为1，在对角线上取点E，使，过E点作交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形，探究方程是否存在常数根，先把绕点顺时针旋转得到，此时，再证明，此时．即，故，则知方程：的常数根为，若正方形的关联方程是，则正方形的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，，为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共15分．） 9. 若，则的值是_________． 10. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 11. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，若，则的度数为_________． 12. 某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是_____． 13. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的长为_________． 三、解答题：（本题共7小题，共61分．） 14. 下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得……第一步 移项，合并同类项，得……第二步 系数化为1，得……第三步 回答下列问题： （1）小明的解法从第_________步开始出现错误； （2）写出一元二次方程正确的解法． 15. 如图，在由边长为的小正方形组成的的网格中，有，，，四个格点．连结,,，另有与交于点． （1）求证：； （2）求的值． 16. 如图，在矩形中，为矩形的一条对角线． （1）请用直尺和圆规完成以下作图：分别在、上取点、，使，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接、，当，时，求四边形的周长． 17. 如图，将两张宽度相同的矩形纸条交叉叠放．小明发现重叠部分（四边形）是菱形，并进行如下所示的推理． 如图，过点A分别作的垂线，垂足分别为点E，F，则． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． （1）小芳认为小明的推理不严谨，她认为应在“”和“四边形是菱形”之间作补充，下列说法正确的是_________． A．应补充， B．小明的推理严谨，不必补充 C．应补充： D．应补充： （2）若，，连接，求的长． 18. 坪山聚龙公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入达到元？ 19. 在一元二次方程求根公式出现之前，人们利用“图解法”求解一元二次方程．如图，欧几里得的《几何原本》中这样记载，形如的方程的图解法；以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 小明同学积极思考其中的原理，并做出如下分析： 在中，，，则， ，当时，即， 代入中，则有， 故得到验证．的长就是所求方程的正根． （1）①若，，则图中线段的长为_________； ②利用以上方法解关于x的一元二次方程，若构造后的图形满足，则求出的值； （2）如图，利用以上方法解一元二次方程时，过点作矩形，使得点，，分别落在，，上，则求出的值． 20. 【定义】从一顶点B引出一条经过对边中点D的射线，并将此射线作为对称轴将一侧的翻折得到．连接，则根据等腰三角形和三角形内角和可知，即，这样的射线称为内对称射线． 【应用】 （1）如图1，平行四边形中，当时，另有，，点E是中点，射线为内对称射线，将沿射线翻折，使点A落在点F处，连接，则的长为_________； （2）如图2，矩形中，，，点E为边上一点（不与端点重合），连接，F为上中点，射线为内对称射线，将沿射线翻折得到，当点E在上移动时，探究发现，当点G落在上时，则求的长； （3）如图3，菱形中，点E为射线（不与A点重合）上一动点，连接，点F为中点，射线为内对称射线，将沿射线翻折得到，连接．又已知，，若，则求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $