精品解析：广东深圳外国语学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026-2027学年初三年级第一学期学情调研 数学试卷 一．选择题（共8小题，每题3分） 1. 下列影子的形成属于平行投影的是（ ） A. 皮影戏中的影子 B. 不同时间下的树影 C. 路灯下的影子 D. 舞台上的影子 2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，若，则的长是（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 12 5. 如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 7. 若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，为上的一点，且，，分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（ ） A. 24 B. 12 C. 17 D. 22 二．填空题（共5小题，每题3分） 9. 若是一元二次方程的两根，则___________． 10. 如图，P是正方形内一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数为________． 11. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．则图象与轴的另一个交点坐标为___________． 12. 如图，在平行四边形中，线段交的延长线于点G，交于点F，交于点E，若，则的值为________． 13. 如图，在中，点为边上一点，连接．点为中点，连接，若，则的长是___________ 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） 15. 画图． （1）添线补全图中几何体的三种视图； （2）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点均为网格线的交点．在下面网格中，以点为位似中心，在点的右边画出的位似图形，使与的相似比为2． 16. 如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻，立柱在路灯下形成的影子分别为与． （1）请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； （2）若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 17. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 18. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 19. 如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． （1）如图2，正方形的边长为2，点是边的中点，点在边上，连接，，若，则　　　　　　　； （2）如图3，在边长为2的等边中，点为边上一动点，作．交边于点． ①证明：； ②设，求出与的关系式，并直接写出的取值范围．在点的运动过程中，是否有最大值．如果有，直接写出最大值；如果没有，请说明理由． （3）如图4，在▱中，点为边上的一点，点为边上的一点．若，，求的值． 20. 如图1，在中，点分别在上．若，则称线段是中所对的“等截线”． 同学们研究发现只要知道等腰三角形的腰和底的长，就可以通过相似三角形的性质求出顶角所对的“等截线”的长度． （1）如图2，在等边中，，所对的“等截线”的长度为　　　　　　　； （2）小红好奇如果只知道顶角的度数以及底边的长度，是不是也能求出顶角所对的“等截线”的长度呢？如图3，已知在等腰中，是所对的“等截线”，请帮小红求出的长． （3）小明探究发现，任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在．如何画出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以为例，画出所对的“等截线”的部分步骤如下． 画法 图形 ①在上适当的位置取点，作直线，交于点 ②在上截取，连接并延长，交于点 ③在上取点，使得 ④作交于点N ．．．． 请你根据以上信息，说明步骤④中的的长度是在中所对的“等截线”的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年初三年级第一学期学情调研 数学试卷 一．选择题（共8小题，每题3分） 1. 下列影子的形成属于平行投影的是（ ） A. 皮影戏中的影子 B. 不同时间下的树影 C. 路灯下的影子 D. 舞台上的影子 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查投影，熟练掌握平行投影是解题的关键；根据平行投影可进行求解． 【详解】解：A、皮影戏中的影子，属于中心投影，本选项不符合题意； B、不同时间下的树影，属于平行投影，本选项符合题意； C、路灯下的影子，属于中心投影，本选项不符合题意； D、舞台上的影子，属于中心投影，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，若，则的长是（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键． 根据三角形中位线定理求得，然后根据矩形的性质得． 【详解】解：点、分别是、的中点，， ， 四边形为矩形， ． 故选：A． 5. 如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，得到 ，把代入解析式，确定值即可． 【详解】根据题意得 ， 抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为． 6. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设交于点，连接，根据作图可得四边形是菱形，进而勾股定理求解即可． 【详解】设交于点，连接， 由作图可知，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴AB=BE， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ,，， ， ， 在中，， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线作图，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，理解题意证明四边形是菱形是解题的关键． 7. 若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 8. 如图，在矩形中，为上的一点，且，，分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（ ） A. 24 B. 12 C. 17 D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，根据矩形的性质得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，据此利用勾股定理求出，再根据三角形中位线定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，分别为，的中点， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴则四边形的周长， 故选：D． 二．填空题（共5小题，每题3分） 9. 若是一元二次方程的两根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系得求解即可． 【详解】解：在方程中，，，， ∵是一元二次方程的两根，且， ∴． 10. 如图，P是正方形内一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，，从而证得，求出的度数，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，进而求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 11. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．则图象与轴的另一个交点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与轴的另一个交点坐标为，即． 12. 如图，在平行四边形中，线段交的延长线于点G，交于点F，交于点E，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明求出，设，则，，再证明即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，点为边上一点，连接．点为中点，连接，若，则的长是___________ 【答案】 【解析】 【分析】过点B作交的延长线于点F，过点C作交的延长线于点H，证明得到；设，则；证明，，可求出，，进一步求出，；证明，推出，；则可求出，，进而得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作交的延长线于点F，过点C作交的延长线于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 设， ∵点为中点， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） 【答案】（1），， （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，题目较为简单，熟记配方法和直接开平方法的解题步骤是本题的关键． （1）首先把方程化为的形式，再利用平方根的定义解方程即可， （2）首先移项，然后方程等号两端同时加16后，左边是完全平方公式，然后开平方，即可求解． 【小问1详解】 ） 解得，， 【小问2详解】 ） 解得：，． 15. 画图． （1）添线补全图中几何体的三种视图； （2）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点均为网格线的交点．在下面网格中，以点为位似中心，在点的右边画出的位似图形，使与的相似比为2． 【答案】（1）如图所示： （2）如图，即为所求： 【解析】 【分析】（1）根据几何体的三视图，看得见的棱用实线，看不见的棱用虚线补全三视图即可； （2）根据位似图形的性质画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻，立柱在路灯下形成的影子分别为与． （1）请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； （2）若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 【答案】（1）解：由题意，作图如下： （2）路灯的高度为 【解析】 【分析】（1）连接并延长，连接并延长，两线交于点，连接并延长交于点即可； （2）利用相似三角形的性质，进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）图，由题意，，， ∴，， ∴， ∴； 故路灯的高度为. 17. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等角对等边的性质，得出，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设，由勾股定理可得，从而列方程求出，再利用勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：，即， ． 18. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 19. 如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． （1）如图2，正方形的边长为2，点是边的中点，点在边上，连接，，若，则　　　　　　　； （2）如图3，在边长为2的等边中，点为边上一动点，作．交边于点． ①证明：； ②设，求出与的关系式，并直接写出的取值范围．在点的运动过程中，是否有最大值．如果有，直接写出最大值；如果没有，请说明理由． （3）如图4，在▱中，点为边上的一点，点为边上的一点．若，，求的值． 【答案】（1） （2）证明：①∵边长为2等边，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②；有最大值，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可求解； （2）①根据等边三角形的性质证明即可求解；②根据相似三角形的性质，列出比例式，进而得到与的关系式，求最值即可； （3）在的延长线上取点，连接，使得，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 解：∵正方形，边长为2， ∴，， ∵点是边的中点， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①略； ②由①知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为； 【小问3详解】 解：在的延长线上取点，连接，使得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图1，在中，点分别在上．若，则称线段是中所对的“等截线”． 同学们研究发现只要知道等腰三角形的腰和底的长，就可以通过相似三角形的性质求出顶角所对的“等截线”的长度． （1）如图2，在等边中，，所对的“等截线”的长度为　　　　　　　； （2）小红好奇如果只知道顶角的度数以及底边的长度，是不是也能求出顶角所对的“等截线”的长度呢？如图3，已知在等腰中，是所对的“等截线”，请帮小红求出的长． （3）小明探究发现，任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在．如何画出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以为例，画出所对的“等截线”的部分步骤如下． 画法 图形 ①在上适当的位置取点，作直线，交于点 ②在上截取，连接并延长，交于点 ③在上取点，使得 ④作交于点N ．．．． 请你根据以上信息，说明步骤④中的的长度是在中所对的“等截线”的长度． 【答案】（1）1 （2） （3）解：如图，作交于点，过点作交于点， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是所对的“等截线”， ∴的长度即为所对的“等截线”的长度． 【解析】 【分析】（1）根据新定义推出为等边三角形，进而得到，即可得出结果； （2）设是所对的“等截线”，连接，设，先得出，则，再证出，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可； （3）作交于点，作交于点，得出四边形是菱形，根据得出，根据菱形的性质即可得． 【小问1详解】 解：∵等边中，， ∴， ∵是所对的“等截线”， ∴， ∴，即， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，设是所对的“等截线”，连接． 设， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴所对的“等截线”的长度是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $