精品解析：江苏无锡市锡东高级中学2026-2027学年高一上学期10月阶段性检测数学试题

2026—2027学年度10月阶段性检测 高一数学试卷 命题人：金怡　　审核人：沈丽英 考试时间：120分钟　　分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若集合，则下列选项不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据集合A的子集进行判断可得ABC正确，D选项的符号错误. 【详解】由，所以，，，故ABC正确， 而属于关系是表示元素与集合之间的关系，故D错误. 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，”的否定是，. 故选：C. 3. 下列选项中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数三要素，即定义域、对应关系、值域，三者只要有一个不相同，函数即不是同一函数，由此一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，的定义域为，而定义域为R， 故二者不是同一函数； 对于B，的定义域为R，与的定义域为， 故二者不是同一函数； 对于C，与对应关系不同， 故二者不是同一函数； 对于D，与的定义域以及对应关系、值域都相同， 故二者为同一函数， 故选：D 4. 设，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断AC；作差比较大小判断B；利用不等式性质判断D. 【详解】对于AC，取，满足，而，AC错误； 对于B，，则，B错误； 对于D，由，得，则，，D正确. 故选：D 5. 设：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解不等式确定与的范围，由此判断充分、必要条件.. 【详解】：，则：， ：，则， 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将恒成立问题转化为求函数最小值问题，结合二次函数区间最值性质求解参数范围 【详解】是开口向上的二次函数，对称轴为，分三类讨论： 当即时，在上单调递增，，满足条件； 当即，， 满足条件； 当即时，在上单调递减，， 要满足，需即，故仅符合条件； 综上，实数的取值范围是. 7. 设，均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】通过配凑构造适用“1的代换”的结构，结合基本不等式求解的最小值. 【详解】因为均为正实数，故，由已知，，  展开得， ，  根据基本不等式得  ，当且仅当，即时等号成立， 代入得，验证等号成立条件，将代入， 得，解得，均为正实数，符合条件， 因此的最小值为8. 8. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ） A. ∪ B. ∪ C. ∪ D. ∪ 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系即可求得参数的取值范围. 【详解】，因式分解得，解得或， ，因式分解：， 的两根为， ①当时，即，不等式解为， 结合或， 要求不等式组仅有一个整数解，即整数解为，所以，所以， ②当时，即，不等式解为， 结合或，得， 要求不等式组仅有一个整数解，即整数解为，所以，所以， ③当时，即，不等式化为，无解，不合题意舍去， 综上，的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，则使得成立的实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】分两种情况讨论：和， ①当时，，解得，满足， ②当时，则，得， 综合①，②，成立的完整取值范围是， 对于A：，是的子集，符合； 对于B：，取，此时，不满足，不符合； 对于C：，是的子集，符合； 对于D：，就是完整解集，符合. 10. 下列叙述中不正确的是（ ） A. 若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”； B. 若，则“”的充要条件是“”； C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D. “”是“”的充分不必要条件. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AB，举例判断即可，对于C，当方程有一正根和一负根时，求出的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于D，由求出的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】对于A，当时，若，则恒成立，所以A错误， 对于B，当时，由推不出，所以B错误， 对于C，当方程有一个正根和一个负根时，有，解得， 因为能推出，而不一定有， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，所以C正确， 对于D，由，得，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以D正确， 故选：AB 11. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D； 【详解】，且，， 对于A，利用基本不等式得，化简得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D， 利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， ，，故D错误； 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂底数不为零、偶次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束条件列不等式组，求解取交集即可得到定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： 对零次幂项，底数不能为0,即，解得； 对根式与分式的复合项，被开方数非负且分母不为0，即且，联立可得，解得, 取两个解集的交集，可得函数的定义域为. 13. 已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可； 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又，所以， 又 所以上述两不等式相加可得， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14. 已知，且，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式证明，再给出的例子，即可得到答案. 【详解】由可知，而，故，从而. 故由基本不等式有. 从而. 而当，时，有，，此时. 所以的最大值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，演算步骤． 15. 求下列关于的不等式的解集： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）． （2）． （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）移项通分，按分母的正负分类求解，注意分母不能为零． （2）将绝对值的取值范围转化为所在的两个闭区间． （3）因式分解后比较两根的大小，并单独讨论两根重合的情形． 【小问1详解】 原不等式中，移项通分得． 当时，，故，解得； 当时，，故，即，与矛盾，此时无解． 因此，原不等式的解集为． 【小问2详解】 由绝对值的意义，等价于或，解得或． 因此，原不等式的解集为． 【小问3详解】 因为，原不等式可化为，等价于． 由，两根与的大小关系取决于的符号． 当时，，故，解集为； 当时，原不等式为，无实数解，解集为； 当时，，故，解集为． 16. 已知全集，集合，，． （1）分别求， ； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），或 （2）或 【解析】 【小问1详解】 因为，，所以， 又或， 所以或. 【小问2详解】 当时，即，即，满足，所以符合题意. 当时，即，即时， 因为，所以或者， 解得或， 综上所述，的取值范围为或. 17. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出命题、为真时参数的取值范围，再分类讨论，分别计算可得； （2）首先求出命题和命题都为假命题时参数的取值范围，再取其补集即可得解. 【小问1详解】 解：若命题为真命题，即命，，所以，所以， 若命题为真命题，即，，所以，解得， 因为命题和命题有且只有一个为假命题， 当命题为假，命题为真时，解得； 当命题为真，命题为假时，所以； 所以； 【小问2详解】 解：若命题和命题都为假命题，则，即； 因为命题和命题至少有一个为真命题，所以或，即； 18. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米． （1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； （2）要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 【答案】（1） （2）米时，用料最省． 【解析】 【分析】（1）由，取得，得到AMPN面积等于，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）求得到扩建部分面积，令，可得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得，则，则， 花坛AMPN面积等于， 由题意，可得，即， 解得或，所以AN的长应在范围内. 【小问2详解】 解：根据题以，可得扩建部分面积， 令，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省． 19. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式. （2）若对任意，恒成立，求的最大值. （3）已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值. 【答案】（1）；（2）最大值为1；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用的解集为，得出，，的关系，再解关于的不等式； （2）对任意，恒成立，等价于，且，借助均值不等式可得最大值； （3）由对于一切实数恒成立，可得，由存在，使得成立可得，结合均值不等式得到结果. 【详解】解：（1）∵的解集为， ∴，，，， ∴， ∴解集为， （2）∵对任意，恒成立， ∴，且 ∴，， 故， ∴，当，时取“”， ∴的最大值为1； （3）由对于一切实数恒成立，可得 即， 由存在，使得成立可得， ∴， ∴，又， ∴， 当且仅当时“”成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度10月阶段性检测 高一数学试卷 命题人：金怡　　审核人：沈丽英 考试时间：120分钟　　分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若集合，则下列选项不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列选项中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 设，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 设：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 8 8. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ） A. ∪ B. ∪ C. ∪ D. ∪ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，则使得成立的实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列叙述中不正确的是（ ） A. 若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”； B. 若，则“”的充要条件是“”； C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D. “”是“”的充分不必要条件. 11. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________． 13. 已知，则的取值范围是__________. 14. 已知，且，则的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，演算步骤． 15. 求下列关于的不等式的解集： （1）； （2）； （3）． 16. 已知全集，集合，，． （1）分别求， ； （2）若，求的取值范围． 17. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 18. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米． （1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； （2）要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 19. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式. （2）若对任意，恒成立，求的最大值. （3）已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $