精品解析：江苏省无锡市辅仁高级中学2026-2027学年高一第一学期质量检测Ⅰ高一数学试卷

无锡市辅仁高级中学2026—2027学年度第一学期质量检测1 高一数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合表示大于且小于的实数， 集合是由三个整数构成的有限集. 就是找出既属于集合，又在集合中的元素，依次判断： 元素：不满足不等式，不属于集合； 元素：满足不等式，属于集合； 元素：不满足不等式，不属于集合. 综上可得公共元素只有，即. 2. 设命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】命题， 则命题的否定是． 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 利用不等式的性质或举反例可得正确答案. 【详解】对A，若，显然满足，但不成立，故A错误； 对B，若，显然满足，但不成立，故B错误； 对C，若，当时，则，故C错误； 利用排除法得D正确； 故选：D. 【点睛】本题考查不等式的性质运用，考查对性质的理解与应用，属于基础题. 4. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】对选项中的两函数从定义域、值域、对应关系进行逐一分析可得结论. 【详解】对于A，易知两函数定义均为，值域为，对应关系均为，因此两函数为同一函数，即A正确； 对于B，易知函数的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，因此B错误； 对于C，易知函数的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，因此C错误； 对于D，易知函数的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，因此D错误. 故选：A 5. 设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由 ，得 ，即 对应集合 ， 对应集合 . 因为 是 的必要不充分条件，所以 是 的真子集. 因此需满足 且 ，解得 . 经检验 时符合题意. 6. 若一元二次不等式（）的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解集求得b，c与a的关系，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】一元二次不等式（）的解集为， 即，2为（）的两实数根，故，即， 则，当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为4. 故选：D 7. 函数，若对于，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件可以得到函数在上单调递减，再分别根据一次函数单调性、二次函数单调性、分段点处的函数值约束列不等式，求解得到的取值范围. 【详解】由，都有成立，得函数在上单调递减. 当时，为一次函数，则，解得； 当时，为开口向上的二次函数，对称轴为，则，解得. 由函数在上单调递减，得分段点处左段函数值不小于右段函数值， 即，解得. 综上所述，，则实数的取值范围为. 8. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为4，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先求出一元二次不等式对应方程的根，再讨论根的大小确定两个集合，从而可求出两集合的交集，通过长度为4可求出的值，再求两集合的并集及其长度. 【详解】方程的两根为，的两根为， 当时，， 当时，，，则， 当时，，，则， 因为的长度为4，所以或，得或， 当时，，，则， 当时，，，则 所以的长度为10， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以  ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C: 因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 10. 下列关于基本不等式的说法正确的是（　　） A. 若，则的最大值为 B. 函数的最小值为2 C. 已知x+y＝1，x＞0，y＞0，则的最小值为 D. 若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是3 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，利用基本不等式求得最大值为，故该选项正确； 对于选项B，，再利用基本不等式求得函数最小值为3，故该选项错误； 对于选项C，，再利用基本不等式求得最小值为3+2，故该选项正确； 对于选项D，由x2+xy﹣2＝0可得y，则3x+y＝2x，再利用基本不等式求得最小值是4，故该选项错误． 【详解】解：对于选项A，若0＜x，则，所以，当且仅当3x＝1﹣3x，即x时等号成立，所以最大值为，故该选项正确； 对于选项B，因为x＞﹣1，所以x+1＞0，所以y21＝3，当且仅当x+1，即x＝0等号成立，故函数最小值为3，故该选项错误； 对于选项C，因为x+y＝1，x＞0，y＞0，所以3≥23＝23，当且仅当，即x，y＝2等号成立，故最小值为3+2，故该选项正确； 对于选项D，由x2+xy﹣2＝0可得y，因为x＞0，y＞0，可得0＜x， 则3x+y＝2x2，当且仅当2x，即x＝1等号成立，所以最小值是4，故该选项错误． 故选：AC． 11. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有（ ） A. B. ，使得 C. 的值域为 D. ，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的函数解析式，结合函数解析式判断单调性及作差法比较大小，逐项计算判断即可. 【详解】A：且，正确； B：，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 因此函数在R上单调递减，则，都有，B错误； C：由B知，当时，，当时，， 即，，因此函数的值域为，正确； D：当时，，，， ， 当且仅当时取等号， 因此成立，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由 ，且 ，得 ，即 或 . 当 时，，此时 ，与 中元素 重复，不满足集合元素的互异性，舍去. 当 时，，解得 或 . 若 ，则 ，，满足 且元素互异，符合题意； 若 ，则 ，与 中元素 重复，不满足互异性，舍去. 综上，. 13. 若命题“”为真命题，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的定义和性质结合不等式进行求解即可. 【详解】命题“”为真命题， 则有判别式，解得. 故答案为：. 14. 时，函数的最小值为，则实数a的值为__________. 【答案】或3 【解析】 【分析】按二次函数对称轴与给定范围的关系分类探讨最小值求解. 【详解】二次函数图象开口向上，其对称轴为， 当时，，，则； 当时，，，解得或，无解； 当时，，，解得，则， 所以实数a的值为或3. 故答案为：或3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合． （1）当时，求； （2）已知B是A的子集，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 对于集合，不等式，等价于， 解得，即 当时，， 所以. 【小问2详解】 集合， 因为B是A的子集，所以， 当集合B是空集时，，即，符合要求. 当集合B不是空集时，，即时， 所以，解得， 综上所述，实数a的取值范围为. 16. 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由不等式恒成立得关于的不等式，解之可得； （2）根据真假和假真分类讨论，然后综合可得． 【小问1详解】 时，， 不等式恒成立，则，解得； 【小问2详解】 由（1）知真时，， 时，，真时，，， 真假时， ，所以， 假真时，，所以， 综上，的范围是． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求m、n的值； （2）证明在上单调递增； （3）求使成立的实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2） 任取，且， 则， 因为，且， 所以，，，，即， 所以，即，即， 所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，结合列式求得答案； （2）利用定义法可证明函数单调性； （3）根据函数的奇偶性与单调性可得不等式，结合函数定义域，解不等式组即可. 【小问1详解】 由题意，可得，解得. 此时，，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意. 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，函数是奇函数且在上单调递增. 所以，即， ，解得， 所以实数a的取值范围为. 18. 某公司生产某种产品的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入100元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：件）满足函数：，总收入=利润+总成本. （1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数； （2）在企业经营的财务分析中，产品的单位利润是一个重要指标，用来评估单个产品的盈利效率，以便控制成本，制定定价策略.试计算当月产量为何值时，产品的单位利润最大？最大单位利润为多少元？（单位利润=利润÷月产量） 【答案】（1） （2）当月产量为200件时，产品的单位利润最大，最大单位利润为100元. 【解析】 【分析】（1）分为、两种情况，然后根据“利润总收入总成本”即可得出结果； （2）首先可根据得出，然后分为、两种情况进行讨论，依次求出最值，即可得出结果. 【小问1详解】 依题设知，总成本为元， 则； 【小问2详解】 产品的单位利润 当时，， 当且仅当即时，； 当时，是减函数，所以. 所以当月产量为200件时，产品的单位利润最大，最大单位利润为100元. 19. 对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间上的“局部倒负函数”. （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）对任意的，，都有，且.若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数是上的“局部倒负函数” （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）利用求解即可；另法：计算，可得结论； （2）由题意可得存在，使得，分，两种情况求解即可得的取值范围； （3）利用赋值法求得，进而可得在区间上有解，利用换元即可求解. 【小问1详解】 因为，解得， 所以区间内存在实数，满足， 所以函数是上的“局部倒负函数”. 另法：因为，且，满足“局部倒负函数”的定义， 所以函数是上的“局部倒负函数”. 【小问2详解】 假设存在实数，使得函数是区间上的“局部倒负函数”. 由“局部倒负函数”的定义知，存在，使得. 因为，所以. 当时，，则，即①， 当时，，则，即②. 所以①或②有解，即在上有解或在上有解， 当时，；当时，，所以. 所以存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”. 【小问3详解】 因为，，函数满足. 令，，则，又，所以. 令，则. 此时， 而，满足条件， 所以. 因为是区间上的“局部倒负函数”， 所以存在实数，满足，又，所以， 所以. 则在区间上有解. 令，由于函数在上单调递减，上单调递增， 所以，则上式可化为在区间上有解， 因为，当且仅当时取等号. 所以. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市辅仁高级中学2026—2027学年度第一学期质量检测1 高一数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 设命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若一元二次不等式（）的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 函数，若对于，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为4，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于基本不等式的说法正确的是（　　） A. 若，则的最大值为 B. 函数的最小值为2 C. 已知x+y＝1，x＞0，y＞0，则的最小值为 D. 若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是3 11. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有（ ） A. B. ，使得 C. 的值域为 D. ，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则___________． 13. 若命题“”为真命题，则实数a的取值范围为___________. 14. 时，函数的最小值为，则实数a的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合． （1）当时，求； （2）已知B是A的子集，求实数a的取值范围． 16. 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求m、n的值； （2）证明在上单调递增； （3）求使成立的实数a的取值范围. 18. 某公司生产某种产品的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入100元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：件）满足函数：，总收入=利润+总成本. （1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数； （2）在企业经营的财务分析中，产品的单位利润是一个重要指标，用来评估单个产品的盈利效率，以便控制成本，制定定价策略.试计算当月产量为何值时，产品的单位利润最大？最大单位利润为多少元？（单位利润=利润÷月产量） 19. 对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间上的“局部倒负函数”. （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）对任意的，，都有，且.若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $