精品解析：江苏南京市第一中学2026-2027学年高一上学期10月阶段性检测数学试题

南京一中2026-2027学年度第一学期10月阶段性检测卷 高一数学 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若，，则 4. 若函数的图象经过点，则函数的零点是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（　　） A. B. C. D. 6. 若，，，则下列不等式： ①；②；③；④．恒成立的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 7. 高一二班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习．已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有14人，物理、化学只选一科的学生都至少5人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 8. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知集合，且，则实数为0或3 B. 集合用列举法可表示为集合 C. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 D. 若，则，至少有一个为空集 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的既不充分也不必要条件 C. 命题“，且，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 11. 已知a，b，c为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最大值为 C. 的最小值为5 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______． 13. 集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 14. 已知实数，，则的最大值为______. 四、解答题（共77分） 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值集合． 16. 已知命题，，命题，． （1）若命题，中，全称量词命题为真，求实数的取值范围． （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 17. 已知关于方程 （1）若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 （2）若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 18. 设 （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式 19. 如图，长方形（）的周长为.       （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2026-2027学年度第一学期10月阶段性检测卷 高一数学 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为集合， 所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先解分式不等式，再利用充分条件与必要条件定义可得答案. 【详解】，等价于，解得或 “”不能推出“或”；而“或”也不能推出“” 即“”是“”的既不充分也不必要条件 故选：D 3. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】结合不等式的基本性质，逐一推导或用特殊值法验证各选项，排除错误选项得到正确结论. 【详解】对选项A：当时，，故不成立，A错误； 对选项B：若，同乘得；同乘得，即，B错误； 对选项C：若，，不等式两边同除以，得，C错误； 对选项D：由，则，因为，两同向正数不等式相加得，故，两边同乘，得，D正确. 4. 若函数的图象经过点，则函数的零点是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】点代入函数得，故， 令，解得或， 代入得， 综上可得，函数的零点为，． 5. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出命题为真命题时的充要条件，然后再结合选项进行选择即可． 【详解】因为，等价于，恒成立， 设， 则 ． 所以命题为真命题的充要条件为， 所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为． 故选C． 【点睛】解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解． 6. 若，，，则下列不等式： ①；②；③；④．恒成立的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【详解】由，及， 得；；，即①②③均正确； 取，得，④错误. 7. 高一二班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习．已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有14人，物理、化学只选一科的学生都至少5人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解. 【详解】把学生50人看作一个集合，选择物理科的人数组成为集合， 选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合， 要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多， 除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人， 则其他科选择人数均为最少， 因为物理、化学只选一科的学生都至少5人， 即得到单选物理的最少5人，单选化学的最少5人， 因为在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有14人， 单选化学、生物的最少4人，单选物理、生物的最少4人， 因为选择物理、化学、生物的学生各有至少20人， 所以单选生物的最少2人， 以上人数最少30人，可作出如下图所示的韦恩图， 所以单选物理、化学的人数至多10人， 所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人. 故选：C. 8. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求解判别式确定方程有两个不相等的实数根的条件，再通过韦达定理求出两根的关系式，再将关系式代入目标表达式中化简，通过基本不等式化简求解即可. 【详解】由题设，得， 且，， ， 又因为，所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号，所以， 即的最大值为. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知集合，且，则实数为0或3 B. 集合用列举法可表示为集合 C. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 D. 若，则，至少有一个为空集 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A：已知集合，， ①若，则，集合不满足集合元素的互异性，舍去； ②若，解得或， 当时，集合，不满足互异性，舍去； 当时，集合，符合要求，故只能取，故A错误； 对于B：集合表示直线所有点构成的无限点集； 集合中的元素是两个等式，不是点，二者不相等，故B错误； 对于C：由可得， 集合的子集为，，，，共个，即满足条件的集合有个，故C正确； 对于D：，仅表示集合没有公共元素，,都可以不是空集。例如，但均非空，故D错误. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的既不充分也不必要条件 C. 命题“，且，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A：特称命题的否定为全称命题，将改为，结论否定， 命题：，则：，故A正确； 对于B：取，满足，但，故充分性不成立； 取，满足，但，故必要性不成立； 所以是的既不充分也不必要条件，故B正确； 对于C：当时，，不满足，该命题为假命题，故C错误； 对于D：设方程两根为， 方程有一正一负根， 若，则恒成立，此时两根之积，必有一正一负根； 若方程有一正一负根，则， 因此是关于的方程有一正一负根的充要条件，故D正确. 11. 已知a，b，c为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最大值为 C. 的最小值为5 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接用基本不等式即可判断；对于B，将其变形为，利用基本不等式化成关于的一元二次不等式求解判断；对于C，将其变形为，利用基本不等式计算判断；对于D，利用将化成，两次应用基本不等式计算判断. 【详解】对于A，因，则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，且，为正实数，可得， 即，解得，取平方得， 当且仅当，即，时取等号，故B错误； 对于C，由，且，为正实数，则得， 则， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，由C可得， 则， 又因为， 当且仅当，且时，即时取等号，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______． 【答案】． 【解析】 【分析】根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】由题可得：，， 因为“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集； 所以，解得：， 检验：时，，满足条件； 时，，满足条件； 所以综上，实数的取值范围为：； 故答案为： 13. 集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】可先求解时参数的取值范围，再取其补集得到时的范围. 【详解】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 14. 已知实数，，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用分离常数法，把分子降为一次式，再可以利用基本不等式结合条件即得. 【详解】因为， 又因为，，所以可由平方均值不等式得：， 取等号条件是，即， 所以上式可变为：， 取等号条件是：，即，结合， 可得取到最大值的条件是：. 故答案为：2 四、解答题（共77分） 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合交集、和补集的定义进行求解即可； （2）根据集合的包含关系可得关于的不等式组，进而计算可求得的取值集合． 【小问1详解】 当时，，， 所以或， 所以. 【小问2详解】 由，得. 当时，则，解得， 当时，，符合； 当时，由，得，解得； 综上所述：的取值集合为． 16. 已知命题，，命题，． （1）若命题，中，全称量词命题为真，求实数的取值范围． （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 命题 q： 恒成立． 二次函数 的图象开口向上，其恒大于 0 当且仅当判别式 因此命题 q 为真 【小问2详解】 由上可知命题 q 为真 命题 q 为假 或 命题 p 为真，等价于存在 使得 即 当时取最小值 命题 p 为真 命题 p 为假 p、q 中有且仅有一个为真命题 ①p 真且 q假： 且 或 ，故 ② p 假且q 真： 且 ，故 综上， 或 ，即 17. 已知关于方程 （1）若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 （2）若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【小问1详解】 设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. 【小问2详解】 若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 18. 设 （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式 【答案】（1） （2）4 （3） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）讨论m的取值范围，根据不等式恒成立，解相应不等式，即得答案； （2）将化为，利用基本不等式，即可求得答案； （3）分类讨论m的取值范围，解一元二次不等式，即得答案. 【小问1详解】 由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意； 时，则需满足，解得， 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 则 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为4. 【小问3详解】 由，可得， ①当时，即，解集为； ② 当时，，不等式即为，解集为； ③ 当时，，不等式即为，解集为； ④ 当时，可得，解集为； ⑤ 当时，，不等式即为，解集为. 综上可得,的解集为: 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 19. 如图，长方形（）的周长为.       （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，. 【解析】 【分析】（1）设，得到，再由基本不等式即可求解； （2）（ⅰ）由几何关系，通过 ，得，进而可求得的周长； （ⅱ）设，在中，可得，再结合三角形面积公式及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，长方形（）的周长为，， 所以 ， 设，则， 所以， 由于，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值是. 【小问2详解】 （ⅰ）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以， ， ，所以 ， 所以， 所以的周长为 ； （ⅱ）设，则 ， 由 可得 ，解得. 由（ⅰ）知， ， 在中，有， 解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $