学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（江苏南京专用，新教材苏科版九上第1～3章：一元二次方程+反比例函数+圆）

11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9._______________ 13. ______________ 17. ______________ 10. _______________ 14. ______________ 18. ______________ 11. ________________ 15.________________ 12. ________________ 16. ________________ 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（8分） （2） ； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（8分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （3） . 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B A B B C A 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．﹣1 10．m＜3 11．2030 12．1.25 13．14 14．1 15．4 16．﹣9 17．丙 18． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（6分） 解：（1）x2+4x﹣5＝0， （x﹣1）（x+5）＝0， 则x﹣1＝0或x+5＝0， 所以x1＝1，x2＝﹣5；·································3分 （2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3+4x）＝0， （x﹣3）（5x﹣3）＝0， 则x﹣3＝0或5x﹣3＝0， 所以．·································6分 20．（8分） （1）证明：在一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0中， a＝1，b＝﹣（m+3），c＝m+2， Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×（m+2） ＝m2+6m+9﹣4m﹣8 ＝（m+1）2． ∵对任意实数m，（m+1）2≥0，即Δ≥0， ∴方程总有两个实数根．································4分 （2）解：将方程左边因式分解，得（x﹣1）（x﹣m﹣2）＝0， 解得x1＝1，x2＝m+2， ∵方程两个根的差为2， ∴|x1﹣x2|＝2，即|1﹣（m+2）|＝2， 化简得|m+1|＝2， ∴m+1＝2或m+1＝﹣2， 解得m＝1或m＝﹣3．·································8分 21．（8分） 解：（1）如图即为所求作图形： ·······························4分 （2）设CD＝x，则AD＝3CD＝3x， ∵四边形AEBD是菱形， ∴DB＝DA＝3x， 在Rt△BCD中，∠ACB＝90°，BC＝4， ∴BC2+CD2＝BD2， 即42+x2＝（3x）2， 解得（舍负）． ∴． ∴菱形AEBD的周长为．··························8分 22．（8分） 解：（1）把A（0，2）代入y1＝x+b得：b＝2， 即一次函数的表达式为y1＝x+2， 把C（1，m），D（n，﹣1）代入得：m＝1+2，﹣1＝n+2， 解得m＝3，n＝﹣3， 即C（1，3），D（﹣3，﹣1）， 把C的坐标代入y2得：3， 解得：k＝3；····································2分 （2）由y1＝x+2可知：B（﹣2，0）， ∴△COD的面积为2×32×1＝4；·························4分 （3）由图象可知：y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜1．·············8分 23．（8分） 解：（1）设月平均增长率为x， ∵500（1+x）2＝720， 解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2＜0（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为20%．······························4分 （2）设售价应降低a元， 由题意可列出式子：（100﹣a﹣60）（20+2a）＝1200， ∴a＝10或a＝20， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴a＝20， 答：售价应降低20元．································8分 24．（8分） （1）证明：如图，BE平分∠ABC交AD于点E，连接EO，则OB＝OE， ∴∠OBE＝∠DBE，∠OEB＝∠OBE， ∴∠OEB＝∠OBE＝∠DBE， ∴OE∥BD， 又∵AB＝AC，AD是中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴∠AEO＝90°， ∴OE⊥AD， ∵OE是⊙O的半径， ∴AE是⊙O的切线；·································3分 （2）解：∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD∠BAC＝30°， 由（1）可知AD⊥OE， ∴∠OEA＝90°， ∴∠BAD+∠AOE＝90°，OEAO， ∴∠AOE＝60°，AO＝2OE， 又∵AB＝AC，AC＝12， ∴AB＝12， 设OE＝r，则AO＝2r， ∴AB＝3r＝12， 解得：r＝4， ∴， ∴， ， ．·························8分 25．（8分） 解：（1）将A（﹣3，﹣1）代入得，， ∴k＝3， ∴反比例函数的解析式为．····························2分 将B（m，3）代入得，，则m＝1， ∴点B的坐标为（1，3）． 将点A和点B的坐标代入y＝ax+b（a≠0）得， ， 解得， ∴y＝x+2；······································4分 （2）将x＝0代入y＝x+2得，y＝2， ∴点D的坐标为（0，2），则OD＝2， ∴， ∴S△OCP＝4S△OBD＝4． 将y＝0代入y＝x+2，得x＝﹣2， ∴点C的坐标为（﹣2，0），则OC＝2， ∴， 解得|yP|＝4． ∴yP＝±4， ∵点P在第三象限， ∴yP＝﹣4， 将yP＝﹣4代入得，， ∴在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足S△OCP＝4S△OBD，则点P坐标为．·8分 26．（10分） （1）证明：如图2，过点O作OF⊥BC交AD于点E，垂足为F，则∠OFB＝90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠OEA＝∠OFB＝90°， ∴四边形ABFE，四边形DEFC是矩形， ∴AE＝BF，DE＝CF， ∵OA2＝OE2+AE2，OB2＝BF2+OF2，OD2＝OE2+DE2，OC2＝OF2+CF2， ∴OA2+OC2＝OE2+AE2+OF2+CF2＝OE2+OF2+BF2+DE2＝OB2+OD2， 故OA2+OC2＝OB2+OD2．·······························2分 （2）解：如图3，在△ABC中，点F是BC的中点，连接AF，OF，OB，OC， ∴2AF2+2BF2＝AB2+AC2， 在△AOF，点E是OA的中点， ∴2EF2+2AE2＝AF2+OF2， 在⊙O中，BC是弦，点F是BC的中点， ∴OBF＝CF，OB＝OC， 在△OBF和△OCF中， ， ∴△OBF≌△OCF（SSS）， ∴∠OFB＝∠OFC，且∠OFB+∠OFC＝180°， ∴∠OFB＝∠OFC＝90°，即△OBF是直角三角形， ∴OB2＝BF2+OF2，则OF2＝OB2﹣BF2， 在△ABC中，∠BAC＝90°， 由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2， ∵AF是斜边BC的中线， ∴AF＝BF＝CFBC，则AF2BC2，BF2BC2，CF2BC2，即4AF2＝BC2，4BF2＝BC2， 联立化简得：2AF2+2BF2＝AB2+AC2，2EF2+2AE2＝AF2+OF2，OF2＝OB2﹣BF2，AB2+AC2＝BC2，4AF2＝BC2， ∴AF2（AB2+AC2）﹣BF2，2EF2+2AE2（AB2+AC2）﹣BF2+OF2， 2EF2+2AE2BC2BC2+（OB2﹣BF2）， 2EF2+2AE2BC2+OB2﹣BF2， 2EF2+2AE2BC2+OB2BC2， 2EF2+2AE2＝OB2，EF2OB2﹣AE2，AE＝OEOA， ∴AE2OA2， ∴EF2OB2OA2 且⊙O的半径为3，OA， ∴EF232（）2＝4，且EF＞0， ∴EF＝2， ∴EF的长为2；····································8分 （3）解：如图4，连接OA，OB，取OA的中点K，连接DK， ∴根据题意可得，点D，K分别是BC，OA的中点，△ABC是直角三角形， 证明方法同（2），即两边中点连线，DK2OB2OA2， 已知⊙O的半径为2，点A（﹣2，2）， ∴OB＝2，OA2， 由（2）的结论可知，DK2OB2OA2（2）2（2）2＝18，且DK＞0， 解得DK＝3，负值已舍去）， 在△ADK中，点K是OA的中点， ∴AKOA， ∴AD≤AK+DK34， ∴AD的最大值为4， 故答案为：4．···································10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣。■■。。■▣。。■。=。■==。■■▣。▣=。■■■■■▣▣。■■▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ✉ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][][/] 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.MA][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5.[A][B][CJ[D] 6.[A][B][C][D] 7.HA][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共10小题， 每小题2分，共20分。 10. 11. 12 13 14. 16 17. 18. 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 19.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. (8分) 21.(8分) C B 22.(8分) YA 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 24.(8分) D A B 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 25.(8分) y ⊙ 26.(10分) 0 D D E E B F 图1 图2 F B 0 AEO B D 图3 图4 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．y＝x2+1 B．2x2＝1 C．x+y＝3 D．x2﹣y2＝0 【分析】根据一元二次方程的定义，平方差公式的定义进行判断． 【解答】解：A、选项中的方程含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、选项中的方程2x2＝1只含1个未知数，未知数最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； C、选项中的方程含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、选项中的方程含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，平方差公式，掌握相应的定义是关键． 2．已知菱形ABCD的两条对角线的长刚好为一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个根，则菱形ABCD的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】利用根与系数的关系求得两条对角线的乘积，代入菱形面积公式计算即可． 【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为x1，x2， 由根与系数的关系得， ∴菱形ABCD的面积为． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 3．在物理活动课上，某小组探究电压一定时，电流I与电阻R之间的函数关系，通过实验得到如表所示的数据： I/A … 3 1.5 1 0.75 0.6 … R/Ω … 3 6 9 12 15 … 根据表中数据．下列描述正确的是（　　） A．在一定范围内、I随R的增大而增大 B．I与R之间的函数关系式为 C．当R＝2Ω时，I＝5A D．当R＞4.5Ω时，I＞2A 【分析】设I，当I＝3时，R＝3，得到U＝9，然后根据反比例函数的性质判断即可． 【解答】解：设I， 当I＝3时，R＝3， ∴U＝9， ∴I，故B正确， ∴在一定范围内、I随R的增大而减小，故A错误， 当R＝2Ω时，I4.5≠5，故C错误； 当R＞4.5Ω时，I＜2A，故D错误， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 4．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（　　） A．x2﹣12x﹣864＝0 B．x2﹣12x+864＝0 C．x2+12x﹣864＝0 D．x2+12x+864＝0 【分析】根据矩形面积公式和长宽关系，长为x步，则宽为（x﹣12）步，利用面积公式列方程即可． 【解答】解：∵宽比长小12步，长为x步， ∴宽为（x﹣12）步， ∵一块长方形田地的面积为864平方步， ∴x（x﹣12）＝864，即x2﹣12x﹣864＝0， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 5．如图，点A，B分别在双曲线和上，AB平行于y轴，C是y轴上一动点，则△ABC的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】设A点的横坐标为a，然后根据双曲线解析式写出A，B两点坐标，再利用三角形面积公式求解即可． 【解答】解：设A点的横坐标为a，由题意可得； ， ∴，C点到AB的距离为a， ∴△ABC的面积为， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正确进行计算是解题关键． 6．如图，在△ABC中，以B为圆心，BA为半径画分别交AC，BC于点D，E，若CD＝AB，∠B＝87°，则的度数为（　　） A．30° B．31° C．32° D．33° 【分析】连接BD，先根据等腰三角形的性质得出∠DAB＝∠ADB，由CD＝AB可得CD＝DB，则∠DBC＝∠C，根据三角形外角的性质得∠ADB＝∠DBC+∠C，然后根据三角形内角和定理计算出∠DBC的度数，即可求解． 【解答】解：连接BD， 由题意得，AB＝BD， ∴∠DAB＝∠ADB， ∵CD＝AB， ∴CD＝BD， ∴∠DBC＝∠C， ∵∠ADB＝∠DBC+∠C， ∴∠DAB＝∠ADB＝2∠DBC＝2∠C， ∵∠ABC＝87°，∠BAC+∠C+∠ABC＝180°， ∴3∠DBC＝93°， ∴∠DBC＝31°， ∴的度数为31°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键． 7．如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数图象交于A，B两点，则不等式解集是（　　） A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 【分析】利用图象法确定不等式的解集即可． 【解答】解：由图象可知，不等式的解集为：﹣3＜x＜0或x＞2． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，熟练掌握图象法确定不等式的解集是关键． 8．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA＝∠PBC，则线段AP长的最小值为（　　） A．4 B． C．3 D． 【分析】利用∠PCA＝∠PBC得∠PBC+∠PCB＝90°，则∠BPC＝90°，根据圆周角定理的推论可判定点P在以BC为直角的⊙O上，连接OA交⊙O于P，此时PA的长最小，然后利用勾股定理计算出OA即可得到PA长的最小值． 【解答】解：∵∠PCA＝∠PBC， 而∠PCA+∠PCB＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∴∠BPC＝90°， ∴点P在以BC为直角的⊙O上， 连接OA交⊙O于P，此时PA的长最小， ∵OA， ∴PA长的最小值为10﹣6＝4． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理：解决本题的关键是确定点P在以BC为直角的⊙O上，从而利用两点之间线段最短解决问题． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k＝　﹣1　 ． 【分析】根据题意可知，Δ＝b2﹣4ac＝0，然后即可求得k的值． 【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣k）＝0， 即4+4k＝0， 解得k＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0． 10．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则m的取值范围是m＜3　 ． 【分析】反比例函数图象位于第一、三象限时，比例系数大于零，即6﹣2m＞0，再解不等式即可解答． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴比例系数6﹣2m＞0， 解得：m＜3． 故答案为：m＜3． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图象位于第一、三象限时，比例系数大于零是解题的关键． 11．设α，β是方程x2﹣x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+4β的值为　2030　 ． 【分析】利用一元二次方程解的定义得到α2的表达式，结合根与系数的关系得到两根之和，将所求式子变形后代入计算即可． 【解答】解：由条件可得：α2﹣α﹣2026＝0， ∴α2＝α+2026， 根据根与系数的关系可得α+β＝1， ∴α2+3α+4β ＝α+2026+3α+4β ＝4（α+β）+2026 ＝4×1+2026 ＝2030． 故答案为：2030． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 12．圆锥的母线长为3cm，侧面是一个圆心角为150°的扇形，则这个圆锥底面圆半径是 　1.25　 cm． 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，而此扇形的弧长等于底面圆的周长，由此即可求得底面圆的半径． 【解答】解：设底面圆半径为r，由题意可得： ∴， ∴r＝1.25． 故答案为：1.25． 【点评】本题考查了扇形的弧长公式，关键是清楚圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长． 13．用配方法将方程x2+6x﹣5＝0化成（x+3）2＝n的形式，则n的值为　14　 ． 【分析】将原方程移项并配方即可． 【解答】解：x2+6x﹣5＝0， 移项得：x2+6x＝5， 配方得：x2+6x+9＝5+9， 即（x+3）2＝14， 故答案为：14． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝　1　 ． 【分析】首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BF，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，即可求出． 【解答】解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF， 则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC， 设半径为r，CD＝r， ∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3， ∴AB＝5， ∴BE＝BF＝4﹣r，AF＝AD＝3﹣r， ∴4﹣r+3﹣r＝5， ∴r＝1． ∴△ABC的内切圆的半径为 1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 15．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，点P是的中点，连接AP，若∠BAP＝30°，BC＝8，则AC的长为　4　 ． 【分析】连接CP，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出∠BCP＝∠ACP＝∠BAP＝30°，根据直径所对的圆周角为直角得出∠CAB＝90°，根据直角三角形的性质得出． 【解答】解：如图，△ABC内接于⊙O，点P是的中点，∠BAP＝30°，BC＝8，连接CP， ∴， ∴∠BCP＝∠ACP＝∠BAP＝30°， ∴∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝60°， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°， ∴， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、含30度角的直角三角形、圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝18，则k为　﹣9　 ． 【分析】根据正比例函数和反比例函数交于A、B两点，得出A，B两点的坐标关于原点对称，求出，过点A作AD⊥CO于点D，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【解答】解：如图，作AD⊥x轴，垂足为D， 根据正比例函数和反比例函数交于A、B两点， ∴A，B两点关于原点对称， ∴|yA|＝|yB|． ∵，，S△ABC＝18， ∴， ∵AC＝AO， ∴△AOC是等腰三角形， 根据等腰三角形的三线合一可得CD＝DO， ∴， ∴|k|＝2S△AOD＝9， ∵反比例函数的图象位于二、四象限， ∴k＝﹣9． 故答案为：﹣9． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 17．某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是　丙　 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【解答】解：用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，则： 描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲（x1，y1）、乙（x2，y2）、丙（x3，y3）、丁（x4，y4）， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于（x1，y′1），过丙点作y轴平行线交反比例函数于（x3，y′3），如图所示： 由图可知y′1＞y1，y′3＜y3， ∴（x1，y′1）、乙（x2，y2）、（x3，y′3）、丁（x4，y4）在反比例函数图象上， 根据题意可知xy＝优秀人数， ①x2y2＝k＝x4y4，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②x1y1＜x1y′1＝k，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③x3y3＞x3y′3＝k，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数＜乙学校优秀人数＝丁学校优秀人数＜丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 【点评】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，以点C为圆心，2为半径作⊙C，过AB上的动点P作⊙C的切线PD，PE，过劣弧DE上一点Q作⊙C的另一条切线分别交PD，PE于点M，N，则△PMN周长的最小值为　　 ． 【分析】先根据切线长定理得到△PMN的周长为2PE，然后连接PE，CE，则∠CEP＝90°，即可得到当PC⊥AB时，PC最小时，PE最小，△PMN的周长最小，然后根据勾股定理解题即可． 【解答】解：∵PD，PE，MN是⊙C的切线， ∴PD＝PE，MD＝MQ，NQ＝NE， ∴△PMN的周长为PM+MN+PN＝PM+MD+PN+NE＝PD+PE＝2PE， 连接PC，CE，如图，则∠CEP＝90°， ∵⊙C的半径不变， ∴PE长随着PC的变化而变化， 即当PC最小时，PE最小，△PMN的周长最小； ∴当PC⊥AB时，PC最小， 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6， 由勾股定理得：，且点P是AB的中点， 则， 在直角三角形PCE中，由勾股定理得：， ∴△PMN的周长最小为， 故答案为：． 【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（6分）解下列方程： （1）x2+4x﹣5＝0； （2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0． 【分析】（1）利用因式分解法进行求解即可； （2）利用因式分解法进行求解即可． 【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0， （x﹣1）（x+5）＝0， 则x﹣1＝0或x+5＝0， 所以x1＝1，x2＝﹣5； （2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3+4x）＝0， （x﹣3）（5x﹣3）＝0， 则x﹣3＝0或5x﹣3＝0， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两根之差为2，求此时m的值． 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒非负，即可证得方程总有两个实数根； （2）通过因式分解得到方程的两根，结合两根差为2的条件列绝对值方程，求解得到m的值． 【解答】（1）证明：在一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0中， a＝1，b＝﹣（m+3），c＝m+2， Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×（m+2） ＝m2+6m+9﹣4m﹣8 ＝（m+1）2． ∵对任意实数m，（m+1）2≥0，即Δ≥0， ∴方程总有两个实数根． （2）解：将方程左边因式分解，得（x﹣1）（x﹣m﹣2）＝0， 解得x1＝1，x2＝m+2， ∵方程两个根的差为2， ∴|x1﹣x2|＝2，即|1﹣（m+2）|＝2， 化简得|m+1|＝2， ∴m+1＝2或m+1＝﹣2， 解得m＝1或m＝﹣3． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC． （1）尺规作图：在AC上确定点D，使点D到A，B两点的距离相等；在AB的下方确定点E，使得四边形AEBD是菱形（不写作法，保留痕迹）； （2）在（1）的条件下，若BC＝4，AD＝3CD，求菱形AEBD的周长（请直接写出答案）． 【分析】（1）根据题意可知作线段AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点O，在AB下方截取OE＝OD即可； （2）设CD＝x，则AD＝3x，根据菱形的性质可得BD＝AD＝3x，在Rt△BCD中，根据勾股定理列方程得x值，进而求解即可． 【解答】解：（1）如图即为所求作图形： （2）设CD＝x，则AD＝3CD＝3x， ∵四边形AEBD是菱形， ∴DB＝DA＝3x， 在Rt△BCD中，∠ACB＝90°，BC＝4， ∴BC2+CD2＝BD2， 即42+x2＝（3x）2， 解得（舍负）． ∴． ∴菱形AEBD的周长为． 【点评】本题考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（8分）如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A（0，2），与反比例函数y2的图象交于C（1，m），D（n，﹣1），连接OC、OD． （1）求k的值； （2）求△COD的面积； （3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围． 【分析】（1）把A的坐标代入y1＝x+b求出b，即可得出一次函数的表达式，把C（1，m），D（n，﹣1）代入求出C、D的坐标，把C的坐标代入y2的，求出k即可； （2）求出OB，分别求出△AOB和△BOC的面积，相加即可； （3）根据C、D的坐标和图象得出即可． 【解答】解：（1）把A（0，2）代入y1＝x+b得：b＝2， 即一次函数的表达式为y1＝x+2， 把C（1，m），D（n，﹣1）代入得：m＝1+2，﹣1＝n+2， 解得m＝3，n＝﹣3， 即C（1，3），D（﹣3，﹣1）， 把C的坐标代入y2得：3， 解得：k＝3； （2）由y1＝x+2可知：B（﹣2，0）， ∴△COD的面积为2×32×1＝4； （3）由图象可知：y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜1． 【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用，能求出两函数的解析式是解此题的关键，数形结合思想的应用． 23．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据9月份的销售量×（1+x）2＝11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低a元，根据利润＝每件的利润×销售量建立方程，解方程可得a的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【解答】解：（1）设月平均增长率为x， ∵500（1+x）2＝720， 解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2＜0（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为20%． （2）设售价应降低a元， 由题意可列出式子：（100﹣a﹣60）（20+2a）＝1200， ∴a＝10或a＝20， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴a＝20， 答：售价应降低20元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，BE平分∠ABC交AD于点E．点O在AB边上，以点O为圆心的⊙O经过B、E两点，交AB于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝60°，AC＝12，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质可得∠OBE＝∠OEB，结合角平分线的定义可知∠OEB＝∠EBD，则OE∥BD，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，据此结合切线的判定定理即可证明； （2）由∠AEO＝90°，∠BAC＝60°，AC＝12可求∠AOE的度数，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式计算得到S阴影＝S△AOE﹣S扇形EOF即可． 【解答】（1）证明：如图，BE平分∠ABC交AD于点E，连接EO，则OB＝OE， ∴∠OBE＝∠DBE，∠OEB＝∠OBE， ∴∠OEB＝∠OBE＝∠DBE， ∴OE∥BD， 又∵AB＝AC，AD是中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴∠AEO＝90°， ∴OE⊥AD， ∵OE是⊙O的半径， ∴AE是⊙O的切线； （2）解：∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD∠BAC＝30°， 由（1）可知AD⊥OE， ∴∠OEA＝90°， ∴∠BAD+∠AOE＝90°，OEAO， ∴∠AOE＝60°，AO＝2OE， 又∵AB＝AC，AC＝12， ∴AB＝12， 设OE＝r，则AO＝2r， ∴AB＝3r＝12， 解得：r＝4， ∴， ∴， ， ． 【点评】本题考查切线的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形面积的计算，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定与性质． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（﹣3，﹣1），（m，3），过A，B两点的直线y＝ax+b（a≠0）与x轴，y轴分别交于点C，D，双曲线y（k≠0）与该直线交于A，B两点． （1）求直线和双曲线的函数表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）根据△OCP与△OBD的面积关系，可求出点P的纵坐标，进而求解． 【解答】解：（1）将A（﹣3，﹣1）代入得，， ∴k＝3， ∴反比例函数的解析式为． 将B（m，3）代入得，，则m＝1， ∴点B的坐标为（1，3）． 将点A和点B的坐标代入y＝ax+b（a≠0）得， ， 解得， ∴y＝x+2； （2）将x＝0代入y＝x+2得，y＝2， ∴点D的坐标为（0，2），则OD＝2， ∴， ∴S△OCP＝4S△OBD＝4． 将y＝0代入y＝x+2，得x＝﹣2， ∴点C的坐标为（﹣2，0），则OC＝2， ∴， 解得|yP|＝4． ∴yP＝±4， ∵点P在第三象限， ∴yP＝﹣4， 将yP＝﹣4代入得，， ∴在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足S△OCP＝4S△OBD，则点P坐标为． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26．（10分）阅读理解：小芸热爱数学，在课外书上看到了一个有关矩形的有趣性质：平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和． 如图1，四边形ABCD为矩形，O为平面内任意一点，根据上述性质，可得： OA2+OC2＝OB2+OD2． 小芸尝试对它进行证明，给出了如下方法： 解：如图2，过点O作OF⊥BC交AD于点E，垂足为F，则∠OFB＝90°，∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∴∠OEA＝∠OFB＝90°，… （1）请你完成小芸剩余的证明过程； 理解运用： （2）如图3，⊙O的半径为3，点A在圆内，且，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，求EF的长． 拓展延伸： （3）小芸解决上述问题后，联想到之前还未解决的题目：如图4，已知⊙O的半径为，以A（﹣2，2）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值． 请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值为　4　 ． 【分析】（1）如图2，过点O作OF⊥BC交AD于点E，垂足为F，则∠OFB＝90°，根据矩形的性质得到AD∥BC，求得∠OEA＝∠OFB＝90°，根据矩形的性质得到AE＝BF，DE＝CF，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据材料提示，在△ABC中，点F是BC的中点，在△AOF，点E是OA的中点，AF是斜边BC的中线，运用“中线长定理”分别表示出边的关系，再进行化简即可求解； （3）根据题意分别求出OA，OB的长，如图所示，连接OA，OB，取OA的中点K，连接DK，运用（2）中的结论可求出DK的值，在△ADK中，根据三角形三边关系AD≤AK+DK即可求解． 【解答】（1）证明：如图2，过点O作OF⊥BC交AD于点E，垂足为F，则∠OFB＝90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠OEA＝∠OFB＝90°， ∴四边形ABFE，四边形DEFC是矩形， ∴AE＝BF，DE＝CF， ∵OA2＝OE2+AE2，OB2＝BF2+OF2，OD2＝OE2+DE2，OC2＝OF2+CF2， ∴OA2+OC2＝OE2+AE2+OF2+CF2＝OE2+OF2+BF2+DE2＝OB2+OD2， 故OA2+OC2＝OB2+OD2． （2）解：如图3，在△ABC中，点F是BC的中点，连接AF，OF，OB，OC， ∴2AF2+2BF2＝AB2+AC2， 在△AOF，点E是OA的中点， ∴2EF2+2AE2＝AF2+OF2， 在⊙O中，BC是弦，点F是BC的中点， ∴OBF＝CF，OB＝OC， 在△OBF和△OCF中， ， ∴△OBF≌△OCF（SSS）， ∴∠OFB＝∠OFC，且∠OFB+∠OFC＝180°， ∴∠OFB＝∠OFC＝90°，即△OBF是直角三角形， ∴OB2＝BF2+OF2，则OF2＝OB2﹣BF2， 在△ABC中，∠BAC＝90°， 由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2， ∵AF是斜边BC的中线， ∴AF＝BF＝CFBC，则AF2BC2，BF2BC2，CF2BC2，即4AF2＝BC2，4BF2＝BC2， 联立化简得：2AF2+2BF2＝AB2+AC2，2EF2+2AE2＝AF2+OF2，OF2＝OB2﹣BF2，AB2+AC2＝BC2，4AF2＝BC2， ∴AF2（AB2+AC2）﹣BF2，2EF2+2AE2（AB2+AC2）﹣BF2+OF2， 2EF2+2AE2BC2BC2+（OB2﹣BF2）， 2EF2+2AE2BC2+OB2﹣BF2， 2EF2+2AE2BC2+OB2BC2， 2EF2+2AE2＝OB2，EF2OB2﹣AE2，AE＝OEOA， ∴AE2OA2， ∴EF2OB2OA2 且⊙O的半径为3，OA， ∴EF232（）2＝4，且EF＞0， ∴EF＝2， ∴EF的长为2； （3）解：如图4，连接OA，OB，取OA的中点K，连接DK， ∴根据题意可得，点D，K分别是BC，OA的中点，△ABC是直角三角形， 证明方法同（2），即两边中点连线，DK2OB2OA2， 已知⊙O的半径为2，点A（﹣2，2）， ∴OB＝2，OA2， 由（2）的结论可知，DK2OB2OA2（2）2（2）2＝18，且DK＞0， 解得DK＝3，负值已舍去）， 在△ADK中，点K是OA的中点， ∴AKOA， ∴AD≤AK+DK34， ∴AD的最大值为4， 故答案为：4． 【点评】本题属于圆的综合题，主要考查三角形中线的推理，掌握勾股定理，中线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．y＝x2+1 B．2x2＝1 C．x+y＝3 D．x2﹣y2＝0 2．已知菱形ABCD的两条对角线的长刚好为一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个根，则菱形ABCD的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．在物理活动课上，某小组探究电压一定时，电流I与电阻R之间的函数关系，通过实验得到如表所示的数据： I/A … 3 1.5 1 0.75 0.6 … R/Ω … 3 6 9 12 15 … 根据表中数据．下列描述正确的是（　　） A．在一定范围内、I随R的增大而增大 B．I与R之间的函数关系式为 C．当R＝2Ω时，I＝5A D．当R＞4.5Ω时，I＞2A 4．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（　　） A．x2﹣12x﹣864＝0 B．x2﹣12x+864＝0 C．x2+12x﹣864＝0 D．x2+12x+864＝0 5．如图，点A，B分别在双曲线和上，AB平行于y轴，C是y轴上一动点，则△ABC的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，在△ABC中，以B为圆心，BA为半径画分别交AC，BC于点D，E，若CD＝AB，∠B＝87°，则的度数为（　　） A．30° B．31° C．32° D．33° 7．如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数图象交于A，B两点，则不等式解集是（　　） A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 8．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA＝∠PBC，则线段AP长的最小值为（　　） A．4 B． C．3 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k＝_______ ． 10．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则m的取值范围是________ ． 11．设α，β是方程x2﹣x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+4β的值为_________ ． 12．圆锥的母线长为3cm，侧面是一个圆心角为150°的扇形，则这个圆锥底面圆半径是 _________ cm． 13．用配方法将方程x2+6x﹣5＝0化成（x+3）2＝n的形式，则n的值为_______ ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝_____ ． 15．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，点P是的中点，连接AP，若∠BAP＝30°，BC＝8，则AC的长为_____ ． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝18，则k为_______ ． 17．某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_____ （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，以点C为圆心，2为半径作⊙C，过AB上的动点P作⊙C的切线PD，PE，过劣弧DE上一点Q作⊙C的另一条切线分别交PD，PE于点M，N，则△PMN周长的最小值为_________________ ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（6分）解下列方程： （1）x2+4x﹣5＝0； （2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两根之差为2，求此时m的值． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC． （1）尺规作图：在AC上确定点D，使点D到A，B两点的距离相等；在AB的下方确定点E，使得四边形AEBD是菱形（不写作法，保留痕迹）； （2）在（1）的条件下，若BC＝4，AD＝3CD，求菱形AEBD的周长（请直接写出答案）． 22．（8分）如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A（0，2），与反比例函数y2的图象交于C（1，m），D（n，﹣1），连接OC、OD． （1）求k的值； （2）求△COD的面积； （3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围． 23．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，BE平分∠ABC交AD于点E．点O在AB边上，以点O为圆心的⊙O经过B、E两点，交AB于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝60°，AC＝12，求阴影部分的面积． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（﹣3，﹣1），（m，3），过A，B两点的直线y＝ax+b（a≠0）与x轴，y轴分别交于点C，D，双曲线y（k≠0）与该直线交于A，B两点． （1）求直线和双曲线的函数表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 26．（10分）阅读理解：小芸热爱数学，在课外书上看到了一个有关矩形的有趣性质：平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和． 如图1，四边形ABCD为矩形，O为平面内任意一点，根据上述性质，可得： OA2+OC2＝OB2+OD2． 小芸尝试对它进行证明，给出了如下方法： 解：如图2，过点O作OF⊥BC交AD于点E，垂足为F，则∠OFB＝90°，∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∴∠OEA＝∠OFB＝90°，… （1）请你完成小芸剩余的证明过程； 理解运用： （2）如图3，⊙O的半径为3，点A在圆内，且，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，求EF的长． 拓展延伸： （3）小芸解决上述问题后，联想到之前还未解决的题目：如图4，已知⊙O的半径为，以A（﹣2，2）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值． 请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值为________________ ． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．y＝x2+1 B．2x2＝1 C．x+y＝3 D．x2﹣y2＝0 2．已知菱形ABCD的两条对角线的长刚好为一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个根，则菱形ABCD的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．在物理活动课上，某小组探究电压一定时，电流I与电阻R之间的函数关系，通过实验得到如表所示的数据： I/A … 3 1.5 1 0.75 0.6 … R/Ω … 3 6 9 12 15 … 根据表中数据．下列描述正确的是（　　） A．在一定范围内、I随R的增大而增大 B．I与R之间的函数关系式为 C．当R＝2Ω时，I＝5A D．当R＞4.5Ω时，I＞2A 4．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（　　） A．x2﹣12x﹣864＝0 B．x2﹣12x+864＝0 C．x2+12x﹣864＝0 D．x2+12x+864＝0 5．如图，点A，B分别在双曲线和上，AB平行于y轴，C是y轴上一动点，则△ABC的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，在△ABC中，以B为圆心，BA为半径画分别交AC，BC于点D，E，若CD＝AB，∠B＝87°，则的度数为（　　） A．30° B．31° C．32° D．33° 7．如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数图象交于A，B两点，则不等式解集是（　　） A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 8．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA＝∠PBC，则线段AP长的最小值为（　　） A．4 B． C．3 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k＝_______ ． 10．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则m的取值范围是________ ． 11．设α，β是方程x2﹣x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+4β的值为_________ ． 12．圆锥的母线长为3cm，侧面是一个圆心角为150°的扇形，则这个圆锥底面圆半径是 _________ cm． 13．用配方法将方程x2+6x﹣5＝0化成（x+3）2＝n的形式，则n的值为_______ ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝_____ ． 15．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，点P是的中点，连接AP，若∠BAP＝30°，BC＝8，则AC的长为_____ ． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝18，则k为_______ ． 17．某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_____ （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，以点C为圆心，2为半径作⊙C，过AB上的动点P作⊙C的切线PD，PE，过劣弧DE上一点Q作⊙C的另一条切线分别交PD，PE于点M，N，则△PMN周长的最小值为_________________ ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（6分）解下列方程： （1）x2+4x﹣5＝0； （2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两根之差为2，求此时m的值． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC． （1）尺规作图：在AC上确定点D，使点D到A，B两点的距离相等；在AB的下方确定点E，使得四边形AEBD是菱形（不写作法，保留痕迹）； （2）在（1）的条件下，若BC＝4，AD＝3CD，求菱形AEBD的周长（请直接写出答案）． 22．（8分）如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A（0，2），与反比例函数y2的图象交于C（1，m），D（n，﹣1），连接OC、OD． （1）求k的值； （2）求△COD的面积； （3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围． 23．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，BE平分∠ABC交AD于点E．点O在AB边上，以点O为圆心的⊙O经过B、E两点，交AB于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝60°，AC＝12，求阴影部分的面积． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（﹣3，﹣1），（m，3），过A，B两点的直线y＝ax+b（a≠0）与x轴，y轴分别交于点C，D，双曲线y（k≠0）与该直线交于A，B两点． （1）求直线和双曲线的函数表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 26．（10分）阅读理解：小芸热爱数学，在课外书上看到了一个有关矩形的有趣性质：平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和． 如图1，四边形ABCD为矩形，O为平面内任意一点，根据上述性质，可得： OA2+OC2＝OB2+OD2． 小芸尝试对它进行证明，给出了如下方法： 解：如图2，过点O作OF⊥BC交AD于点E，垂足为F，则∠OFB＝90°，∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∴∠OEA＝∠OFB＝90°，… （1）请你完成小芸剩余的证明过程； 理解运用： （2）如图3，⊙O的半径为3，点A在圆内，且，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，求EF的长． 拓展延伸： （3）小芸解决上述问题后，联想到之前还未解决的题目：如图4，已知⊙O的半径为，以A（﹣2，2）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值． 请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值为________________ ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $