九年级数学上学期期中真题重组卷（江苏苏州专用，范围：新教材苏科版九下第6章二次函数+第8章锐角三角函数）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级数学下册第6章二次函数+第8章锐角三角函数。 第一部分（选择题 共２４分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知是锐角，，那么等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）将二次函数化为的形式，结果为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）关于的二次函数的图象与轴仅有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数图象上三点，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图所示，抛物线的顶点为，与轴的交点在点、之间，以下结论：①；②；③；④其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知，则锐角______ 10．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了100米到达点，则她沿垂直方向升高了______． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的最大值是__________． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是___． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于点O，则的值为____________． 14．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，为了测量某铁塔的高度（假设铁塔与地面任意一条直线都垂直），测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，则该铁塔的高度约为________米． 15．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知点在抛物线上，点在抛物线上，若，则h的最大值为________． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，四边形是矩形，点是对角线上一动点（不与、重合），连接，过点作，交射线于点，已知，．设的长为，连接，若的面积为，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）计算： (1) (2) 18．（6分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知在直角中，，，，求的大小和边的长度． 19．（6分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． (1)线段的长________． (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，x的取值范围是________． 20．（6分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，，，，的延长线与的延长线交于点E． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 21．（6分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数（其中为常数）． (1)若该二次函数有最大值，则的取值范围是________； (2)若该二次函数的最大值是3，求的值． 22．（6分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线． (1)求证：不论m取何值时，抛物线必与x轴相交于两点； (2)若抛物线与x轴的一个交点为，试求m的值与另一个交点的坐标． 23．（9分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． (1)若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ (2)若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ (3)每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 24．（9分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm，点D是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．    (1)如图2，当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离的长； (2)如图3，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：，，） 25．（10分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地竖直高度为．如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口， (1)求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； (3)当时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由． 26．（10分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为． 例如：抛物线的“伴随直线”为，即． (1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为__________，“伴随直线”为__________． (2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，．若为等腰三角形时，求的值． 27．（10分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线与轴交于、两点(在的左侧)，与轴交于点． (1)求A、B两点的坐标． (2)如图，直线与抛物线的图象交于、两点，其中点的横坐标为，当时，根据图象求出的取值范； (3)在（2）的条件下， ①抛物线上是否存在一点，使得，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②连接，为线段上一动点（不与、重合）将沿翻折至，使与重合，点落在轴的下方，其中交线段于点，求的最小值． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 3 5 6 7 P C 0 B 0 B C 二、填空题 (本大题共8小题，每小题2分，满分16分) 9、 30° 10、100sinl0°米 5 11、4 12、2 13、0.5 14、80 10 15、3 216 16、25 三、解答题（本大题共10小题，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(4分) 【详解】(1)解： V3tan30°-cos60° V5x51 32 1月 1 =2:…(2分) 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：sin230°+cos230°+2sin60°+tan45° 2 =1+V3+1 =2+V3 …(2分) 18.(6分) 【详解】解：如图： A 在直角△ABC中，∠C=90°， COs4=3 2 .∠A=30°」 AB4C-25-4 cos A 3 2 …(6分) 19.(6分) 【详解】)解：y=-+2x+3=-(2-2x+1-+3=-(x-}+4 故P4) :点C在y轴上，令x=0,则y=3, :C0,3) PC=V(0-1)2+(3-4}2=2 2/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √2 故答案为： :…(2分) (2) 如图： 3 …(2分) 45x (3)0<y<3,由图像可得：-1<x<0或2<x<3: 故答案为：-1<x<0或2<x<3.…(2分) 20.(6分) 【详解】(l)tan4=V5 AB=6 BE =3AB=6V3 ,∠A=60°. ∠E=30°， .'.sin30= 2,…(1分) 又CD=3, .CE=2CD=6, BC=BE-CE=63-6 .…(2分) (2):smb=3 AB=6. .AE=10 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 lanF=3 4,…(1分) 又：CD=3, .DE=4, .AD=AE-DE=6.…(2分) 21.(6分) y=ax+4x+a 【详解】(1)解：：二次函数 有最大值， ∴开口向下，在对称轴处取得最大值，即a<0:…(3分) 42 (2)解：依题意，二次函数y=ar2+4x+a的对称轴为直线=2a一a, ,该二次函数的最大值是3， 23 .二次函数的开口向下，二次函数的顶点坐标为a, 72)2 3=a×-二 故a<0, +4×-2+a a .a2-3a-4=0, 解得9=-4，=4>0 (舍去)，…(2分) a=-1.…(1分) 22.(6分) 【详解】（)y=r-2(m+)x+2(m-) 证明：△=[-2(m+]°-4×2(m-1)=4m2+12>0 故此抛物线与x轴有两个交点；…(3分) 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2②解：将2,0)代入y=r-2(m+x+2(m- 得，m=-1 =x2-4 ∴抛物线解析式为 令y=0得到x2-4=0, 解得：x=2, -2,0) ∴抛物线与x轴另一交点为 …(3分) 23.(9分) 【详解】(1)解：40+20×2=80（双） 答：商场平均每天可售出80双鞋子.…(3分) (2)设每双降价x元. (50-x)(40+2x)=2448 x=14,x2=16 解得： ·让顾客尽可能得实惠， .x=16 答：每双鞋子降价16元.…(3分) (3)设每双鞋子降价m元时，每天可以获得最大利润w元. w=(50-m)(40+2m)=-2m2+60m+2000=-2(m-15)+2450 当m=15元时，w最大=2450元. 答：每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润2450元.…(3分) 24.(9分) 【详解】(1)解：如图1，过点D作DF⊥BE于点F, 由题意知BD=DE=30cm, F=BDcos ZABC=30xcm).BFB 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE =2BF =36(cm) …(3分) (2)如图2，过点D作DM⊥BC于M,过点E作EN⊥BC于点N, 由题意知四边形DENM是矩形， ∴MN=DE=30cm, 在RtADBM中， BM=BDgos∠ABc=0x18(em）.By=DM=BDn∠ABc=30g24(em.2分 在RtACEN中，CE=40cm, 片由勾股定理可得CN=VCE2-N=40-24=2(cm）,…4分 BC=18+30+32=80(cm) 则 C=36+40=76(cm) 原来 80-76=4(cm） …(2分) ∴.变形前后两轴心BC的长度增加了4cm.…(1分) A 图1 图2 25.(10分) A(2,2) 【详解】(1)解：如图1，由题意得 是外边缘抛物线的顶点， 设=a(x-2)}2+2 0,1.5) 又抛物线过点 1.5=4a+2. 1 a=、 8,…(1分) 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 外边缘抛物线的函数解析式为1=一8c-2+2,…(1分) 当y=0时，0=-8-2°+2，解得x=6,x=-2(舍去)， ∴.喷出水的最大射程0C为6m;…(1分) (2):”对称轴为直线=2， 点01 的对称点为415) :”是由”向左平移4加得到的， 由(1)可得 (6,0) 、点B的坐标为 2,0) ;…(3分) (3)理由： ,当BD=lm时，OD=3m,则OE=6m, .点F的横坐标为6， 把女6 =0<0.5 入 ∴.所以不能浇灌到整个绿化带.…(4分) 26.(10分) 【详解】（少解：y=(+-5的顶点坐标为-5）.“件随直线”为'=(+小-5=-4 故答案为：（-5)y少=x-4 :…(4分) (2)解：y=a(x-l-4a(a≠0)的件随直线为y=a(-l)4a,即y=am-50, y=a(x-1)2-4a 联立抛物线与伴随直线的解析式可得y=ar-5a [x=1 x=2 解得y=-4a或y=-3a, 7/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.A1,-4aB(2,-3a 在=a(--40中，令=0可解得x=-1或x=3, ∴.C(-1,0)D(3,0) ∴.AC2=4+16a2BC2=9+9a2 ,…(3分) ~当△ABC为等腰三角形时，只存在一种可能为AC=BC,如图所示， 9￥35 .AC2=BC2,即4+16a2=9+9a2,解得7（抛物线开口向下，正值舍去） 35 ∴若△ABC为等腰三角形时，4的值为7.…(3分) y 27. 【详解】(1)解：令片=0 ，得 -mx2+2mx+3m=0 即x2-2x-3=0. x1=-1x2=3 解得： .A(-1,0)B(3,0) :…(2分) (②解：E点的横坐标为2，直线为=3x+1经 +经过点E, ∴E(-2,-5)， 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E(-2,-5) 把点 代入4=-mr2+2mr+3m -5=-m×(-2)2+2m×(-2)+3m 得： 解得：m=1, ·乃=-x2+2x+3 …(2分) [y=3x+1 联立方程组y=-x2+2x+3, x=-2 x2=1 解得：y=-5, y2=4, .D1,4) …(1分) 由图象可得：当少>少时，的取值范围为-2S1,…（1分) F 7 9 (3)解：①抛物线上存在一点 24, 使得∠DEF=45°. 如图，过点D作DK⊥DE,使DK=DE,过点D作MNx轴，过点E作EM⊥MN于M,过点K作 KN⊥MN于N, M N 0 B 则∠EMD=∠DNK=90°， ∴∠KDN+∠DKN=90° 9/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠KDN+∠EDM=90°， ∴.∠DKN=LEDM, ∴.△DKN≌△EDM(AAS) ∴.KN=DM=3,DN=EM=9, .K(I0,1) [-2k+b=-5 设直线EK的解析式为y=c+b,则10k+b=1, 解得： b=-4 :直线EK的解析式为y=2X-4, =-4 联立方程组，得y=-x2+2x+3 7 x2= 2 解得： =-2, 9 h=-5 4 别 …(2分) ②如图，过点G作GM⊥AD于M,GN⊥A'D于N,过点D作DK⊥AB于K, 10/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H B A-1,0)DL,4)DK⊥AB ∴DK=4,AK=2, AD=AK2+DK2=22+4=25 由翻折得∠ADG=∠ADG. GM⊥AD,GN⊥AD, ·.GM=GN, S.n-24G-DK 1 2 D.GM SADHG 2GH-DK 2 DH-GN. AG AD GH DH_DH 5 DH :GHDm,即4G4D2510 当DA⊥AB时，DH=DK=4最小，此时，GH:AG的值最小， GH :4G的最小值=10 k-84-25 5.…(2分) 11/11 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级数学下册第6章二次函数+第8章锐角三角函数 第一部分（选择题 共２４分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题３分，满分２４分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、在时是二次函数，故该选项不符合题意； C、符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知是锐角，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，且是锐角， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）将二次函数化为的形式，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）关于的二次函数的图象与轴仅有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】解：∵y=kx2+2x-1为二次函数， ∴k≠0， ∵二次函数y=kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点， ∴△=22-4k×（-1）=0，解得， ∴k的值为-1． 故选：B． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数图象上三点，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， ∴二次函数的开口向下，对称轴是直线， ∴在对称轴的右侧随的增大而减小， A点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：D． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，得；但二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，则，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，而图中对称轴是y轴,故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 7．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图所示，抛物线的顶点为，与轴的交点在点、之间，以下结论：①；②；③；④其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：根据图示，二次函数图象与轴有两个不同的交点， ∴，故①错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴直线为， ∵抛物线图象与轴的交点在点、之间， ∴另一个交点在点、之间， ∴当时，，故②正确； ∵抛物线的对称轴直线为， ∴， ∴，故③正确； 根据题意，当时，，且， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有②③④，共3个， 故选：C ． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接、，，作于，于，如图，当时，，解得，，则， ， 则， ， ， 为等边三角形， ， ． 垂直平分， ， ． 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， 在Rt△ABC中，， 即， 的最小值为． 故选：B． 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知，则锐角______ 【答案】 【详解】解：∵，且是锐角， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了100米到达点，则她沿垂直方向升高了______． 【答案】米 【详解】解：由题意得，她沿垂直方向升高了米， 故答案为：米． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的最大值是__________． 【答案】 【详解】解：利用配方法，将一般式化成顶点式： 二次函数开口向下， 顶点处取最大值， 即当时，最大值为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是___． 【答案】a≤2 【详解】由二次函数的解析式得到对称轴为x=a，函数图象的开口向上， ∴在对称轴x=a的右边函数值y随着x的增大而增大， 故只要a≤2时，x＞2，y随x的增大而增大， 所以a的取值范围为a≤2． 故答案为a≤2． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于点O，则的值为____________． 【答案】 【详解】如图所示，取格点F，连接，， ∴设正方形网格的边长为1， ∴，， ∴ ∴ 由网格特点可得， ∴ ∴． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，为了测量某铁塔的高度（假设铁塔与地面任意一条直线都垂直），测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，则该铁塔的高度约为________米． 【答案】80 【详解】解：∵， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， 故答案为：80． 15．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知点在抛物线上，点在抛物线上，若，则h的最大值为________． 【答案】 【详解】由点A在抛物线上，得， 由点B在抛物线上， 得， 即， 则， 又， ， 所以当时，h的最大值为； 故答案为：． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，四边形是矩形，点是对角线上一动点（不与、重合），连接，过点作，交射线于点，已知，．设的长为，连接，若的面积为，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，．　 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）计算： (1) (2) 【详解】（1）解： ；……（2分） （2）解： ．……（2分） 18．（6分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知在直角中，，，，求的大小和边的长度． 【详解】解：如图： ∵在直角中，，， ∴， ∴． ……（6分） 19．（6分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． (1)线段的长________． (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，x的取值范围是________． 【详解】（1）解： 故 ∵点C在y轴上，令，则， ∴， 故答案为：；……（2分） (2) 如图： ……（2分） （3）∵，由图像可得：或； 故答案为：或．……（2分） 20．（６分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，，，，的延长线与的延长线交于点E． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴，……（1分） 又∵， ∴， ∴．……（2分） （2）∵， ， ∴， ，……（1分） 又∵ ， ∴， ∴．……（2分） 21．（６分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数（其中为常数）． (1)若该二次函数有最大值，则的取值范围是________； (2)若该二次函数的最大值是3，求的值． 【详解】（1）解：∵二次函数有最大值， ∴开口向下，在对称轴处取得最大值，即；……（3分） （2）解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵该二次函数的最大值是3， ∴二次函数的开口向下，二次函数的顶点坐标为， 故，， ∴， 解得（舍去），……（2分） ∴．……（1分） 22．（６分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线． (1)求证：不论m取何值时，抛物线必与x轴相交于两点； (2)若抛物线与x轴的一个交点为，试求m的值与另一个交点的坐标． 【详解】（1） 证明：， 故此抛物线与x轴有两个交点；……（3分） （2）解：将代入得，， ∴抛物线解析式为， 令得到， 解得：， ∴抛物线与x轴另一交点为．……（3分） 23．（９分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． (1)若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ (2)若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ (3)每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 【详解】（1）解： （双） 答：商场平均每天可售出双鞋子．……（3分） （2）设每双降价元． 解得： 让顾客尽可能得实惠， 答：每双鞋子降价元．……（3分） （3）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 当元时，最大元． 答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．……（3分） 24．（９分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm，点D是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．    (1)如图2，当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离的长； (2)如图3，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：，，） 【详解】（1）解：如图1，过点D作于点F， 由题意知， ∴，， ∴．……（3分） （2）如图2，过点D作于M，过点E作于点N， 由题意知四边形是矩形， ∴， 在中， ，，……（2分） 在中，， ∴由勾股定理可得，……（1分） 则， 原来， ，……（2分） ∴变形前后两轴心的长度增加了．……（1分）    25．（１０分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地竖直高度为．如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口， (1)求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； (3)当时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【详解】（1）解：如图1，由题意得是外边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴，……（1分） ∴外边缘抛物线的函数解析式为，……（1分） 当时，，解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为；……（1分） （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴是由向左平移得到的， 由（1）可得， ∴点的坐标为；……（3分） （3）理由： ∵当时，，则， ∴点F的横坐标为6， 把代入， ∴所以不能浇灌到整个绿化带．……（4分） 26．（10分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为． 例如：抛物线的“伴随直线”为，即． (1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为__________，“伴随直线”为__________． (2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，．若为等腰三角形时，求的值． 【详解】（1）解：的顶点坐标为，“伴随直线”为； 故答案为：，；……（4分） （2）解：的伴随直线为，即， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得， 解得或， ，， 在中，令可解得或， ，， ，，……（3分） 当为等腰三角形时，只存在一种可能为，如图所示， ，即，解得（抛物线开口向下，正值舍去） 若为等腰三角形时，a的值为．……（3分） 27．（10分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线与轴交于、两点(在的左侧)，与轴交于点． (1)求A、B两点的坐标． (2)如图，直线与抛物线的图象交于、两点，其中点的横坐标为，当时，根据图象求出的取值范； (3)在（2）的条件下， ①抛物线上是否存在一点，使得，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②连接，为线段上一动点（不与、重合）将沿翻折至，使与重合，点落在轴的下方，其中交线段于点，求的最小值． 【详解】（1）解：令，得， 即， 解得：，， ，；……（2分） （2）解：点的横坐标为，直线经过点， ， 把点代入， 得：， 解得：， ，……（2分） 联立方程组， 解得：，， ，……（1分） 由图象可得：当时，的取值范围为；……（1分） （3）解：①抛物线上存在一点，使得． 如图，过点作，使，过点作轴，过点作于，过点作于， 则， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组，得， 解得：，， ；……（2分） ②如图，过点作于，于，过点作于， ，，， ，， ， 由翻折得， ，， ， ， ，即， 当时，最小，此时，的值最小， 的最小值．……（2分） 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $