天津市实验中学2026-2027学年高三上学期第7周套练数学试题

2027届高三（上） 第7周套练——数学学科 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合，若，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 4．已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 5. 已知，则 A. B. C. D. 6．如图，下列能表达这条曲线的函数是（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9. 定义在上的函数 满足，且当 时， 若对任意的 ，不等式恒成立，则实数的最大值为 A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10. =________. 11．若数列{an}满足，则数列{an}的通项公式为________. 12. 若函数的值域为，则实数的取值范围是________. 13. 已知，且，则________. 14．已知中，，且的最小值为，则__________，若为边上任意一点，则的最小值是__________. 15．已知函数，若关于的方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是__________. 三、解答题 16．（14分）已知函数． (1)求f（x）的定义域和最小正周期； (2)讨论f（x）在区间上的单调性． 17．（15分）如图，在四边形ABCD中，，，，且，. （1）求实数的值； （2）若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值. 18．（15分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角A的大小； (2)若，求的值； (3)若的面积为，，求的周长和外接圆的面积. 19．（15分）已知是公比为q的等比数列．对于给定的，设是首项为，公差为的等差数列，记的第i项为．若，且． (1)求的通项公式； (2)求； (3)求． 20．（16分）已知函数． (1)证明：当时，； (2)若函数有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：． 天津市实验中学 TIANJIN EXPERIMENTAL HIGH SCHOOL 试卷第2页（共4页） 2027届高三（上） 第7周套练——数学学科 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2027届高三上第7周套练数学学科》参考答案 1．A 2．A 【分析】根据绝对值的定义和分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以，解得， 又由，可得，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．D 【分析】根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A,当时，，故A错误， 对于B,当时，，，则，故B错误， 对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误， 对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确， 故选：D 4．C 【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断. 【详解】因为， ，， 故. 故选：C. 5．B 6．D 7．C 【分析】由等差数列的前项和公式及等差数列的性质，即可求解结果． 【详解】因为是等差数列和的前项和， ，又 所以 故选：C. 8．C 【分析】先由图象求出函数，再由平移变换得函数，结合整体法求值域，从而求的取值范围. 【详解】设的最小正周期为，由图象可知， 所以，则，故， 又的图象过点，所以， 所以，又，所以， 则， 则. 当时，， 当或.即或时，， 当，即时，， 所以的取值范围为. 故选：C. 9．D 10．4 11．，. 【解析】由、的递推式，讨论、时求即可. 【详解】当时，； 当时，，即； ∴， 故答案为：，. 【点睛】本题考查了有递推式求数列通项公式，应用了分类讨论方法，属于基础题. 12． 13． 14． 【分析】设，则，计算得到，建立直角坐标系，则，计算得到答案. 【详解】设，由题意 ， 当且仅当时等号成立，又因为的最小值为， 所以，解得，即， 又，所以， 因为中，， 所以， 解得 所以，所以， 所以， 如图所示建立直角坐标系， 则，，，，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故答案为：；. 15． 【分析】在坐标平面中画出的图象，动态分析的图象后可得实数的取值范围. 【详解】当时，，令， 则，故此时的图象为圆的一部分， 在坐标平面中画出的图象如下： 因为关于的方程有三个不同的实数根， 所以的图象与的图象有3个不同的交点. 当时，的图象与的图象无交点，舍； 当时，的图象的左边的射线与的图象有一个交点， 当射线与相切时，设切点为， 则，故，. 当射线过时，， 当与圆相切时， 有，故. 因为，故当的图象与的图象有3个不同的交点时， 有或. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：（1）对于较为复杂的函数方程，知道零点的个数求参数的取值范围时，可将方程转化为简单函数的图象交点个数来讨论. （2）刻画函数图象时，注意结合解析式的特征来考虑，特别是带有根号的函数，其图象往往和圆、椭圆、双曲线等有关. （3）不同图象临界位置的刻画，可借助导数的几何意义来计算. 16．(1)， (2)函数的减区间为，增区间为 【详解】（1）解：∵， ∴，即函数的定义域为， ，所以函数的周期； （2）解：由，，得， 即函数的增区间为， 当时，增区间为， ∵，∴此时； 由，得， 即函数的减区间为， 当时，减区间为， ∵， ∴此时， 综上，在区间上函数的减区间为，增区间为． 17．（1）；（2）. 【分析】（1）根据和向量的数量积定义式计算； （2）建立平面坐标系，设，用x表示出，根据二次函数性质得出最小值. 【详解】解：（1）∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴. （2）过A作，垂足为O， 则，，， 以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示： 则，设，，， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算，解答的关键是理解数量积的定义以及数量积的坐标表示. 18．(1) (2) (3)， 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解即可； （2）由同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和正弦公式求解； （3）由三角形面积公式及余弦定理求出，再由正弦定理求外接圆半径即可. 【详解】（1）由， 由正弦定理， 从而有， ，， ，. （2）因为， 所以， . （3）因为， 所以， 由余弦定理得：， 即， 解得， 所以的周长为， 由， 所以外接圆的面积. 19．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定定义，可得，再列出方程求出作答. （2）由（1）的信息，利用裂项相消法求和作答. （3）利用（1）的结论，结合分组求和法及等差数列前n项和公式求解作答. 【详解】（1）依题意，， ， ， 由及，得，解得，于是， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，，， ， 所以. （3）由（1）知，，， 所以 . 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 20．(1) 由题意可得：函数，且，， 若，则在内恒成立， 可知在内单调递增，可得； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可得， 且，则，则； 综上所述：当时，. (2)①； ②证明：由①可知：，即， 若，等价于， 等价于， 令，则， 令，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则， 即， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可得； 令，则， 令，则， 因为，则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立，可知在内单调递增， 则，即， 不妨设，则， 且，在内单调递减，可得， 即，可得； 即， 所以. 【分析】（1）求导，分类讨论判断的单调性，结合单调性和最值分析证明； （2）①令，整理可得，设，求导，利用导数判断单调性，结合单调性分析零点问题；②分析可知原不等式等价于，构建函数证明即可. 【详解】（1）略 （2）①由题意可得：， 令，整理可得， 设，则， 且，可知， 令，解得；令，解得； 则在内单调递减，在内单调递增， 由题意可知：有两个零点，则，解得， 若，令，则 则， 可知在内有且仅有一个零点； 且当趋近于，趋近于，可知内有且仅有一个零点； 即，符合题意，综上所述：的取值范围为； ②略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 答案第12页（共13页） 答案第7页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $