精品解析：天津市实验中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

10月份高三年级 数学学科 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分；考试用时120分钟．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项：每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义可得. 【详解】由不等式，可得；又因为，因此. 又因为，所以. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式化简求值即可． 【详解】． 故选：D． 3. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】若存在实数，使，则共线； 若，则同向； 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 4. 已知，，则与同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，，再根据求解即可. 【详解】解：由题知，，， 所以，与同向的单位向量为. 故选：B 5. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象得到该函数的定义域、奇偶性、零点等性质，据此逐项判断即可. 【详解】根据题意，由函数的图象，的定义域为，其图象关于原点对称，为奇函数；在上，函数图象与轴存在交点. 由此分析选项： 对于A，，其定义域为，有， 为偶函数，不符合题意； 对于B，，其定义域为， 有，为奇函数，其图象关于原点对称； 当时，，函数图象与轴存在交点，符合题意； 对于C，，当时，，故恒成立，所以该函数图象在上与轴不存在交点，不符合题意； 对于D，，其定义域为， 有为偶函数，不符合题意. 综上所述，只有选项B的函数满足， 故选：B． 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件将用表示出来，然后根据对数函数、指数函数、二次函数的单调性判断的范围即可进行比较. 【详解】由题意可求得，. 因为，所以根据对数函数、指数函数、二次函数的单调性可知， ， ，， 所以. 故选：C. 7. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果 【详解】由，得， 令，则， 在上递增，在上递减， 因为在定义域内为增函数， 所以的单调递减区间为， 故选：A 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且当时，的最小值为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，设，得到，转化为点到直线的距离为1，进而求得的长. 【详解】在中，由，可得， 则，设，则， 所以的最小值为点到直线的距离， 又的最小值为1，则． 9. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图像及性质，可求得其解析式，进而可判断A、B选项错误，再结合三角函数的对称性即可判断C选项正确，D选项错误. 【详解】设的周期为，根据函数图像可得，解得，故B错误； 又，解得， 因为当时，取得最小值，且，所以， 所以，即， 所以，解得， 又，取，得，所以，故A错误； 对于C，当时，，可得， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，，取不到最大值或最小值， 所以直线不是图象的对称轴，故D错误． 故选：C. 第Ⅱ卷 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．在平面直角坐标系中，点位于第三象限，则角为第_____象限角． 10. 若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算与投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 11. 已知，，若，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 又因为，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值是. 12. 已知，则的值是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将代入即可. 【详解】因为， 所以 ， 故答案为：5. 13. 已知边长为2的菱形ABCD，，若O为菱形ABCD中心，E为BC中点，记，，则________（结果用，表示）；若P是菱形ABCD及其内部的一点且满足，则动点P所在的曲线长度为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合几何图形，利用向量的加法求出；建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示求出动点P的轨迹即可. 【详解】在菱形中，为中点，E为BC中点，则， 所以； 以菱形的对角线分别为轴建立平面直角坐标系， 由，得，则，设， ，由，得，解得， 因此动点P的轨迹是直线与边的交点间线段， 而点到直线的距离为，因此， 所以动点P所在的曲线长度为. 故答案为：； 14. 已知函数，给出下列五个结论： ①当时，的零点； ②当时，的图象关于直线对称； ③当时，存在常数，使得恒成立； ④，在上单调递减； ⑤若有三个零点，则整数的最小值为. 其中所有正确的结论的序号是_____ 【答案】②④ 【解析】 【分析】对于①，求出时，恒成立，①错误；对于②，求定义域，并得到，②正确；对于③，根据函数增长速度得到当时，，③错误；对于④，分和两种情况，求导得到函数单调性，得到④正确；对于⑤，分别画出函数与直线的图象，数形结合得到⑤错误. 【详解】对于①，当时，，定义域为， 当时，，， ，所以，， 即恒成立，所以区间内无零点，①错误； 对于②，当时，，定义域为， 则，故， 的图象关于直线对称，②正确； 对于③，当时，， 当且越来越大时，， 且的增长速度越来越慢，会慢于的增长速度， 故当时，， 因此不存在常数，使得恒成立，③错误； 对于④，，当时，，，， ， 则，故在上单调递减， 当时，，，则， 则， 因为，所以，故对任意的，， 所以在上单调递减， 又在上为连续函数，故在上单调递减，④正确； 对于⑤，由可得， 作出函数与直线的图象，如下： 要使得与有三个交点，需满足， 当时，设直线与的图象相切于点， 此时，由题意可知， 整理得， 令，则， 故函数在上单调递减，且， 故直线与的图象相切于点，此时， 当时，有个零点； 当时，，则，， 设直线与的图象相切于点， 则，所以，整理得，其中， 令，，则， 所以在上单调递增， 因为，，， 故存在，使得， 故当时，直线与的图象相切， 结合图象，此时有两个零点； 当时，有个零点； 当时，有三个零点，则整数的最小值为，⑤错误． 三、解答题：共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）设，． （i）求的值； （ii）求的值． 【答案】（1） （2） ； 【解析】 【分析】根据余弦定理化简求出角. 根据已知条件套用余弦定理求. 根据二倍角，两角和与差公式代入求解即可. 【小问1详解】 因为得； 即，得； 所以，因为； 所以. 【小问2详解】 ，则. ，则，. 所以. 16. 如图，，分别是矩形的边和的中点，与交于点N. （1）设，，试用，表示； （2）若，，H是线段上的一动点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）引入，重新整理得出和这组基底的关系； （2）以A为原点，AB，AD分别为x， y轴，建立平面坐标系，借助的方程，化为关于的表达式，从而利用二次函数性质求最值. 【小问1详解】 取AC的中点O，连OE，OF则， 因为， 所以. 【小问2详解】 以A为原点，AB，AD分别为x， y轴，建立直角坐标系， 则，，，， 直线的方程为：， 设， 则，， 所以， 当时等号成立. 17. 已知． （1）求f（x）的单调递减区间； （2）若，求的值； （3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）﹣k在上有唯一零点，求实数k的取值范围． 【答案】（1）函数的单调递减区间为[]（k∈Z）;（2）;（3）或. 【解析】 【分析】(1)由正余弦二倍角公式和正弦两角和公式对原式进行化简;然后利用正弦型函数的单调性求解; (2)利用余弦二倍角公式化简,然后由诱导公式得,代入计算即可; (3)由图像平移得函数,然后结合数形结合的思想将所求问题转化成函数与图像有一个交点来求解参数的取值范围. 【详解】(1)由于， 令（k∈Z）,整理得（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）． (2)由题意,则,即, 由,则 (3)由函数的图象向右平移个单位得到的图象, 由于,所以,则函数在上有唯一零点，即得函数与图像在上只有一个交点,所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点,则由或,解得或, 即当或时,函数在上有唯一零点. 【点睛】本题是一道综合性的试题,考查了正余弦二倍角公式的应用,考查了三角函数和差公式的应用,考查了图像平移以及利用图像解决函数零点的问题,属于中档题. 18. 已知数列满足，，． （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，若恒成立，求的最大值． 【答案】（1） 证明：， ，而， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 当时，， ， 累加得， 解得，而满足上式，因此. （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，则数列是首项为，公比为的等比数列，，再利用累加法求通项即可； （2）代入化简得，再利用裂项相消法求和即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 因为，所以， 即， 又因为函数为增函数，为减函数，则为增函数， 故数列为单调递增数列， 所以， 即的最大值为． 19. 已知函数的导函数为，（为自然对数的底数）. （1）当时，求函数在点处的切线的斜率； （2）若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围； （3）若满足，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明：， 当时，由（2）可知是增函数，所以， 设， 移项得， 由（2）知，即， 所以，即，① 设， 所以当时，，即， 所以当时，，即， 所以， 代入①式中得到 即，所以， 即命题得证. 【解析】 【分析】（1）求导数值，即可得切线斜率； （2）利用含参讨论来判断函数单调性求解； （3）利用齐次把双变量合并化为单变量，再利用函数求导进行证明即可. 【小问1详解】 当时，， ， 所以函数在点处的切线的斜率为. 【小问2详解】 当时，， 因为在上是单调递增函数，所以在上恒成立， 令，则， 当时，， 令，所以在上递增， 即，所以在上恒成立，符合题意； 当时，，且在为单调递增函数， 所以存在唯一使得， 所以当时，在递减， 即，不符合题意； 综上所述. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：双变量不等式的证明，利用齐次思想，把双变量不等式转化为不等式，再构造函数求导进行证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10月份高三年级 数学学科 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分；考试用时120分钟．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项：每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，则与同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且当时，的最小值为1，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称 第Ⅱ卷 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．在平面直角坐标系中，点位于第三象限，则角为第_____象限角． 10. 若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______． 11. 已知，，若，则的最小值是_____． 12. 已知，则的值是__________． 13. 已知边长为2的菱形ABCD，，若O为菱形ABCD中心，E为BC中点，记，，则________（结果用，表示）；若P是菱形ABCD及其内部的一点且满足，则动点P所在的曲线长度为________. 14. 已知函数，给出下列五个结论： ①当时，的零点； ②当时，的图象关于直线对称； ③当时，存在常数，使得恒成立； ④，在上单调递减； ⑤若有三个零点，则整数的最小值为. 其中所有正确的结论的序号是_____ 三、解答题：共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）设，． （i）求的值； （ii）求的值． 16. 如图，，分别是矩形的边和的中点，与交于点N. （1）设，，试用，表示； （2）若，，H是线段上的一动点，求的最大值. 17. 已知． （1）求f（x）的单调递减区间； （2）若，求的值； （3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）﹣k在上有唯一零点，求实数k的取值范围． 18. 已知数列满足，，． （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，若恒成立，求的最大值． 19. 已知函数的导函数为，（为自然对数的底数）. （1）当时，求函数在点处的切线的斜率； （2）若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围； （3）若满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $