专题：平面向量 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为逻辑主线，通过坐标法、函数思想等方法体系，系统覆盖平面向量核心考法，突出数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|5题（如1,4,5）|模长公式、数量积定义、三角不等式|从单位向量概念到模与数量积运算，构建向量基本运算体系| |几何应用|6题（如3,6,8）|坐标化建模、投影向量、多边形性质|结合三角形、正多边形等几何图形，实现向量与几何的转化| |综合应用|8题（如7,11,19）|函数求最值、实际问题抽象、向量与三角综合|通过力的分解、蜂巢结构等情境，培养数学建模与运算能力|

专题：平面向量-2027届高三数学上学期复习系列 一、单选题 1．已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若等边的边长为，为边的中点，是边上的动点，则的最大值为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 4．已知平面向量，均为单位向量，若，则（     ） A． B． C． D． 5．设向量，，则当取得最小值时，（       ） A． B． C． D． 6．若O是正八边形的中心，且（），则（     ） A． B． C． D．3 7．如图所示，小华同学设计了一套力的分解与合成实验装置，从绳结处引出三条绳索，，，固定点，并使得与铅垂线成夹角，处悬挂拉力为的重物，处连接测力器，与铅垂线成夹角．当时，记C处的拉力为，当时，记处的拉力为，则（     ）    A． B． C． D． 8．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六边形开口，另一端是封闭的底，巢中被封盖着的是浓缩成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 二、多选题 9．在中，，，，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为 D． 10．已知平面向量，满足，，是在上的投影向量，则（    ） A．的取值范围为 B．存在，，使得 C． D．的最小值为 11．已知向量，则函数（    ） A．最小正周期为 B．图像关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．图像关于点中心对称 三、填空题 12．已知向量满足， ，当与的夹角最大时，__________ 13．已知，，，当的最小值为1时，在上的投影向量为________． 14．青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是__________． 四、解答题 15．已知一平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，. (1)求的模长. (2)求第四个顶点的坐标 16．如图，在中，分别是，的中点，，为与的交点. (1)若，求的值 (2)求证：三点共线. 17．已知向量，，设． (1)若，，求的值． (2)若，求的最小值，及此时实数的值． (3)若，求的取值范围. 18．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 19．定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）. (1)设函数，求的“相伴向量”； (2)若函数，求其“相伴向量”的模的取值范围； (3)已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围. 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：平面向量-2027届高三数学上学期复习系列》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C A A C B C ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】计算的模，再利用向量模的三角不等式求解的最小值. 【详解】由题意知，均为单位向量，故，且， ，得，故， ， 对任意平面向量，有，等号成立当且仅当与反向， 令，，，代入得： ， 当与反向时等号成立，故的最小值为. 2．C 【详解】若， 则， 又，，所以， 故“”是“”的充要条件. 3．C 【分析】建立平面直角坐标系，将向量数量积转化为关于动点坐标的二次函数，即可求解最大值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立直角坐标系， 由等边边长为，可得各点坐标：，，， 因为为中点，故的坐标为， 设，其中， 则，， 由向量数量积的坐标运算得： ， 该式为开口向上的二次函数，对称轴为， 在区间上最大值在离对称轴更远的端点处取得： 当时，，故最大值为. 4．A 【分析】根据向量的数量积运算及单位向量的定义，结合公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即，可得， . 5．A 【分析】先展开向量点积，利用向量点积的最值性质得到关于夹角余弦的函数，再求该函数取最小值时对应的余弦值即可. 【详解】因为，， 所以 ， 设的夹角为，，则， 且，当与反向时取等号， 此时 ， 令（）， 可得 ， 对求导得，令，得，解得， 当 时，，单调递减， 当 时，，单调递增， 故时取得最小值，此时. 6．C 【详解】 如图，连接，，分别过，作垂直于线段的垂线，垂足分别为，, 设正八边形边长为，正八边形每个内角， 由几何性质可知，,， 所以，，所以， 即，又， 所以，，故. 7．B 【分析】先建立平面直角坐标系，从而根据三角函数得到，，处拉力的坐标表示，再根据平衡状态求出，的坐标，进而根据坐标公式法即可求向量的模． 【详解】依题意，以绳结处为原点，水平方向、竖直方向为轴、轴建立如下图平面直角坐标系，    设处的拉力为，，则， 设处的拉力为，，则， 设处的拉力为，，则， 又根据题意有，即， 则当时，有，得，此时处的拉力为； 当时，有，得，此时处的拉力为． 所以． 8．C 【分析】根据平面向量的线性运算、数量积以及投影向量的概念逐项判断即可. 【详解】对于A， ，所以A正确； 对于B，，所以B正确； 对于C，设正六边形的边长为，则，， 因为，所以， 根据投影向量的定义可知，在上的投影向量为，所以C错误； 对于D，连接，连接与交于点， 易知为等边三角形，根据对称性可得， 所以为的中点，故， 又，，所以， 所以，故D正确. 9．ABD 【分析】由同角三角函数平方关系计算判断A；由余弦定理计算判断B；由正弦定理计算判断C；由结合向量数量积运算律及定义计算判断D. 【详解】对于A，在中，，则，故A正确； 对于B，由余弦定理可得， 即，解得（负值舍去），故B正确； 对于C，由正弦定理可得， 所以的外接圆半径为，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确. 10．ACD 【详解】已知，， 两边平方得，，， 又，所以，故A选项正确； 若，则，所以， 可得，而，矛盾，故B选项错误； 是在上的投影向量，， 即，故C选项正确； ， 令，，， 函数随增大单调递增，最小值在处， ，故D选项正确. 11．ACD 【分析】根据题意求得函数的解析式为，结合三角函数的图象与性质，逐项判断即可． 【详解】由题意，向量， 可得， 所以， 故的最小正周期为，所以A正确； 令，解得， 显然不满足上式，所以B错误； 由，可得， 由于函数在单调递增，故在此区间上单调递增，所以C正确； 令，解得， 令，可得，故函数的图象关于点对称，所以D正确． 12． 【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量条件转化为动点轨迹方程，结合直线与抛物线相切时两向量夹角最大的性质求解. 【详解】由，设，设，其中O为坐标原点，所以， ，所以， 根据已知条件，且，故， 且， 等式两边平方得 ，展开并整理得，即点B的轨迹为抛物线， 当直线OB与抛物线相切时，与的夹角取得最大值， 设直线OB的方程为，代入抛物线方程得 ， 整理为一元二次方程，直线与抛物线相切时， ，解得， 代入方程得，解得，对应，即或， 因此. 13． 【详解】因为， 所以当时，取到最小值， 所以， 因为，所以， 所以在上的投影向量为. 14． 【分析】利用向量的线性运算将转化为，结合正六边形的几何性质求出的取值范围即可. 【详解】连接，，. 因为点，在圆上运动且关于圆心对称， 所以，且．    ． 因为点在正六边形的边上运动，当点位于各边的中点时，取得最小值，此时， 所以； 当点位于正六边形的顶点时，取得最大值， 此时， 所以． 故的取值范围是. 15．(1) (2)或或 【分析】（1）根据向量模长的坐标公式进行求解. （2）设坐标，分三种平行四边形情况，利用平行四边形对边向量相等列方程组求解. 【详解】（1）由题意可得， 根据模长公式可得：. （2）设点的坐标为，当平行四边形为时， ，所以，化简可得：， 解得，所以坐标为， 当平行四边形为时，， 所以，化简可得：,解得， 所以坐标为，当平行四边形为时，， 所以，化简可得：， 解得，所以坐标为， 综上，点的坐标为或或. 16．(1) (2)，设，， 则， 又， ，解得，则， ， ，即三点共线. 【分析】（1）设，，再用向量，为基底表示，，，再由向量的线性运算列方程组求解； （2）设，，由，，用，表示，列方程组求出，从而可得，进而证得结论． 【详解】（1）设，， 因为在中，E，H分别是的中点，， 所以， ， ， 又， ，解得． （2）略 17．(1) (2)最小值为，此时 (3) 【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示可求出的值，再结合可得出的值； （2）当时，求出向量的坐标，进而可得出向量的坐标，再结合平面向量的模长公式求解即可； （3）由平面向量的模长公式、三角恒等变换化简得出关于的表达式，利用正弦型函数的基本性质以及的取值范围可得出的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，，， 所以，整理可得，故. （2）若，则，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故最小值为，此时. （3）因为， 当时，，则， 所以， 即当时，的取值范围是. 18．(1) (2) 【分析】（1）由题意根据正弦定理可得，进而根据余弦定理化简即可求解； （2）由余弦定理及中线可得，结合三角形外接圆性质得到，，根据垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律得到，，进而求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 由正弦定理可得，即， 所以， 因为，所以； （2）由（1）可得， 因为是边的中点，所以， 即，， 所以， 取边的中点为，边的中点为，由点为的外接圆圆心得，， ， ， 所以. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）把化为形式，由定义即得. （2）把化为形式，得其“相伴向量”，由模公式可求模. （3）先根据定义得到函数取得最大值时对应的自变量，再结合基本不等式求出的取值范围，由正切的二倍角公式及函数的单调性可得结论. 【详解】（1）函数， 所以函数的“相伴向量”. （2）依题意，， 则函数的“相伴向量”， 因此. （3）向量的相伴函数， 其中由确定， 当时，函数取到最大值，则， ， 由定点且，得， 设且， 因此， 当时，， 当且仅当时取等号； 当时，， 当且仅当时取等号，则， 令，于是， 函数在内单调递减， 当时，； 当时，，； 所以的取值范围为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $