平面向量及其应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

高中数学人教A版必修二平面向量及其应用 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D B B C D ABD BC 题号 11 答案 ABC 1．B 【详解】对于平面向量与，根据平面向量共线的坐标判定规则：若两个向量与共线，则满足. 代入坐标得：，整理得，解得或. ①必要性：若，向量、，两向量共线，即由可以推出向量共线，故“向量共线”是“”的必要条件. ②充分性：向量共线时，可取2或-2，无法由“向量共线”必然推出“”，故不满足充分性. 综上，“向量与共线”是“”的必要不充分条件. 2．C 【分析】先根据余弦定理求出c，再根据等面积法求出高即可. 【详解】由余弦定理可得，所以， 且的面积为， 设边上的高为h，则的面积为，即，. 3．D 【详解】由题设得， 又，故， 即，解得. 4．D 【详解】由得. 又因为，所以，解得. 5．B 【详解】因为，所以 则. 6．B 【分析】利用三角形的高构造直角三角形求出各边长，再运用余弦定理求解角的余弦值. 【详解】设边上的高，由题意得. 因为​，所以在直角三角形中，，，故. 则​，. 由余弦定理，得 . 7．C 【分析】求出的范围，由正弦定理得到. 【详解】，故， 因为为锐角三角形，所以，解得， 由正弦定理得 由于在上单调递减，故. 8．D 【分析】先通分原式，再利用正弦定理化简为，再利用余弦定理结合已知条件，可得，从而求出的值，得出判断. 【详解】由题可知 ， 在中，，则，所以， 即，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，又，所以， 因此. 9．ABD 【分析】A选项，利用平行四边形法则求解； B选项，利用向量的转化求解； C选项，结合A选项利用向量的转化求解； D选项，利用坐标法表示向量，然后计算向量模长. 【详解】A选项，由题可得：是平行四边形对角线的交点，所以是AC的中点，由平行四边形法则得：，所以A选项正确； B选项， ，， 则，所以B选项正确； C选项，，，所以，， ，所以C选项错误； D选项，，，所以，所以D选项正确. 10．BC 【分析】先根据题设结合余弦定理及勾股定理得到，，再结合勾股定理求解判断A；通过平面向量基本定理可判断B；通过向量在向量上的投影向量公式即可判断C；通过三点共线的向量表示可判断D. 【详解】因为， 由余弦定理，， 即，所以，则， 因为，所以是上靠近点C的三等分点，如图： 对于A，，由勾股定理，故A错误； 对于B，由题意知， 所以，故B正确； 对于C，由B知， 则， 所以向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为，则， 由B知，则， 又三点共线，所以，所以，故D错误. 11．ABC 【分析】对于A，由可得为钝角；对于B，由和可得；对于C，由且可得，结合，利用正弦定理可得；对于D，由可得，取，，此时的周长小于4． 【详解】对于A，由于，且， 所以，则为钝角，故A正确； 对于B，记，，， 则的面积，即， 又因为，所以，故B正确； 对于C，由且，得， 由，得， 再由正弦定理得，故，即C正确； 对于D，由于，， 故，则， 若取，，此时的周长为，故D错误． 12． 【详解】由，得， 即，由已知得， 所以向量在向量上的投影向量为 . 13．或 【详解】由正弦定理得：， 因为，且，所以， 在范围内，的解为或，两者均满足． 14． 【分析】分别以为轴建立平面直角坐标系，设（），设，由垂直求得，再计算得出关于的表达式，利用基本不等式可得最小值． 【详解】分别以为轴建立平面直角坐标系，，，，， 在线段上，设（），， 设，则， 因为，所以，， ， ， 时，， 时，，当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 综上，的最小值是. 15．(1)设的外接圆的半径为， 由正弦定理得， 即，，， 代入已知条件得， 在中，，两边同时除以得， 若，则，与矛盾，故， 所以，因为， 所以，所以为钝角三角形． (2) 【分析】（1）使用正弦定理边化角，结合同角关系和特殊角三角函数求解； （2）使用三角形面积公式与余弦定理求解. 【详解】（1）略 （2）由三角形面积公式得：， 代入得：，解得； 由余弦定理得：， 代入，，得， 所以，即， 又因为，所以， 所以的周长为． 16．(1)， (2) 【分析】（1）由题意结合正弦定理可得、，求出后，再利用余弦定理即可求得，即可得解； （2）由正弦定理可得，利用同角三角函数的平方关系、三角恒等变换可得. 【详解】（1）由正弦定理，得，． 又，，∴． ∵，∴．由余弦定理，得． 由，得，进而． （2）由正弦定理与余弦定理，得， ． ∴． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式角化边，结合余弦定理即可求出角. （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合正弦定理及已知的值求出边长，最后由余弦定理求出，即可得到三角形周长. 【详解】（1）已知， 由正弦定理，得. 所以. 由余弦定理， 因为，故. （2）由，所以. 由正弦定理， 得， 所以（）. 由余弦定理， 得，即 所以（）. 所以的周长为. 18．(1) (2)选择条件②或③，（选择条件①，不存在） 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，化简后结合角的取值范围求； （2）先由面积公式、边的关系及余弦定理求出的各边长和，再验证所选条件合理性，利用正弦定理或余弦定理求. 【详解】（1）由及正弦定理，得. 因为，所以，所以. 若，则，上式不成立，所以， 则，又，所以. （2）因为的面积为，，所以， 即，解得，又，所以，则. 由余弦定理得，， 又，所以，所以为等腰三角形，且，故. 选择条件①：因为为边上的一点，所以. 又，则， 而三角形内角和为，故不能构成三角形. 选择条件②：. 在中，由余弦定理得， ， 所以. 选择条件③：由，得. 在中，. 由正弦定理得，所以. 19．(1) (2) 【分析】（1）由题设结合平方关系及正弦定理可得，再根据余弦定理可求得，，再利用正弦定理求解即可； （2）先根据题设及平方关系、两角和的正弦公式求得，可得，进而求解即可. 【详解】（1）由， 则， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理得，因为，所以， 因为，，所以，则， 由正弦定理得，即. （2）由于，， 所以， 由于，所以，而， 所以．     则 ， 由于，所以， 则． 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修二平面向量及其应用 一、单选题 1．“向量与共线”是“”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边上的高为（     ） A． B． C． D．2 3．已知，，向量，夹角，若，则（     ） A． B． C． D． 4．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知平面向量满足，，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 6．在中，，边上的高等于，则（     ） A． B． C． D． 7．在锐角中，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在中，角，，的对边分别是，，，若，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，则（    ） A．恒有成立 B．恒有成立 C．若，，则 D．若，，则 10．已知在中，，，，，点P为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．若，，，且M，N，D三点共线，则 11．在以O为原点的平面直角坐标系中，，，，其中，若，则（   ） A．为钝角三角形 B．的面积为 C．外接圆的半径大于1 D．的周长大于4 三、填空题 12．已知向量，满足：，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________； 13．在中，角所对的边分别为，已知，，，则______． 14．在矩形中，，，为线段上的动点，过作的垂线，垂足为，则的最小值是________． 四、解答题 15．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且． (1)证明：为钝角三角形； (2)若，且的面积为，求的周长． 16．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，． (1)求角和的值； (2)求的值． 17．在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若的面积为，，求的周长． 18．在中，，． (1)求； (2)若的面积为，为边上的一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．如图，在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求的值； (2)在边上取一点，使得，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $